zmiany mimoza

WYKŁAD V
IV.3. Modele konsolidacji ośrodka porowatego.
W poprzednim rozdziale przyjęliśmy założenie, że szkielet gruntowy jest ciałem
nieodkształcalnym, a jeżeli dopuszczamy jakieś odkształcenia fazy stałej, to są to tylko zmiany
objętościowe. Dla całego ośrodka uważa się, że odkształcenie polega na zmianie porowatości
ośrodka, która zależy od ściśliwości szkieletu gruntowego i cieczy lub gazu wypełniającego jego pory.
W odniesieniu do szkieletu gruntowego lub skały litej można stosować jednakże różne modele
reologiczne. Istnieje nieskończenie wiele teoretycznie poprawnych modeli opisujących właściwości
mechaniczne ośrodków sprężystych, lepko-sprężystych czy też sprężysto-lepko-plastycznych. O tym,
którego z tych modeli należy użyć do opisu właściwości interesującego nas materiału, decydują wyniki
badań laboratoryjnych w połączeniu z możliwością właściwej i w miarę dokładnej interpretacji tych
wyników przez wybrany model reologiczny. W większości wypadków zdarza się tak, że im bardziej
skomplikowany jest model teoretyczny ośrodka, tym lepiej za jego pomocą można opisać wyniki
doświadczeń, lecz ze względu na swoją skomplikowaną naturę model taki mniej się nadaje do
konkretnych obliczeń prognostycznych.
Jeżeli szkielet ośrodka traktuje się jako jednorodne ciało jednofazowe, to proces naprężenieodkształcenie opisywany jest najczęściej równaniem konstytutywnym ciała Boltzmanna – [Fung,
1969]. Najogólniejszym prawem wiążącym odkształcenia i naprężenia w teorii lepko-sprężystości
ośrodków jednorodnych i izotropowych są dwa związki:
t
ϑij = J (O)τ ij (t ) + ∫ τ ij (t − η )
o
∂ J (η )
dη ,
∂η
(0.1)
∂ I (η )
γ o = I (O)σ o (t ) + ∫ σ o (t − η )
dη .
∂η
o
t
Funkcja pełzania odkształceń postaciowych J(t) i funkcja pełzania odkształceń objętościowych
I(t), użyte w powyższych wzorach, jednoznacznie definiują cechy reologiczne przyjętego modelu
ośrodka. Dewiator naprężenia τ ij i naprężenie średnie σ m tworzą tensor naprężenia Cauchy’ego :
σ ij = τ ij + σ mδ ij ,
ϑij
eij = ϑij + γ oδ ij
a dewiator odkształcenia
infinityzymalnego odkształcenia
i odkształcenie średnie γo pozwalają uzyskać tensor
. W wyrażeniach tych użyto delty Kronecker’a δ ij .
W najprostszych modelach “strukturalnych” zakładano, że prawo objętości jest sprężyste, a
więc I(t)=3Ko, gdzie Ko jest modułem ściśliwości objętościowej. Funkcje pełzania odkształceń
postaciowych dla najprostszych modeli reologicznych, których reprezentacje mechaniczne można
utworzyć z tłumików i sprężyn wg Bauera i innych [1978], mają postać:
t
,
2η
ciecz Newtona:
J (t ) =
ciecz Maxwella:
t
J (t ) = 2G (1 + ) ,
Τ
ciało Voighta:
J (t ) = 2G[1 − e T ] ,
ciało Zenera:
J (t ) = 2G1[1 − (1 −
−
t
t
gdzie:
Τ2 − Τ1
)e ] ,
Τ1
T=
T2 =
η
G
T1 =
,
η
G1
4
3
4
3
η[ K 0 + G1 + G2 ]
4
G1 ( K 0 + G2 )
3
,
,
przy czym: G, G1, G2 są to moduły odkształcenia poprzecznego,
η - jest współczynnikiem lepkości postaciowej.
Jak widać, nawet proste modele reologiczne mają postać skomplikowaną. W procesie wyboru
reologicznego równania stanu dla rozpatrywanego materiału do głosu dochodzi kompromis między
dobrym dopasowaniem się do opisywanej rzeczywistości w skali makroskopowej a prostotą modelu.
Dlatego należy zwrócić szczególną uwagę na model ciała sprężystego. Przytłaczająca większość
praktycznie używanych modeli reologicznych posiada opis cechy sprężystości i po odpowiednich
przejściach granicznych, czyli po wyeliminowaniu opisu innych własności, sprowadza je do modelu
Hooke’a - ciała idealnie sprężystego.
Działem mechaniki, gdzie powyższe modele znalazły istotne zastosowania, jest mechanika
gruntów i skał. Opis reologii gruntów i skał czytelnik znajdzie w pracach Kisiela [Kisiela, 1977], [Kisiela
i innych, 1976], [Dembickiego, 1970, 1981b],. W pracach tych pokazano, że oprócz prób
przedstawienia zachowania się gruntu lub skały w postaci modelu reologicznego ciała ciągłego istniały
próby przedstawienia modelu opisującego zachowanie się takiego ośrodka z uwzględnieniem
własności fazy stałej i ciekłej lub gazowej w skali porów. W naszych dalszych rozważaniach zajmiemy
się tego typu związkami fizycznymi dla opisu pełniejszego oddziaływania przepływu filtracyjnego na
odkształcenia ośrodka dwufazowego złożonego ze sprężystego szkieletu i słabo ściśliwej cieczy.
Równania tego modelu zostały podane po raz pierwszy przez Biota, Willisa w 1927 [Biot, Willis,1927] ,
a następnie uszczegółowione przez Biota [Biot, 1935, 1941a, 1941b, 1954], a następnie
wyprowadzone z podstawowych praw termodynamiki procesów nieodwracalnych przy uwzględnieniu
twierdzenia Onsagera w 1956 [De Groot, Mazur, 1965].
IV. 3.1. Model porosprężystości Biota - Darcy’ego.
IV.3.1.1. Założenia wstępne.
Zakładamy wstępnie, że ośrodek składa się z porowatego ciała stałego tworzącego w
przestrzeni ośrodek ciągły. Formułując swoja teorię M.A. Biot przyjął, że spełnia ona następujące
podstawowe założenia:
ośrodek jest dwufazowy. Składa się ze sprężystego porowatego szkieletu oraz słabo
ściśliwej cieczy newtonowskiej wypełniającej pory szkieletu;
ośrodek porowaty jest ciałem jednorodnym, izotropowym;
deformacje szkieletu są małe, więc można pominąć nieliniowe człony tensora
odkształcenia ε ij , więc:
1  ∂ui ∂u j
+
2  ∂x j ∂xi
ε ij = 

naprężenia
σ ij

 ;

(0.2)
w szkielecie ośrodka porowatego odnosić będziemy do całkowitej
powierzchni przekroju VER, mimo że w rzeczywistości należałoby tę powierzchnię
pomniejszyć o pole zajęte przez pory (naprężenie rozmyte). W odniesieniu do cieczy
wprowadzimy pojęcie naprężenia porowego cieczy σ , związanego z ciśnieniem
efektywnym cieczy związkiem:
σ = − fp ,
(0.3)
gdzie f określa porowatość objętościową ośrodka porowatego. Jest ono również
odniesione do całkowitej powierzchni przekroju VER;
porowatość ośrodka f uważa się za wielkość stałą,która mama charakter statystyczny;
do opisu procesów przyjmiemy układ odniesienia Eulera.
IV.3.1.2. Równania ciągłości przepływu ośrodka dwufazowego.
Niech Ω jest prostopadłościenną przestrzenią o nieskończenie małych krawędziach dx, dy,
dz wypełnioną ośrodkiem dwufazowym złożonym: z porowatego szkieletu sprężystego i cieczy
wypełniającej jego pory. Określimy przez S powierzchnię ściany elementu przestrzennego Ω , a
wektor n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni S, skierowanym na zewnątrz
elementu Ω . Przez v
l
s
i v oznaczać będziemy odpowiednio wektory prędkości filtracji cieczy i
szkieletu ośrodka, a vi = v i − vi
r
l
s
cieczy przez ośrodek porowaty.
określa składowe względnej prędkości przepływu filtracyjnego
ρs
Jeżeli
i
ρl
oznaczają kolejno gęstość właściwą szkieletu i
cieczy, to możemy określić wielkość gęstości szkieletu
ρ1
i cieczy
ρ2 ,
odniesione każda z nich do
objętości całkowitej obszaru Ω . Oznaczając przez f porowatość objętościową, możemy obliczyć te
gęstości: ρ1 = (1 − f )ρ s i ρ 2 = fρ l . Przez ρ oznaczać będziemy gęstość ośrodka dwufazowego
ρ = ρ1 + ρ 2 . Wartość ρ oznaczać będzie gęstość
ρ = f A ρ l , gdzie f A oznacza porowatość powierzchniową.
równą, co do wartości sumie:
przepływającej przez ścianę S:
cieczy
Przepływ masy całkowitej (szkieletu i cieczy) przez ścianę o powierzchni S jest równy:
∫ ρ v n dS + ∫ ρ ( v
s
i i
l
i
S
∂ρ
dΩ = 0 .
∂
t
Ω
− vis )ni dS + ∫
S
(0.4)
Stąd korzystając z twierdzenia Gaussa – Ostrogradzkiego równanie ciągłości przepływu
ośrodka dwufazowego złożonego z cieczy i szkieletu ma postać:
Ds ρ
+ ρεɺ = −[ ρ vir ],i ,
Dt
gdzie
(0.5)
Ds
oznacza pochodną masową wyrażoną wzorem:
Dt
Ds ∂
∂
= + vis
,
Dt ∂t
∂xi
a
εɺ
(0.6)
s
oznacza prędkość zmiany dylatacji szkieletu równa co do wartości vi ,i .
Możemy następnie obliczyć przepływ cieczy przez powierzchnię S. Wyrazi się on wzorem:
∫ ρ v n dS + ∫ ρ ( v
s
i i
l
i
S
∂ρ
dΩ = 0 .
∂t
Ω
− vis )ni dS + ∫
S
(0.7)
Stąd dostajemy równanie ciągłości przepływu fazy ciekłej w postaci:
Dr ρ
+ ρ θɺ − εɺ = − ( ρ vil ) ,
,i
Dt
(
)
(0.8)
gdzie
Dr
Dr ∂
∂
jest pochodna masową wyrażoną wzorem
= + ( vil − vis )
.
Dt
Dt ∂t
∂xi
Zakładając, że faza stała jest nieruchoma ( vi = 0 ), a przez pory przesącza się ściśliwa ciecz,
s
równanie ciągłości przepływu ma sens tylko w odniesieniu do fazy ciekłej ośrodka i sprowadza się do
postaci:
div( ρ v ) = −
∂(ρ )
.
∂t
(0.9)
Taką postać równania ciągłości uzyskaliśmy w poprzednim podrozdziale IV.2..4 – wzór
Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. dla modelu hydrodynamicznego przepływu
filtracyjnego. Widać więc, że w przejściu granicznym dostajemy poprzednio wyprowadzone równania
ciągłości przepływu.
IV.3.1.3. Równania ruchu fazy stałej i ciekłej.
Aby uzyskać równania równowagi dla fazy stałej i ciekłej ośrodka dwufazowego, wprowadzimy
dodatkowe definicje i założenia wprowadzone przez Biota [Biot, 1956a, 1956b]:
energię kinetyczną ośrodka dwufazowego możemy wyrazić wzorem:
2K =
∫ (ρ
v v + 2 ρ12vis vil + ρ22 vil vil )d Ω
s s
11 i i
(0.10)
Ω
z warunkami:
ρ11 + ρ12 = ρ1 > 0
gdzie
ρ12
ρ 22 + ρ 21 = ρ 2 > 0
;
;
ρ12 < 0 ,
jest nowym parametrem o wymiarze gęstości określającym dynamiczne
sprzężenie pomiędzy dwoma fazami ośrodka;
funkcja dyssypacji jest formą kwadratową zależną od prędkości względnej przepływu
filtracyjnego, którą można wyrazić w następujący sposób:
2Wd = ∫ bvir vir d Ω ,
(0.11)
Ω
gdzie b jest współczynnikiem oporu filtracyjnego spełniającym warunek b>0;
korzystając z równania (0.10) można określić objętościowe siły wewnętrzne wynikające z
oporu lepkiego przepływającej cieczy przez pory ośrodka. Siły działające na szkielet
ośrodka wynoszą:
M is =
∂Wd
= − ∫ bvir d Ω
∂vis
Ω
(0.12)
M il =
∂Wd
= ∫ bvir d Ω ,
l
∂vi
Ω
(0.13)
i na ciecz
składowe lokalnego wektora pędu szkieletu i cieczy można obliczyć ze wzoru:
Pi s = ∫ ( ρ11vis + ρ12vil ) d Ω ,
Ω
(0.14)
Pi l = ∫ (ρ12vis + ρ 22 vil )d Ω .
(0.15)
Ω
Prawo zachowania pędu fazy stałej ośrodka można wyrazić wzorem:
l
s
∫ σ ij n j dS + ∫ b(vi − vi )d Ω + ∫ ( ρ − ρ ) X i d Ω = ∫
Ω
S
gdzie
Ω
σ ij n j oznacza naprężenia
Ω
D s Pi s
dΩ ,
Dt
(0.16)
w szkielecie działające na powierzchnię S, a przez
X i - siły ciężkości
na jednostkę masy całkowitej.
Równanie (0.7), po wykorzystaniu twierdzenia Gaussa –Ostrogradzkiego, pozwala na
uzyskanie lokalnego równania ruchu fazy stałej ośrodka w postaci:
D s vis
D s vil
σ ij , j + X i ( ρ − ρ ) = −bv + ρ11
+ ρ12
,
Dt
Dt
r
i
(0.17)
Ds
Ds ∂
∂
gdzie
jest pochodną materialną wyrażona wzorem:
= + vis
.
Dt
Dt ∂t
∂xi
Dla fazy ciekłej ośrodka prawo zachowania pędu sprowadza się do postaci:
D l Pi l
dΩ ,
Dt
Ω
s
l
∫ σ ni dS + ∫ b ( vi − vi )d Ω + ∫ ρ X i d Ω = ∫
S
Ω
Ω
(0.18)
nj
Dl
Dl ∂
∂
gdzie
jest pochodną materialną wyrażona wzorem:
= + vil
,
Dt
Dt ∂t
∂xi
σ oznacza naprężenia w cieczy działające na całkowitą powierzchnię S. Naprężenie rozmyte w
cieczy
σ
równa się co do wartości:
σ = − pf
,
(0.19)
przy czym p oznacza ciśnienie efektywne w cieczy.
Równanie (0.18) po wykorzystaniu twierdzenia Gaussa - Ostrogradzkiego pozwala na uzyskanie
równania ruchu fazy ciekłej ośrodka w postaci:
σ ,i + X i ρ = bvir + ρ12
D l vis
Dl vil
+ ρ 22
.
Dt
Dt
(0.20)
Dla przypadku przepływu quasi – statycznego można pominąć człony reprezentujące siły
bezwładności cieczy i szkieletu i równania ruchu dla każdej z faz można zapisać w postaci:
σ ij , j + X i ( ρ − ρ ) = −bvir ,
(0.21)
σ ,i + X i ρ = bvir .
(0.22)
Sumaryczne równanie ruchu dla obydwu faz ma w tym przypadku postać:
σ ij , j +σ ,i + X i ρ = 0 .
(0.23)
W przypadku, gdy szkielet ośrodka wykazuje się jedynie ściśliwością i jest w swojej masie
nieodkształcalny, równanie (0.21) traci sens, gdyż szkielet jest nieruchomy i tensor naprężenia
reprezentuje tylko część kulistą tensora, a równanie (0.22) sprowadza się do postaci równania
przepływu filtracyjnego Darcy’egoBłąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. w modelu
hydrodynamicznym przepływu, które można zapisać w postaci:
vil = − k
∂H
∂xi
.
(0.24)
IV.3.1.4. Związki konstytutywne ciała Biota.
Związki konstytutywne modelu Biota wyprowadzimy z termodynamiki procesów
nieodwracalnych. Problem uzyskania związków konstytutywnych był tematem publikacji wielu
publikacji, w tym miedzy innymi Biota [Biot, 1956a ], Strzeleckiego [Strzelecki, 1979, 2006], Derskiego
[Derski, 1964a,1964c, 1969b, 1975], Szefera [Szefer, 1980a, 1980b], Gaszyńskiego [Gaszyński,
1980], Coussy’ego [Coussy, 1995].
Skorzystajmy z pierwszego prawa termodynamiki, które możemy przedstawić w postaci:
D
Lɺ + Qɺ =
(W + K ) ,
Dt
(0.25)
gdzie: przez L określamy pracę wykonaną przez siły wewnętrzne, siły ciężkości i siły pochodzące od
oporu lepkiego przepływającej cieczy; Q oznacza ciepło generowane podczas przepływu filtracyjnego i
odkształceń szkieletu ośrodka porowatego; W oznacza energię wewnętrzną; K wyrażaenergię
kinetyczną.
Zapiszemy oddzielnie pierwsze prawo termodynamiki procesów nieodwracalnych dla każdej z
faz oddzielnie, przy czym będziemy używać wskaźnika 1 dla fazy stałej ośrodka i 2 dla fazy ciekłej.
Moc sił wewnętrznych szkieletu wyraża się wzorem:
Lɺ1A = ∫ (σ ij + σδ ij )vis n j dS .
(0.26)
S
Moc sił ciężkości szkieletu ośrodka:
Lɺ1P = ∫ ( ρ − ρ )X i vis d Ω .
(0.27)
Ω
Moc sił oporu lepkiego cieczy odniesiona do szkieletu:
Lɺ1D = − ∫ b ( vis − vil )d Ω .
(0.28)
Ω
Ponieważ moc jest wielkością skalarną, więc całkowita moc sił działających na szkielet ośrodka
wynosi:
Lɺ1 = Lɺ1A + Lɺ1P + Lɺ1D .
(0.29)
Prędkość zmian ciepła w szkielecie ośrodka wyraża się wzorem:
Qɺ1 = − ∫ qis,i d Ω ,
Ω
s
gdzie q i są to składowe strumienia ciepła przepływającego przez fazę stałą ośrodka.
Pochodna materialna energii kinetycznej dla fazy stałej ośrodka wynosi:
(0.30)
D s vis
D s vil
D s K1
= ∫ ( ρ11vis
+ ρ12 vil
)d Ω .
Dt
Dt
Dt
Ω
(0.31)
Pochodna materialna energii wewnętrznej dla szkieletu wynosi:
DW
= wɺ 1d Ω ,
Dt Ω∫
gdzie
(0.32)
wɺ 1 oznacza prędkość zmiany lokalnej energii wewnętrznej szkieletu.
Biorąc pod uwagę wzory od (0.26) do (0.32) pierwsze prawo termodynamiki w odniesieniu do
fazy stałej ośrodka można wyrazić wzorem:
s
l

s Dvi
l Dvi 
ɺ
∫  w1 + ρ11vi Dt + ρ12vi Dt d Ω =
Ω
= ∫  X i ( ρ − ρ ) v − b ( v − v ) v + (σ ij + σδ ij ) εɺij + (σ ij , j + σ ,i ) v − q d Ω.
s
i
s
i
l
i
s
i
s
i
.
(0.33)
s
i ,i
Ω
Korzystając z równań (0.17) i (0.20), równanie (0.33) można przedstawić w postaci związku
lokalnego wyrażającego wielkość energii swobodnej odniesionej do fazy stałej ośrodka:
wɺ 1 = σ ,i vis + (σ ij + σδ ij ) εɺij − qis,i .
(0.34)
Dla cieczy moc sił wewnętrznych w cieczy jest równa:
LɺA2 = ∫ σ ( vil − vis )ni dS .
(0.35)
S
Moc sił ciężkości cieczy:
Lɺ2p = ∫ ρ X i vil d Ω ,
(0.36)
Ω
a moc sił oporu lepkiego w cieczy:
LɺD2 = ∫ b ( vis − vil )vil d Ω .
(0.37)
Ω
Prędkość zmian ciepła w cieczy wynosi:
Qɺ = − ∫ qil,i d Ω ,
(0.38)
Ω
l
gdzie qi to składowe wektora strumienia przepływu ciepła:
Pochodna materialna energii kinetycznej cieczy
K 2 wynosi:

D k vis
D k vil
Dk K2
= ∫  ρ12vil
+ ρ 22vil
Dt
Dt
Dt
Ω

d Ω .

(0.39)
Pochodna materialna energii wewnętrznej cieczy w obszarze Ω można wyrazić wzorem:
D kW2
= ∫ wɺ 2 d Ω .
Dt
Ω
(0.40)
Korzystając ze wzorów (0.25) oraz wzorów od (0.35) do (0.40), pierwsze prawo termodynamiki dla
cieczy wyraża się związkiem:
l
s

l Dvi
l Dvi 
ɺ
ρ
ρ
w
+
v
+
v
∫Ω  2 22 i Dt 12 i Dt d Ω =
(
)
= ∫  X i ρ v + b ( v − v ) v + σ ,i ( v − v ) + σ θɺ − εɺ − qil,i d Ω
l
i
s
i
l
i
l
i
l
i
s
i
Ω
.
(0.41)
W powyższej relacji przez θɺ oznaczono prędkość zmiany dylatacji cieczy, a przez εɺ prędkość zmian
dylatacji szkieletu ośrodka.
Biorąc pod uwagę równanie ruchu cieczy (0.20), równanie (0.41) można zapisać w postaci związku
lokalnego:
(
)
wɺ 2 = −σ ,i vis + σ θɺ − εɺ − qil,i .
Można założyć, że prędkość zmiany energii wewnętrznej ośrodka dwufazowego
prędkości zmian energii każdej z faz ośrodka
(0.42)
wɺ jest równa sumie
wɺ 1 i , wɺ 2 , więc:
wɺ = wɺ1 + wɺ 2 .
(0.43)
Oznaczając przez q i składowe prędkości przepływu ciepła ośrodka dwufazowego (szkielet + ciecz),
można stwierdzić, że:
q i = qis + qil .
(0.44)
Korzystając z powyższych związków (0.43) i (0.44) oraz z równań (0.34) i (0.42) możemy stwierdzić,
że zmiana energii wewnętrznej ośrodka dwufazowego wynosi:
wɺ = σ ijεɺij + σθɺ − qi ,i .
(0.45)
Pierwsza zasada termodynamiki określa związek pomiędzy pracą mechaniczną i ciepłem.
Wyraża ona bilans energii i nie wnosi ograniczeń na kierunek procesu zmiany stanu ciała. W
zagadnieniach mechaniki klasycznej ciał idealnie sztywnych możemy mówić o wzajemnej zamianie
energii potencjalnej w kinetyczną zakładając oczywiście, ze w układzie nie ma dyssypacji energii
generowanej na przykład na skutek wzajemnego tarcia cząstek. Gdy w układzie zaczynają
występować zmiany termiczne, mamy do czynienia z procesami nieodwracalnymi. W takim przypadku
musimy odwołać się do drugiego prawa termodynamiki, które nakłada istotne ograniczenia na proces
zmian stanu energetycznego układu.
Celem opisania zjawisk nieodwracalnych wprowadza się w termodynamice funkcję zmiany
stanu zwaną entropią. Aby określić ograniczenie kierunków zmian stanu układu, drugie prawo
termodynamiki wprowadza nierówność stwierdzającą, że zmiana entropii wewnętrznej układu jest
zawsze dodatnia lub równa zeru w przypadku procesu nieodwracalnego, zwana nierównością
Clausiusa – Duhema. W mechanice ośrodków ciągłych wg. Derskiego [Derski, 1975], De Groota,
Mazura [De Groot, Mazur, 1965] wprowadza się funkcję entropii właściwej s mierzonej na jednostkę
objętości Ω , co można wyrazić wzorem:
S = ∫ sd Ω
.
(0.46)
Ω
Zdefiniujmy entropię właściwą w postaci:
ds =
dq
T
,
(0.47)
przy czym:
• T jest temperaturą bezwzględną,
• dq jest przyrostem ciepła na jednostkę objętości.
• różniczka ds jest różniczką zupełną.
Ponieważ w przypadku ogólnym ciało może wymieniać ciepło z otoczeniem, prędkość zmian
entropii jest sumą prędkości zmian entropii Sz wskutek wymiany ciepła z otoczeniem i prędkości zmian
entropii wewnętrznej, co można zapisać równaniem:
dS dS w dS z
=
+
dt
dt
dt
.
(0.48)
Entropia związana z wymianą ciepła z otoczeniem wyraża się związkiem:
dS z 1 dQ
1
=
= − ∫ qi ,i d Ω ,
dt T dt
T
Ω
(0.49)
co sprowadza się do równania lokalnego w postaci:
T
dsz
= −qi ,i
dt
.
(0.50)
Jak widać z zależności (0.50), entropia Sz może mieć wartość dodatnią, ujemną, lub równą
zeru w zależności od kierunku przepływającego ciepła i od jego dywergencji. Inaczej ma się sprawa z
entropią wewnętrzną Sw. Jej zmiana w jednostce objętości układu musi spełniać nierówność
Clausiusa-Duhema, co w zapisie lokalnym można przedstawić w sposób następujący:
dsw
≥0
dt
.
(0.51)
Jeżeli skorzystamy z definicji entropii, wyrażoną wzorem (0.49), prędkość zmiany entropii
możemy zapisać związkiem:
ɺ
ssss zzzz
gdzie
q
Sɺz = − ∫ i ,i d Ω = ∫ sɺz d Ω ,
T
Ω
Ω
(0.52)
jest prędkością zmiany entropii lokalnej, a T określa temperaturę absolutną ośrodka.
Korzystając ze wzoru (0.46) oraz równania (0.52), zmianę energii wewnętrznej ośrodka możemy
wyrazić równaniem:
wɺ = σ ijεɺij + σθɺ + sɺzT .
(0.53)
Aby uzyskać związki konstytutywne, skorzystamy z definicji energii swobodnej Helmholtza
wyrażającej się wzorem:
F = W − ST .
(0.54)
Energia swobodna Helmholtz’a, podobnie jak energia wewnętrzna W, jest funkcją stanu ośrodka.
Jeżeli zmiany stanu ośrodka są nieskończenie małe, zmianę funkcji stanu F można wyrazić przy
pomocy definicji różniczki zupełnej dF :
dF = dW − TdS − SdT .
(0.55)
Proces izotermiczny.
W przypadku procesów izotermicznych mamy:
dT = 0 ,
(0.56)
więc w takim przypadku:
dF = dW − TdS .
(0.57)
Traktując różniczkę zupełną funkcji Helmholtza F jako zmianę tej funkcji stanu w czasie, co możemy
napisać w postaci:
Fɺ = Wɺ − TSɺ = Wɺ − T  Sɺw + Sɺ z 
(0.58)
oraz wprowadzając funkcję lokalną energii swobodnej Helmholtz’a χ spełniającą związek:
F = ∫ χdΩ ,
(0.59)
Ω
równanie (0.58) wyraża się w skali lokalnej następująco:
χɺ = σ ij εɺij + σθɺ − Tsɺw .
(0.60)
Stąd dostajemy:
Tsɺw = σ ijεɺij + σθɺ − χɺ ≥ 0
.
(0.61)
Kładąc:
χ = χ (ε ij , θ ) ,
(0.62)
na podstawie (0.61) dostajemy:

∂χ
 σ ij −
∂ε ij


∂χ  ɺ

 εɺij +  σ −
 θ ≥ 0 (0.63)
∂
θ



dla każdych
εɺij , θɺ . Powyższe równanie jest spełnione, gdy:
σ ij =
∂χ
∂ε ij
(0.64)
i
σ=
∂χ
.
∂θ
(0.65)
Ponieważ funkcja zmiany energii swobodnej Helmholtza jest różniczką zupełną, więc:
dχ =
∂χ
∂χ
εɺij + θɺ .
∂ε ij
∂θ
Rozwijając w szereg Taylor’a funkcję energii swobodnej
znajdujemy:
χ ( ε ij ,θ ) = χ ( 0, 0 ) +
(0.66)
χ w okolicach stanu naturalnego
∂χ ( 0,0 )
∂χ ( 0, 0 )
ε ij +
θ+
∂ε ij
∂θ
(0.67)
2
∂ 2 χ ( 0, 0 )
∂ 2 χ ( 0, 0) ) 
1  ∂ χ ( 0, 0 )
ε ijε kl + 2
ε ijθ +
θθ  + ….
+ 
∂ε ij ∂θ
∂θ∂θ
2  ∂ε ij ∂ε kl

Ponieważ w stanie naturalnym (nieodkształconym) funkcje: χ
(0,0) , σ ij (0,0)
oraz
σ (0,0)
są równe
zeru, więc z dokładnością do małych drugiego rzędu możemy zapisać:
2 χ ( ε ij , θ ) = cijkl ε ij ε kl + β ij ε ijθ + γθθ ,
(0.68)
gdzie
cijkl =
∂ 2 χ ( 0, 0 )
,
∂ε ij ∂ε kl
(0.69)
∂ 2 χ ( 0, 0 )
βij = 2
,
∂ε ij ∂θ
(0.70)
∂ 2 χ ( 0, 0 )
.
∂θ∂θ
(0.71)
γ=
Korzystając ze związków (0.64) i (0.65) uzyskamy związki konstytutywne ciała Biota w przypadku
dowolnej anizotropii ośrodka dwufazowego:
σ ij = cijkl ε kl + β ijθ ,
σ = βij ε ij + γθ .
(0.72)
(0.73)
Mimoże nie korzystaliśmy z prawa symetrii Onagera, uzyskaliśmy związki konstytutywne
spełniające to prawo. W przypadku, gdy na wielkość ciśnienia porowego mają wpływ jedynie
odkształcenia objętościowe cieczy, co powoduje, że β ij = βδ ij ,wtedy uzyskujemy uproszczoną
postać związków konstytutywnych Biota:
σ ij = cijkl ε kl + βδ ijθ
oraz
(0.74)
σ = βε + γθ .
(0.75)
W przypadku szkieletu izotropowego tensor sprężystości cijkl można wyrazić przy pomocy
dwóch stałych sprężystości zdefiniowanych, przez Biota w postaci:
cijkl = Aδ ijδ kl + N (δ ik δ jl + δ il δ jk ) .
(0.76)
Używając oznaczeń wprowadzonych przez Biota, wprowadzimy dwie nowe stałe:
β =Q i γ =R.
(0.77)
Związki konstytutywne po wprowadzonych
zaproponowanej przez Biota [Biot, 1956]:
σ ij = 2 N ε ij + ( Aε + Qθ ) δ ij ,
σ = Qε + Rθ .
oznaczeń
sprowadzają
się
do
postaci
(0.78)
W pracy Biota – Willisa [Biot, Willis, 1957] zinterpretowano stałe występujące w związkach
konstytutywnych (0.78) w sposób następujący:
• N jest modułem odkształcenia postaciowego szkieletu,
• A jest modułem odkształcenia objętościowego szkieletu wypełnionego cieczą,
• Q jest współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego cieczy na naprężenie w
szkielecie lub odwrotnie - współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego szkieletu
na naprężenie w cieczy,
• R jest modułem odkształcenia objętościowego cieczy wypełniającej pory ciała Biota,
• parametr M wyraża się poprzez:
M = A−
Q2
.
R
Stałe M i N Biota odpowiadają w przypadku ośrodka sprężystego pozbawionego por stałym Lamego
λ i µ . Takie oznaczenie stałych Biot przyjął i konsekwentnie stosował w swojej pracy Coussy [
Coussy, 1995]. Na podstawie pracy Biota, Willisa [Biot, Willis,1957 ] można w takim przypadku
wyrazić stałe sprężystości Biota przy pomocy modułu odkształcenia postaciowego G i współczynnika
Poissona υ :
N =G i M =
2υG
.
(1 − 2υ )
(0.79)
Sposób wyznaczania pozostałych stałych modelu Biota czytelnik znajdzie w pracy [Fatta, 1959].
Proces adiabatyczny.
Dla adiabatycznych zmian stanu zmiana entropii wywołana wymianą ciepła z otoczeniem jest równa
zero, więc:
dsz
=0
dt
.
(0.80)
Korzystając ze wzoru (0.80) oraz równania (0.53) zmianę energii wewnętrznej ośrodka dla procesu
adiabatycznego możemy wyrazić równaniem:
wɺ = σ ijεɺij + σθɺ .
(0.81)
Aby uzyskać związki konstytutywne, skorzystamy z definicji energii swobodnej Helmholtza
wyrażającej się wzorem:
F = W − ST .
(0.82)
Energia swobodna Helmholtz’a, podobnie jak energia wewnętrzna W jest funkcją stanu
ośrodka. Jeżeli zmiany stanu ośrodka są nieskończenie małe, zmianę funkcji stanu F można wyrazić
przy pomocy definicji różniczki zupełnej dF :
dF = dW − TdS − SdT .
(0.83)
Ponieważ w przypadku procesu adiabatycznego:
Sɺ z = 0 ,
(0.84)
więc w takim przypadku:
dF = dW − SdT − TSɺw .
(0.85)
Traktując różniczkę zupełną funkcji Helmholtz’a F jako zmianę tej funkcji stanu w czasie, co
możemy napisać w postaci:
Fɺ = Wɺ − STɺ − TSɺw
(0.86)
oraz wprowadzając funkcję lokalną energii swobodnej Helmholtz’a χ spełniającą związek:
F = ∫ χdΩ
(0.87)
Ω
równanie (0.85) wyraża się w skali lokalnej równaniem:
χɺ = σ ijεɺij + σθɺ − sTɺ − Tsɺw .
(0.88)
Z tego wynika, że:
Tsɺw = σ ij εɺij + σθɺ − sTɺ − χɺ ≥ 0 .
(0.89)
Kładąc
χ = χ (ε ij , θ , T ) ,
(0.90)
dostajemy :

∂χ
 σ ij −
∂ε ij


∂χ  ɺ 
∂χ

 εɺij +  σ −
θ +  − s −
∂θ 
∂T



z czego uzyskujemy:
σ ij =
σ=
∂χ
,
∂θ
ɺ
T ≥ 0 ,

(0.91)
∂χ
,
∂ε ij
(0.92)
(0.93)
−s =
∂χ
.
∂T
(0.94)
Temperaturę bezwzględną T możemy przedstawić w formie sumy:
T = T0 + ϑ
,
(0.95)
), a
ϑ
T0 oznacza temperaturę bezwzględną stanu naturalnego ciała na przykład 2830
jest przyrostem temperatury i zazwyczaj
Rozwijając w szereg Taylor’a
znajdujemy:
χ ( ε ij ,θ ,ϑ ) = χ ( 0, 0, T0 ) +
ϑ / T0 << 1 .
funkcję energii swobodnej
0
χ w okolicach stanu naturalnego
∂χ ( 0, 0, T0 )
∂χ ( 0, 0, T0 )
∂χ ( 0, 0, T0 )
ε ij +
θ+
ϑ
∂ε ij
∂θ
∂ϑ
2
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 ) )
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 ) )
1 ∂ χ ( 0, 0, T0 )
+ [
ε ijε kl +
θθ +
ϑϑ +
2
∂ε ij ∂ε kl
∂θ∂θ
∂ϑ∂ϑ
+2
( 10
C
K
przy czym
(0.96)
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 )
∂ 2 χ ( 0,0, T0 )
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 )
ε ijθ + 2
θϑ + 2
ε ijϑ ] + ⋯.
∂ε ij ∂θ
∂θ∂ϑ
∂ε ij ∂ϑ
Ponieważ zakładamy, że w stanie naturalnym (nieodkształconym) funkcje χ
σ ( 0, 0,T0 )
i
( 0, 0,T0 ) , σ ij ( 0, 0, T0 )
s ( 0, 0, T0 ) są równe zeru, więc z dokładnością do małych drugiego rzędu możemy
zapisać:
2 χ ( ε ij , θ ) = cijkl ε ij ε kl + γθθ + a3ϑϑ
(0.97)
+ β ij ε ijθ + a1ij ε ijϑ + a2θϑ ,
gdzie
cijkl
βij =
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 )
=
,
∂ε ij ∂ε kl
(0.98)
∂ 2 χ ( 0, 0, T0 )
,
∂ε ij ∂θ
∂ 2 χ ( 0, 0,T0 )
,
γ=
∂θ∂θ
∂χ ( 0, 0, T0 )
a1ij = 2
∂ε ij ∂ϑ
a3 = 2
a2 = 2
∂χ ( 0, 0, T0 )
∂ϑ∂ϑ
∂χ ( 0, 0, T0 )
∂θ∂ϑ
.
(0.99)
(0.100)
,
(0.101)
,
(0.102)
(0.103)
Przyjęto tutaj założenie, że stan naturalny występuje, gdy ciśnienie w cieczy i naprężenia w
szkielecie są równe zeru. Takie założenie w przypadku cieczy jest w zagadnieniach przepływu cieczy
słabo ściśliwych dopuszczalne, choć zdajemy sobie sprawę z faktu, że właściwsze byłoby przyjęcie
stanu naturalnego odpowiadającego sytuacji, gdy ciśnienie w cieczy równe jest ciśnieniu
atmosferycznemu. Takie właśnie założenie przyjął Coussy w pracy [Coussy, 1995] i dlatego uzyskał
związki fizyczne różniące się co do stałej w odniesieniu do przyjętego założenia.
Korzystając ze związków (0.92) i (0.93), uzyskujemy związki konstytutywne ciała Biota dla
przypadku procesu adiabatycznego i dowolnej anizotropii ośrodka dwufazowego:
∂χ
ad
= cijkl
ε kl + βijadθ + a1ijϑ ,
∂ε ij
∂χ
σ=
= β ijad ε ij + γ adθ + a2ϑ ,
∂θ
∂χ
−s =
= a1ij ε ij + a2θ + a3ϑ .
∂ϑ
σ ij =
(0.104)
(0.105)
(0.106)
Mimoże nie korzystaliśmy z prawa symetrii Onsagera, uzyskaliśmy związki konstytutywne
spełniające to prawo. W przypadku, gdy jedynie odkształcenia objętościowe mają wpływ na wielkość
βij = β ad δ ij oraz α ijad = α ad δ ij i
ciśnienia porowego, co powoduję, że
uzyskujemy uproszczoną
postać związków konstytutywnych Biota:
ad
σ ij = cijkl
ε kl + ( β adθ + a1ϑ )δ ij ,
(0.107)
σ = β ad ε + γ adθ + a2ϑ
(0.108)
i równanie entropii w postaci:
− s = a1ε + a2θ + a3ϑ
.
(0.109)
W przypadku szkieletu izotropowego tensor sprężystości cijkl można, podobnie jak w
przypadku procesu izotermicznego, wyrazić przy pomocy dwóch stałych sprężystości, zdefiniowanymi
przez Biota w postaci:
ad
cijkl
= Aad δ ijδ kl + N ad (δ ik δ jl + δ il δ jk ) .
(0.110)
Używając oznaczeń wprowadzonych przez Biota wprowadzimy dwie stałe:
β ad = Q ad i γ ad = R ad .
(0.111)
Związki konstytutywne po wprowadzonych oznaczeń sprowadzają się do postaci:
σ ij = 2 N ad ε ij + ( Aad ε + Q adθ + a1ϑ ) δ ij ,
σ = Q ad ε + R adθ + a2ϑ.
.
(0.112)
Rozważmy następnie sens fizyczny nowych stałych materiałowych
a1 , a2 , a3 . Dokonajmy zwężenia
pierwszego wzoru ze związków(0.112) i dostajemy:
σ ii = 3σ m = ( 2 N ad + 3 Aad ) ε + 3Q adθ + 3a1ϑ
,
σ
m
stąd możemy obliczyć wartość naprężenia średniego
(0.113)
, które jest równe:
(0.114)
σ m = K ad ε + Q adθ + a1ϑ ,
2 ad
ad
ad
jest modułem odkształcenia objętosciowego szkieletu ośrodka
gdzie K = M + N
3
ad
porowatego, natomiast Q jest współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego cieczy na
naprężenia w szkielecie w przypadku procesu adiabatycznego. Jeżeli założymy, że jedyną przyczyną
powodującą odkształcenia jest temperatura ϑ , to σ m = 0 , możemy napisać wówczas:
ε = 3α Tsϑ , oraz θ = α Tlsϑ (0.115)
i możemy wywnioskować, że:
a1 = − ( 3K ad α Ts + Q ad α Tls ) więc a1 < 0 ,
gdzie
a
α Tls
αTs
(0.116)
jest współczynnikiem liniowej rozszerzalności cieplnej porowatego szkieletu,
współczynnikiem określającym wpływ rozszerzalności cieplnej szkieletu na dylatację cieczy lub
odwrotnie, wpływ rozszerzalności cieplnej cieczy na dylatację szkieletu. Uzyskany powyżej wzór na
współczynnik a1 różni się od analogicznego wzoru uzyskanego przez O. Coussy [Coussy, 1995] .
Według cytowanej pracy współczynnik
a1 zależy jedynie od liniowej rozszerzalności cieplnej szkieletu
ad
i modułu odkształcenia postaciowego K .
W przypadku drugiego ze wzorów(0.112), gdy założymy, że jedyną przyczyną powodującą
odkształcenia jest temperatura ϑ , to σ = 0 i możemy stwierdzić, że:
ε = α Tlsϑ , oraz θ = α Tl ϑ ,
(0.117)
uzyskujemy więc wartość stałej
a2 w postaci:
a2 = − ( Q ad α Tls + 3R ad αTl ) .
(0.118)
„ a 2 ” jest więc również wielkością ujemną i zależy od wprowadzonej już poprzednio stałej
α Tls ,
będącej współczynnikiem określającym wpływ rozszerzalności objętościowej szkieletu na dylatację
αTl , reprezentującej współczynnik rozszerzalności cieplnej cieczy.
Rozważmy obecnie trzecie z równań (0.109), które możemy zapisać w postaci:
cieczy oraz stałej
− s = a1ε + a2θ + a3ϑ .
(0.119)
Wykonajmy operacje różniczkowania po czasie:
sɺ = − a1εɺ − a2θɺ − a3ϑɺ
Jak wiadomo, wielkość
.
(0.120)
T
ds
jest miarą ilości ciepła wytworzonego w jednostce objętości
dt
cV
rozważanego obszaru w procesie zmiany temperatury, gdy odkształcenie ośrodka konsolidującego
jest stałe (prędkość dylatacji szkieletu i cieczy jest równa zeru). Wielkość taka określana jest mianem
. Ponieważ α i a2 są ujemne, więc a3 < 0 a3 < 0 i wynosi:
ciepła właściwego przy stałej objętości
a3 ≅ −
ρ cV
.
T0
(0.121)
Znak równości w przybliżeniu wynika z założenia, ze temperatura
temperaturą
ϑ
jest bardzo mała w porównaniu z
T0 .
Równanie entropii (0.120) można zapisać w postaci:
T0 sɺ = −T0 a1εɺ − T0 a2θɺ + ρ cV ϑɺ (0.122)
Ponieważ
T0 sɺ = − qi ,i
(0.123)
oraz na podstawie prawa przewodnictwa cieplnego Fouriera:
qi = −λTϑ ,i
(0.124)
możemy zapisać:
T0 sɺ = λT ∇ 2ϑ
gdzie
λT jest
,
(0.125)
współczynnikiem przewodnictwa ciepła ośrodka konsolidującego (wspólnie fazy stałej i
ciekłej ośrodka).
Uwzględniając wyrażenia (0.116) i (0.118) oraz równanie (0.122), możemy równanie entropii zapisać
w postaci równania przewodnictwa cieplnego:
1
∇ 2ϑ − P3εɺ − P4θɺ = ϑɺ ,
(0.126)
κ
gdzie
P3 =
( 3K
ad
αTs + Q ad αTls ) T0
ρ cV κ
, P4 =
(Q
ad
αTls + R adαTl ) T0
ρ cV κ
i
κ=
λT
ρ cv
.
(0.127)
Równania termodynamiki procesów nieodwracalnych pozwoliły więc na określenie związków
konstytutywnych dla sprężystego ośrodka porowatego, którego pory wypełnia słabo ściśliwa ciecz dla
przypadku procesu adiabatycznego w postaci:
σ ij = 2 N ad ε ij + ( Aad ε + Q adθ + a1ϑ ) δ ij ,
σ = Q ad ε + R adθ + a2ϑ.
(0.128)
oraz równania przewodnictwa cieplnego w postaci:
1
∇ 2ϑ − P3εɺ − P4θɺ = ϑɺ .
κ
(0.129)
Zagadnieniami równań termomechanikiośrodków porowatych zajmował się również [Kubik , 2003,
2004].
IV.3.1.5. Równania porosprężystości Biota – Darcy’ego.
Wyprowadzone równania ruchu fazy ciekłej i stałej ośrodka, równania ciągłości przepływu oraz związki
konstytutywne pozwalają zapisać zbiorczy układ równań liniowej teorii konsolidacji Biota – Darcy’ego
w przypadku procesu izotermicznego w przemieszczeniach szkieletu i funkcji naprężenia w cieczy σ
w postaci:
D s vis
D s vil
H
σ ,i + ρ11
+ ρ12
,
R
Dt
Dt
D l vis
D l vil
1
H
2
ɺ
ɺ
C∇ σ + X i ρ = σ − ε + ρ12
,
+ ρ 22
R
R
Dt
Dt
N ∇ 2ui + ( M + N ) ε ,i + X i ρ = −
(0.130)
gdzie:
H = Q + R,
C=
k
Q2
,
M
=
A
−
,
f2
R
(0.131)
k jest współczynnikiem filtracji Darcy’ego.
W przypadku, gdy proces traktujemy jako quasi-statyczny, możemy pominąć siły
bezwładności Biota i układ równań teorii konsolidacji Biota – Darcy’ego możemy zapisać w postaci:
N ∇ 2ui + ( M + N ) ε ,i + X i ρ = −
H
σ ,i ,
R
1
H
C∇ σ + X i ρ = σɺ − εɺ.
R
R
(0.132)
2
W niektórych przypadkach zakłada się, że struktura materiału podlega jedynie bardzo małym
odkształceniom lub jest wręcz nieodkształcalna. Wówczas wprowadzając brak odkształceń
postaciowych przy występowaniu cechy ściśliwości ośrodka uzyskujemy dla przypadku zagadnienia
jednowymiarowego równanie konsolidacji Terzaghiego [Terzaghi, 1925, 1948,1954] w postaci:
cvc
gdzie cvc =
∂ 2σ
= σɺ ,
∂x32
(0.133)
k
, przy czym mvc jest współczynnikiem zagęszczenia ośrodka.
ρ gmvc
Model Terzaghiego opisuje proces jednoosiowej konsolidacji spowodowany wypływem cieczy
i wynikającą stąd zmianą porowatości, a nie opisuje konsolidacji wywołanej odkształcalnością
szkieletu i cieczy. Teoria Terzaghiego została w latach trzydziestych XX wieku poszerzona na
przypadki trójosiowej konsolidacji przez Gersevanova [Gersevanov, 1948] i Florina [Florin, 1959].
Naszym zdaniem użyta przez cytowanych autorów metodyka jest dyskusyjna. Proces trójwymiarowej
konsolidacji prawidłowo opisuje model porosprężystości Biota – Darcy’ego, w którym w przypadku
braku wystarczających danych umożliwiających wyznaczenie parametrów modelu można wprowadzić
pewne założenia upraszczające. Nie prowadzą one jednak w żadnym wypadku do równania
konsolidacji Terzaghiegodla przypadku trójwymiarowego, zaproponowanego przezGersewanowa i
Florina.
Szerzej zagadnienie przejścia granicznego z modelu Biota do modelu Terzaghiego i interpretacji
współczynników efektywnych obydwu modeli i ich relacji omówimy w rozdziale VIII. Układ równań
konsolidacji dla przypadku ośrodka, w którym pomijamy odkształcenia postaciowe szkieletu, a
uwzględniamy jedynie ściśliwość fazy stałej i ciekłej ośrodka dwufazowego, sprowadza się dorównań
uzyskanych dla modelu hydrodynamicznego przepływu cieczy omówionego w podrozdz. 4.1.
IV.3.1.6. Równania termo-porosprężystości ośrodka porowatego wypełnionego słabo
ściśliwą cieczą.
Wyprowadzone równania ruchu fazy ciekłej i stałej ośrodka, równania ciągłości przepływu
oraz związki konstytutywne dla przypadku procesu adiabatycznego pozwalają zapisać zbiorczy układ
równań liniowej teorii termo-porospręzystości w przemieszczeniach szkieletu i funkcji naprężenia w
cieczy σ w postaci:
D s vis
D s vil
H ad
σ
+
P
ϑ
+
ρ
+
ρ
,
,i
1 ,i
11
12
R ad
Dt
Dt
D l vis
D l vil
C ad 2
1
H ad
∇ σ + X i ρ = ad σɺ − ad εɺ + P2∇ 2ϑ + ρ12
+ ρ 22
,
f
R
R
Dt
Dt
1
∇ 2ϑ − P3εɺ − P4θɺ = ϑɺ ,
N ad ∇ 2ui + ( M ad + N ad ) ε ,i + X i ρ = −
(0.134)
κ
gdzie:
H ad = Q ad + R ad , a C ad =
( 3K
P =
3
ad
αTs + Q ad αTls ) T0
ρ cV κ
(Q
, P =
4
ad
k ad
,
f2
(0.135)
αTls + R adαTl ) T0
ρ cV κ
P1 = − ( a1 + a2 ) = ( 3K ad αTs + 2Q ad αTls + R ad αTl ) ,
P2 = − a2 = Q ad αTls + R ad αTl ,
2
K ad = Aad + N ad ,
3
s
D
∂
∂
Dl ∂
∂
oraz
= + vis
,
= + vil
.
dt ∂t
∂xi Dt ∂t
∂xi
i
κ=
λT
ρ cv
,
(0.136)
(0.137)
(0.138)
ui
Jak widać, układ równań termo-porosprężystości ośrodka porowatego zawierającego w porach
słabo ściśliwą ciecz składa się z pięciu równań, w tym:
• trzech równań równowagi zapisanych w przemieszczeniach,
• równania przepływu filtracyjnego cieczy przez pory ośrodka z uwzględnieniem pola
temperatury,
• równania przewodnictwa cieplnego.
Jako niewiadome występują w nich 3 składowe stanu przemieszczenia szkieletu
, naprężenie
cieczy σ i temperatura ϑ . Jak widać, ilość równań jest równa ilości niewiadomych. Zadanie z punktu
widzenia mechaniki jest możliwe do rozwiązania.