ciąg arytmetyczny
Transkrypt
ciąg arytmetyczny
C IĄG ARYTMETYCZNY TO CIĄG LICZBOWY, W KTÓRYM POMIĘDZY DOWOLNYM WYRAZEM CIĄGU A WYRAZEM BEZPOŚREDNIO GO POPRZEDZAJĄCYM WYSTĘPUJE STAŁA RÓŻNICA r WZORY: Wyraz ogólny: Suma n początkowych wyrazów ciągu: n – liczba wyrazów ciągu Jeżeli trzy liczby warunek: lub w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi Przykłady zadań Zad.1 Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane: i Aby wyznaczyć ciąg arytmetyczny należy znaleźć jego pierwszy wyraz oraz różnicę albo podać wzór na ogólny wyraz ciągu. I sposób: II sposób: dodaję stronami , stąd , stąd Teraz podstawiam wyliczone r do pierwszego równania . Mamy więc , stąd Odp. Chcąc podać wzór na wyraz ogólny: i ostatecznie stąd Zad.2 Wyznacz ciąg arytmetyczny, dla którego suma czwartego i szóstego wyrazu jest równa 4 oraz suma piątego, siódmego i ósmego wyrazu jest równa 16. Odp. Chcąc podać wzór na wyraz ogólny: i ostatecznie : stąd Zad.3 Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny Aby ciąg był arytmetyczny, musi występować stała różnica r a) a) b) r= Odp. Ciąg nie jest arytmetyczny (ponieważ r nie jest stałe - jest zależne od n) c) b) d) = e) Odp. Ciąg r= jest arytmetyczny (ponieważ r jest stałe – nie jest zależne od n) f) Zad.4 Ciąg arytmetyczny określony jest Zad.5 Oblicz: wzorem . Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów tego Zauważ, że dodawane są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym: ; i ciągu. . Aby wyliczyć liczbę dodawanych wyrazów g) h) i) j) (n): stąd k) Odp. Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu wynosi 465 Odp. Wartość podanej sumy wynosi „-0,5”. l) Zad.6 Między liczby 5 i 11 wstaw trzy Zad.7 Wyznacz te wartości x, dla których liczby: liczby tak, aby otrzymać ciąg w podanej kolejności arytmetyczny. utworzą ciąg arytmetyczny. Zauważ, że: Szukasz więc Korzystam ze związku: wyrazów / Aby znaleźć różnicę r korzystasz ze związku: (wzory powyżej) stąd Odp. Pomiędzy podane liczby należy wstawić w podanej kolejności: 6,5; 8 i 9,5 Odp. Zad.8 Boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Wyznacz długości boków tego trójkąta, wiedząc, że jego obwód jest równy 39. - kolejne boki trójkąta ( to przyprostokątne, zaś to przeciwprostokątna - jest najdłuższa - długości przyprostokątnych - długość przeciwprostokątnej Zał. (bo długość boku nie może być ujemna ani zerowa) Obwód = 39, więc: stąd , Odp. Długości boków trójkąta wynoszą: 10, 13 i 16. Zad.9 Rozwiąż równanie: Zauważ, że lewa strona równania jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym . Suma n początkowych wyrazów tego ciągu / sprzeczne bo Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba