Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151 - Wzory na I kolokwium
1. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie
B, gdzie A, B ∈ F, P (B) > 0, dane jest wzorem
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
2. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy
P (A) =
X
P (A|Bn )P (Bn ).
n∈T
3. Wzór Bayesa: Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0
dla każdego n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A takiego, że P (A) > 0, i dla
każdego n ∈ T mamy
P (A|Bn )P (Bn )
.
P (Bn |A) =
P (A)
4. Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy niezależnymi,
gdy
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
5. Jeżeli F (x) to dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X, to
• P (X < b) = F (b);
• P (X ¬ b) = lim F (x);
x→b+
• P (X ­ b) = 1 − F (b);
• P (X > b) = 1 − lim F (x);
x→b+
• P (a ¬ X < b) = F (b) − F (a);
• P (a < X < b) = F (b) − lim F (x);
x→a+
• P (a < X ¬ b) = lim F (x) − lim F (x);
x→b+
x→a+
• P (a ¬ X ¬ b) = lim F (x) − F (a).
x→b+
6. F (x) jest dystrybuantą ⇔ jest lewostronnie ciągła, niemalejąca na R,
lim F (x) = 0 oraz x→∞
lim F (x) = 1.
x→−∞