λ λ λ α λ ω0m

WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 1
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Zadania domowe 1/2011
Zadanie 1
Jakiej dáugoĞci fale Ğwietlne są caákowicie odbijane od metalowego lustra? ZaáoĪyü, Īe atomy uáoĪone
są w prostą sieü kubiczną o staáej a = 0.4 nm i kaĪdy atom dostarcza jeden swobodny elektron, İ = 10.
Zadanie 2
Wspóáczynnik absorpcji Ğwiatáa w gazie w pewnym zakresie dáugoĞci fali wokóá linii absorpcyjnej dla
O0
dany jest wzorem:
Beera, I (O , z )
D (O )
( B / 2) 2
. Obliczyü na podstawie prawa Lamberta(O O0 ) 2 ( B / 2) 2
I 0 ˜ e D ( O )˜ z , jak zaleĪy szerokoĞü poáówkowa obserwowanej linii absorpcyjnej od
drogi optycznej z pokonanej przez Ğwiatáo w tym gazie. Dla jakiej dáugoĞci drogi optycznej
obserwowana szerokoĞü linii absorpcyjnej jest 10-krotnie wiĊksza od szerokoĞci linii dla z o 0 ?
Zadanie 3
Oszacowaü czas miĊdzy zderzeniami atomów helu w temperaturze T = 300 K i T = 5 K pod ciĞnieniem
normalnym i dla T = 300 K pod ciĞnieniem 10 kbar. ZnaleĨü odpowiadające tym warunkom
poszerzenie zderzeniowe linii.
Zadanie 4
RozwaĪ model, w którym atomy gazu wypeániające zbiornik zastĊpujemy jednowymiarowymi
oscylatorami harmonicznymi.
a) znajdĨ w przybliĪeniu dipolowym szerokoĞü naturalną linii przejĞcia ze stanu podstawowego
do pierwszego stanu wzbudzonego zakáadając, Īe czĊstoĞü wáasna oscylatora wynosi
Z0
1014 Hz , masa atomu-oscylatora wynosi m 10 27 kg , a funkcje falowe tych stanów
§
Z0m ·
są równe ¨ a
©
f0
:
! ¸¹
aS 1/ 4 exp a 2 x 2 / 2 oraz f1
2aS 1/ 4 ˜ ax ˜ exp a 2 x 2 / 2
b) Jaka powinna byü temperatura ukáadu, aby szerokoĞü dopplerowska tej linii byáa 100 razy
wiĊksza niĪ szerokoĞü naturalna
c) W jakiej temperaturze 10% oscylatorów bĊdzie siĊ znajdowaü w stanie wzbudzonym.
Zadanie 5
ZnaleĨü zaleĪnoĞü miĊdzy jednostkami energii J, eV, cm-1, GHz.
Zadanie 6
Obserwator patrzy na izotropowo Ğwiecące Ĩródáo Ğwiatáa monochromatycznego o mocy P =
10 mW i dáugoĞci fali O = 532 nm z odlegáoĞci 100 m. Oblicz liczbĊ fotonów wpadających do oka
obserwatora w ciągu 1 s, zakáadając, Īe Ĩrenica oka ma ĞrednicĊ 4 mm.
Ile razy wiĊksza byáaby liczba fotonów wpadających do oka obserwatora, gdyby Ĩródáem
Ğwiatáa byá laser o tej samej mocy i rozbieĪnoĞci wiązki równej 1 mrad?
Zadanie 7
RóĪnica energii pomiĊdzy stanem podstawowym i wzbudzonym nieruchomego atomu o masie M jest
równa E0. Przy emisji fotonu związanej z przejĞciem pomiĊdzy stanem wzbudzonym a podstawowym
w tym atomie speániona musi byü, oprócz zasady zachowania energii, zasada zachowania pĊdu. Wobec
tego pĊd emitowanego fotonu musi zostaü przejĊty przez atom, a energia fotonu Ef bĊdzie nieznacznie
róĪniü siĊ od E0. ZnajdĨ energiĊ tego fotonu.
Zadanie 8
Jaką temperaturĊ ma czarna kula o Ğrednicy 10 cm, która emituje caákowitą energiĊ termiczną 100W ?
1. Wspóáczynnik absorpcji materiaáu zaleĪy od dáugoĞci fali Ğwiatáa w nastĊpujący sposób:
2
§
§ O O0 · ·
D (O ) D 0 exp ¨ ln 2 ¨ 2
¸ ¸
¨
© 'O ¹ ¸¹
©
gdzie D0 = 1 cm-1, a 'O ma sens peánej szerokoĞci poáówkowej funkcji Gaussa. Jaka jest
szerokoĞü poáówkowa linii absorpcyjnej zarejestrowanej dla páytki wykonanej z tego
materiaáu o gruboĞciach: a) 0.01 cm, b) 1 cm, c) 10 cm?
2. W najprostszym modelu jonosfery moĪemy przyjąü, Īe skáada siĊ ona ze swobodnych
áadunków o koncentracji N = 3x105 cm-3. Wyznacz graniczną dáugoĞü fal radiowych,
które nie opuszczają jonosfery. Oblicz takĪe wspóáczynnik odbicia fal radiowych o
czĊstotliwoĞci Q = 100 MHz.
3. Korzystając z wyraĪenia na rozkáad kątowy natĊĪenia spolaryzowanego Ğwiatáa
rozproszonego na maáych cząstkach znajdĨ rozkáad kątowy dla Ğwiatáa
niespolaryzowanego.
4. Atom sodu (masa atomowa M = 23 u) jest cháodzony wiązką Ğwiatáa laserowego o
dáugoĞci fali O = 589 nm skierowaną przeciwnie do kierunku prĊdkoĞci atomu. Oblicz:
a. O ile zmieni siĊ prĊdkoĞü atomu po zaabsorbowaniu jednego fotonu?
b. Ile fotonów musi zostaü pocháoniĊtych, by prĊdkoĞü atomu zmniejszyáa siĊ do
prĊdkoĞci bliskiej 0K? Przyjmij, Īe początkowa prĊdkoĞü atomu odpowiada
Ğredniej prĊdkoĞci atomów przy temperaturze T = 300 K.
c. Jaki jest minimalny czas cháodzenia tego atomu do temperatury bliskiej 0K, jeĞli
czas Īycia w stanie wzbudzonym wynosi W = 16 ns?
d. Jakiego przyspieszenia doznaje atom w powyĪszej sytuacji?
e. Jaką drogĊ przebĊdzie atom podczas procesu cháodzenia?
f. Jakie musi byü początkowe odstrojenie czĊstoĞci Ğwiatáa od centralnej czĊstoĞci
przejĞcia?
g. Z jaką szybkoĞcią musi byü przestrajana czĊstoĞü Ğwiatáa podczas cháodzenia w
powyĪszych warunkach?
ͼ
ͼ
ͼ
staáa Plancka h = 6.63·10-34 J·s
staáa Boltzmanna k = 1.38·10-23 J/K
jednostka masy atomowej u = 1.66·10-27 kg
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 2
Zadanie 1
Gaz atomów sodu znajduje siĊ w równowadze termicznej w temperaturze pokojowej. Oszacowaü
poszerzenie Īóátej linii emisyjnej D wywoáane zjawiskiem Dopplera. Porównaü wynik z naturalną
szerokoĞcią tej linii wiedząc, Īe czas Īycia atomu sodu w stanie wzbudzonym wynosi
W
1.6 ˜10 8 s . Oszacowaü Ğrednią prĊdkoĞü atomów sodu w takich warunkach.
Zadanie 2
Ukáad poziomów energetycznych jednoelektronowego stanu n = 2 w atomie litu róĪni siĊ istotnie od
obserwowanego w atomie wodoru. WystĊpujące ekranowanie jądra przez zamkniĊtą powáokĊ n = 1
powoduje zaburzenie potencjaáu kulombowskiego i zdjĊcie przypadkowej degeneracji stanów o danym
n ale róĪnych l. PoniewaĪ energia potencjalna elektronu w pobliĪu jądra jest równa – Z e2/ (4 SH0 r) ,
zaĞ w duĪej odlegáoĞci – e2/ (4 SH0 r), wiĊc prostym przybliĪeniem takiego potencjaáu jest funkcja
schodkowa
Ep( r ) =
– Z e2/ (4 SH0 r), dla r < b
– e2/ (4 SH0 r), dla r > b
gdzie b jest parametrem, który naleĪy dobraü na podstawie danych doĞwiadczalnych. ZnaleĨü
zaburzenie energii stanów n = 2 atomu wodoropodobego o Z = 3 wywoáane powyĪszą modyfikacją
energii kulombowskiej.
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 3
Zadanie 1
a) ZnajdĨ zaleĪnoĞü poáoĪenia maksimum gĊstoĞci promieniowania Ğwiatáa
doskonale czarnego od temperatury
b) ZnajdĨ caákowitą energiĊ wypromieniowaną w jednostce czasu przez ciaáo
doskonale czarne o temperaturze T.
c) ZnajdĨ czĊstoĞü fali elektromagnetycznej, dla której gĊstoĞci promieniowania ciaá
o temperaturach T1 i T2 (T1<T2) są takie same.
Zadanie 2
Porównaj prawdopodobieĔstwo przejĞcia na jednostkĊ czasu i natĊĪenia linii przejĞü
elektrycznych dipolowych 3p-1s i 2p-1s atomu wodoru obserwowanych w Ğwietle
niespolaryzowanym.
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 4
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 5
Zadanie 1
Rozwiązując równanie generacji drugiej harmonicznej dla fali páaskiej
iZ d
dE 2 Z ( z )
0 eff EZ2 ( z ) ei'kz ,
dz
n2Z c
gdzie deff to efektywny wspóáczynnik nieliniowoĞci, a 'k k2Z 2kZ znajdĨ zaleĪnoĞü
natĊĪenia drugiej harmonicznej od gruboĞci oĞrodka,
a) jeĞli dopasowanie fazowe jest idealne ( 'k 0 )
b) jeĞli 'k z 0 . Dla jakiej gruboĞci oĞrodka natĊĪenie drugiej harmonicznej
osiąga maksimum, jeĞli O0 = 800 nm, 'n n2Z nZ 0,01 ?
ZaáóĪ, Īe wydajnoĞü konwersji jest maáa i natĊĪenie pola elektrycznego fali
fundamentalnej EZ nie zmienia siĊ w wyniku generacji drugiej harmonicznej.
Zadanie 1
a) ZnajdĨ klasyczny okres rotacji T cząsteczki KLi w stanie elektronowym B13 dla
stanu rotacyjnego o l = 1, wiedząc, Īe staáa rotacyjna wynosi Be = 0.2057 cm-1, a masa
zredukowana P = 9,9 · 10-27 kg
b) ZnajdĨ klasyczną staáą siáową k wiązania w tej cząsteczce, wiedząc, Īe czĊstoĞü
oscylacji wynosi 135,8 cm-1.
Zadanie 2
ZnajdĨ ksztaát i szerokoĞü widma gaussowskiego impulsu Ğwiatáa, w którym
zaleĪnoĞü natĊĪenia pola elektrycznego od czasu dana jest wzorem:
E (t )
E0 eiZ 0 t e
2
t2
W
Zadanie 2
ZnajdĨ energie promieniowania wystĊpującego w widmie rotacyjnym cząsteczki
heterojądrowej o staáej rotacyjnej B.
Zadanie 3
ZnajdĨ zaleĪnoĞü obsadzeĔ poziomów rotacyjnych cząsteczki HCl od temperatury.
Dla jakiego l przypada maksimum rozkáadu w temperaturze pokojowej? Staáa
rotacyjna HCl jest równa B = 10,4 cm-1.
Zadanie 4
Naszkicuj schemat widma oscylacyjno-rotacyjnego cząsteczki HCl, uwzglĊdniając
tylko przejĞcia ze stanu o Q = 0 do Q = 1.
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 6
Zadanie 1
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 7
Zadanie 1
&
ZnaleĨü sieü odwrotną do sieci rozpiĊtej na wektorach a1
&
(2,0,0) i a 2
(1,2,0) .
Zadanie 2
ZnaleĨü komórki Wignera-Seitza dla páaskiej sieci prostokątnej i szeĞciokątnej.
Wyznaczyü ksztaát pierwszych stref Brillouina.
Zadanie 3
ZnaleĨü sieü odwrotną do sieci regularnej powierzchniowo-centrowanej (fcc). ZnaleĨü
dla obu rodzajów sieci objĊtoĞü komórek prostych, jeĞli staáa sieci wynosi a.
Zadanie 4
& & &
&
Jaki warunek powinien speániaü wektor 'k k 'k , gdzie k ' to wektor falowy fali
&
ugiĊtej a k - wektor falowy fali padającej, aby czynnik związany z symetrią
translacyjną osiągaá maksymalną wartoĞü?
Zadanie 5
Dla krysztaáu Li i krysztaáu TlBr (sieci typu BCC – regularna przestrzennie
centrowana) znaleĨü moĪliwe wartoĞci geometrycznego czynnika strukturalnego. Jaki
warunek muszą speániaü wskaĨniki Millera páaszczyzny sieciowej, aby nie byá
obserwowany refleks od danej páaszczyzny?
WstĊp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
seria 8
Zadanie 1
Dla póáprzewodnika typu n caákowicie zdegenerowanego znaleĨü zaleĪnoĞü
poáoĪenia poziomu Fermiego od koncentracji elektronów dla niskich temperatur.
Zadanie 2
WzdáuĪ prostopadáoĞciennej próbki materiaáu póáprzewodnikowego páynie
prąd o natĊĪeniu I = 10 mA. Próbka ma na swoich koĔcach dwa kontakty elektryczne
(1-2) sáuĪące do wprowadzania prądu oraz kontakty punktowe 3, 4 i 5 sáuĪące do
pomiaru napiĊü. NapiĊcie U zmierzone na kontaktach 3-4 wynosi 1,3 V. Po
umieszczeniu próbki w polu magnetycznym o indukcji B = 0,3 T skierowanym
prostopadle do powierzchni próbki, na kontaktach 3-5 zmierzono napiĊcie UH = 0,3V.
Znając odlegáoĞü L = 2 mm miĊdzy kontaktami 3 i 4 oraz szerokoĞü próbki b = 2,2
mm i jej gruboĞü d = 1,2 mm, oblicz przewodnictwo V materiaáu
póáprzewodnikowego oraz koncentracjĊ n i ruchliwoĞü P noĞników prądu w tym
póáprzewodniku. W jaki sposób moĪna wyznaczyü w powyĪszym ukáadzie znak
noĞników?
Zadanie 3
Dla parabolicznego pasma wyznaczyü gĊstoĞü stanów dla zakresu energii
(E, E+'E) w krysztale 3, 2 i 1-wymiarowym.