f - AJD
Transkrypt
f - AJD
ELEMENTY ANALIZY MATEMATYCZNEJ Dla studentów kierunku In»ynieria Bezpiecze«stwa Materiaªy pomocnicze do wykªadu Podstawowe wiadomo±ci o funkcjach. Ci¡gi liczbowe. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji. Wªasno±ci funkcji. X y ∈ Y, Je±li dane s¡ dwa niepuste zbiory rz¡dkowany jest jeden element f , nazywane f : X −→ Y. zwykle liter¡ nast¦puj¡co: Zbiór X nazywany jest jest i Y oraz ka»demu elementowi x∈X przypo- to ka»de takie przyporz¡dkowanie, oznaczane odwzorowaniem zbioru dziedzin¡ odwzorowania X w zbiór f, a zbiór Y Y i zapisywane przeciwdziedzin¡ tego odwzorowania. Elementy dziedziny nazywane s¡ Przez towi x f (x) argumentami. oznaczany jest element zbioru i nazywany Odwzorowanie Y przyporz¡dkowany (przez warto±ci¡ odwzorowania f : X −→ Y f w punkcie f) argumen- x. okre±lone wzorem f (x) = c, gdzie c∈Y jest ustalonym elementem, nazywane jest Odwzorowanie f : X −→ X odwzorowaniem staªym. okre±lone wzorem f (x) = x, nazywane jest czane odwzorowaniem to»samo±ciowym lub identyczno±ci¡ na X i ozna- IdX . f : X −→ Y i g : U −→ V nazywane s¡ równymi je±li zachodz¡ X = U i Y = V oraz dla wszystkich argumentów speªniona f (x) = g(x). Odwzorowania równo±ci mi¦dzy zbiorami jest równo±¢ Zbiór {y ∈ Y : _ y = f (x)} x∈X nazywany jest zbiorem warto±ci odwzorowania f : X −→ Y i oznaczany f (X). 2 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa atwo jest zauwa»y¢, »e IdX (X) = X oraz f (X) = {c} dla odwzorowania staªego f X okre±lonego na zbiorze Je±li speªniona jest równo±¢ f (X) = Y, staª¡ to odwzorowanie c. f : X −→ Y nazywane jest odwzorowaniem na lub surjekcj¡. Identyczno±¢ okre±lona na danym zbiorze jest surjekcj¡. f : X −→ Y jest danym odwzorowaniem i A ⊂ X, A 6= X odwzorowanie g : A −→ Y okre±lone wzorem Je±li to jest danym zbiorem, g(x) = f (x) nazywane jest czane obci¦ciem (lub restrykcj¡) odwzorowania f do zbioru A i ozna- f|A . Funkcje f i f|A nie s¡ równe. Gdy przeciwdziedzina jest zbiorem liczb, odwzorowanie nazywane jest ±li dziedzina jest zbiorem liczb, to cz¦sto oznacza si¦ j¡ liter¡ D. funkcj¡. Je- Funkcja o dziedzinie rzeczywist¡ zmiennej rzeczy- i przeciwdziedzinie zªo»onej z liczb nazywana jest wistej. Je±li dla takiej funkcji podany jest jedynie wzór jakim jest okre±lona, to jej dziedzin¡ nazywany jest wówczas zbiór wszystkich liczb, dla których ten wzór ma sens. Taka dziedzina nazywana jest dziedzin¡ naturaln¡. Za przeciwdziedzin¦ przyjmuje si¦ wtedy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a zbiór warto±ci oznacza si¦ liter¡ lub (dla funkcji oznaczonej f ) Wf lub f (D). Funkcja f : IR −→ W IR nazywana jest rzeczywisto-rzeczywist¡. Wykresem funkcji f : D −→ IR, gdzie {(x, y) ∈ IR2 : D ⊂ IR nazywany jest zbiór x ∈ D, y = f (x)}. Ekstremum lokalnym funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej nazywane jest minimum lokalne lub maksimum lokalne funkcji. Mówi si¦, »e w punkcie równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek ^ x∈(x0 −r,x0 +r) f (x) f (x0 ). minimum lokalne (x0 − r, x0 + r) zawiera 3 Katarzyna Doma«ska x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma minimum lokalne f (x0 ), je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª (x0 − r, x0 + r) Mówi si¦, »e w punkcie wªa±ciwe równe zawiera si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek ^ f (x) > f (x0 ). x∈(x0 −r,x0 +r)\{x0 } Mówi si¦, »e w punkcie równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª maksimum lokalne (x0 − r, x0 + r) zawiera si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek ^ f (x) ¬ f (x0 ). x∈(x0 −r,x0 +r) Mówi si¦, »e w punkcie wªa±ciwe równe x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma maksimum lokalne f (x0 ), je±li istnieje taka liczba dodatnia r, »e przedziaª (x0 − r, x0 + r) zawiera si¦ w dziedzinie funkcji oraz speªniony jest warunek ^ f (x) < f (x0 ). x∈(x0 −r,x0 +r)\{x0 } Ekstremum globalnym funkcji nazywane jest minimum globalne lub maksimum globalne funkcji. Mówi si¦, »e w punkcie równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma minimum globalne je±li speªniony jest warunek ^ f (x) f (x0 ). x∈D Mówi si¦, »e w punkcie wªa±ciwe równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma minimum globalne je±li speªniony jest warunek ^ f (x) > f (x0 ). x∈D\{x0 } Mówi si¦, »e w punkcie równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma maksimum globalne je±li speªniony jest warunek ^ f (x) ¬ f (x0 ). x∈D Mówi si¦, »e w punkcie wªa±ciwe równe f (x0 ), x0 nale»¡cym do dziedziny funkcja ma maksimum globalne je±li speªniony jest warunek ^ f (x) < f (x0 ). x∈D\{x0 } Funkcja f : D −→ IR, gdzie _ D ⊂ IR ^ T ∈IR x∈D nazywana jest okresow¡ je±li (x + T ∈ D ∧ f (x + T ) = f (x)). 4 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Liczba T nazywana jest okresem funkcji f. Je±li istnieje najmniejszy okres funkcji podstawowym. f, to nazywany jest okresem Funkcja f : D −→ IR, D ⊂ IR gdzie ^ parzyst¡ je±li nazywana jest (−x ∈ D ∧ f (−x) = f (x)). x∈D Funkcja f : D −→ IR, gdzie ^ D ⊂ IR nieparzyst¡ je±li nazywana jest (−x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x)). x∈D Wykres funkcji okresowej po przesuni¦ciu o wektor cji parzystej jest symetryczny wzgl¦dem osi OY, [T, 0] nie zmieni si¦. Wykres funk- a funkcji nieparzystej wzgl¦dem po- cz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Funkcja f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR ^ nazywana jest rosn¡c¡ w zbiorze A⊂D je±li (x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )). x1 ,x2 ∈A Funkcja f : D −→ D ⊂ IR, gdzie IR nazywana jest malej¡c¡ w zbiorze A⊂D je±li ^ (x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )). x1 ,x2 ∈A Funkcja f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR nazywana jest niemalej¡c¡ w zbiorze A⊂D je±li ^ (x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 )). x1 ,x2 ∈A Funkcja f : D −→ IR, gdzie D⊂ IR nazywana jest nierosn¡c¡ w zbiorze A⊂D je±li ^ (x1 < x2 =⇒ f (x1 ) f (x2 )). x1 ,x2 ∈A monotonicznymi, przy czym rosn¡ce, malej¡ce nazywa si¦ ±ci±le monotonicznymi, a niemalej¡ce, nierosn¡ce sªabo monotonicznymi. Funkcje rosn¡ce, malej¡ce, niemalej¡ce, nierosn¡ce nazywane s¡ 5 Katarzyna Doma«ska Je±li Df , Dg , Wf , Wg ⊂ IR i Wg ⊂ Df , to zªo»eniem funkcji f : Df −→ IR i g : Dg −→ IR nazywana jest funkcja f ◦ g : Dg −→ IR o zbiorze warto±ci równym Wf , okre±lona nast¦puj¡cym wzorem: (f ◦ g)(x) = f (g(x)). f Funkcj¦ nazywa si¦ funkcj¡ f : D −→ Funkcja A⊂D zewn¦trzn¡, a funkcj¦ IR, gdzie D⊂ IR nazywana jest g wewn¦trzn¡. ró»nowarto±ciow¡ w zbiorze je±li ^ (x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )). x1 ,x2 ∈A Funkcja ró»nowarto±ciowa w dziedzinie nazywana jest krótko Je±li funkcja jest ró»nowarto±ciowa na zbiorze lub pod zbiorem A ró»nowarto±ciow¡. A, to fragment jej wykresu le»¡cy nad przez ka»d¡ prost¡ poziom¡ przecinany jest co najwy»ej w jednym punkcie. Je±li f : D −→ IR jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, to funkcja f −1 : Wf −→ D okre±lona nast¦puj¡co: f −1 (y) = x ⇐⇒ y = f (x), ^ y∈Wf gdzie x ∈ D, nazywana jest funkcj¡ odwrotn¡ do Wykres funkcji odwrotnej do stej f f. jest symetryczny do wykresu funkcji f wzgl¦dem pro- y = x. Monotoniczno±¢ funkcji poci¡ga jej ró»nowarto±ciowo±¢, a parzysto±¢ brak ró»nowarto±ciowo±ci. Miejscem zerowym funkcji nazywany jest ka»dy punkt w którym x0 (x0 , 0) le»¡cy na osi OX, jest rozwi¡zaniem równania f (x) = 0. funkcje elementarne, podstawowe funkcje elementarne. Funkcjami elementarnymi s¡ W±ród funkcji rzeczywisto-rzeczywistych wyró»nia si¦ tzw. a w±ród nich tzw. funkcje pot¦gowe, wielomianowe, wymierne, wykªadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne i wszystkie, które z podstawowych funkcji elementarnych daj¡ si¦ otrzyma¢ za pomoc¡ takich operacji jak suma, iloczyn, iloraz, zaw¦»anie dziedziny, odwracanie i skªadanie funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych nale»¡ funkcja staªa, to»samo±ciowa, pot¦gowa, wykªadnicza oraz funkcje sinus i cosinus. Wymienione wcze±niej operacje pozwalaj¡ z tych funkcji otrzyma¢ ka»d¡ z pozostaªych wymienionych tu jako elementarne. Np. wielomian jest sum¡ pewnych funkcji 6 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa pot¦gowych pomno»onych przez staªe oraz funkcji staªej, funkcja wymierna ilorazem wielomianów, funkcj¦ logarytmiczn¡ otrzymuje si¦ jako odwrotn¡ do wykªadniczej, tan- ges jako iloraz sinus przez cosinus, a arcsin jako odwrotn¡ do odpowiedniego zaw¦»enia funkcji sinus. Precyzyjnie i elementarnie nale»y zdeniowa¢ funkcje pot¦gow¡, wykªadnicz¡, funkcje sinus i cosinus (funkcje te to du»o wi¦cej ni» sinus czy cosinus k¡ta w trójk¡cie prostok¡tnym). Do tego celu u»ywa si¦ m.in. denicji pot¦gi o wykªadniku niewymiernym i innych poj¦¢ zaawansowanej analizy matematycznej lub teorii równa« funkcyjnych. W poni»szym krótkim przegl¡dzie funkcji elementarnych tre±ci te podane zostan¡ jedynie informacyjnie, a do okre±lenia funkcji trygonometrycznych u»yta b¦dzie denicja warto±ci tych funkcji dla k¡ta skierowanego. Funkcje wielomianowe Funkcj¡ wielomianow¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 , w którym n ∈ IN oraz ai ∈ IR dla i ∈ {0, 1, ..., n} s¡ danymi liczbami (wyra»enie alge- braiczne zapisane po znaku równo±ci jest wielomianem stopnia n). Dziedzin¡ tej funkcji jest zbiór IR, a zbiór warto±ci zmienia si¦ wraz ze zmian¡ wielomianu, zale»y zarówno od jego wspóªczynników jak i stopnia. Te parametry maj¡ tak»e wpªyw na ksztaªt wykresu tej funkcji. Szczególnymi funkcjami wielomianowymi s¡ te okre±lone przez jednomian ustalonego stopnia, czyli za pomoc¡ wzoru f (x) = cxn , gdzie n∈ IN. Dla nich zbiorem warto±ci jest IR gdy n jest liczb¡ nieparzyst¡ i c 6= 0; [0, +∞), gdy n jest parzyste i c > 0; przedziaª (−∞, 0], gdy n jest parzyste i c 6= 0, to dla n nieparzystego funkcje te s¡ nieparzyste oraz monotoniczne samym ró»nowarto±ciowe, dla n parzystego funkcje te s¡ parzyste, a wszystkie przedziaª c < 0. i tym Je±li maj¡ jedno miejsce zerowe znajduj¡ce si¦ w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Ksztaªt wykresu dla jednomianu n parzystych f (x) = x3 . zbli»ony jest do paraboli, a dla n nieparzystych do wykresu Szczególn¡ rol¦ odgrywaj¡ tak»e funkcja okre±lona wielomianem stopnia pierwszego nazywana liniow¡ -jej zbiór warto±ci to IR- i okre±lona wielomianem stopnia drugiego, czyli trójmianem kwadratowym zwana kwadratow¡. Zbiór warto±ci funkcji kwadratowej to przedziaª lub (−∞, q], [q, +∞), gdy wspóªczynnik przy zmiennej w drugiej pot¦dze jest dodatni gdy wspóªczynnik ten jest ujemny, gdzie q jest drug¡ wspóªrz¦dn¡ wierz- choªka paroboli. Funkcja liniowa jest monotoniczna i tym samym ró»nowarto±ciowa. Tylko te z nich, które redukuj¡ si¦ do jednomianów s¡ parzyste lub nieparzyste. 7 Katarzyna Doma«ska Funkcje wymierne Funkcj¡ wymiern¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem f (x) = gdzie W, P s¡ wielomianami, P W (x) , P (x) ma stopie« co najmniej pierwszy i nie jest wielomianem zerowym (wielomian zerowy stopnia n to wielomian, w którym wszystkie wspóªczynniki s¡ zerami, wielomian stopnia zero to funkcja staªa). Dziedzin¡ tej funkcji jest IR P. \ M, gdzie M jest zbiorem miejsc zerowych wielomianu Sporz¡dzenie wykresu takiej funkcji wymaga zbadania jej przebiegu zmienno±ci. Szczególnymi funkcjami wymiernymi s¡ ilorazy wielomianów co najwy»ej pierwszego stopnia przez wielomian pierwszego stopnia, tzn. funkcje okre±lane wzorem f (x) = a, b, c ∈ ax + b , x+c funkcjami homogracznymi, a w±ród nich wyró»nia si¦ tzw. proporcjonalno±ci odwrotne czyli funkcje gdzie IR i a, b nie s¡ jednocze±nie równe zero, zwane okre±lone wzorem f (x) = gdzie a , x a 6= 0. Dziedzin¡ funkcji homogracznej jest zbiór IR \ {−c} (dla proporcjonalno±ci odwrotnej IR \ {0}), a wykresem hiperbola. Funkcje te s¡ monotoniczne, wi¦c ró»nowarto- ±ciowe, a zatem odwracalne. Funkcja odwrotna do funkcji homogracznej jest funkcj¡ homograczn¡. Funkcje pot¦gowe Funkcj¡ pot¦gow¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem f (x) = axp , gdzie a, p ∈ IR \ {0} s¡ ustalonymi liczbami. Szczególnymi funkcjami pot¦gowymi s¡ omówione wy»ej jednomiany, a tak»e proporcjonalno±¢ odwrotna. Dziedzina funkcji pot¦gowej dyktowana jest przez wykªadnik wa ju» tylko o tych p, które nie s¡ liczbami naturalnymi. p. W tym miejscu mo- 8 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Je±li wykªadnik p jest liczb¡ caªkowit¡ ujemn¡, to funkcja pot¦gowa daje si¦ zapisa¢ w postaci f (x) = gdzie a ∈ IR \ {0}, n ∈ IN, a , xn tzn. jest ona wtedy funkcj¡ wymiern¡ dla n parzystych pa- rzyst¡, dla nieparzystych nieparzyst¡ i monotoniczn¡, a jej dziedzin¡ jest zbiór IR \{0}. Je±li wykªadnik jest liczb¡ niecaªkowit¡, to pot¦gowanie rozumiemy tak, jak okre±la to denicja pot¦gi, szczególnie denicja pot¦gi o wykªadniku niewymiernym, a dziedzin¡ funkcji pot¦gowej jest wtedy przedziaª i [0, +∞) gdy wykªadnik ten jest dodatni (0, +∞) gdy wykªadnik jest ujemny. Przykªadami funkcji pot¦gowych z wykªadnikiem wymiernym s¡ funkcje okre±lone wzorami f (x) = √ x, √ 5 h(x) = x x4 . 1 , g(x) = √ 3 x W wi¦kszo±ci przypadków szkicowanie wykresów takich funkcji wymaga zbadania ich przebiegu zmienno±ci. Wyj¡tkiem jest np. funkcja zapisana przed chwil¡ jako f zwana pierwiastkiem kwadratowym, która to jest równa funkcji odwrotnej do restrykcji funkcji k(x) = x2 do przedziaªu [0, +∞) i jako taka wykres ma symetryczny wzgl¦dem wykresu funkcji identyczno±¢ do poªówki paraboli. Funkcje wykªadnicze Funkcj¡ wykªadnicz¡ nazywana jest funkcja okre±lona wzorem f (x) = ax , gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) jest dan¡ liczb¡. Denicja pot¦gi o dowolnym wykªadniku rzeczywistym pozwala rozwa»a¢ t¦ funkcj¦ w dziedzinie, która jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Nietrywialnym jest fakt, »e ka»da liczba dodatnia daje si¦ zapisa¢ pot¦g¡ o zadanej podstawie (mo»liwe jest dobranie odpowiedniego wykªadnika - ten wykªadnik nazywany jest logarytmem z tej liczby) i stwierdzenie, »e ka»da pot¦ga o ustalonej dodatniej podstawie jest liczb¡ dodatni¡. Zatem dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci przedziaª Udowadnia si¦ tak»e, »e funkcja wykªadnicza jest rosn¡ca dla a ∈ (0, 1), a > 1 (0, +∞). i malej¡ca dla a jako monotoniczna jest tak»e odwracalna. Funkcja do niej odwrotna - w ±wietle tego, co zostaªo ju» powiedziane- okre±lona jest na zbiorze wszystkich liczb dodatnich i przyporz¡dkowuje dodatniej liczbie podnie±¢ zadan¡ z góry liczb¦ i nazywany a aby otrzyma¢ logarytmem o podstawie a x. x wykªadnik pot¦gi, do jakiej nale»y Taki wykªadnik oznaczany jest z liczby x. loga x 9 Katarzyna Doma«ska Wykresem funkcji wykªadniczej jest krzywa nazywana kie krzywe wykªadnicze przechodz¡ przez punkt 1 a !x = a−x , krzywe wykªadnicze x y=a s¡ symetryczne wzgl¦dem osi krzyw¡ wykªadnicz¡. Wszyst- (0, 1), a poniewa» dla dowolnego a > 0 1 a i y= !x OY. Szczególn¡ funkcj¡ wykªadnicz¡ jest ta o podstawie równej liczbie Eulera (logarytm o takiej podstawie nazywany jest loge ), logarytmem naturalnym i zapisywany ln zamiast czyli okre±lona wzorem f (x) = ex . Wykorzystywana jest ona m.in. do zdeniowania funkcji hiperbolicznych. Funkcje logarytmiczne Funkcj¡ logarytmiczn¡ nazywana jest funkcja odwrotna do funkcji wykªadniczej, czyli funkcja okre±lona wzorem f (x) = loga x, gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) jest dan¡ liczb¡. Dziedzin¡ tej funkcji jest zbiór warto±ci funkcji wykªadniczej, czyli przedziaª (0, +∞), a zbiorem warto±ci dziedzina funkcji wykªadniczej, czyli zbiór IR. Jest to funkcja monotoniczna, rosn¡ca dla a>1 i malej¡ca dla pozostaªych. Wykres funkcji logarytmicznej nazywany jest krzyw¡ logarytmiczn¡, a otrzymuje si¦ go przeksztaªcaj¡c w symetrii wzgl¦dem prostej y = x krzyw¡ wykªadnicz¡. Wszy(1, 0), a poniewa» dla dowolnego stkie krzywe logarytmiczne przechodz¡ przez punkt a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) i dowolnego x>0 zachodzi wzór log 1 x = − loga x, a krzywe logarytmiczne y = loga x i y = log 1 x a s¡ symetryczne wzgl¦dem osi OX. Funkcje hiperboliczne Sinusem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona wzorem f (x) = ex − e−x 2 10 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa i oznaczana sinh. Dziedzin¡ tej funkcji jest IR. Zbiorem warto±ci tak»e IR. Jest to funkcja nieparzysta i rosn¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna zwana arcus sinus hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji sinus hiperboliczny, czyli równej IR) oznaczana arcsinh i wyra»aj¡ca si¦ wzorem arcsinhx = ln(x + √ x2 + 1). Cosinusem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona wzorem ex + e−x 2 i oznaczana cosh. Dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci [1, +∞). Jest to funkcja parzysta i rosn¡ca w przedziale (0, +∞) oraz malej¡ca w (−∞, 0). Do restrykcji cosinusa hiperbolicznego do przedziaªu [0, +∞) istnieje funkcja odwrotna zwana arcus cosinus hiperboliczny i oznaczana arccosh. Zbiorem warto±ci restrykcji cosinusa hiperbolicznego do przedziaªu [0, +∞) jest [1, +∞). Dziedzin¡ funkcji arccosh jest wi¦c [1, +∞), a zbiorem warto±ci [0, +∞). Funkcja ta okre±lona jest wzorem √ arccoshx = ln(x + 1 − x2 ). f (x) = Tangensem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona jako iloraz i oznaczana tgh, f (x) = sinh x cosh x tghx = sinh x . cosh x tzn. Dziedzin¡ tej funkcji jest IR, a zbiorem warto±ci przedziaª (−1, 1). Jest to funkcja arcus tangens hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji tangens hiperboliczny, czyli nieparzysta i rosn¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna zwana równej (−1, 1) arctgh 1 1+x arctghx = ln . 2 1−x i zbiorze warto±ci IR) oznaczana i wyra»aj¡ca si¦ wzorem Cotangensem hiperbolicznym nazywana jest funkcja okre±lona jako iloraz i oznaczana ctgh, zwana cosh x sinh x ctghx = cosh x . sinh x tzn. Dziedzin¡ tej funkcji jest IR (1, +∞). f (x) = \ {0}, a zbiorem warto±ci suma przedziaªów (−∞, −1) ∪ Jest to funkcja nieparzysta i malej¡ca. Istnieje do niej funkcja odwrotna arcus cotangens hiperboliczny (o dziedzinie równej zbiorowi warto±ci funkcji cotangens hiperboliczny, czyli równej oznaczana arcctgh (−∞, −1) ∪ (1, +∞) i wyra»aj¡ca si¦ wzorem arctghx = 1 x+1 ln . 2 x−1 i zbiorze warto±ci IR \ {0}) 11 Katarzyna Doma«ska Wykresy funkcji hiperbolicznych i funkcji do nich odwrotnych szkicuje si¦ po przebadaniu przebiegu zmienno±ci tych funkcji. Funkcje trygonometryczne K¡tem skierowanym nazywana jest para póªprostych o wspólnym pocz¡tku. Jedna z nich nazywana jest pocz¡tkowym ramieniem k¡ta skierowanego, a druga ko«cowym ramieniem tego k¡ta. Ustalenie ramion pocz¡tkowego i ko«cowego to tzw. skierowanie k¡ta. Jest ono okre±lane przy pomocy ruchu wskazówek zegara jako zgodne lub przeciwne do kierunku tego ruchu. Miar¡ ªukow¡ k¡ta nazywany jest iloraz dªugo±ci ªuku, na którym oparty jest k¡t przez dªugo±¢ promienia tego ªuku. Jednostk¡ tej miary jest radian. Jeden radian jest miar¡ takiego k¡ta, który oparty jest na ªuku o dªugo±ci równej dªugo±ci promienia tego ªuku. Poniewa» k¡t peªny oparty jest na ªuku o dªugo±ci peªnego jest równa 2π. 2πr przy dªugo±ci promienia ªuku równej ◦ Oznacza to, »e π radianów to 180 . Miar¡ nazywana jest miara ªukowa k¡ta opatrzona znakiem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, lub znakiem ” + ”, ” − ”, r, miara ªukowa k¡ta k¡ta skierowanego je±li k¡t jest skierowany je±li k¡t jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Dla zadanego k¡ta skierowanego α obiera si¦ prostok¡tny ukªad wspóªrz¦dnych tak, aby pocz¡tek ukªadu byª wierzchoªkiem tego k¡ta, a rami¦ pocz¡tkowe zawieraªo si¦ w OX i ustala si¦ punkt P (x, y) ró»ny od wierzchoªka le»¡cy na ramieniu ko«cowym k¡ta α. Odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych jest równa √ 2 x + y 2 . Dowodzi si¦, »e ilorazy √ 2y 2 i √ x2 2 nie zale»¡ od poªo»enia punktu P, dodatniej póªosi x +y x +y a jedynie od poªo»enia ramienia ko«cowego k¡ta. Przyporz¡dkowanie k¡towi warto±ci takiego ilorazu jest wi¦c funkcj¡. Na zbiorze k¡tów skierowanych funkcje sinus, cosinus, tangens, cotangens -oznaczane sin, cos, tg, ctg, odpowiednio- okre±la si¦ nast¦puj¡cymi wzorami: y ; x2 + y 2 x cos α = √ 2 ; x + y2 y tgα = , dla x 6= 0; x x ctgα = , dla y 6= 0. y Dowodzi si¦, »e zbiorem warto±ci funkcji sinus, tak jak i cosinus jest przedziaª [−1, 1], a funkcji tangens i cotangens zbiór IR wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcje te nie s¡ ró»nowaro±ciowe, cosinus jest funkcj¡ parzyst¡, pozostaªe s¡ nieparzyste. sin α = √ Wyprowadza si¦ te» wiele zwi¡zków dla funkcji trygonometrycznych k¡ta m.in. tzw. jedynk¦ trygonometryczn¡, wzory wyra»aj¡ce warto±ci tych funkcji dla sumy k¡tów, wzory redukcyjne itp. 12 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Na zbiorze liczb funkcje trygonometryczne mo»na okre±li¢ przy pomocy tych podanych dla k¡tów skierowanych. Pozwala na to twierdzenie ka»da liczba rzeczywista jedyne przedstawienie w postaci a α ∈ [0, 2π) (2π)k+ | α |, gdzie k ∈ ZZ, x ma jest pewn¡ liczb¡ caªkowit¡, pewnym k¡tem skierowanym o mierze ªukowej |α|. Denicje te s¡ na- st¦puj¡ce: Sinusem nazywana jest funkcja f : IR −→ [−1, 1] okre±lona wzorem f (x) = f ((2π)k+ | α |) = sin α i oznaczana sin. Cosinusem nazywana jest funkcja f : IR −→ [−1, 1] okre±lona wzorem f (x) = f ((2π)k+ | α |) = cos α i oznaczana cos. Tangensem nazywana jest funkcja f : IR \ { π2 + kπ : k ∈ Z Z} −→ IR okre±lona Z Z} −→ IR okre±lona wzorem f (x) = i oznaczana tg. Cotangensem nazywana jest funkcja f : wzorem f (x) = i oznaczana sin x cos x IR \ {kπ : k ∈ cos x sin x ctg. Denicje te pozwalaj¡ na wnioski dotycz¡ce okresowo±ci funcji trygonometrycznych. sinus i cosinus jest liczba 2π, a dla tangens i cotangens π. Jako okresowe, wszystkie te funkcje s¡ nieró»nowarto±ciowe. Wªasno±ci funkcji Okresem podstawowym dla liczba trygonometrycznych k¡ta skierowanego przejmowane s¡ przez funkcje trygonometryczne m.in. parzysto±¢ i nieparzysto±¢. Wykresy funkcji trygonometrycznych szkicuje si¦ wykorzystuj¡c te informacje i wªasno±ci. Nazywane s¡ one sinusoid¡, cosinusoid¡, tan- gensoid¡ i cotangensoid¡, odpowiednio. Funkcje cyklometryczne Funkcje cyklometryczne nazywane s¡ te» koªowymi. S¡ to funkcje odwrotne do restrykcji funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziaªów, na których funkcje te s¡ ró»nowarto±ciowe. 13 Katarzyna Doma«ska Funkcj¡ arcus sinus nazywana jest funkcja f : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] okre±lona wzorem !−1 f (x) = sin|[− π2 , π2 ] i oznaczana arcsin, (x) tzn. π π arcsinx = y ⇐⇒ y ∈ [− , ] ∧ sin y = x. 2 2 x∈[−1,1] ^ Funkcj¡ arcus cosinus nazywana jest funkcja f : [−1, 1] −→ [0, π] okre±lona wzorem !−1 f (x) = cos|[0,π] i oznaczana arccos, (x) tzn. ^ arccosx = y ⇐⇒ y ∈ [0, π] ∧ cos y = x. x∈[−1,1] Funkcj¡ arcus tangens nazywana jest funkcja f : IR −→ (− π2 , π2 ) okre±lona wzorem !−1 f (x) = tg|(− π2 , π2 ) i oznaczana arctg, tzn. ^ x∈IR Funkcj¡ (x) π π arctgx = y ⇐⇒ y ∈ (− , ) ∧ tgy = x. 2 2 arcus cotangens nazywana jest funkcja f : IR −→ (0, π) okre±lona wzorem !−1 f (x) = ctg|(0,π) i oznaczana arcctg, (x) tzn. ^ arcctgx = y ⇐⇒ y ∈ (0, π) ∧ ctgy = x. x∈IR Wykresy funkcji cyklometrycznych szkicuje si¦ odbijaj¡c symetrycznie wzgl¦dem prostej y=x odpowiednie fragmenty krzywych trygonometrycznych. 14 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Ci¡gi liczbowe. Ci¡gi liczbowe s¡ szczególnymi funkcjami. Jako okre±lone na zbiorze liczb naturalnych, maj¡ taki zbiór warto±ci (zwany zbiorem wszystkich wyrazów ci¡gu), którego wszystkie elementy mo»na ponumerowa¢. St¡d te» zamiast zapisywa¢ warto±¢ ci¡gu n jako f (n) pisze si¦ an na liczbie f i to zarówno wtedy, gdy podaje si¦ wzór (wyraz ogól- ny) jakim okre±lony jest ci¡g, jak i wtedy gdy wypisuje si¦ jego warto±ci (liczby) zwane n nazywany jest numerem wyrazu ci¡gu. Zamiast f pisze si¦ (an )n∈IN i zapisu takiego u»ywa si¦ na oznaczanie ci¡gu o wyrazie ogólnym an . Zbiorem wszystkich wyrazów ci¡gu (an ) jest zbiór {an : n ∈ IN}. Czasem ci¡g uto»samian∈IN wyrazami ci¡gu. Argument ny jest ze zbiorem swoich wszystkich wyrazów nierzadko natychmiast interpretowanym geometrycznie na osi liczbowej. Sposób, w jaki liczby z tego zbioru poªo»one s¡ na osi liczbowej ±ci±le zwi¡zany jest z takimi wªasno±ciami ci¡gu jak monotoniczno±¢, ograni- czono±¢, zbie»no±¢. W szczególny sposób ukªadaj¡ si¦ na osi liczbowej wyrazy ci¡gów zbie»nych do konkretnej liczby zwanej granic¡ ci¡gu. Mianowicie, dowolnie blisko gra- nicy, tzn. w ka»dym otwartym przedziale zawieraj¡cym liczb¦ równ¡ granicy, znajduje si¦ niesko«czenie wiele wyrazów i -co wa»niejsze- s¡ to prawie wszystkie wyrazy ci¡gu, tzn. wszystkie z wyj¡tkiem sko«czonej ilo±ci. Denicja granicy ci¡gu jest nast¦puj¡ca: Liczba g nazywana jest granic¡ ci¡gu o wyrazie ogólnym an je±li speªniony jest warunek ^_ ^ (n n0 =⇒| an − g |< ε), ε>0 n0 n∈IN tzn. pocz¡wszy od pewnego numeru n0 wszystkie (kolejne) wyrazy ci¡gu niaj¡ nierówno±¢ (an )n∈IN speª- g − ε < an < g + ε, (nale»¡ do ka»dego przedziaªu (g − ε, g + ε)), gdzie liczba ε jest dowolnie maª¡ liczb¡ dodatni¡. Fakt ten zapisuje si¦ lim an = g. n→∞ Ci¡g, który ma granic¦ (równ¡ liczbie g) nazywany jest zbie»nym (do liczby g ). Je±li dla danego ci¡gu nie istnieje liczba, która byªaby jego granic¡, to nazywany jest on wówczas rozbie»nym. Dla ci¡gu o wyrazie ogólnym an = 1 , n tzn. ci¡gu 1 n ! n∈IN 15 Katarzyna Doma«ska ªatwo jest zaobserwowa¢, »e w ka»dym przedziale (−ε, ε), bez znaczenia jak maªa b¦dzie jego dªugo±¢, znajduj¡ si¦ prawie wszystkie wyrazy ci¡gu. Dowodzi si¦, »e jest to ci¡g zbie»ny do liczby 0, tzn. lim n→∞ 1 = 0. n Nieco inaczej zachowuje si¦ np. ci¡g (n)n∈IN , którego wyrazy nie znajduj¡ si¦ dowolnie blisko »adnej konkretnej liczby, ale s¡ one z kolei dowolnie du»ymi liczbami. O takich ci¡gach mówi si¦, »e maj¡ tzw. granic¦ niewªa- ±ciw¡ +∞. Wyró»nia si¦ tak»e ci¡gi o granicy niewªa±ciwej −∞. Granice niewªa±ciwe deniuje si¦ nast¦puj¡co: Ci¡g o wyrazie ogólnym an nazywany jest ci¡giem o granicy niewªa±ciwej +∞, je±li speªniony jest warunek ^ _ ^ (n n0 =⇒ an > M ), M >0 n0 n∈IN tzn. pocz¡wszy od pewnego numeru n0 wszystkie (kolejne) wyrazy ci¡gu niaj¡ nierówno±¢ (an )n∈IN speª- an > M, gdzie M jest dowolnie du»¡ liczb¡. Fakt ten zapisuje si¦ lim an = +∞, n→∞ a o ci¡gu Ci¡g (an )n∈IN (an )n∈IN mówi si¦, »e jest nazywany jest rozbie»ny do +∞. ci¡giem o granicy niewªa±ciwej −∞, je±li speªniony jest warunek ^ _ ^ (n n0 =⇒ an < −M ), M >0 n0 n∈IN tzn. pocz¡wszy od pewnego numeru n0 wszystkie (kolejne) wyrazy ci¡gu niaj¡ nierówno±¢ tzn. nale»¡ do przedziaªu an < −M, (−∞, −M ), gdzie M lim an = −∞, n→∞ (an )n∈IN mówi si¦, »e jest rozbie»ny do −∞. Zupeªnie inaczej zachowuje si¦ np. ci¡g o wyrazie ogólnym n − n+1 speª- jest dowolnie du»¡ liczb¡. Fakt ten zapisuje si¦ a o ci¡gu (an )n∈IN !n . 16 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Mo»na zauwa»y¢, »e dowolnie blisko liczby 1 znajduje si¦ niesko«czenie wiele jego wyra- zów (wszystkie o parzystych numerach), ale nie s¡ to prawie wszystkie, bo z wyj¡tkiem niesko«czonej ilo±ci. Równie» niesko«czenie wiele (wszystkie o nieparzystych numerach) jego wyrazów znajduje si¦ dowolnie blisko liczby −1. Z pomoc¡ denicji granicy mo»na dokªadnie uzasadni¢, »e ci¡g ten nie ma granicy. Dowodzi si¦, »e Je±li ci¡g ma granic¦, to tylko jedn¡. Denicja granicy ci¡gu pozwala udowodni¢ m. in. nast¦puj¡ce równo±ci: 1 = 0; n→∞ n lim λ = λ, dla λ ∈ IR; n→∞ √ n lim λ = 1, dla λ > 0; n→∞ √ lim n n = 1; lim n→∞ lim λn = 0, n→∞ dla λ ∈ (−1, 1); lim λn = +∞, n→∞ dla λ > 1; lim n = +∞; √ n = +∞; lim n→∞ n→∞ Rozstrzyganie kwestii czy dany ci¡g jest zbie»ny oraz wyznaczanie jego granicy ma jednak tak»e inny cel ni» tylko uzyskanie informacji o poªo»eniu na osi liczbowej jego wyrazów. M. in. wa»nym zagadnieniem jest zbie»no±¢ takich ci¡gów, które s¡ okre±lane jako warto±ci danych funkcji na ci¡gach zbie»nych, bo decyduje ona o istnieniu granicy funkcji w punkcie. Samo za± sprawdzanie czy dany ci¡g jest zbie»ny i jaka jest jego granica w wi¦kszo±ci przypadków odbywa si¦ metod¡ sprowadzania wyrazu ogólnego tego ci¡gu do takiej postaci, »eby byªo jasne przy pomocy jakich dziaªa« i z jakich ci¡gów zbie»nych zostaª utworzony. Np. zapisuj¡c wyraz ogólny 2 n2 jako 2· 1 1 · n n otrzymujemy natychmiast informacj¦, »e ci¡g okre±lony tym wyrazem jest iloczynem ci¡gów (an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN , gdzie an = 2, bn = cn = 1 , n n ∈ IN, 17 Katarzyna Doma«ska czyli zbie»nych i o znanych granicach. Granic¦ ci¡gu utworzonego przy pomocy operacji arytmetycznych z ci¡gów zbie»nych o znanych granicach mo»na wyznaczy¢ stosuj¡c nast¦puj¡ce twierdzenie: Je±li ci¡gi (an )n∈IN s¡ zbie»ne oraz ich granicami s¡ nast¦puj¡ce ci¡gi: i (bn )n∈IN liczby a i b odpowiednio, to zbie»ne s¡ (an + bn )n∈IN , (an − bn )n∈IN , (an bn )n∈IN oraz zachodz¡ równo±ci lim (an + bn ) = a + b; n→∞ lim (an − bn ) = a − b; n→∞ lim an bn = ab. n→∞ Je±li ponadto ci¡g b 6= 0 oraz bn 6= 0 dla wszystkich an bn oraz zachodzi równo±¢ lim n→∞ n∈ IN, to zbie»ny jest tak»e ! n∈IN a an = . bn b Twierdzenie to pozwala stwierdza¢ zbie»no±¢ sumy, ró»nicy, iloczynu i -w pewnych warunkach- ilorazu ci¡gów zbie»nych oraz podaje sposób wyznaczania granic tych ci¡gów. M. in. gwarantuje, »e granic¡ sumy ci¡gów jest suma granic tych ci¡gów. Nazywane jest ono twierdzeniem o operacjach arytmetycznych na granicach i w poª¡czeniu 1 z jedn¡ tylko informacj¡, o warto±ci granicy ci¡gu ( ) , pozwala wyznacza¢ granice n n∈IN dla wielu ci¡gów. Nie stosuje si¦ go natomiast do ci¡gów o granicach niewªa±ciwych, a licz¡c granic¦ ilorazu nale»y sprawdza¢, czy ci¡g z mianownika ma granic¦ ró»n¡ od zera. Takie ci¡gi, które s¡ ilorazami ci¡gu o granicy ró»nej od zera przez ci¡g zbie»ny do zera, je±li maj¡ granic¦, to niewªa±ciw¡. Mówi o tym twierdzenie Je±li ^ an > 0 i lim an = 0, n→∞ n∈IN to ci¡g 1 an ma granic¦ niewªa±ciw¡ ! n∈IN +∞. Je±li ^ n∈IN an < 0 i lim an = 0, n→∞ 18 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa to 1 = −∞. n→∞ a n lim adne twierdzenie nie reguluje natomiast kwestii granicy ci¡gu, który jest ilorazem " # ci¡gów zbie»nych do zera. W takiej sytuacji mówi si¦ o symbolu nieoznaczonym " Podobnie, nieoznaczonymi symbolami s¡ # ∞ ∞ " # " # " 0 0 . # , [0 · ∞], [∞ − ∞], ∞0 , 1∞ , 00 . Dla ci¡gów o granicach niewªa±ciwych mo»na udowodni¢ wiele faktów analogicznych do tych z twierdzenia o operacjach arytmetycznych na granicach. M. in. dowodzi si¦, »e +∞ przez ci¡g którego granic¡ jest dodatnia liczba a otrzymuje +∞, co krótko zapisa¢ mo»na mno»¡c ci¡g o granicy si¦ ci¡g o granicy ^ a · [+∞] = +∞. a>0 Krótki zapis faktu, »e ci¡g odwrotno±ci ci¡gu o wyrazach niezerowych i granicy niewªa±ciwej jest zbie»ny do zera jest nast¦puj¡cy: 1 1 = = 0. [+∞] [−∞] Pozostaªe krótkie zapisy faktów zachodz¡cych dla takich ci¡gów, z których cho¢ jeden ma granic¦ niewªa±ciw¡ s¡ ªatwe do odczytania. V V V V a>0 a · [−∞] = −∞; a<0 a · [+∞] = −∞; a∈IR a∈IR V a + [+∞] = +∞; V a − [+∞] = −∞; V [−∞] + [−∞] = −∞; a<0 a∈IR a∈IR a · [−∞] = +∞; a + [−∞] = −∞; a − [−∞] = +∞; [+∞] + [+∞] = +∞. Obok operacji arytmetycznych wymienionych w twierdzeniu jest jeszcze wiele innych, które wykonane na ci¡gu zbie»nym prowadz¡ do ci¡gu zbie»nego i podaj¡ jednocze±nie warto±¢ jego granicy wyra»on¡ przy pomocy granicy ci¡gu wyj±ciowego. Podobne wnioski mo»na wyci¡ga¢ o granicach niewªa±ciwych. Nie wszystkie z podanych ni»ej stwierdze« daj¡ si¦ ªatwo udowodni¢, ale w rachunkach cz¦sto s¡ one wykorzystywane. Je±li ci¡g (an )n∈IN ma granic¦ równ¡ liczbie a, to zachodz¡ równo±ci (odpo- wiednie granice istniej¡ i s¡ równe wskazanej liczbie) lim n→∞ √ 3 an = √ 3 a 19 Katarzyna Doma«ska lim sin an = sin a; n→∞ lim cos an = cos a; n→∞ lim ean = ea . n→∞ Je±li ci¡g niej a, (an )n∈IN o wyrazach dodatnich ma granic¦ równ¡ liczbie dodat- to zachodzi równo±¢ (granica istnieje i jest równa wskazanej liczbie) lim ln an = ln a. n→∞ Je±li ci¡g (an )n∈IN o wyrazach nieujemnych ma granic¦ równ¡ liczbie nie- ujemnej a, to zachodzi równo±¢ (odpowiednia granica istnieje i jest równa wskazanej liczbie) √ lim n→∞ Je±li ci¡g (an )n∈IN an = √ a. ma granic¦ niewªa±ciw¡ lim √ 3 n→∞ +∞, to zachodz¡ równo±ci an = +∞; lim ean = +∞. n→∞ Je±li ci¡g (an )n∈IN o wyrazach nieujemnych ma granic¦ niewªa±ciw¡ to zachodzi równo±¢ lim √ n→∞ +∞, an = +∞. Je±li ci¡g (an )n∈IN o wyrazach dodatnich ma granic¦ niewªa±ciw¡ zachodzi równo±¢ +∞, to lim ln an = +∞. n→∞ Je±li ci¡g (an )n∈IN ma granic¦ niewªa±ciw¡ lim √ 3 n→∞ −∞, to zachodz¡ równo±ci an = −∞; lim ean = 0. n→∞ atwo natomiast b¦dzie zauwa»y¢, »e je±li o wyrazie ogólnym (an )n∈IN a2n 1 +1 a2 1 . +1 ma granic¦ równ¡ a, to np. ci¡g ma granic¦ równ¡ Rachunek ten opiera si¦ jedynie na twierdzeniu o granicy iloczynu, sumy i ilorazu. Dowodzi si¦, »e m. in. nast¦puj¡ce ci¡gi nie maj¡ granicy: (λn )n∈IN , dla λ ¬ −1; (sin n)n∈IN ; (cos n)n∈IN . 20 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Dla niektórych ci¡gów do wyznaczania granicy przydatne jest tzw. twierdzenie o trzech ci¡gach. Mówi ono, »e Je±li dla ci¡gów (an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN zachodz¡ nast¦puj¡ce fakty: ^ an ¬ b n ¬ c n i n∈IN lim an = n→∞ lim cn = g, n→∞ to lim bn = g. n→∞ Do stwierdzenia, »e dany ci¡g jest zbie»ny mo»e posªu»y¢ tak»e takie twierdzenie, które nie poda sposobu znalezienia granicy, ale jednoznacznie okre±li warunki wystarczaj¡ce do tego, »eby ci¡g t¦ granic¦ miaª. Jest to nast¦puj¡ce twierdzenie: Ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. Gwarantuje ono zbie»no±¢ m. in. ci¡gu o wyrazie ogólnym 1 1+ n Warto±¢ jego granicy deniuje tzw. !n . liczb¦ Eulera oznaczan¡ e = n→∞ lim 1 + 1 n e, tzn. !n . O liczbie tej mo»na wywnioskowa¢, »e mie±ci si¦ w przedziale (2, 3) a inne fakty pro- wadz¡ do wniosku, »e jest ona niewymierna. Mo»na udowodni¢ tak»e, »e Je±li ci¡g (an )n∈IN , o niezerowych wyrazach, ma granic¦ niewªa±ciw¡ lub −∞, to zachodzi równo±¢ 1 lim 1 + n→∞ an +∞ !an = e. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji Granica funkcji w danym punkcie x0 przynosi informacj¦ o warto±ciach funkcji od- powiadaj¡cych tym argumentom, które s¡ dowolnie bliskie punktowi x0 . Punkt x0 , dla którego takie informacje uzyskuje si¦, mo»e nie nale»e¢ do dziedziny funkcji, ale nie jest oboj¦tne jak daleko od innych punktów dziedziny jest poªo»ony. Je±li funkcja jest okre±lona w punkcie x0 x0 , to dodatkowo mo»na informacje o warto±ci funkcji w punkcie i warto±ciach odpowiadaj¡cych argumentom le»¡cym dowolnie blisko tego punktu 21 Katarzyna Doma«ska porówna¢. Granic¦ funkcji znajduje si¦ w takim punkcie (tzn. zbiór (x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r), gdzie r x0 , którego ka»de s¡siedztwo jest pewn¡ liczb¡ dodatni¡) w mnogo- ±ciowym iloczynie z dziedzin¡ funkcji daje zbiór niepusty. Punkt o takiej wªasno±ci nazywany jest punktem skupienia dziedziny funkcji. Dowodzi si¦, »e je±li x0 jest punk- A, to istnieje ci¡g elementów tego zbioru zbie»ny do x0 . Dla funkcji okre±lonej np. na przedziale (0, +∞) puktem skupienia jej dziedziny jest tem skupienia niepustego zbioru ka»da liczba nieujemna, ale liczba ujemna nim nie jest. Je±li dziedzin¡ funkcji jest np. (−∞, −1) ∪ (1, +∞), to granicy nie wyznacza si¦ np. w zerze. Natomiast, punkskupienia zbioru IR \ {c}, gdzie c jest dan¡ liczb¡, jest ka»da liczba rzeczywista. zbiór tem Przyjmuje si¦ nast¦puj¡ce denicje: Liczba rzeczywista x0 nazywana jest punktem skupienia zbioru D ⊂ IR je±li speªniony jest warunek ^ [(x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r)] ∩ D 6= ∅. r>0 Punkt, który nie jest punktem skupienia danego zbioru nazywany jest punktem izo- lowanym tego zbioru. Niech f : D −→ IR, gdzie punktem skupienia zbioru w punkcie x0 , D. D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a Liczba rzeczywista g x0 ∈ nazywana jest IR niech b¦dzie granic¡ funkcji f je±li speªniony jest warunek ^ _ ^ (C) (| x − x0 |< δ =⇒| f (x) − g |< ε), ε>0 δ>0 x∈D g znajduj¡ si¦ wszystkie warto±ci funkcji odpowiadaj¡ce tym δ ) bliskie liczbie (która nie dziedziny) x0 . Fakt, »e granic¡ funkcji f w punkcie x0 jest liczba tzn. dowolnie blisko liczby argumentom, które s¡ stosownie (na mniej ni» pewna liczba musi by¢ elementem g zapisuje si¦ nast¦puj¡co: lim f (x) = g. x→x0 Dowodzi si¦ »e, Je±li funkcja ma w danym punkcie granic¦, to tylko jedn¡. Warunek (C) równowa»ny jest nast¦puj¡cemu: (H) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g, n→∞ n→∞ gdzie (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru nych od liczby x0 , zwanym ci¡giem argumentów, zbie»nym do x0 . Warunek ten stanowi, »e granic¡ funkcji w punkcie x0 D i ró»- jest liczba maj¡ca nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: ka»dy ci¡g warto±ci tej funkcji odpowiadaj¡cy dowolnemu, ale speªniaj¡cemu trzy »¡dania (przynale»no±¢ wyrazów do dziedziny funkcji, nie wyst¦powanie liczby w±ród wyrazów, zbie»no±¢ do liczby jest do tej liczby zbie»ny. x0 ) ci¡gowi (xn )n∈IN , tzn. ka»dy ci¡g x0 (f (xn ))n∈IN 22 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Wynika st¡d w szczególno±ci, »e wspomniane wy»ej równo±ci dla ci¡gów, m. in. nast¦puj¡ce: lim sin an = sin a; n→∞ lim cos an = cos a; n→∞ lim ean = ea , n→∞ gdzie (an )n∈IN jest dowolnym ci¡giem zbie»nym do liczby a, oznaczaj¡, »e funkcje sinus, cosinus, wykªadnicza maj¡ granic¦ w dowolnym punkcie swojej dziedziny i granica ta wynosi tyle ile warto±¢ funkcji w danym punkcie. Jak si¦ oka»e takie zachowanie jest typowym dla ka»dej funkcji elementarnej, ale nietrudno poda¢ przykªad funkcji dla której granica w danym punkcie albo nie istnieje albo jest inn¡ liczb¡ ni» warto±¢ funkcji w tym punkcie. Taki efekt mo»na zaobserwowa¢ np. w punkcie zero dla funkcji signum, czy te» w punkcie x0 = 1 dla funkcji okre±lonej wzorem ( x2 2 f (x) = dla dla x 6= 1 x = 1. Równowa»no±¢ warunków (C) i (H) pozwala zarówno denicj¦ granicy formuªowa¢ równowa»nie przy u»yciu któregokolwiek z nich, jak i wyznaczanie granic dla konkretnych funkcji prowadzi¢ równowa»nie wykorzystuj¡c oboj¦tne który z nich. Nazywaj¡ si¦ one warunkiem Cauchy'ego i Heinego, odpowiednio. Dowodzi si¦ m. in. nast¦puj¡cych równo±ci (nale»y je odczytywa¢ jako stwierdzanie istnienia granicy i podanie jej warto±ci): sin x = 1; x→0 x tgx = 1; lim x→0 x lim 1 lim (1 + x) x = e. x→0 Ka»da z tych równo±ci, zgodnie z tym, co mówi warunek Heinego, niesie informacj¦ o granicy wielu ci¡gów odpowiednio okre±lonych. Np. pierwsza z nich stanowi, »e je±li (xn )n∈IN jest ci¡giem zbie»nym do zera o wyrazach niezerowych, to na pewno ka»dy ci¡g okre±lony wyrazem ogólnym sin xn xn ma granic¦ równ¡ 1. Zatem m. in. nast¦puj¡ce ci¡gi na pewno zbie»ne s¡ do liczby n sin 1 n ! n∈IN 1: Katarzyna Doma«ska 1 n sin 3 n 23 ! 3 √ 4 n∈IN 1 n5 sin √ 4 n5 ! n∈IN Warunek Heinego do wyznaczania granic funkcji, tak jak to byªo ju» wspomniane wy»ej, pozwala wykorzystywa¢ informacje z teorii granic ci¡gów. W szczególno±ci w poª¡czeniu z twierdzeniem o operacjach arytmetycznych na granicach ci¡gów pozwala udowoni¢ odpowiednik tego twierdzenia dla funkcji mówi¡cy m. in. »e je±li znane s¡ granice funkcji f i g x0 i wynosz¡ g1 i g2 odpowiednio, f + g, f g i wynosz¡ one g1 + g2 i g1 g2 , w danym punkcie w tym punkcie maj¡ m. in. funkcje to granic¦ odpowied- nio. Jasne jest wi¦c jakich metod poza denicj¡ mo»na u»ywa¢ do wyznaczania granic funkcji i tak, jak dla ci¡gów ostro»nie nale»y stosowa¢ twierdzenie o granicy ilorazu funkcji. Warunek Heinego ma jednak pewn¡ przewag¦ nad swoim odpowiednikiem Cauchy'ego. Pozwala on nie tylko sprawdza¢, czy dana liczba jest granic¡ funkcji we wskazanym punkcie, ale te» podaje sposób poszukiwania granicy i jak si¦ oka»e, mo»na go u»y¢ tak»e wtedy, gdy jako granic¦ ci¡gu warto±ci funkcji otrzymuje si¦ nie liczb¦, ale któ- +∞ lub −∞. Tak jak w przypadku ci¡gu mówi si¦ wtedy o granicy +∞ lub −∞. Dla okre±lenia tych granic równie» u»ywa¢ mo»na odpowied- ry± z elementów niewªa±ciwej nio zapisanego, równowa»nego warunku Cauchy'ego. Pozostaªe fakty dotycz¡ce granic funkcji zostan¡ tu zapisane przy u»yciu ju» tylko notacji Heinego, ale ka»dy z nich ma swój odpowiednik Cauchy'ego. Granice niewªa±ciwe funkcji (w punkcie wªa±ciwym) deniuje si¦ nast¦puj¡co: f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a x0 ∈ IR niech b¦dzie punkskupienia zbioru D. Element +∞ nazywany jest granic¡ funkcji f w punkcie Niech tem x0 , je±li speªniony jest warunek (HN+) lim xn = x0 =⇒ n→∞ lim f (xn ) = +∞, n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i ró»nych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ niewªa±ciw¡ +∞ gdzie zapisuje si¦ nast¦puj¡co: lim f (x) = +∞. x→x0 Niech f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a x0 ∈ IR niech b¦dzie punkD. Element −∞ nazywany jest granic¡ funkcji f w punkcie tem skupienia zbioru x0 , je±li speªniony jest warunek (HN−) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = −∞, n→∞ n→∞ 24 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa gdzie liczby (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i ró»nych od x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ niewªa±ciw¡ −∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co: lim f (x) = −∞. x→x0 Cz¦sto wygodnie jest bada¢ warto±ci funkcji odpowiadaj¡ce argumentom le»¡cym po okre±lonej stronie punktu wych lub nie). Od punktu x0 . Mówi si¦ wtedy o tzw. granicach jednostronnych (wªa±cix0 wymaga si¦ wtedy »eby byª tzw. jednostronnym lewo- lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji. Przyjmuje si¦ nast¦puj¡ce denicje: Liczba rzeczywista ru D ⊂ x0 nazywana jest prawostronnym punktem skupienia zbio- IR je±li jest punktem skupienia zbioru D ∩ [x0 , +∞), czyli speªniony jest warunek ^ (x0 , x0 + r) ∩ D 6= ∅. r>0 (Je±li dla pewnego punktu x0 zachodzi wostronnym punktem skupienia zbioru D D ∩ [x0 , +∞) = D, to punkt b¦d¡cy pra- jest jednocze±nie punktem skupienia tego zbioru.) Niech f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, x0 ∈ IR niech b¦dzie praD. Liczba rzeczywista g nazywana jest granic¡ punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek b¦dzie dan¡ funkcj¡, a wostronnym punktem skupienia zbioru prawostronn¡ funkcji f w (HP) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g, n→∞ n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i wi¦kszych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostonn¡ równ¡ g zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie lim f (x) = g. x→x+ 0 Element +∞ nazywany jest granic¡ prawostronn¡ funkcji f w punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek (HPN+) lim xn = x0 =⇒ n→∞ lim f (xn ) = +∞, n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i wi¦kszych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostronn¡ niewªa±ciw¡ +∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie lim f (x) = +∞. x→x+ 0 Element −∞ nazywany jest granic¡ prawostronn¡ funkcji f w punkcie speªniony jest warunek (HPN−) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = −∞, n→∞ n→∞ x0 , je±li 25 Katarzyna Doma«ska (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i wi¦kszych x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ prawostronn¡ niewªa±ciw¡ −∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie od liczby lim f (x) = −∞. x→x+ 0 Liczba rzeczywista D ⊂ IR x0 nazywana jest lewostronnym punktem skupienia zbioru je±li speªniony jest warunek ^ (x0 − r, x0 ) ∩ D 6= ∅. r>0 Niech f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, x0 ∈ IR niech b¦dzie lewoD. Liczba rzeczywista g nazywana jest granic¡ punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek b¦dzie dan¡ funkcj¡, a stronnym punktem skupienia zbioru lewostronn¡ funkcji f w (HL) lim xn = x0 =⇒ n→∞ lim f (xn ) = g, n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i mniejszych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostonn¡ równ¡ g zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie lim f (x) = g. x→x− 0 Element +∞ nazywany jest granic¡ lewostronn¡ funkcji f w punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek (HLN+) lim xn = x0 =⇒ n→∞ lim f (xn ) = +∞, n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i mniejszych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostronn¡ niewªa±ciw¡ +∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie lim f (x) = +∞. x→x− 0 Element −∞ nazywany jest granic¡ lewostronn¡ funkcji f w punkcie x0 , je±li speªniony jest warunek (HLN−) lim xn = x0 =⇒ n→∞ lim f (xn ) = −∞, n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru D i mniejszych od liczby x0 zbie»nym do x0 . Fakt, »e funkcja f ma w punkcie x0 granic¦ lewostronn¡ niewªa±ciw¡ −∞ zapisuje si¦ nast¦puj¡co: gdzie lim f (x) = −∞. x→x− 0 Granice lewo- i prawostronna nazywane s¡ granicami jednostronnymi. 26 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Dowodzi si¦ (zapowiedzi¡ poni»szych równo±ci byªy odpowiednie fakty zapisane wy»ej dla ci¡gów), »e 1 = −∞; x→0 x 1 lim+ = +∞; x→0 x lim+ ln x = −∞. lim− x→0 Okazuje si¦, »e granice jednostronnej dostarczaj¡ informacji o istnieniu granicy i odwrotnie granica funkcji w danym punkcie informuje o granicach jednostronnych w tym punkcie. Zachodzi nast¦puj¡cy fakt: Funkcja f ma granic¦ w danym punkcie skupienia (jednocze±nie lewostronnym i prawostronnym) swojej dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie obie granice jednostronne i s¡ one sobie równe. Warto±¢ granicy równa jest wtedy granicy jednostronnej. Dla funkcji okre±lonych na zbiorze zawieraj¡cym przedziaª postaci staci (a, +∞) lub po- (−∞, b), gdzie −∞ ¬ a, b ¬ +∞, mo»na bada¢ zachowanie warto±ci funkcji odpo- wiadaj¡cych dowolnie du»ym argumentom lub dowolnie maªym, odpowiednio. Sªu»¡ do tego celu granice w tzw. punktach niewªa±ciwych Dla funkcji, której dziedzina cie niewªa±ciwym +∞ +∞ i −∞. Okre±la si¦ je nast¦puj¡co: D zawiera przedziaª postaci (a, +∞) granic¡ w punk- nazywana jest (o ile istnieje) granica ci¡gu lim f (xn ), n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych do zbioru niewªa±ciwej +∞. Granic¦ t¦ oznacza si¦ symbolem gdzie D i o granicy lim f (x). x→+∞ Dla funkcji, której dziedzina cie niewªa±ciwym −∞ D zawiera przedziaª postaci (−∞, b) granic¡ w punk- nazywana jest (o ile istnieje) granica ci¡gu lim f (xn ), n→∞ (xn )n∈IN jest dowolnym ci¡giem o wyrazach nale»¡cych niewªa±ciwej −∞. Granic¦ t¦ oznacza si¦ symbolem gdzie lim f (x). x→−∞ do zbioru D i o granicy 27 Katarzyna Doma«ska Dowodzi si¦ nast¦puj¡cych równo±ci (wzmiank¡ o niektórych z nich s¡ zapisane wy»ej, odpowiednie równo±ci dla ci¡gów): lim x→+∞ 1 1 = lim = 0; x→−∞ x x lim ex = 0; x→−∞ lim ex x→+∞ = +∞; lim ln x = +∞; x→+∞ !x lim x→+∞ 1 1+ x = lim x→−∞ 1 1+ x !x = e. Natomiast wzór podaj¡cy granic¦ w zerze dla funkcji okre±lonej wzorem f (x) = sin x x w poª¡czeniu z warunkiem Heinego pozwala zapisa¢, »e prawdziwe s¡ równo±ci lim x sin x→+∞ 1 1 = lim x sin = 1. x→−∞ x x Z pomoc¡ warunku Heinego udowadnia si¦ tak»e nast¦puj¡ce twierdzenie o trzech funkcjach: Niech f, g, h : D −→ IR, gdzie ^ D ⊂ IR, b¦d¡ takimi funkcjami, »e f (x) ¬ g(x) ¬ h(x) x∈D oraz lim f (x) = lim h(x) = g x→x0 gdzie x0 ∈ IR ∪ {−∞, +∞}. x→x0 Wówczas lim g(x) = g. x→x0 Korzystaj¡c z tego twierdzenia mo»na np. uzasadni¢, »e sin x sin x = lim = 0. x→−∞ x x→+∞ x lim Wystarczy w tym celu zauwa»y¢, »e ^ x∈IR\{0} − 1 sin x 1 ¬ ¬ . x x x Funkcja ci¡gªa to taka, w której niewielka zmiana argumentu prowadzi do niewielkiej zmiany warto±ci funkcji. W zastosowaniach praktycznych zjawiskiem opisanym funkcj¡, która jest ci¡gªa mo»na pªynnie sterowa¢, np. aby niewiele zwi¦kszy¢ pr¦dko±¢ pojazdu 28 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa (w niegwaªtowny sposób), wystarczy niewielka zmiana mocy silnika (delikatny nacisk pedaªu gazu). Funkcje ci¡gªe odgrywaj¡ bardzo wa»n¡ rol¦ i w zagadnieniach praktycznych i teoretycznych. Ci¡gªo±¢ funkcji bada si¦ w punktach nale»¡cych do jej dziedziny. Denicja ci¡gªo±ci funkcji w punkcie jest nast¦puj¡ca: Niech f : D −→ IR, gdzie D ⊂ IR, b¦dzie dan¡ funkcj¡, a ustalonym punktem dziedziny tej funkcji. Funkcja x0 , f x0 ∈ D nazywana jest niech b¦dzie ci¡gª¡ w punkcie D lub x0 jest punktem skupienia f oraz istnieje w tym punkcie granica funkcji f i jest równa warto±ci punkcie x0 , czyli liczbie f (x0 ), tzn. zachodzi równo±¢ je±li punkt ten jest punktem izolowanym zbioru dziedziny funkcji funkcji w lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Dowodzi si¦, »e (jak zostaªo ju» wspomniane) Ka»da funkcja elementarna jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dziedziny. Funkcj¡ ci¡gª¡ nazywana jest funkcja ci¡gªa w ka»dym punkcie dziedziny. Rodzina funkcji ci¡gªych jest bardzo bogata we wªasno±ci m. in. jest zamkni¦ta na sumowanie, mno»enie przez staª¡, równie» operacja skªadania funkcji zwykle nie wyprowadza poza t¦ klas¦, ale to tylko najbardziej elementarne wªasno±ci funkcji ci¡gªych. Wykªad kursowy z elementów matematyki wy»szej dostarczy wielu innych. Rachunek ró»niczkowy i caªkowy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. Rachunek ró»niczkowy. Rachunek ró»niczkowy to jedno z podstawowych narz¦dzi nauk przyrodniczych, techniki i ekonomii sªu»¡ce do badania przebiegu zmienno±ci funkcji. Stworzony zostaª (wraz z rachunkiem caªkowym) w drugiej poªowie VII wieku przez I. Newtona i niezale»nie przez G. W. Leibniza, a kluczowym dla jego powstania byªo poj¦cie granicy funkcji. Podstawowym poj¦ciem rachunku ró»niczkowego jest pochodna funkcji. Pojawiªa si¦ ona jako wielko±¢ informuj¡ca o tym jak szybko zmieniaj¡ si¦ warto±ci danej funkcji wzgl¦dem zmian jej argumentów. 29 Katarzyna Doma«ska O szybko±ci zmian poªo»enia na drodze pojazdu lub innego poruszaj¡cego si¦ po tej drodze ciaªa (poªo»enie jest warto±ci¡ funkcji drogi dla zadanego czasu), czyli szybko±ci zmian w czasie przebytej przez pojazd drogi informuje pr¦dko±¢ tego pojazdu. (Dokªadnie warto±¢ wektora pr¦dko±ci). Je±li, od ustalonego punktu, w czasie byta zostaªa droga równa t2 − t1 s(t1 ), a w czasie t2 , droga s(t2 ), t1 prze- to ±rednia pr¦dko±¢ w czasie jest równa s(t2 ) − s(t1 ) . t2 − t1 Wyznaczenie pr¦dko±ci chwilowej (tej, która osi¡gana jest dla zadanego czasu kazywana w chwili t t i po- przez pr¦dko±ciomierz pojazdu) sprowadza si¦ do wyznaczenia pr¦dko±ci ±redniej w takim przedziale czasu (t1 , t2 ), którego dªugo±¢ jest dowolnie bli- ska zeru. Narz¦dziem matematycznym, które umo»liwia takie obliczenia jest granica funkcji w punkcie. Pr¦dko±¢ v(t0 ) osi¡gana w chwili lim t→t0 t0 jest równa s(t) − s(t0 ) . t − t0 Jako informuj¡ca o szybko±ci zmian poªo»enia w chwili t0 jest ona pochodn¡ w argumencie t0 drogi jako funkcji czasu. W podobny sposób, wprowadzaj¡c poj¦cie pochodnej, rozumowaª Newton. Leibniz poj¦cia pochodnej potrzebowaª w geometrii do badania stycznych do krzywych. Okre±laj¡c styczn¡ jako graniczne poªo»enie siecznej, zapisaª pochodn¡ funkcji w punkcie x0 jako granic¦ w punkcie x0 ilorazu f (x) − f (x0 ) , x − x0 w którym (x, f (x)), (x0 , f (x0 )) s¡ tymi punktami wykresu funkcji f, przez które prze- chodzi sieczna i który równy jest tangensowi k¡ta nachylenia tej siecznej do osi nazywanego ilorazem ró»nicowym funkcji f w punkcie x0 . Ox, Warto±¢ pochodnej funkcji w punkcie jest wi¦c równa wspóªczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu danej funkcji w tym punkcie. Warto zauwa»y¢, »e pochodna funkcji w punkcie jest dla wykresu tej funkcji szkªem powi¦kszaj¡cym. Je±li bowiem z wykresu funkcji si¦ nad przedziaªem (x0 , x0 + h) f wyci¡¢ ten fragment, który znajduje i ogl¡da¢ go w coraz wi¦kszym powi¦kszeniu (prosta komputerowa obróbka), to w dostatecznie du»ym powi¦kszeniu staje si¦ on odcinkiem, a o tym w jakiej prostej zawartym informuje pochodna funkcji f w punkcie x0 . Oznacza to, »e maj¡c wykres funkcji, aby znale¹¢ przybli»on¡ warto±¢ jej pochodnej w zadanym punkcie wystarczy powi¦ksza¢ wykres a» do momentu gdy stanie si¦ odcinkiem. Wspóªczynnik kierunkowy prostej zawieraj¡cej ten odcinek to przybli»ona warto±¢ szukanej pochodnej. Poniewa» powi¦kszanie wykresu prostej b¦d¡cej wykresem funkcji okre±lonej wzorem f (x) = ax + b nie spowoduje pojawienia si¦ odcinka zawartego w innej 30 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa prostej ni» ta wyj±ciowa, dla tej szczególnej funkcji mo»na mie¢ pewno±¢, »e jej pochodna w oboj¦tne jakim punkcie jest równa dokªadnie liczbie a. We wspóªczesnej analizie matematycznej i sama denicja i oznaczenia niewiele ró»ni¡ si¦ od tych wprowadzonych przez Newtona i Lebniza. Dla funkcji −∞ ¬ a < b ¬ +∞ pochodn¡ w punkcie lim x→x0 x0 ∈ (a, b) f : (a, b) −→ IR, gdzie nazywana jest warto±¢ granicy f (x) − f (x0 ) , x − x0 o ile ta granica istnieje i jest sko«czona. Pochodna funkcji w punkcie x0 (LICZBA) 0 oznaczana jest f (x0 ). Granica podaj¡ca warto±¢ pochodnej funkcji f w punkcie x0 znajdowana jest w powy»szej denicji dla funkcji rzeczywistej okre±lonej w zbiorze (a, b) \ {x0 } wzorem takim jak wyra»enie wpisane pod symbol granicy, zwanej zem ró»nicowym funkcji ilora- w punkcie x0 w tym»e punkcie x0 . Funkcj¦ maj¡c¡ ró»niczkowaln¡ w punkcie x0 , a punkt x0 punktem ró»niczkowalno±ci funkcji. FUNKCJA okre±lona na zbiorze wszystkich pochodn¡ w punkcie x0 f nazywa si¦ te» f w taki sposób, »e jej warto±¢ w danym argumencie x to pochodna funkcji f w punkcie x nazywana jest pochodn¡ funkcji f i oznaczana f 0 . Je±li b¦dzie ona podana wzorem, to po lewej stronie tego wzoru pojawi si¦ f 0 (x) oznaczaj¡ce warto±¢ funkcji pochodnej w argumencie x, która wyliczona dla zadanego argumentu np. równego x0 wynosi tyle, ile pochodna funkcji f w punkcie x0 . We wzorach okre±laj¡cych funkcj¦ cz¦sto zamiast f (x) u»ywa si¦ y i wtedy funkcj¦ pochodn¡ 0 zapisuje si¦ wzorem, w którym po lewej stronie umieszcza si¦ y . Np. gdy f (x) = ax + b 0 0 dla x ∈ IR mamy f (x) = a dla x ∈ IR, co przy notacji y = ax + b zapisze si¦ y = a. 0 Krócej zapisuje si¦ (ax + b) = a, x ∈ IR. punktów ró»niczkowalno±ci funkcji Ka»de miejsce zerowe funkcji wany jest f 0, tzn. punkt speªniaj¡cy równanie punktem stacjonarnym funkcji f 0 (x) = 0, nazy- f. Denicje pochodnej funkcji w punkcie oraz funkcji pochodnej pozwalaj¡ wyprowadzi¢ wzory okre±laj¡ce pochodne takich funkcji elementarnych jak wielomianowa, pot¦gowa, wykªadnicza, sinus i cosinus dla wszystkich argumentów, dla których te pochodne istniej¡. Te same denicje s¡ punktem wyj±cia do sformuªowania i udowodnienia twierdze« okre±lanych jedn¡ nazw¡ jako prawa ró»niczkowania, które to podaj¡ sposób wyznaczania pochodnej m. in. sumy, iloczynu, ilorazu, zªo»enia funkcji, których pochodne ju» s¡ znane. Je±li te twierdzenia wykorzysta¢ tylko do podstawowych funkcji elementarnych, to wzory wspomniane wcze±niej uzupeªniaj¡ si¦ o pochodne pozostaªych funkcji elementarnych tworz¡c list¦ tzw. podstawowych wzorów rachunku ró»niczkowego. Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego 31 Katarzyna Doma«ska (xn )0 = nxn−1 , ^ x ∈ IR; n∈IN\{1} ^ (xp )0 = pxp−1 , x > 0; (ax )0 = ax ln a, x ∈ IR; p∈IR ^ a>0 ^ a>0,a6=1 (loga x)0 = 1 , x ln a x > 0; (sin x)0 = cos x, x ∈ IR; (cos x)0 = − sin x, x ∈ IR; 1 π (tgx)0 = , x 6= + kπ, k ∈ ZZ; 2 cos x 2 1 (ctgx)0 = − 2 , x 6= kπ, k ∈ ZZ; sin x 1 (arcsinx)0 = √ , x ∈ (−1, 1); 1 − x2 1 (arccosx)0 = − √ , x ∈ (−1, 1); 1 − x2 1 , x ∈ IR; (arctgx)0 = 1 + x2 1 (arcctgx)0 = − , x ∈ IR; 1 + x2 (sinhx)0 = coshx, x ∈ IR; (coshx)0 = sinhx, x ∈ IR; 1 (tghx)0 = , x ∈ IR; cosh2 x 1 (ctghx)0 = − , x ∈ IR \ {0}; sinh2 x 1 , x ∈ IR; (arcsinhx)0 = √ 2 x +1 1 (arccoshx)0 = √ 2 , x > 1; x −1 1 , x ∈ (−1, 1); (arctghx)0 = 1 − x2 1 (arcctghx)0 = , x ∈ IR \ [−1, 1], 1 − x2 gdzie ex − e−x sinhx = , 2 ex + e−x coshx = , 2 x ∈ IR; x ∈ IR; 32 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa sinhx , x ∈ IR; coshx coshx ctghx = , x ∈ IR \ {0}; sinhx √ arcsinhx = ln(x + x2 + 1), x ∈ IR; √ arccoshx = ln(x + x2 − 1), x 1; 1 1+x arctghx = ln , x ∈ (−1, 1); 2 1−x 1 x+1 , x ∈ IR \ [−1, 1]. arcctghx = ln 2 x−1 tghx = Poni»sze wzory, za wyj¡tkiem dwóch pierwszych, s¡ szczególnymi przypadkami tych z listy, ale jako najbardziej elementarne, cz¦sto wypisywane s¡ oddzielnie. (c)0 = 0; (x)0 = 1, x ∈ IR; (x2 )0 = 2x, x ∈ IR; (ax + b)0 = a, x ∈ IR; (ax2 + bx + c)0 = 2ax + b, x ∈ IR; !0 a a = − 2 , x ∈ IR \ {0}; x x √ 1 ( x)0 = √ , x > 0; 2 x ^ √ 1 ( n x)0 = √ , x > 0; n n−1 n x n∈IN\{1} 1 , x > 0; x (ex )0 = ex , x ∈ IR, (ln x)0 = gdzie a, b, c ∈ IR s¡ ustalone. Do znalezienia pochodnej funkcji elementarnej obok powy»szych wzorów wystarczaj¡ wspomniane wy»ej prawa ró»niczkowania. Gwarantuj¡ one m. in. równo±¢ mi¦dzy pochodn¡ sumy, a sum¡ pochodnych, podaj¡ sposób szukania pochodnej iloczynu, czy zªo»enia dwóch funkcji. Zanim zostan¡ tu wszystkie wymienione przyjmijmy umow¦, »e je±li funkcje f i g s¡ okre±lone w pewnym zbiorze D, to funkcje f c · f, f + g, f − g, f · g, , f ◦ g, g gdzie c jest dan¡ liczb¡ rzeczywist¡, okre±lone s¡ nast¦puj¡cymi wzorami: (c · f )(x) = cf (x), x ∈ D; Katarzyna Doma«ska 33 (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ D; (f − g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ D; (f · g)(x) = f (x)g(x), x ∈ D; ! f f (x) (x) = , x ∈ {x ∈ D : g(x) 6= 0}; g g(x) (f ◦ g)(x) = f (g(x)), x ∈ {x ∈ D : g(x) ∈ D} i nazywane iloczynem funkcji przez liczb¦, sum¡ funkcji, ró»nic¡ funkcji, iloczynem funkcji, ilorazem funkcji, zªo»eniem funkcji, odpowiednio. Prawa ró»niczkowania f i g maj¡ pochodne w pewnym zbiorze D, to równie» funkcje c · f, f + g, f − g, f · g, gdzie c jest dan¡ liczb¡ rzeczywist¡, maj¡ pochodne w zbiorze D, funkcja fg ma pochodn¡ w zbiorze {x ∈ D : g(x) 6= 0}, a funkcja f ◦ g w zbiorze {x ∈ D : g(x) ∈ D, istnieje g 0 (x)}, oraz prawdziwe s¡ wzory Je±li dwie funkcje (c · f )0 = c · f 0 ; (f + g)0 = f 0 + g 0 ; (f − g)0 = f 0 − g 0 ; (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 ; !0 f 0 · g − f · g0 f = ; g g2 (f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g) · g 0 . Ostatni z tych wzorów zwany wzorem na pochodn¡ zªo»enia warto zapisa¢ w wersji, w której wpisane zostan¡ argumenty wszystkich funkcji wyst¦puj¡cych w tym wzorze. [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x). Argumenty pochodnych f 0 i g 0 zapisanych po prawej stronie wzoru s¡ RÓNE. Pochod- f zwan¡ pochodn¡ funkcji zewn¦trznej wpisuje si¦ do wzoru w argumencie g(x), a pochodn¡ funkcji g zwan¡ pochodn¡ funkcji wewn¦trznej w argumencie n¡ funkcji równym x. Z pozostaªych wzorów jeszcze ten na pochodn¡ ilorazu funkcji zapiszmy tu u»ywaj¡c tej samej notacji, co przed chwil¡. f (x) g(x) !0 = f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) . [g(x)]2 atwo jest zauwa»y¢, »e w ¢wiczeniach praktycznych nale»y posªugiwa¢ si¦ takimi wersjami wzorów. Poni»sze prawo jest szczególnym przypadkiem wzoru na pochodn¡ iloczynu funkcji ale, warto zapisa¢ je oddzielnie. 34 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa gdzie h (f · g · h)0 = f 0 · g · h + f · g 0 · h + f · g · h0 , okre±lon¡ i maj¡c¡ pochodn¡ w zbiorze D. jest funkcj¡ Kolejne równo±ci s¡ natomiast przykªadowymi wnioskami ze wzoru na pochodn¡ zªo»enia funkcji oraz z podstawowych wzorów rachunku ró»niczkowego. Tym razem funkcje zapisane zostan¡ wraz z argumentami. Jak porzednio pochodn¡ w zbiorze f 0 (x) , f (x) n∈IN\{1} q n n [f (x)]n−1 q f 0 (x) , ( f (x))0 = q 2 f (x) 1 f (x) !0 =− x ∈ {x ∈ D : f 0 (x) q ( n f (x))0 = , ^ [f (x)]p 0 f (x) > 0}; x ∈ {x ∈ D : f (x) > 0}; x ∈ {x ∈ D : f (x) > 0}; x ∈ {x ∈ D : f (x) 6= 0}; f 0 (x) , [f (x)]2 (sin f (x))0 = f 0 (x) cos f (x), jest funkcj¡ okre±lon¡ i maj¡c¡ D. (ln f (x))0 = ^ f = p[f (x)]p−1 f 0 (x), x ∈ D; x ∈ {x ∈ D : f (x) > 0}; p∈IR (ef (x) )0 = f 0 (x)ef (x) , x ∈ D. Poj¦cia pochodnej funkcji w punkcie i funkcji pochodnej maj¡ wielorakie zastosowania w wielu dziedzinach. M. in. w zyce, informatyce, ekonomii i oczywi±cie w matematyce, gdzie rachunek ró»niczkowy sªu»y m.in. do badania przebiegu zmienno±ci funkcji, obliczania takich granic funkcji, do których nie jest mo»liwe stosowanie metod z teorii granic, znajdowania równa« stycznych do wykresów funkcji czy wyznaczania k¡ta, pod jakim w danym punkcie przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji. Zostan¡ one tu kolejno omówione. Dla funkcji ró»niczkowalnej w danym zbiorze jej pochodna umo»liwia zbadanie monotoniczno±ci tej funkcji. Zwi¡zek mi¦dzy znakiem pochodnej funkcji, a monotoniczno±ci¡ tej funkcji jest nast¦puj¡cy: Je±li funkcja f ma pochodn¡ w zbiorze f 0 (x) > 0, D oraz speªniona jest nierówno±¢ x ∈ (a, b), gdzie (a, b) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w zbiorze D, to f jest rosn¡ca w przedziale (a, b). 35 Katarzyna Doma«ska Je±li funkcja f ma pochodn¡ w zbiorze f 0 (x) < 0, D oraz speªniona jest nierówno±¢ x ∈ (c, d), gdzie (c, d) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w zbiorze D, to f jest malej¡ca w przedziale (c, d). Funkcjom ró»niczkowalnym w pewnym zbiorze ªatwo, z pomoc¡ pochodnych, sprawdza si¦ w tym zbiorze ekstrema lokalne w nast¦puj¡cy sposób: Punkty stacjonarne funkcji f ró»niczkowalnej w zbiorze D s¡ jedynymi punktami zbioru D, w których f mo»e mie¢ ekstremum lokalne. Ponad to, je±li x0 ∈ D jest punktem stacjonarnym funkcji f i w pewnym przedziale (α, x0 ) ⊂ D zachodzi oraz w pewnym przedziale f 0 (x) > 0 (x0 , β) ⊂ D zachodzi f 0 (x) < 0, tzn. pochodna zeruje si¦ w x0 i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny (z lewej strony punktu jest dodatnia, a z prawej ujemna), to f ma w x0 ekstremum i jest to maksimum. Je±li za±, x0 ∈ D jest punktem stacjonarnym funkcji dziale (α, x0 ) ⊂ D zachodzi oraz w pewnym przedziale f i w pewnym prze- f 0 (x) < 0 (x0 , β) ⊂ D zachodzi f 0 (x) > 0, tzn. pochodna zeruje si¦ w x0 i zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni (z lewej strony punktu jest ujemna, a z prawej dodatnia), to f ma w x0 ekstremum i jest to minimum. Je±li w punkcie stacjonarnym pochodna nie zmienia znaku (po lewej stronie punktu i po prawej przyjmuje warto±ci jednego znaku) lub te» badanie zmiany znaku przedstawia sob¡ pewne trudno±ci rachunkowe, to aby rozstrzygn¡¢ kwesti¦ istnienia w tym punkcie ekstremum lokalnego mo»na posªu»y¢ si¦ pochodnymi wy»szych rz¦dów (tam, gdzie istniej¡). Cz¦sto wystarczy do tego druga pochodna. Mianowicie, Je±li w punkcie stacjonarnym x0 druga pochodna nie zeruje si¦, to w tym punkcie jest ekstremum lokalne danej funkcji. Jest to maksimum, gdy warto±¢ drugiej pochodnej w argumencie x0 jest ujemna, minimum, gdy warto±¢ drugiej pochodnej w punkcie x0 jest dodatnia. Je±li wi¦cej pochodnych kolejnych rz¦dów ni» tylko jedna zeruje si¦ w punkcie stacjonarnym, to wyznacza si¦ te pochodne, a» do tego rz¦du, dla 36 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa którego po wstawieniu punktu x0 do pochodnej tego rz¦du uzyska si¦ liczb¦ ró»n¡ od zera. Inaczej mówi¡c dla pewnej liczby naturalnej n uzyskuje si¦ f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = f (3) (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0, Wtedy je±li rowej) f n f (n) (x0 ) 6= 0. jest liczb¡ parzyst¡ to (tak jak dla drugiej pochodnej nieze- ma ekstremum lokalne w a minimum, gdy f (n) (x0 ) > nie ma ekstremum w x0 . x0 . Je±li natomiast 0. f (n) (x0 ) < 0, nieparzyst¡, to f Jest to maksimum, gdy n jest liczb¡ Przy badaniu przebiegu zmienno±ci funkcji przydatne s¡ informacje o tym, w których przedziaªach funkcja jest wypukªa, a w których wkl¦sªa. Je±li funkcja równo±¢ f ma drug¡ pochodn¡ w zbiorze f 00 (x) > 0, D oraz speªniona jest nie- x ∈ (a, b), gdzie (a, b) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w zbiorze D, to f jest wypukªa w przedziale (a, b). Je±li funkcja równo±¢ f ma drug¡ pochodn¡ w zbiorze f 00 (x) < 0, D oraz speªniona jest nie- x ∈ (c, d), gdzie (c, d) jest pewnym przedziaªem (ograniczonym lub nie) zawartym w zbiorze D, to f jest wkl¦sªa w przedziale (c, d). Teoria granic nie zawiera twierdze« podaj¡cych sposób wyznaczania granic ilorazów takich obie maj¡ granice niesko«czone lub zerowe. Symbole nieoznaczoh ifunkcji, h które i ∞ 0 ne oraz cz¦sto sprawiaj¡ trudno±ci rachunkowe. Z wi¦kszo±ci¡ z nich mo»na ∞ 0 upora¢ si¦ stosuj¡c tzw. reguª¦ de L'Hospitala. Mówi ona, »e Je±li funkcje f, g : D −→ IR, gdzie D jest jednym ze zbiorów D = (a, x0 ), −∞ ¬ a < x0 ¬ +∞; D = (x0 , b), −∞ ¬ x0 < b ¬ +∞; D = (a, x0 ) ∪ (x0 , b), maj¡ pochodne w zbiorze D, −∞ ¬ a < x0 < b ¬ +∞ speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki: ^ g(x) 6= 0, g 0 (x) 6= 0 x∈D i lim f (x) = x→x lim g(x) = 0 (lub x→x0 0 lim | f (x) |= x→x lim | g(x) |= +∞) x→x0 0 37 Katarzyna Doma«ska (dla zbiorów D postaci jednej z dwóch pierwszych granice powy»sze s¡ odpowiednimi jednostronnymi) oraz lim x→x f 0 (x) = λ, g 0 (x) lim f (x) = λ. g(x) 0 to równie» x→x0 Na koniec równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 . Jest ono nast¦puj¡ce: y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ). Rachunek caªkowy. Rachunek caªkowy, podobnie jak ró»niczkowy jest jednym z podstawowych narz¦dzi nauk przyrodniczych i technicznych. Stworzony zostaª w drugiej poªowie VII wieku przez I. Newtona i G. W. Leibniza, ale niektóre idee i metody rachunku caªkowego znane byªy ju» w staro»ytno±ci. W III wieku p.n.e. Archimedes obliczaª pola powierzchni i obj¦to±ci ró»nych bryª stosuj¡c metody caªkowe. Newton i Leibniz w swoich pracach zawarli systematyczny wykªad teorii caªki, wprowadzili terminologi¦ i oznaczenia zbli»one do wspóªczesnych, podali metody caªkowania niektórych klas funkcji oraz pokazali zwi¡zek rachunku caªkowego z ró»niczkowym. Teori¦ caªki u±ci±liª (opieraj¡c j¡ na poj¦ciu granicy) Cauchy, a denicj¦ caªki i caªkowalno±ci obejmuj¡c¡ szerok¡ klas¦ funkcji (w tym tak»e niektóre nieci¡gªe) podaª Riemann. Caªka oznaczona to LICZBA przyporz¡dkowywana funkcji caªkowalnej na danym przedziale. Je±li ko«cami tego przedziaªu s¡ liczby a, b (a < b), to liczb¦ t¦ zapisuje si¦ Z b f (x)dx a i nazywa caªk¡ oznaczon¡ z funkcji f po przedziale [a, b]. Riemann podaª ±cisª¡ denicj¦ tej liczby dla funkcji ograniczonej okre±lonej na domkni¦tym przedziale, udowodniª wiele wªasno±ci caªki oznaczonej m.in. tzw. addytywno±¢ ze wzgl¦du na przedziaª caªkowania, tj. nast¦puj¡c¡ równo±¢: Z b a gdzie a<c<b f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b f (x)dx, c oraz pokazaª, »e w klasie funkcji ci¡gªych mo»na j¡ wyznacza¢ za po- podstawowym wzorem rachunku caªkowego lub wzorem Newtona-Leibniza, do stosowania którego wykorzystywana jest tzw. caªka nieoznaczona. moc¡ wzoru zwanego 38 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Caªk¡ nieoznaczon¡ z funkcji których pochodn¡ jest funkcja f, f nazywany jest zbiór wszystkich takich funkcji, zwanych funkcjami pierwotnymi funkcji f, czyli zbiór nast¦puj¡cy: F0 = f} {F : oznaczany symbolem Z f (x)dx. Z uwagi na to, »e pochodn¡ funkcji staªej jest liczba zero, do zbioru Z f (x)dx nale»y niesko«czenie wiele funkcji ró»ni¡cych si¦ jedynie o staª¡. Staª¡ t¡ nazywa si¦ staª¡ caªkowania, oznacza liter¡ C i u»ywa do zapisania zbioru funkcji pierwotnych nast¦puj¡co: Z f (x)dx = F (x) + C, F jest pewn¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f. Jako przykªad funkcji pierwotnej funkcji f (x) = cos x, x ∈ IR mo»e sªu»y¢ funkcja F (x) = sin x, x ∈ IR (ze wzoru rachunku 0 ró»niczkowego wiadomo, »e (sin x) = cos x), a tak»e np. F1 (x) = sin x + 1, x ∈ IR, wi¦c gdzie caªk¦ nieoznaczon¡ z funkcji cosinus zapisze si¦ Z cos xdx = sin x + C. Denicja caªki nieoznaczonej oraz podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego pozwalaj¡ wyprowadzi¢ wzory podaj¡ce caªki nieoznaczone kilku typów funkcji. Tworz¡ one list¦ tzw. elementarnych caªek nieoznaczonych. Elementarne caªki nieoznaczone Z ^ xn dx = n∈IN Z ^ p∈IR\{−1} Z ^ a>0,a6=1 Z Z 1 xn+1 + C, n+1 xp dx = x ∈ IR; 1 xp+1 + C, p+1 x > 0; 1 dx = ln | x | +C, x 6= 0; x Z 1 x ax dx = a + C, x ∈ IR; ln a sin xdx = cos x + C, cos xdx = − sin x + C, x ∈ IR; x ∈ IR; 39 Katarzyna Doma«ska 1 π dx = tgx + C, x = 6 + kπ, k ∈ ZZ; 2x cos 2 Z 1 dx = −ctgx + C, x 6= kπ, k ∈ ZZ; sin2 x Z 1 √ dx = arcsinx + C = −arccosx + C̆, x ∈ (−1, 1); 1 − x2 Z 1 dx = arctgx + C = −arcctgx + C̆, x ∈ IR; 1 + x2 Z √ 1 √ dx = ln(x + 1 + x2 ) + C = arcsinhx + C, x ∈ IR; 1 + x2 Z √ 1 √ dx = ln | x + x2 − 1 | +C, | x |> 1. x2 − 1 Z Poni»sze wzory s¡ szczególnymi przypadkami tych z listy, ale jako najbardziej podstawowe, cz¦sto wypisywane s¡ oddzielnie. Z x ∈ IR; dx = x + C, 1 xdx = x2 + C, x ∈ IR; 2 Z √ 1 √ dx = 2 x + C, x > 0; x Z √ 2 √ xdx = x x + C, x > 0; 3 Z Z ex dx = ex + C, x ∈ IR. Do znalezienia caªki nieoznaczonej, obok powy»szych wzorów wykorzystuje si¦ tzw. reguªy caªkowania, które pozwalaj¡ wyrazi¢ dan¡ caªk¦ nieoznaczon¡ przy pomocy takich, które s¡ caªkami elementarnymi. Gwarantuj¡ one m. in. równo±¢ mi¦dzy caªk¡ sumy, a sum¡ caªek. Reguªy caªkowania Z Z Z Z cf (x)dx = c (f (x) + g(x))dx = (f (x) − g(x))dx = Z Z Z f (x); f (x)dx + f (x)dx − f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) − Z Z Z g(x)dx; g(x)dx; f 0 (x)g(x)dx; 40 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Z g(f (x))f 0 (x)dx = G(f (x)), gdzie G(t) = Z g(t)dt. Ostatnie dwa z tych wzorów nazywane s¡ wzorem na caªkowanie przez cz¦±ci i wzorem na caªkowanie przez podstawienie, odpowiednio. Wzór na caªk¦ z sumy funkcji, iloczynu funkcji przez staª¡ oraz na caªk¦ z funkcji pot¦gowej o wykªadniku naturalnym to aparat wystarczaj¡cy do tego, aby znale¹¢ caªk¦ nieoznaczon¡ z dowolnego wielomianu. Wszystkie dotychczas przytoczone wzory wystarczaj¡ do odnajdywania caªek nieoznaczonych z wielu funkcji ró»nych typów. Poni»sze prawa s¡ przykªadowymi szczególnymi przypadkami wzoru na caªkowanie przez podstawienie, ale warto zapisa¢ je oddzielnie. Z Z f 0 (x) dx = ln | f (x) | +C; f (x) Z f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C; f 0 (x) cos f (x)dx = sin f (x) + C. Kolejne równo±ci to wzory, które nie s¡ do poszukiwa« caªek nieoznaczonych niezb¦dne, ale czasem wygodne i przydatne. Zbiór, na którym pozostaj¡ w mocy zmienia si¦ wraz ze zmian¡ warto±ci parametrów nazywane s¡ a, k i nie zostaª tu zapisany. Trzy ostatnie z nich wzorami rekurencyjnymi. Sprowadzaj¡ caªk¦ o pewnym stopniu trud- no±ci do caªki tego samego typu, ale rachunkowo prostszej. Te dla funkcji trygonometrycznych, je±li s¡ u»ywane, to tylko dla wykªadników b¦d¡cych liczbami parzystymi. Ka»da caªka nieoznaczona z funkcji postaci sinus lub cosinus w pot¦dze nieparzystej jest ªatwa do wyliczenia przy zastosowaniu caªkowania przez podstawienie. Z ^ √ k∈IR 1 x dx = arcsin + C; 2 |a| −x a6=0 Z √ √ 1 √ 1 x2 + kdx = x x2 + k + k ln | x + x2 + k | +C; 2 2 ^ ^ k∈IR ^ Z a6=0 ^ k∈IR √ 1 x2 + k | +C; dx = ln | x + x2 + k Z √ √ Z √ a2 a2 − x2 dx = x√ 2 a2 x a − x2 + arcsin + C; 2 2 |a| √ x2 1 √ 2 1 dx = x x + k − k ln | x + x2 + k | +C; 2 2 x2 + k 41 Katarzyna Doma«ska √ Z 1 n−1Z sinn xdx = − sinn−1 x cos x + sinn−2 xdx; n n Z n−1Z 1 n−1 x sin x + cosn−2 xdx; cos xdx = − cos n n a6=0 ^ n∈IN ^ n∈IN ^ n∈IN\{1} Z x2 a2 x x√ 2 2+ a − x arcsin + C; dx = − 2 2 2 2 |a| a −x Z ^ n 1 x 1 1 2n − 3 Z dx = + dx. 2 n 2 n+1 2 (x + 1) 2n − 2 (x + 1) 2n − 2 (x + 1)n−1 Poza dotychczas sformuªowanymi wzorami, które umo»liwiaj¡ znajdowanie caªek nieoznaczonych z wielu typów funkcji, w tym ze wszystkich wielomianów, usystematyzowane zostaªy tak»e metody wyznaczania caªek nieoznaczonych z funkcji wymiernych, niewymiernych oraz trygonometrycznych. Warto krótko omówi¢ te metody. Ka»da funkcja wymierna (iloraz dwóch wielomianów) daje si¦ zapisa¢ w postaci sumy pewnego wielomianu (czasem zerowego) i takiej funkcji wymiernej, która w liczniku ma wielomian stopnia ni»szego ni» w mianowniku. W tym celu wystarczy wykona¢ dzielenie wielomianu z licznika przez ten z mianownika danej funkcji wymiernej. Oczywi±cie to dzielenie wykonuje si¦ tylko wtedy, gdy wielomian w liczniku jest stopnia nie mniejszego ni» ten w mianowniku. Szukaj¡c caªki nieoznaczonej z funkcji wymiernej, wiedz¡c jak znajduje si¦ j¡ dla wielomianów, wystarczy wiedzie¢ jak to zrobi¢ dla takiej funkcji, która w liczniku ma wielomian stopnia ni»szego ni» w mianowniku, a poniewa» ka»da z takich funkcji daje si¦ zapisa¢ w postaci sumy tzw. uªamków prostych, wystarczy zna¢ sposób znajdowania caªek nieoznaczonych z uªamków prostych. Uªamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywane s¡ funkcje wymierne okre±lone nast¦puj¡cym ilorazem: 1 , (x + a)n gdzie a ∈ IR, n ∈ IN. Uªamkami prostymi drugiego rodzaju nazywane s¡ funkcje wymierne okre±lane ilorazem postaci ax + b , (x2 + px + q)n gdzie a, b, p, q ∈ IR, n ∈ IN, o ile trójmian kwadratowy x2 + px + q jest nierozkªadalny na czynniki (ma ujemny wyró»nik). Caªki z takich funkcji niewymiernych, w których pod pierwiastkiem stopnia n znaj- duje si¦ wyra»enie okre±laj¡ce funkcj¦ liniow¡ lub homograczn¡ (zmienna w pot¦dze 42 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa nie wy»szej ni» pierwszej) lub jednomian dowolnego stopnia zapisa¢ mo»na (oznaczaj¡c przez R funkcj¦ wymiern¡ stosownej liczby zmiennych) jako caªki postaci s R x, n ! ax + b dx lub R x, cx + d s n ax + b , ..., cx + d s m ! ax + b dx. cx + d Przeksztaªcane s¡ one na caªki z funkcji wymiernych za pomoc¡ nast¦puj¡cych podstawie«: s n odpowiednio, przy czym k s ax + b = t, cx + d k ax + b = t, cx + d jest najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb n, ..., m. Caª- ka z takiej funkcji niewymiernej, we wzorze której pod pierwiastkiem kwadratowym pojawia si¦ trójmian kwadratowy znajdowana jest tzw. metod¡ wspóªczynników nieozna- czonych. Metoda ta obliczanie caªki z ilorazu wielomianu przez pierwiastek kwadratowy z trójmianu, sprowadza do obliczenia caªki postaci Z √ ax2 dx , + bx + c a do jej znalezienia mo»na stosowa¢ tzw. podstawienia Eulera − √ dx = t + ax, a 0; + bx + c Z − √ dx √ c, c 0; = xt + ax2 + bx + c Z dx √ = t(x − x1 ), ∆ 0, 2 ax + bx + c x1 jest pierwiastkiem trójmianu ax2 + bx + c) lub (po zapisaniu trójmianu w 2 2 2 z postaci x + k lub a − x , gdzie k ∈ IR, a 6= 0) wzory zamieszczone powy»ej, Z (gdzie jednej √ ax2 bezpo±rednio nad wzorami rekurencyjnymi. Okazuje si¦, »e do caªek z funkcji wymiernych sprowadzaj¡ si¦ tak»e caªki z funkcji trygonometrycznych, a to dzi¦ki nast¦puj¡cym to»samo±ciom: sin2 x = sin2 x tg2 x t2 = = tg2 x + 1 t2 + 1; sin2 x + cos2 x cos2 x 1 1 = = 2 2 tg x + 1 t2 + 1; sin x + cos2 x sin x cos x tgx t sin x cos x = = = 2 2 tg x + 1 t2 + 1; sin x + cos2 x x x x 2 sin 2 cos 2 2tg 2 2u sin x = = 2 2 x x = 2x 2 tg 2 + 1 u + 1; sin 2 + cos 2 cos2 x = cos2 x2 − sin2 cos x = sin2 x2 + cos2 x 2 x 2 1 − tg2 x2 1 − u2 = 2x = 2 tg 2 + 1 u + 1, 43 Katarzyna Doma«ska gdzie t = tgx, x u = tg . 2 To»samo±ci te pozwalaj¡ caªk¦ z funkcji trygonometrycznej, metod¡ caªkowania przez podstawienie, zast¡pi¢ caªk¡ z funkcji wymiernej. Przy znajdowaniu caªek z funkcji trygonometrycznych, obok powy»szych uniwersalnych podstawie«, wsz¦dzie tam, gdzie to mo»liwe wykorzystuje si¦ to»samo±ci trygonometryczne, a powód jest jeden: unikn¡¢ wysokich stopni wielomianów w funkcjach wymiernych. Caªka oznaczona, zdenowana przez Riemanna dla funkcji ograniczonej w domkni¦tym przedziale, mo»e dla pewnych funkcji nie istnie¢. Funkcje, które t¦ caªk¦ maj¡ nazywane s¡ caªkowalnymi. Mo»na udowodni¢, »e Funkcja ci¡gªa na domkni¦tym przedziale jest w tym przedziale caªkowalna. Czyli w klasie funkcji ci¡gªych na domkni¦tym przedziale ka»da funkcja ma caªk¦ oznaczon¡, któr¡ mo»na wyliczy¢ stosuj¡c wspomniany wy»ej nast¦puj¡cy Newtona-Leibniza: Z b wzór f (x)dx = F (b) − F (a), a gdzie F jest pewn¡ (jedn¡ z tej rodziny zapisanej jako caªka nieoznaczona) funkcj¡ pierwotn¡ funkcji ci¡gªej f okre±lonej na przedziale domkni¦tym [a, b]. Caªka oznaczona ma liczne zastosowania w wielu dziedzinach. M. in. w zyce informatyce, ekonomii i oczywi±cie w matematyce, gdzie sªu»y m. in. do obliczania pól obszarów ograniczonych krzywymi, obj¦to±ci i pól powierzchni bryª obrotowych oraz dªugo±ci krzywych. Zostan¡ one tu kolejno omówione. Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f ci¡gªej i okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b], osi¡ OX oraz prostymi x + a, x = b równe jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej: Z b | f (x) | dx. a Dªugo±¢ wykresu funkcji f ci¡gªej i maj¡cej ci¡gª¡ pochodn¡, okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b] równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej: Z bq 1 + [f 0 (x)]2 dx. a Obj¦to±¢ bryªy obrotowej powstaªej z obrotu dookoªa osi OX wykresu funkcji f ci¡gªej i nieujemnej, okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b] równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej: Z b a π[f (x)]2 dx. 44 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa Pole powierzchni bocznej bryªy obrotowej powstaªej z obrotu dookoªa osi wykresu funkcji f ci¡gªej, nieujemnej i maj¡cej ci¡gª¡ pochodn¡, okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b] równa jest nast¦puj¡cej caªce oznaczonej: OX Z b q 2πf (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx. a Poj¦cie caªki oznaczonej rozszerza si¦ na rodzin¦ funkcji okre±lonych na przedziale nieograniczonym oraz rodzin¦ funkcji nieograniczonych w pewnym punkcie przedziaªu domkni¦tego poprzez zdeniowanie tzw. caªek niewªa±ciwych. W pierwszej kolejno±ci rozwa»ymy sytuacj¦ funkcji okre±lonej na domkni¦tym przedziale [a, b], nieograniczonej w pewnym punkcie tego przedziaªu. Je±li h>0 f [a, c − h], gdzie [c + k, b], gdzie k > 0 jest jest funkcj¡ ograniczon¡ i caªkowaln¡ w ka»dym przedziale jest dowolnie maª¡ liczb¡ oraz w ka»dym przedziale dowolnie maª¡ liczb¡ i istniej¡ (i cho¢ jedna jest sko«czona) granice lim+ Z c−h h→0 f (x)dx a oraz lim+ Z b k→0 to suma tych granic nazywana jest f (x)dx, c+k caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczana (takim samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem Z b f (x)dx. a Je±li punktem, w którym f jest nieograniczona jest który± z ko«ców przedziaªu f to podobnie okre±lamy caªk¦ niewªa±ciw¡ z Je±li f w przedziale [a, b], [a, b]. jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym przedziale [a, b − h], gdzie h>0 jest dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica lim Z t t→b− to nazywana jest f (x)dx, a caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w przedziale samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem Z b a f (x)dx. [a, b] i oznaczana (takim 45 Katarzyna Doma«ska Je±li f jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym przedziale [a + k, b], gdzie k>0 jest dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica lim+ Z b t→a to nazywana jest f (x)dx, t caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczana (takim samym jak dla caªki oznaczonej) symbolem Z b f (x)dx. a Kolejne caªki niewªa±ciwe to caªki deniowane dla funkcji okre±lonych na przedzia- ªach nieograniczonych Je±li f [a, +∞), (−∞, b], (−∞, +∞). [a, +∞) jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym [a, t], gdzie t > 0 jest dowolnie du»¡ liczb¡ i istnieje granica okre±lona na przedziale przedziale domkni¦tym lim Z t t→+∞ a to nazywana jest f (x)dx, caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w przedziale [a, +∞) i oznaczana symbolem Z +∞ f (x)dx. a Je±li f okre±lona na przedziale przedziale domkni¦tym [t, b], gdzie (−∞, b] jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym t < 0 jest dowolnie maª¡ liczb¡ i istnieje granica lim Z b t→−∞ t to nazywana jest f (x)dx, caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w przedziale (−∞, b] i oznaczana symbolem Z b f (x)dx. −∞ Je±li f (−∞, +∞) jest ograniczona i caªkowalna w ka»dym [a, b], gdzie a < 0, b > 0 s¡ co do warto±ci bezwzgl¦dnej dowolnie okre±lona na przedziale przedziale domkni¦tym du»e i cho¢ jedna z caªek niewªa±ciwych Z +∞ f (x)dx, a Z b −∞ f (x)dx 46 Katarzyna Doma«ska, AJD Cz¦stochowa jest sko«czona, to ich suma nazywana jest dziale (−∞, +∞) caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f w prze- i oznaczana symbolem Z +∞ f (x)dx. −∞ Caªk¦ niewªa±ciw¡ nazywa si¦ zbie»n¡ je±li istnieje i jest sko«czona. Zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych wykorzystywana jest przy badaniu zbie»no±ci szeregów liczbowych w tzw. kryterium caªkowym zbie»no±ci szeregów liczbowych. Poza tym caªki niewªa±ciwe maj¡ wiele zastosowa« geometrycznych.