definicja twierdząca

Transkrypt

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
WYKŁAD 9
klasyczny rachunek nazw
relacje
1
[email protected]
Katedra Logiki i Metodologii Nauk
Instytut Filozofii
Uniwersytet Łódzki
ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok.13
tel. 635-61-34
dyŜur: poniedziałki, godz. 1200-1300
[w razie potrzeby dyŜur będzie dłuŜszy]
2
Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154
(cienka ksiąŜka)
3
Rachunek nazw (Arystoteles)
Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w którym występują
dwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) połączone funktorem zdaniotwórczym „jest”.
WyróŜniamy cztery typy zdań kategorycznych:
1. zdanie ogólno-twierdzące „KaŜde S jest P” (SaP)
2. zdanie ogólno-przeczące „śadne S nie jest P” (SeP)
3. zdanie szczegółowo-twierdzące „Niektóre S są P” (SiP)
4. zdanie szczegółowo-przeczące „Niektóre S nie są P” (SoP)
S - subiectum (podmiot)
P - praedicatum (orzecznik)
SaP, SiP - affirmo (twierdzę)
SeP, SoP - nego (przeczę)
Przykład
KaŜdy adwokat jest prawnikiem. (SaP)
śaden sędzia nie jest prokuratorem. (SeP)
Niektórzy prawnicy są prokuratorami. (SiP)
Niektórzy prawnicy nie są prokuratorami. (SoP)
Ex(S) ↔ SiS
(zdanie Ex(S) stwierdza istnienie obiektu będącego S, czyli stwierdza niepustość S)
4
Zdania SaP i SiP mają tę samą JAKOŚĆ (w tym przypadku twierdzącą), zaś
zdania SaP i SeP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku ogólną).
Podobnie,
zdania SeP i SoP mają te samą JAKOŚĆ (w tym przypadku przeczącą), zaś
zdania SiP i SoP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku szczegółową).
Zmiana jakości zdania bez zmiany jego ilości oznacza zamianę,
albo SaP na SeP, albo SeP na SaP, albo SiP na SoP, albo zamianę SoP na SiP.
Zmiana ilości zdania bez zmiany jego jakości oznacza zamianę,
albo SaP na SiP, albo SiP na SaP, albo SeP na SoP, albo zamianę SoP na SeP.
Jednoczesna zmiana ilości i jakości zdania oznacza zamianę,
albo SaP na SoP, albo SoP na SaP, albo SeP na SiP, albo zamianę SiP na SeP.
5
diagramy Venna
zdanie prawdziwe
SaP
SeP
SiP
SoP
6
zdanie fałszywe
Prawa z kwadratu logicznego
SaP
SeP
SiP
SoP
↔ ∀x (x∈S → x∈P)
↔ ∀x (x∈S → x∉P)
↔ ∃x (x∈S ∧ x∈P)
↔ ∃x (x∈S ∧ x∉P)
SaP
↔ ¬∃x (x∈S ∧ x∉P)
↔ ¬∃x (x∈S ∧ x∈P)
↔ ¬∀x (x∈S → x∉P)
↔ ¬∀x (x∈S → x∈P)
przeciwne
sprzeczne
(SaP ∧ Ex(S)) → ¬SeP
(SeP ∧ Ex(S)) → ¬SaP
¬SoP
¬SiP
¬SeP
¬SaP
SeP
sprzeczne
podporządkowane
SiP
↔
↔
↔
↔
podporządkowane
podprzeciwne
(¬SiP ∧ Ex(S)) → SoP
(¬SoP ∧ Ex(S)) → SiP
7
SoP
(SaP ∧ Ex(S)) → SiP
(SeP ∧ Ex(S)) → SoP
S
II
I
S - zakres nazwy S
P - zakres nazwy P
I - obiekty S, które są P
II - obiekty S, które nie są P
III - obiekty P, które nie są S
8
III
P
Zadanie WykaŜ, Ŝe:
(SaP ∧ Ex(S)) → ¬SeP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe Ŝaden krasnal nie ma czapki.
[nazwa „krasnal” jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP ∧ Ex(S)) → ¬SaP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma pistoletu i
jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe kaŜdy krasnal ma pistolet.
9
(¬SiP ∧ Ex(S)) → SoP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
ma chorobę weneryczną i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma choroby
wenerycznej.
(¬SoP ∧ Ex(S)) → SiP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal
nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma narzeczoną.
10
(SaP ∧ Ex(S)) → SiP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŜdy krasnal ma czapkę i jakiś
krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma czapkę.
(SeP ∧ Ex(S)) → SoP
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma narzeczonej
i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma narzeczonej.
11
Prawa konwersji (konwersja to przestawienie podmiotu i orzecznika)
prostej
1
↔
↔
SeP
SiP
PeS
PiS
z ograniczeniem
2
(SaP ∧ Ex(S)) →
(SeP ∧ Ex(P)) →
1
2
12
PiS
PoS
Prawa obwersji (obwersja to zanegowanie orzecznika i zmiana jakości zdania)
(1) SaP ↔ Se-P
(2) SeP ↔ Sa-P
(3) SiP ↔ So-P
(1)
(2)
(3)
(4)
13
(4) SoP ↔ Si-P
Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji)
prostej
1
↔ Pa-S
↔ Po-S
SeP
SiP
z ograniczeniem
2
(SaP ∧ Ex(S)) →
(SeP ∧ Ex(P)) →
1
2
14
Po-S
Pi-S
Prawa kontrapozycji
częściowej (kontrapozycja częściowa = konwersja + zmiana jakości + negacja orzecznika)
1
2
3
4
SaP
SoP
(SeP ∧ Ex(S))
(SaP ∧ Ex(-P))
↔ -PeS
↔ -PiS
→ -PiS
→ -SoP
1
2
3
4
15
zupełnej (kontrapozycja zupełna = konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu)
1
2
3
4
↔ -Pa-S
↔ -Po-S
→ -Po-S
→ -Si-P
SaP
SoP
(SeP ∧ Ex(S))
(SaP ∧ Ex(-P))
1
2
3
4
16
Prawa inwersji
częściowej (inwersja częściowa = negacja podmiotu + zmiana jakości + zmiana ilości)
zupełnej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana ilości)
1
2
(SeP ∧ Ex(P)) → -SiP
(SeP ∧ Ex(P)) → -So-P
1
2
17
Tryby sylogistyczne
Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze stałych „a”, „e”, „i”,
„o” i ze zmiennych nazwowych.
Trybem sylogistycznym nazywamy schemat wnioskowania spełniający dwa warunki:
1. Wstępują w nim dwie przesłanki będące formami zdania kategorycznego i ewentualnie
przesłanka o niepustości jakiegoś terminu. Wiosek jest teŜ formą zdania kategorycznego.
2. Wstępują w nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku występuje w jednej
przesłance, a orzecznik wniosku występuje w drugiej przesłance. Termin występujący w obu
przesłankach nie występuje we wniosku - jest on nazywany terminem średnim.
Mamy więc cztery moŜliwe figury trybów sylogistycznych:
I
M P
S M
S P
II
P M
S M
S P
III
M P
M S
S P
18
IV
P M
M S
S P
Poprawne tryby sylogistyczne
figura
I
figura
II
MaP
SaM
SaP
MaP
SaM
Ex(S)
SiP
PeM
SaM
SeP
PeM
SaM
Ex(S)
SoP
figura
III
MaP
MaS
Ex(M)
SiP
figura
IV
PaM
MaS
Ex(P)
SiP
MeP
SaM
SeP
MeP
SaM
Ex(S)
SoP
MaP
SiM
SiP
MeP
SiM
SoP
PaM
SeM
SeP
PaM
SeM
Ex(S)
SoP
PeM
SiM
SoP
PaM
SoM
SoP
MiP
MaS
SiP
MaP
MiS
SiP
MeP
MaS
Ex(M)
SoP
MoP
MaS
SoP
MeP
MiS
SoP
PaM
MeS
SeP
PaM
MeS
Ex(S)
SoP
PiM
MaS
SiP
PeM
MaS
Ex(M)
SoP
PeM
MiS
SoP
19
Zadanie. Sprawdź niezawodność następujących trybów sylogistycznych:
MeP
SaM
SeP
PeM
SiM
SoP
niezawodny
niezawodny
20
PeM
SaM
Ex(S)
SoP
PeM
MeS
SeP
niezawodny
zawodny
21
Dotyczy wszelkich rozumowań, nie tylko trybów sylogistycznych:
Rozumowanie jest poprawne, gdy nie jest w nim popełniony, ani błąd formalny (jest
poprawne logicznie), ani materialny (jest poprawne treściowo).
Błędem materialnym jest wykorzystanie w rozumowaniu przesłanki fałszywej, czyli
wzięcie jakiejś przesłanki fałszywej za prawdziwą.
Błędem formalnym jest zastosowanie zawodnego (niededukcyjnego) schematu
wnioskowania. Wówczas, wniosek nie wynika logicznie z przesłanek, ani na mocy
klasycznego rachunku zdań, ani na mocy klasycznego rachunku kwantyfikatorów, ani
na mocy klasycznego rachunku nazw.
22
PaM
MaS
SiP
PaM
MaS
Ex(P)
SiP
niezawodny
zawodny
Brak załoŜenia niepustości P - np. jeśli kaŜdy pegaz
(P) ma skrzydła umoŜliwiające latanie (M), i kaŜda
istota mająca skrzydła umoŜliwiające latanie (M) moŜe
latać (S), to i tak nie wynika z tego, Ŝe pewna istota
latająca jest pegazem.
Istnienie
załoŜenia
niepustości
P
gwarantuje
niezawodność trybu - nawet rozumowanie dotyczące
pegazów jest wnioskowaniem logicznym: jeśli kaŜdy
pegaz (P) ma skrzydła umoŜliwiające latanie (M), i kaŜda
istota mająca skrzydła umoŜliwiające latanie (M) moŜe
latać (S) i pegaz istnieje, to pewna istota latająca jest
pegazem.
Rozumowanie niepoprawne choć zastosowane do Rozumowanie dedukcyjne choć niepoprawne, z powodu
prawdziwych przesłanek, bo niededukcyjne (z powodu popełnienia błędu materialnego, czyli wykorzystania
popełnienia błędu formalnego).
przesłanki fałszywej.
23
Relacje
Definicja pary uporządkowanej
<a,b> = {{a},{a,b}}.
Wprost z definicji pary uporządkowanej wynika, Ŝe
• <a,b> ≠ <b,a >
(bo przecieŜ {{a},{a,b}} ≠ {{b},{a,b}}).
• <a,b> = <c,d > wtw a = c i b = d.
Definicja trójki uporządkowanej
<a,b,c> = <<a,b>,c>.
Definicja n-tki uporządkowanej
<a1,...,an> = <<a1,...,an-1>,an>.
Z definicji n-tki uporządkowanej wynika, Ŝe
• <a,b,c> = <<a,b>,c> = <{{a},{a,b}},c> = {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.
• <a1,...,an> = <b1,...,bn> wtw a1 = b1, ..., an = bn.
24
Zdanie stwierdzające zachodzenie relacji R między obiektami a i b ma postać (róŜne notacje):
aRb (a pozostaje z b w relacji R) (a jest w relacji R z b)
R(a,b)
<a,b> ∈ R (para uporządkowana <a,b> naleŜy do (jest w) relacji R)
Notacja druga i trzecia umoŜliwiają wyraŜenie relacji więcej niŜ dwuczłonowej:
R(a,b,c), R(a1,...,an)
<a,b,c> ∈ R, <a1,...,an> ∈ R
25
Definicja nieformalna relacji
Relacją nazywamy związek zachodzący pomiędzy przedmiotami określonego typu.
[dość kiepska definicja, bo jak na jej podstawie mówić np. o sumie relacji?]
Definicja relacji
Relacją nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Relacja jest n-argumentowa jeśli
jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego n zbiorów.
[dobra definicja]
Zatem
Relacja dwuczłonowa, to zbiór par uporządkowanych,
relacja trójczłonowa, to zbiór trójek uporządkowanych,
relacja czteroczłonowa, to zbiór czwórek uporządkowanych,
itd.
relacja n-członowa, to zbiór n-tek uporządkowanych.
26
Przykład 1:
Jeśli L jest zbiorem [wszystkich] ludzi, to iloczyn kartezjański LxL jest zbiorem [wszystkich
moŜliwych] par uporządkowanych ludzi.
Wśród tych par są np. takie, Ŝe na pierwszym miejscu znajduje się człowiek posiadający
dziecko, a na drugim to właśnie dziecko. Wszystkie te i tylko te pary tworzą relację „bycia
rodzicem”:
aR1b wtw a jest rodzicem b.
relacja bycia rodzicem = {<a,b> ∈ LxL: <a,b> ∈ R1}
gdzie
R1 ⊆ LxL.
Dlatego poprawna definicja relacji mówi „tylko” o tym, Ŝe relacja jest [jakimś] podzbiorem
iloczynu kartezjańskiego pewnych zbiorów. To zaś jaką jest relacją zaleŜy od tego jakim jest
podzbiorem. Ma tu miejsce definicyjne utoŜsamienie bycia konkretnym podzbiorem iloczynu
kartezjańskiego z treściowo rozumianym byciem jakąś konkretną relacją.
27
Przykład 2:
• Relacją dwuczłonową R1 jest „x jest rodzicem y-ka”. Zatem, jeśli a jest rodzicem b, to aR1b.
• Relacją trójczłonową R2 jest „x jest rodzicem y-ka w chwili z”. Zatem, jeśli a jest rodzicem b w
przedziale czasu do którego naleŜy chwila t, to R2(a,b,t).
• Przykładową relację pięcioczłonową R3 tworzą wszystkie takie piątki uporządkowane
<a,b,c,d,e>, w których
a jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e rodzicem płci Ŝeńskiej,
b jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e rodzicem płci męskiej
(czyli, c i d są dziećmi a i b w przedziale czasu, do którego naleŜy chwila e).
28
Dla relacji dwuczłonowych jest sens mówić o dziedzinie i przeciwdziedzinie relacji.
Dziedzina relacji R:
czyli
Przeciwdziedzina relacji R:
DR = {x: <x,y> ∈ R}
x ∈ DR wtw ∃y xRy.
DR− = {y: <x,y> ∈ R}.
czyli
y ∈ DR wtw ∃x xRy.
Pole relacji R:
PR = DR ∪ DR−.
29
Przykład 3:
Dziedziną relacji R1 jest zbiór wszystkich ludzi, którzy są rodzicem dla przynajmniej jednego
dziecka.
Przeciwdziedziną relacji R1 jest zbiór wszystkich ludzi, dla których ktoś jest rodzicem.
Pytania do przykładu 3:
• W jakiej chwili ktoś jest, a w jakiej ktoś nie jest rodzicem?
• W jakiej chwili ktoś ma rodzica?
• Czy przeciwdziedzina relacji R1 jest równa zbiorowi wszystkich ludzi? Których ludzi?
Czy tylko tych, Ŝyjących?
• Czy pole relacji R1 jest równe przeciwdziedzinie tej relacji?
• W jakim sensie ktoś jest rodzicem? W sensie biologicznym, czy w świetle prawa?
Odpowiedzi na te pytania zaleŜą, od tego jak zdefiniowana jest relacja R1, czyli od tego, które
konkretnie pary uporządkowane ją tworzą, a więc i od tego jak określony jest L - zbiór
wszystkich ludzi.
Niestety, zazwyczaj poprzestajemy na niedookreśleniach.
30
Rodzaje relacji:
Niech R ⊆ ZxZ.
R=∅
Relacją pustą jest:
(Ŝadna para uporządkowana nie jest w relacji R)
R = ZxZ
Relacją pełną w Z jest:
(kaŜda para uporządkowana jest w relacji R)
Konwersem relacji R (relacją odwrotną do R) jest:
R-1 = {<x,y>: <y,x> ∈ R}
Ograniczeniem relacji R w dziedzinie do zbioru A jest:
RD|A = {<x,y>: x ∈ A ∧ <x,y> ∈ R}
Ograniczeniem relacji R w przeciwdziedzinie do zbioru A jest:
RD-|A = {<x,y>: y ∈ A ∧ <x,y> ∈ R}
Ograniczeniem relacji R w polu do zbioru A jest:
RP|A = {<x,y>: x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ <x,y> ∈ R}
Iloczynem relacji R i S jest:
R ∩ S = {<x,y>: <x,y> ∈ R ∧ <x,y> ∈ S}
Sumą relacji R i S jest:
R ∪ S = {<x,y>: <x,y> ∈ R ∨ <x,y> ∈ S}
Iloczynem względnym relacji R i S jest:
R • S = {<x,z>: ∃y (<x,y> ∈ R ∧ <y,z> ∈ S)}
R jest relacją lewostronnie jednoznaczną (RL!) jeśli:
∀x,y,z ((<x,z> ∈ R ∧ <y,z> ∈ R) → x = y)
R jest relacją prawostronnie jednoznaczną (RP!) jeśli:
∀x,y,z ((<x,y> ∈ R ∧ <x,z> ∈ R) → y = z)
R jest relacją jednoznaczną (R!) jeśli R jest lewostronnie jednoznaczną i R jest prawostronnie jednoznaczną.
31
Przykład 4:
♠ Pustą relacją jest „x jest ojcem x”.
♠ Pełną relacją jest „x jest przodkiem y lub x nie jest przodkiem y”.
♠ Konwersem relacji „x jest męŜem y” jest relacja „y jest Ŝoną x” (takŜe „x jest Ŝoną y” ☺ ).
♠ Ograniczeniem relacji „x jest rodzicem y” w dziedzinie do zbioru kobiet jest „x jest matką y”.
♠ Ograniczeniem relacji „x jest rodzicem y” w przeciwdziedzinie do zbioru osób płci Ŝeńskiej
jest relacja „x jest rodzicem y”, gdzie y jest córką x-a (nie „x jest córką y”, bo to byłby konwers
tej relacji).
♠ Relację „x jest rodzicem y” moŜna ograniczyć w polu do zbioru osób zameldowanych w
mieście Łodzi.
♠ Iloczynem relacji „x jest ojcem y” i „x jest młodszy od y” jest relacja pusta.
♠ Sumą relacji „x jest ojcem y” i „x jest matką y” jest relacja „x jest rodzicem y”.
♠ Iloczynem względnym relacji „x jest matką y” i „y jest Ŝoną z” jest relacja ... „x jest „kochaną
mamusią” z”.
♠ Relacja „x jest matką y” jest lewostronnie jednoznaczna.
♠ Relacja „x jest wicewojewodą y” jest prawostronnie jednoznaczna.
♠ Relacja „x jest wojewodą y” jest jednoznaczna.
32
Rodzaje relacji (c.d.):
Niech R ⊆ ZxZ.
R jest zwrotna w Z
wtw
∀x∈Z xRx
R jest przeciwzwrotna w Z
wtw
∀x∈Z ¬(xRx)
R jest symetryczna w Z
wtw
∀x,y∈Z (xRy → yRx)
R jest przeciwsymetryczna w Z
wtw
∀x,y∈Z (xRy → ¬(yRx))
R jest na wpół (słabo) przeciwsymetryczna w Z
wtw
∀x,y∈Z ((xRy ∧ yRx) → x = y) *
R jest przechodnia (tranzytywna) w Z
wtw
∀x,y,z∈Z ((xRy ∧ yRz) → xRz)
R jest przeciwprzechodnia (przeciwtranzytywna) w Z
wtw
∀x,y,z∈Z ((xRy ∧ yRz) → ¬(xRz))
R jest spójna w Z
* tradycyjną nazwą tej relacji jest „słabo antysymetryczna”
wtw
∀x,y∈Z (xRy ∨ yRx ∨ x = y)
R jest relacją równowaŜności na Z wtw R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia
R jest relacją porządkującą zbiór Z wtw R jest przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w Z.
R jest relacją częściowo porządkującą zbiór Z wtw R jest zwrotna, słabo przeciwsymetryczna i przechodnia w Z.
R jest relacją liniowo porządkującą zbiór Z wtw R jest częściowo porządkująca zbiór Z oraz jest spójna w Z.
33
Przykład 5:
♠ Relacją zwrotną na zbiorze ludzi jest „x jest tego samego wzrostu co y”.
♠ Relacją symetryczną na zbiorze ludzi jest „x jest małŜonkiem y”.
♠ Relacją przeciwsymetryczną na zbiorze ludzi jest „x jest Ŝoną y”.
♠ Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze mizantropów-egoistów jest „x kocha y”. ☺
♠ Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze liczb jest „x ≤ y”.
♠ Relacją przechodnią na zbiorze ludzi jest „x jest przodkiem y”.
♠ Relacją przeciwprzechodnią na zbiorze ludzi jest „x jest synem y”.
♠ Relacją spójną na zbiorze liczb naturalnych jest „rok urodzenia x jest wcześniejszy niŜ rok
urodzenia y”.
34
Uwaga oczywista 1:
Relacja, która nie jest symetryczna nie musi być przeciwsymetryczna, np. „x szanuje y”.
Relacja, która nie jest, ani symetryczna, ani przeciwsymetryczna nie musi być słabo przeciwsymetryczna.
Bywają relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani słabo przeciwsymetryczne.
Przykładem takiej relacji jest „x kocha y” określona na zbiorze ludzi.
Uwaga oczywista 2:
Relacja, która nie jest przechodnia nie musi być przeciwprzechodnia.
Bywają relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie. Przykładem takiej relacji jest „x jest
krewnym y” określona na zbiorze ludzi.
Gorąca prośba:
Nie twórzmy relacji nonsymetrycznych, jako takich, które miałyby nie być, ani symetrycznymi, ani
przeciwsymetrycznymi, czy teŜ relacji nontranzytywnych, które miałyby nie być, ani tranzytywnymi, ani
przeciwtranzytywnymi. Tak jak nie tworzymy „równoległoboków samych” (choć takie pomysły istnieją tu i
ówdzie), które miałyby być tymi, które nie są, ani rombami, ani prostokątami. ☺ Skoro o człowieku nie
powie się, ani Ŝe jest parzysty, ani Ŝe jest nieparzysty, to nie znaczy, Ŝe trzeba mówić, Ŝe jest nonparzysty po prostu tych określeń nie uŜywa się mówiąc o ludziach. ☺
35
Przykład 6: Relacją równowaŜności na zbiorze uczniów szkół podstawowych jest „x jest
uczniem tej samej klasy szkoły podstawowej co y”.
Relacja równowaŜności na zbiorze Z jest podstawą podziału logicznego zbioru Z, na którym jest
określona. Człony tego podziału nazywają się klasami abstrakcji.
Klasę abstrakcji danej relacji równowaŜności R tworzą wszystkie te obiekty, które są ze sobą w
relacji R:
[a]R = {b∈Z: aRb}.
a jest reprezentantem swojej klasy abstrakcji. Dowolny element z danej klasy abstrakcji moŜe
być jej reprezentantem.
Wracając do przykładu: relacja równowaŜności przynaleŜności do tej samej klasy szkoły podstawowej
określona na zbiorze uczniów wszystkich szkół podstawowych jest relacją, która dzieli zbiór uczniów
wszystkich szkół podstawowych na klasy abstrakcji będące klasami tych szkół. KaŜdy uczeń danej klasy jest
reprezentantem klasy abstrakcji toŜsamej z tą klasą. Naturalnie, wspomniana relacja moŜe być określona na
zbiorze wszystkich uczniów jednej konkretnej szkoły podstawowej. Wówczas, dzieli ona na klasy abstrakcji
uczniów jedynie tej szkoły.
Inną relacją równowaŜności jest:
- relacja „x pozostaje na tym samym gospodarstwie domowym co y” określona na zbiorze obywateli RP.
- relacja „x jest rówieśnikiem y” określona na zbiorze ludzi.
- relacja „x jest sztućcem z tego samego kompletu co y” określona na zbiorze sztućców.
36
♠ Relacją porządkującą (porządkującą liniowo) zbiór jest „x jest długiem hipotecznym
wpisanym do księgi wieczystej [nie] wcześniej niŜ dług y”. Istotnie, jest to relacja
przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w zbiorze długów hipotecznych danej księgi
wieczystej.
porządek liniowy
♠ Drzewo genealogiczne reprezentuje relację porządkującą nieliniowo:
Relacja „x ≤ y” jest zwrotna, słabo
przeciwsymetryczna i przechodnia w
zbiorze punktów diagramu. Porządkuje
więc ten zbiór zgodnie z symboliką kresek:
punkt x połączony kreską z punktem y, jest
w relacji „x ≤ y”, jeśli x leŜy niŜej niŜ y.
porządek częściowy (nie jest porządkiem liniowym)
37

definicja twierdząca

Transkrypt

Podobne dokumenty

KULTURA LOGICZNA

Materiały do ćwiczeń

moc istnieje

Ad 1. SaP= Każdy ptak lata. SeP= Żaden ptak nie lata. SiP= Niektóre

WZÓR dyplomu

Energooszczędne oświetlenie drogowe. Porównanie technologii

Wilk SEP Konferencja Stan Polskiego Internetu AMW`12

Program zoiper można pobrać tutaj. 1. Po uruchomieniu programu

zal 3_WNIOSKI_I dyskusyjne forum kobiet SEP_2015v2

Konsultant SAP SD