Przestrzeń probabilistyczna ziarnista. Rozkład prawdopodobieństwa

Przestrzeń probabilistyczna ziarnista.
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze co
najwyżej przeliczalnym.
Definicja 1. Każdą funkcję p, z niepustego i co najwyżej przeliczalnego zbioru Ω w
zbiór R liczb rzeczywistych i spełniającą układ warunków:
(r1) p(ω) ­ 0 dla każdego ω ∈ Ω,
(r2)
∑
ω∈Ω
p(ω) = 1,
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω. Parę (Ω, p) nazywamy ziarnistą albo dyskretną przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zbiór Ω jest przeliczalny ale
nie jest skończony, to parę (Ω, p) nazywamy nieskończoną przestrzenią probabilistyczną.
Definicja 2.Jeśli Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωs } i p(ωj ) = 1s dla j = 1, 2, . . . , s, to funkcję p
nazywamy klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a parę (Ω, p) —
klasyczną przestrzenią probabilistyczną.
Definicja 3.Przestrzenie probabilistyczne (Ω1 , p1 ) i (Ω2 , p2 ) nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieje bijekcja g ze zbioru Ω1 na zbiór Ω2 taka, że dla każdego ω ∈ Ω1 i
ω ∈ Ω2 , jeśli ω = g(ω), to p2 (ω) = p1 (ω). O bijekcji g mówimy w tym kontekście, że
zachowuje prawdopodobieństwo.
Zad 1. Niech pm = s · 21m dla m∈N1 . Dla jakiej wartości parametru s, ciąg (pm ) jest
rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze N1 ?
Zad 2. Załóżmy, że m jest ustaloną liczbą naturalną większą od 1, u zaś ustaloną
liczbą rzeczywistą dodatnią i mniejszą od 1. Niech Ωm oznacza zbiór wszystkich
m-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru {0, 1}. Jest więc Ωm = {0, 1}m . Niech
ω ∈ Ω. Jest więc ω m-wyrazowym ciągiem zer i jedynek. Niech p(ω) = uk (1 − u)m−k ,
jeśli w ciągu ω jest dokładnie k wyrazów równych 1 (k = 0, 1, . . . , m). Udowodnij,
że tak określona funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ωm .
W kolejnych zadaniach m oznacza liczbę naturalną większą od 1, u zaś ustaloną
liczbą rzeczywistą dodatnią i mniejszą od 1.
Zad 3. Niech Ω = {0, 1, 2, . . . , m}. Udowodnij, że funkcja
(
)
m k
p(k) =
u (1 − u)m−k dla k = 0, 1, 2, . . . , m.
k
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω.
Funkcję p, o której mowa w zadaniu, nazywamy rozkładem Bernoullego.
Zad 4.Udowodnij, że funkcja
p(m) =
(
)
m−1
k−1
uk (1 − u)m−k dla m = k, k + 1, k + 2, . . .
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Nk = {k, k + 1, k + 2, . . .}.
Funkcję p, o której mowa w ostatnim zadaniu, nazywamy rozkładem Pascala.
Zad 5. Wykaż, że ciąg (pn ), gdzie pn = (1−u)n−1 u dla n = 1, 2, 3, . . ., jest rozkładem
prawdopodobieństwa na zbiorze liczb N1 .
Ciąg (pn ), o którym mowa w ostatnim zadaniu, nazywamy rozkładem geometrycznym.
Zauważmy, że w przypadku u =
mowa w zadaniu 1.
1
2
dostajemy przestrzeń probabilistyczną, o jakiej
Zad 6. Załóżmy, że r jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią oraz, że
rk −r
e dla k = 0, 1, 2, . . . .
k!
Udowodnij, że p jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze liczb naturalnych.
Funkcję p, o której tu mowa, nazywamy rozkładem Poissona.
p(k) =
Zad 7. Niech A = {1, . . . , k} oraz niech k będzie ustaloną liczbą naturalną różną
od 0. Rozstrzygnij, czy funkcja h : A → R określona wzorem:


h(m) =

k2 −k+1
k2
dla m = 1,
1
k2
dla pozostałych m,
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze A?
Przez [x] oznaczmy dalej część całkowitą (cechę) liczby rzeczywistej x.
Zad 8. Rozstrzygnij, która z poniższych funkcji jest rozkładem prawdopodobieństwa
na swojej dziedzinie:
(a) p(m) = m sin m1 , m ∈ N1 ,
(b) p(x) =

 [x],
dla x ∈ {z : z =

dla x ∈ N2 .
0,
1
,m
m
∈ N1 },
Zad 9. Sprawdź, który z poniższych ciągów jest rozkładem prawdopodobieństwa na
zbiorze N1 :
(a) (an ), gdzie an =
1
n
−
1
,
n+1
(b) (bn ), gdzie bn = 2−n−1 ,
√
1
,
n
(c) (cn ), gdzie cn =
n
(d) (dn ), gdzie dn =
3
,
(3n−2)(3n+1)
(e) (en ), gdzie en =
2n−1
.
3·2n
Zad 10. Dla jakiej wartości parametru c, ciąg (fm ), gdzie
(
fm = c ·
ln 1 −
1
(m+1)2
)
ln 2
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze N1 ?