75 years of life and 51 years of
teaching and research
12 September 2011
Dr. Michael P. Wnuk
College of Engineering and Applied Science
University of Wisconsin Milwaukee
Milwaukee, WI 53201
Phones: 414-962-0687 or 414-217-6665
Email: mwnuk1@wi.rr.com or mpw@uwm.edu
Professor Emeritus Michael P. Wnuk has taught Engineering Mechanics at the
University of Wisconsin Milwaukee for more than 20 years. In 1968 he completed his
post-doctoral studies at California Institute of Technology in Pasadena, CA, specializing
in Aeronautical Engineering. His paper resulting from the NASA supported research at
Caltech won a reward at the IUTAM Congress at Stanford University in August 1968.
He has also taught and performed research at various schools in the United States,
including Michigan State University, Stanford University, California Institute of
Technology and Northwestern. Dr. Wnuk has also worked abroad in England, Poland (his
native country), Germany, Russia, Italy, Yugoslavia and China. In 1970 he worked as a
Distinguished Visiting Scholar in the Department of Applied Mathematics and
Theoretical Physics at the University of Cambridge, UK. The British Science Council and
the Office of Naval Research of the US have sponsored his research there. The other
sponsors of his researches include NATO, NASA, the National Science Foundation,
National Academy of Sciences and the National Institute of Standards and Technology.
In 1991, he was appointed a Fulbright Scholar, and in 1992, he received the Lady
Davies Scholarship from the Government of Israel. He is a member of the Sigma Xi
Research Society, an Associate Member of the Cambridge Philosophical Society in
England, member of the American Academy of Mechanics, and a life member of the
New York Academy of Sciences.
Dr. Wnuk is one of the co-founders and a co-chairman of the International Conference
and Research Workshops on Mesomechanics, which convenes every two years (in 1996,
Tomsk, Siberia, in 1998, Tel Aviv, in 2000 in China, and in 2002 in Denmark at the
Aalborg University) in order to merge interdisciplinary research of high-tech nature
involving Physics at nano-scale, Materials Engineering and Mechanics.
He has been selected an ASEE/NASA Summer Faculty several times; in 1966 at the
Johnson Space Center NASA White Sands Test Facility in New Mexico, and then in
1998, 1999, 2000, 2001, 2002 and 2003 at California Institute of Technology/Jet
Propulsion Laboratory in Pasadena, California. Some of his recent work pertains to the
bio-medical applications of Mechanics of Continuous Media, in particular Fluid
Mechanics describing flow of non-newtonian multi-phase fluids, such as flow of blood in
the human arteries.
Since 1994 Dr. Wnuk serves as President of the Panslavia International Research
Institute, Inc., which assists multinational partners in trade, science and technology
transfer with particular emphasis on global problems of ecology and bio-medical R&D.
Pertinent data may also be found at the Internet using the address
www.uwm.edu/~mpw or by writing an email at any of the addresses given above.
Chicago,5 marca 2010
Prof. Miłosz Piotr Wnuk
Szonowny Ponie Profesorze,
Proszę przyjąć moje najserdeczniejsze podziękowania za niezwykty wykład, który Pan
Profesor wygłosił w Konsu|acie GeneraInym W chica8o 25 |utego 2010 r. opowieść o podróży na
Saturna W Pana wvkonaniu wzbudziła zachwyt Iicznie zebranej pub|iczności.
Możliwośćgoszczenia Pana Profesora w murach Konsu|atu była d|a mnie wie|kim u aszczytem.
Dziękuję za poświęcenie Pana czasu na przygotowanie prezentacji ina dojazd z od|egłego Mi|Waukee
do chicago oraz za przedstawienie nam - |aikom _ zawiłościmatematyki ifizyki W tak przystępny
i radosny sposÓb.
Pozwa|am sobie jednocześnie zapewnić Pana Profesora
o moim osobistym
szacunku d|a
Wybitnego po|skiego naukowca pracujqcego poza 8ranicami kraju isławiącemu dobre imię Po|ski.
z poważoniem'
Zygmunt Matynia
i53o North Lakc Shore Drive
Chicago, Iuinois ó0610
(312)337-8L66. Fax: (312) 337'7841
Quantum and Fractal Nature of Fracture
in Solids
Professor Michael Wnuk
University of Wisconsin, Milwaukee
Date & Time Thursday, February 25, 2010
190 Engineering Sciences Building
Neuber’s and Novozhilov’s concept of “fracture quantum” is revisited and incorporated into a
multiscale discrete cohesive model of a fractal crack. According to this model the quasistatic crack
propagation that precedes catastrophic fracture is viewed as a sequence of local instability states, while
the transition from stable to unstable crack extension represents the global instability. Conditions
necessary for occurrence of such a transition are derived from the equation of motion of a quasistatic
Mathematical description encompasses Pugno and Ruoff (2004) technique proposed as Quantized
Fracture Mechanics (QFM) and Wnuk’s structured cohesive crack model combined with asymptotic
model of fractal crack suggested by Wnuk and Yavari (2008).
It is shown that material resistance to failure is enhanced by quantum and by fractal nature of the
fracture process. These two features of the material appear to be inherent defense mechanisms against
fracture in solids. Toughness enhancement due to these features becomes substantial at the micro- and
nano-scale cases, where the crack size is on the order of magnitude of the dimension of the Neuber’s
About the Speaker
Professor Emeritus Michael P. Wnuk has taught Engineering Mechanics at the University of Wisconsin
Milwaukee for more than 20 years. In 1968 he completed his post-doctoral studies at California
Institute of Technology in Pasadena, CA, specializing in Aeronautical Engineering. His paper resulting
from the NASA supported research at Caltech won a reward at the IUTAM Congress at Stanford
University in August 1968.
He has also taught and performed research at various schools in the United States, including Michigan
State University, Stanford University, California Institute of Technology and Northwestern. Dr. Wnuk
has also worked abroad in England, Poland (his native country), Germany, Russia, Italy, Yugoslavia
and China. In 1970 he worked as a Distinguished Visiting Scholar in the Department of Applied
Mathematics and Theoretical Physics at the University of Cambridge, UK. The British Science Council
and the Office of Naval Research of the US have sponsored his research there. The other sponsors of
his researches include NATO, NASA, the National Science Foundation, National Academy of Sciences
and the National Institute of Standards and Technology.
In 1991, he was appointed a Fulbright Scholar, and in 1992, he received the Lady Davies
Scholarship from the Government of Israel. He is a member of the Sigma Xi Research Society, an
Associate Member of the Cambridge Philosophical Society in England, member of the American
Academy of Mechanics, and a life member of the New York Academy of Sciences.
Host: Professor Martin Ostoja-Starzewski
This seminar counts towards the requirement for ME 590 and TAM 500
Letter # 1S: from Mr. Ifeanyi Okonkwor (his address provided as
9375 North 60th Street, Brown Deer, WI 53223).
DATE: December 22, 1996
TO: Dr. Michael P. Wnuk
Dear Dr. Wnuk,
I have been a student in your Strength of Materials class in the Fall semester of 1996. I
thoroughly enjoyed the class and the way in which the subject matter was covered. I
found that you are easily accessible during and after your office hours and all the
discussions with you I found very helpful.
Even though I did not receive the best grade in this class (for which I was hoping for), I
felt that I have learned a lot. You seem to present difficult subjects in a simple to
understand manner. You are one of the most likeable professors in Engineering and for
this I wish to express my gratitude.
Sincerely Yours,
Ifeanyi Okonkwor
Letter # 2S: from Mr. Jiping Zhang, Principal Engineer at SIEMENS Power
Corporation, 1040 S. 70th Street, West Allis, WI 53214
DATE: December 1, 1997
TO: Dr. S. H. Chan, Dean of Engineering
RE: Prof. Michael P. Wnuk
Dear Professor Chan:
I am writing to you in regarding Professor Michael P. Wnuk position at the University. I
was a student at UWM from 1986 to 1991 and earned an MS and a Ph.D. degree in
Engineering. I would like to say that Dr. Wnuk was one of the best professors I have had
at UWM. I have had several courses (240-705, 240-805, 240-780, 240-890) from him and
I heave learnt a lot in his courses. I want you to know that Dr. Wnuk’s teaching ability
was the reason I took one course after another from Dr. Wnuk.
One of the courses, 240-78- - Advanced Fracture Mechanics, has changed my carrier path
from materials engineering to applied mechanics. My Ph.D. dissertation topic was
“Boundary Element Analysis of Fracture Mechanics Problems”. Dr. Wnuk was one of
my thesis committee members at that time. I have got a lot of advice from him, especially
in the area of fracture mechanics. Currently, I am working at Siemens Power Corporation
and responsible for condition assessment of turbine/generator components using fracture
mechanics concepts. In the area of fracture mechanics Dr. Wnuk is highly respected.
I reiterate my respect for Professor Wnuk as an educator and his talents are assets at
UWM. I would welcome further discussion with you and I can be reached at 475-2216.
Thank you for your time.
Sincerely yours,
Jiping Zhang
Principal Engineer, Ph.D.
Finite Element Analysis
& Fracture Mechanics
Letter # 3S: from Terry H. Feng, Ph.D., P.E. of BECHTEL Corporation,
45 Fremont Street, San Francisco, CA 94105
DATE: November 29, 1997
TO: Dr. S. H. Chan, Dean of Engineering
RE: Prof. Michael P. Wnuk
Dear Dr. Chan:
I have personally known Dr. Wnuk since 1985 when I started my graduate study in the
Department of Civil Engineering and Mechanics at UWM. I obtained my Ph.D. degree in
engineering at UWM in 1990. During my five years graduate studies in the College of
Engineering at UWM, I took every graduate class taught by Dr. Wnuk. Dr. Wnuk was
also a critical member in my doctoral program committee. His knowledge was profound
and astounding. His teaching approaches were stimulating and challenging. His
dedication to teaching is admirable. Dr. Wnuk’s inspiration has been one critical factor
that helped me through my graduate studies at UWM eight years ago. The invaluable
knowledge Dr. Wnuk taught me has enabled me to become a successful engineering
specialist today.
Not only Dr. Wnuk is an effective teacher, he is also an understanding, world class
scholar in engineering mechanics and fracture mechanics. When I was still a graduate
student, I was approached and greeted many times in conferences by researchers from all
over the world to express their admiration for Dr. Wnuk and to indicate how lucky I was
to have the opportunity to work with one of the greatest mind in the world. I guess it was
also an indication on how fortunate that the UWM has such a world class scholar.
For the last a few days, I kept thinking for reasons why Dr. Wnuk could be blamed on
ineffectiveness teaching. From what I know, there were many people in CE Department
who were specialized in manipulation and plotting. Dr. Wnuk was an honest person who
does not waste much energy in politics. I sincerely hope that this would not be a reason. I
hate to think of another possibility which relate to an unhealthy habit of some students at
UWM who take a class solely for a good grade but do not want to work hard to get it. Dr.
Wnuk’s teaching style stimulates fundamental understanding of mathematical and
engineering principles. This may cause some hardships for people who rely heavily on
copying homework from others and memorize exam materials from previous classes. If
the latter is true, perhaps these students should be reminded of the purpose they came to
the university.
I would like to appeal to you to consider the views of the current students as well as those
past graduates who had taken many classes from Dr. Wnuk. I am sure I will not be the
only one who would treasure his/her learning experiences from Dr. Wnuk in and out of
Terry H. Feng
Letter # 4S: from Mr. Michael S. Lasky, President of Lasky’s Service, Inc.
DATE: November 28, 1997
TO: Dean S. H. Chan
RE: Prof. Michael P. Wnuk
Dear Dean Chan:
I ran into Professor Michael Wnuk the other day. We had a lengthy discussion regarding
his dilemma at the University. I must say that I found the whole meeting very disturbing.
I graduated from UWM in 1985 with a Master of Science Degree in Engineering
Mechanics. Professor Wnuk was my advisor. I terminated my Doctoral work in 1988.
Had the Engineering Department contained more professors of Michael Wnuk’s quality, I
am sure I would have completed my program. Instead, I became very disillusioned with
UWM in my later years of study. Far too many professors would simply copy their class
notes onto the blackboard, demonstrating, at least in my opinion, a lack of knowledge or
interest in the subject matter. When students discovered errors, certain professors
chastised them for interrupting the class. There were two professors on staff during my
time at the University that I considered exceptional; Dr. Cutler and Dr. Wnuk.
Professor Wnuk showed an enthusiasm for his work, which was absorbed by his students.
He was constantly challenging them to reach for higher levels of excellence. Dr. Wnuk
was always prepared for his lectures and was very willing to stay after class (many of my
courses finished at 9:45 p.m.) to discuss sections of the lecture or difficulties in the
previous assignments. Whether the subject matter was Advanced Fracture Mechanics or
Statics, Dr. Wnuk’s mastery of the subject matter was second to none. Once he would
start lecturing, he would very rarely refer to his class notes showing his preparation and
mastery of the subject matter.
I was fortunate to be a co-author in one of Dr. Wnuk’s papers. Working with Husheng
Feng and Dr. Wnuk proved to be the zenith of my time at UWM. I recall, many days,
working past midnight on the paper and I relished every minute. I was not just working
for myself, but for a man that I considered an honor and a privilege to have had as a
lecturer and mentor.
Michael S. Lasky, President
Lasky’s Service, Inc.
(414) 896-6628
Letter # 5S: from Mr. Jeffrey Riedel, undergraduate student in Engineering, CEAS.
DATE: November 22, 1997
TO: Dean S. H. Chan
RE: Professor Wnuk’s teaching
Dear Dean Chan:
I currently work for Dr. Wnuk as a grader for Statics and I had him as my instructor for
Strength of Materials. Being that I have a lot of contact with Dr. Wnuk, I would like to
express my opinion about his teaching methods and personality.
The methods that Dr. Wnuk uses in the classroom far surpass those of other instructors
that I have had as an undergraduate, both in the geoscience and engineering departments.
Unlike some other professors, Dr. Wnuk challenges his students by integrating his own
research into the classroom, while others are satisfied to regurgitate examples directly out
of the text. Granted because of this, Dr. Wnuk requires more effort on the student part to
understand the presented material. To my dismay most students don’t appreciate this and
would rather complain than apply themselves. Dr. Wnuk also has an interactive
classroom. He allows students to try their hand at explaining homework problem to the
class. This is extremely advantageous to the students because peer presentations give a
different point of view on the current topic. It also allows the class to work as a team and
reason through the problems. I feel that this type of interaction is irreplaceable and
prepare students for the working world.
The interaction with Dr. Wnuk throughout the last two semesters has been very pleasant.
Dr. Wnuk is very easy to get along with. He shows a great deal of concern for his
students and is always willing to discuss any problems that one may have. For example,
Dr. Wnuk and I have had discussions concerning his own research and how it applies to
my interests. To give me more examples of these applications he has recommended texts
that I can refer to find more information. We have discussed opportunities to extend on
my interests such as an independent study course, which I am seriously considering.
I feel that through our interactions, Dr. Wnuk has greatly broadened my horizons by both
challenging me intellectually and by giving me responsibility beyond my class work.
This experience and knowledge that I have gained from Dr. Wnuk is irreplaceable and I
thank him for it. I hope that other students will take advantage of Dr. Wnuk’s talents as I
Thank you for the opportunity.
Yours truly,
Jeffrey Riedel
Letter # 1: from Professor Verne Cutler of the Department of CE & Mechanics
at UWM.
DATE: April 12, 1995
RE: Distinguished Service Award for Dr. Michael Wnuk
Letter is addressed to: Professor Susan Lima
Chair, Awards and Recognition Committee
Department of Psychology
232 Garland
Ordinarily, if I were writing a well delivered letter of recommendation for Professor
Michael Wnuk, it would be to praise and apply his scholarly efforts and his capabilities as
an articulate lecturer. I have witnessed several of his professional presentations at
educational and professional society meetings where he was obviously well received. His
talks, in addition to being fundamentally rigorous, objective in nature, and well
organized, also provoked an enthusiastic response from appreciative audiences. Because
of this reputation as an excellent speaker, he has been invited to lecture on a variety of
topics in many places in the country as well abroad – including Hungary, Italy, Poland,
Russia and Israel.
Now to the point of outstanding service: What is less known by his colleagues is his
unselfish giving of his time to speak to and inspire local high school students to
appreciate the rewards from devoting their energies to obtain a solid education, whether
in Dr. Wnuk’s area of theoretical Mechanics or other academic areas. The feedback has
been that he was not only informative but also entertaining and inspirational – an
uncommon combination of talents. He has, in addition, been instrumental in bringing
students from Poland to study at the University of Wisconsin – Milwaukee. Faculty from
other countries has been invited to spend time at UWM because of Dr. Wnuk’s contacts
developed while lecturing in other countries.
Students in the pre-college program at UWM have benefited because of Dr. Wnuk’s
willingness to give talks to them as well as discuss concerns and interests with any
individual student who wished to do so. From my observations he has had a significant
influence on a number of students inspiring them to continue their education at the
college level – some we now see in the engineering program at UWM.
Dr. Wnuk’s excursions into the local community have not been limited to
academic or professional topics. Some of his presentations have also ventured into the
realm of philosophy, politics, and customs. I am probably not aware of many of his
speaking engagements, however, I am aware of several talks given to local ethnic groups
about present day concerns of people native to Poland and surrounding countries. Along
with this social community relationship, he has given some time to ethnic radio
programming on WYMS for the Milwaukee Public Schools. Where he finds the time for
such special extracurricular contributions is a mystery to me!
The message that I hope to cover thoroughly here is that in addition to serving UWM
well as a faculty member in his chosen professions and academic area, he has also been a
strong and active force in the community without the knowledge of many of his
colleagues. That does not seem to be of concern to him. Instead, his goal and motivation
is to be of service and inspiration to as many individuals and groups as possible without
concern for recognition or cooperation. For that very reason, I strongly recommend that
Dr. Wnuk be given top consideration for the Distinguished Service Award.
Respectfully submitted,
Verne Cutler,
Professor in CE and Mechanics
Letter # 2: from Dr. Kwang K. Lee, Chair of the Department of CE and Mechanics
DATE: October 16, 1996
RE: Recognition from NASA
Dear Dr. Wnuk:
Congratulations on your “Certificate of Recognition” which you received from NASA
reflecting on your performance during this past summer at NASA, White Sands Test
Facility in New Mexico as a selected member of the NASA/ASEE Summer Faculty
Fellowship program.
According to the letter addressed to this department, dated October 11, 1996, you
performed well and NASA is pleased to have you as part of their program.
Best wishes for future successful research cooperation with NASA.
Sincerely yours,
Kwang K. Lee, Chair
CE & M Faculty
Acting Dean Neusen
Letter # 3 from Roger W. Hirons,
Program Director at UWM Center for Continuing Engineering Education
DATE: October 9, 1989
RE: Program #259 – Failure Analysis of Materials, October 3 – 4, 1989
Dear Dr. Wnuk:
You made a fine presentation at our seminar on Failure Analysis of Materials on October
3 – 4, 1989. The attendees were most appreciative of your contribution (see enclosed
transcript of their comments and speaker ratings). The three of you (Manfred Suess,
Thomas Proft and Mike Wnuk) make a high-class speaker panel.
I am just delighted to see an UW-Milwaukee faculty speaker do so well in continued
technology outreach education. You are exceptional and a joy to work with. Your
presentation is high grade for several reasons:
1. It shows careful well-organized and documented preparation.
2. Your teaching skill is outstanding because you explain the why and wherefore
of phenomena as well as the theory.
3. You have a dynamic communications style, sense of humor and wit that
commands respect and attention.
Would you be interested in developing a Fracture Mechanics seminar for spring of 1990?
Several of the attendees expressed interest in such a course. The fee for preparing and
carrying full speaker responsibility would be $650/day or $1,950 for a three-day course.
Please give me a call.
Roger W. Hirons
Program Director
Один из творцов современной механики разрушения
(к 75-летию Майкла Питера Внука)
© 2010
Милош Пётр Внук. Польша. Краков. 2008 г.
Полеты в космос и гонка вооружений стали одной из причин бурного
развития науки и техники в шестидесятые годы ХХ века. В этот период
времени получила свое дальнейшее развитие механика разрушения твёрдых
тел. Вопросами долговечности конструкций с дефектами типа трещин стали
заниматься во многих странах мира, но наиболее существенные результаты
были получены в США, Англии, СССР и Польше. Научные исследования
ученых этих стран составили фундамент современной механики разрушения.
12 сентября 2011 годa выдающемуся американскому ученому
польского происхождения, Милошy Петрy Внукy (Michael Peter Wnuk),
исполняется 75 лет со дня рождения и 51 год научно-педагогической
деятельности в области механики и физики разрушения.
Свой путь в науку М. Внук начал в технологическом
города Кракова. Здесь он в 1959 году получил магистерскую степень
(механика), а уже через три года стал кандидатом наук (Ph.D.). С этого
момента М. Внук становится ассистентом кафедры физики Краковского
технологического университета и занимает эту должность вплоть до переезда
в США в 1966 г. За четыре года молодой ученый опубликовал 6 научных
Пестриков В.М.(email: vpest@mail.ru), д.т.н., проф., заведующий кафедрой «Информатика» СанктПетербургского государственного университета сервиса и экономики (191015 Санкт-Петербург, ул.
Кавалергардская дом 7). Известный ученый в области механики разрушения и моделирования научнотехнических проблем (www.kafedrainf.ru,).
статей в изданиях Польской Академии наук. Пять статей были посвящены
различным задачам деформирования стержневых конструкций, а одна –
прикладным вопросам математики, выражению эллиптических интегралов
первого и второго рода через элементарные функции и применению
полученных результатов к физическим проблемам.
Талантливый исследователь не остановился на достигнутом и в 1965
году получил магистерскую степень по теоретической физике престижного
Ягелонского университета в городе Кракове.
Аспирант Милош Внук. Краков.1962 г.
В 1966 году М. Внук получает приглашение на годичную научную
стажировку в Калифорнийский технологический институт (Caltech) по гранту
NASA. В тоже время он получил приглашение на должность доцента в
Университет американского штата Южная Дакота. Этот год явился в жизни
ученого самым важным, так как он связал всю свою дальнейшую научную
деятельность с США, где плодотворно работает и по сей день. Сначала он
занимает должность доцента, потом профессора Университета Южной
Дакоты. В 1967 году в трудах этого университета появляется первая статья
М. Внука в области механики разрушения: "Kinetic Energy and Equation of a
Motion of a Spreading Penny-Shaped Crack". Статья была замечена в научном
мире и принесла известность молодому ученому. В августе 1968 года он
представил результаты своей работы на Конгрессе IUTAM (International
Union of Theoretical and Applied Mechanics) в Стэндфордском университете.
ему продолжить
научноисследовательскую pаботу в области авиационной техники в
Калифорнийском технологическом институте в Пасадене, штат Калифорния.
В 1970 году профессор М.Внук работал почетным научным
сотрудником в департаменте прикладной математики и теоретической
физики Кембриджского университета Великобритании. В этом же
департаменте в свое время работал великий Исаак Ньютон. Во время своего
визита в Кембриджский университет проф. Внук работал с известными
учеными Родни Хиллом (Rodney Hill) и Джоном Уиллисом (John Willis).
Исследования проф. М. Внука спонсировали Британский совет по науке
(British Science Council) и Управление военно-морских исследований США
(Office of Naval Research of the USA).
В дальнейшем М. Внук внес большой вклад в развитие механики
разрушения и его имя занимает достойное место в мировой науке. Созданная
им теория разрушения позволяет определять долговечность твердых тел с
трещинами при различного типа нагрузках. В 1971 г. М. Внук в соавторстве с
В. Кнауссом (W.G. Knauss)
исследовал проблему начального периода
развития пространственной дискообразной трещины с вырожденной
кольцевой пластической зоной в вязко-упругом массиве. В основу
исследования была положена модифицированная модель Леонова-ПанасюкаДагдейла, когда напряжения в концевой зоне трещины полагаются
зависящими от истории нагружения.
Дж. Ирвин (G.R. Irwin, второй ряд, крайний справа), М. Внук (M. Wnuk, третий ряд,
крайний справа). Дж. Хатчинсон (J.W. Hutchinson, средний в четвертом ряду). Пятая
конференция по механике разрушения. Бетлехем, штат Пенсильвания. Июнь 1968.
Известен критерий М. Внука (1972), иногда его называют критерием
«завершающего натяжения» или «дельта-COD», для исследования медленного роста трещины. Согласно этому критерию приращение нормального
перемещения в некоторой точке перед концом трещины сохраняется
постоянным в течение медленной стадии роста трещины. Этот критерий
отличается от критерия предельного раскрытия трещины тем, что в нем
ограничение накладывается не на смещение, а на разность смещений.
Критерий Внука позволил решить ряд важных практических задач механики
разрушения, в частности, связанных с докритическим ростом трещин.
Теория Внука, основанная на концепции постоянства напряжений в
концевой зоне, лучше других микроструктурных теорий описывает кинетику
роста трещин в полимерных материалах.
М. Внуком впервые введен термин "зона процесса" и получено
дифференциальное уравнение роста докритической устойчивой трещины,
которое носит название: уравнение Внука-Райса-Соренсена (Wnuk-RiceSorensen). Это уравнение определяет так называемую «универсальную» Rкривую сопротивления материала к разрушению не зависящую от геометрии.
Все это дает основание назвать Милоша Внука одним из тех, кто
наряду с такими выдающимися учеными, как Дж. Ирвин (G.R. Irwin), Д.
Дагдейл (D.S. Dugdale), А. Уэллс (A.A. Wells), М.Я.Леонов, В.В. Панасюк,
Г.П. Черепанов, Е.М. Морозов и др., во второй половине ХХ века заложил
фундамент современной механики разрушения.
М. Внук, наряду с научными исследованиями, находит время и для
подготовки молодых ученых; он преподавал и проводил исследования в
различных научных вузах в Соединенных Штатах, в том числе, в
Калифорнийском технологическом институте и др. Милош Внук также
работал за рубежом в Англии, его родной Польше, Германии, России,
Италии, Югославии, Китае и других странах.
Проф. М.П. Внук во время чтения лекции на математическом факультете Варшавского
университета, 2004 г. и его книга лекций «Основы механики разрушения» (на польском
языке). 3-е изд. 2008.
В 1982 году М. Внук переезжает в город Милуоки, в двух часах езды
от Чикаго, где занимает должность профессора университета Висконсин. В
2001-2008 г.г. М. Внук - почетный профессор Университета Висконсина –
Милуоки. С 2008г. по 2009 г. М. Внук - координатор по международным
связям Колледжа инженерных и прикладных наук Университета Висконсина
- Милуоки.
В университете Висконсина М. Внук начал научные исследования в
области физической мезомеханики, нового научного направления на стыке
физики и механики деформируемого твердого тела. Профессор М. Внук
вместе с профессором В. Е. Паниным (Институт физики прочности и
материаловедения Сибирского отделения РАН) явился одним из основателей
и сопредседателем Международной конференции и семинара по вопросам
мезомеханики, которая созывается один раз в два года (в 1996 г., г. Томск,
Сибирь, 1998, Тель-Авив и в 2000 - Китай) в целях объединения
междисциплинарных исследований высокотехнологичного характера в
физике, механике и материаловедении.
В 1996 году на форуме «Мезоразрушение» было предложено издавать
в Томске международный журнал «Физическая мезомеханика» на русском
и английском
редколлегии журнала стал проф. М. Внук. Следует заметить, что этот журнал
является единственным международным изданием, в котором публикуются
результаты теоретических и экспериментальных исследований и обзоры в
области физической мезомеханики с учетом фрактальной геометрии
Международная конференция по физике,
мезомеханике и системам автоматизированного
проектирования и развития перспективных
материалов, 25 - 28 августа 2004, Томск
Три профессора: M. П. Внук, С.П.
Псахье (Директор ИФПМ СО РАН) и
В.Е.Панин ( главный редактор журнала
Благодаря работам М. Внука и его коллег удалось на базе физической
мезомеханики разработать методы компьютерного конструирования новых
материалов и технологий их получения. Были развиты неразрушающие
методы контроля материалов и конструкций, в условиях нагружения. Все это
нашло применение в различных областях энергетики, нефтегазового
комплекса, металлургии, машиностроения, транспорта, ракетной техники
и др.
Милош Внук является многогранным ученым, широта его научных
интересов поражает и вызывает восхищение у тех, кто его знает. Он
интересуется проблемами далекими от механики разрушения, в частности,
полетом на планету Сатурн, числами Фибоначчи, а также литературой.
Работая по грантам NASA (1997–2004), он издает книгу «Математика зонда
Кассини летящего к Сатурну».
Профессор Милош Внук и его расчетные орбиты полета на Сатурн. Книга М. Внука
“Mathematics of the Cassini’s Journey to Saturn”, Jet Propulsion Laboratory, Caltech, 2000.
Числа Фибоначчи всегда привлекaли ученых своей таинственностью.
Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал
последовательность Фибоначчи как «лжешифр». Известна связь между
числами Фибоначчи и золотым сечением. Открытие средневекового
математика Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи, представляет
собой не просто игру с числами, а самое важное математическое выражение
природных явлений из всех когда-либо открытых. Не удивительно, что магия
чисел Фибоначчи привлекла и д-ра Милоша Внука. Он совместно с
сотрудником испытательного полигона NASA «White Sands» в Нью-Мексико
Карлом Свопсом (Carl Swopes) написал книгу, в которой они рассмотрели
связь между рядом Фибоначчи и египетскими пирамидами. Многие пытались
разгадать секреты пирамид в Гизе. Ключ к геометрическому секрету пирамид
в Гизе, как известно, был передан Геродоту храмовыми жрецами,
сообщившими ему, что пирамиды построены так, чтобы площадь каждой из
ее граней была равна квадрату ее высоты. Высота пирамиды, как известно,
484.4 фута, что соответствует 5813 дюймам, тогда числа 5-8-13 не что иное,
как числа из последовательности Фибоначчи.
Обложка книги М. Внука и К. Свопса о
законах хаоса и пирамидах. Справа:
обложка сборника статей и докладов по
механнике разрушения летней школы
Белградского университета (IFMASS).
Проф. М. Внук является основателем и одним из руководителей
международной школы IFMASS, основанной вместе с профессoром Стояном
Седмаком в 1981 году. Школа привлекает знаменитых ученых в качестве
преподавателей и существует по сей день. Все лекции проф. М. Внука,
прочитанные во время работы в международной школе IFMASS были
опубликованы в Белграде издательством „Proceedings IFMASS”.
В 1991 году профессор Внук был координатором и директором
продвинутого международного курса по механике и физике деформации,
организованного под патронатом Международного научного центра
механики (CISM) в Удине, Италия.
С 1987 года М. Внук занимает пост президента Международного
научно-исследовательского института "Панславия" (Panslavia), который
помогает зарубежным коллегам, ведущим исследования в области торговли,
науки и промышленных технологий с особым акцентом на глобальные
проблемы экологии и медицины.
Несмотря на большую занятость, Милош Внук находит возможность
принимать участие и выступать с докладами на международных
конференциях, встречаться с коллегами. Он был дружен с рано ушедшим из
жизни известным ирландским ученым в области механики разрушения
Бертраном Бробергом (B. Broberg). C 1996 г. по 2002 г. М. Внук по
ASEE/NASA приглашался в качестве профессора
консультанта в Космический центр имени Джонсона – NASA и в
Лабораторию Реактивной Тяги (Jet Propulsion Laboratory) Калифорнийского
технологического института.
Милош Внук и Бертран Броберг
(B. Broberg), Киев, 1993 г.
Милош Внук и Вольфганг Кнаусс (W.G.
Knauss). Калифорнийский технологический
институт (Caltech), 2002 г.
Особо следует отметить плодотворную работу Милоша Внука в
Польше. Здесь он преподавал в Институте фундаментальных технических
проблем Польской академии наук в Варшаве и в Академии горного дела и
металлургии (АГМ) в Кракове. На базе прочитанного курса лекций по
механике разрушения в течение осеннего семестра 1974 года для
докторантов и научных работников АГМ, был написан и издан вузовский
курс лекций „Основы механики разрушения” в 1977 году. Второе издание
этого учебника вышло в 1982 году, а его исправленная и дополненная версия
была издана в 2008 году под тем же названием Краковским научным
издательством „Akapit” Академии горного дела и металлургии.
Восьмая Международная конференция по механике разрушения (ICF8), слева направо:
проф. В.М. Пестриков, проф. М.П.Внук, проф. В.И.Астафьев. Киев. Пуща Водица. 8-14
июня 1993 г .
Профессор Милош Внук, имея русские корни, живо интересуется
Россией, ее прошлым и настоящим. Он, по линии своего отца Мариана
Внука, происходит из рода князя Юрия Долгорукого, основателя Москвы.
Надпись на мраморной доске гласит:
Профессор Мариан Внук
2 XII 1902 – 18 VII 1975
Превосходный воспитатель
Великий любитель путешествий,
который изучая польский язык,
изучил жизнь
Благодарные ученики класса XIc
- выпускники 1967
Памятная мраморная доска в честь отца Милоша Внука, профессора Мариана Внука,
установленная в пятой гимназии им. Витковского в Кракове.
Отец Милоша Внука долгие годы преподавал в пятой гимназии имени
Витковского (Witkowskiego) в Кракове. Мариан Внук очень хорошо знал
историю России, что передалось его сыну, который многому научился от
отца. Отметим один штрих к портрету Мариана Внука, который высоко
характеризует его славянские патриотические настроения. Когда танки
Красной Армии под командованием маршала Конева подошли к Висле,
Мариан пришел в их расположение и предложил офицерам отобедать у него
Частые приезды М. Внука в Россию дали пищу для его писательских
экспериментов. Его книга «Пробуждение России» на русском языке увидела
свет в 1992 г. в Чикаго, в следующем году вышел перевод на английский. В
Польше на ее основе осуществлена театральная постановка. Описываемые в
ней события датированы концом 1991 - началом 1992 г. Это было странное
время, а вернее - конец странного времени по имени "перестройка". Вот как
отозвался об этой книге голливудский театральный критик Леон Мартелл:
«Основная тема этой истории заключается в словах: "красота, увиденная
однажды, не утеряна никогда". Сюжет развивается на фоне величия и блеска
старой имперской России, резко контрастирующего с мрачностью и нищетой
повседневной жизни в России современной. Воля автора понять эту
странную страну огромна. Он пытается объяснить, каким образом
всеохватная и всевластная тоталитарная система, только что обрушившаяся,
подготовила почву для образа жизни, напоминающего дни Аль Капоне в
Чикаго в начале века. Независимо от этих впечатлений путешественника по
России во время жестокого перехода к новой эре посткоммунизма, книга
содержит чарующую "Love story"; нежную и сложную, искреннюю и
непостижимую, как сама жизнь. Духовно и трогательно... Мужчина,
очарованный своими славянскими предками, Россией, русским народом и
женщиной, олицетворяющей все это. Вся история подобна возвышенной
поэме, фантастическому превращению: прекрасная волшебная сказка,
написанная Демоном, влюбленным в Тамару».
Обложки книг: Майкл П. Внук «Пробуждение России. Записки путешественника». Томск,
1997. (рус. яз.), Милош П. Внук «Царь Михаил и царица Светлана. Рассвет новой России»
(польский язык) и Майкл П. Внук «Svetlana and Michael. A love story», Bloomington, 2010.
(англ., рус., польский яз.)
Интересно отметить, что М. Внук, будучи частым гостем в России, не
допускает отрицателных высказываний в ее адрес, когда оказывается за ее
пределами. Ему чужды лавры французского путешественника маркиза
Астольфа Луи Леонора де Кюстина. Он считает Россию оплотом славянского
мира и молится за ее благополучие, о чем Милош не преминул сказать в
своей книге «Пробуждение России. Записки путешественника»: «На минуту
я задерживаюсь в церкви Петра и Павла и там, в молчании смотря на
дрожащие огоньки свечей, благодарю православного Бога за то, что Россия
вновь становится тем, чем должна быть всегда - колыбелью неукротимой
славянской души и свободы выбора собственной философии жизни,
уважающей культуру и гуманизм независимо от их происхождения».
Доктор Милош Внук по велению своего сердца ведет большую
общественную работу межгосударственного масштаба, направленную на
взаимообогащение народов в области науки и культуры. С 1983 года М. Внук
является президентом американского культурного фонда, самой активной
общественной организации, содействующей развитию польской культуры в
Соединенных Штатах Америки. С 2005 года М. Внук - президент Польского
фонда американской культуры имени Игнация-Яна Падеревского в Кракове.
Д-р Майкл П. Внук приветствует участников ежегодного совещания Совета директоров
ACPC (Американский совет по польской культуре) в Милуоки, штат Висконсин в апреле
2009 года.
Научные заслуги Милоша Внука были отмечены в 1991 году
стипендией Фулбрайта. Он лауреат престижной премии Леди Дэвис
правительства Израиля (1992 г.). Является членом научного общества Sigma
Xi2, общества Pi Таu Sigma3, Американской академии механики, Общества по
улучшению материалов и технологий производства, Американской
ассоциации содействия развитию науки, членом-корреспондентом
Sigma Xi – некоммерческое научно-исследовательское общество, основанное в 1886 в Корнельском
университете группой студентов для поддержки научно-исследовательских учреждений в обеспечении
добросовестности в области науки и техники для укрепления общественной роли науки в целях улучшения
условий жизни человека. В настоящее время общество включает в себя около 60000 ученых и инженеров.
Более 200 лауреатов Нобелевской премии были членами Sigma Xi.
В члены общества Pi Таu Sigma избирают претендентов, обладающих рациональным отношением к
технике, науке, личности и способных в будущем достигнуть успеха в избранной ими области
Кембриджского философского общества в Англии и пожизненным членом
Нью-Йоркской Академии наук. В Польше, имя Милоша Внука стоит в одном
ряду с такими известными учеными, как Николай Коперник, Леопольд
Инфельд, Витольд Новацкий и др. Проф. М. Внук вместе с белградским
проф. Стояном Седмаком в 1981 году явился основателем и одним из
руководителей международной школы IFMASS. IFMASS продолжает
работать по сей день, сохраняя традиции, заложенные ее основателями, в
частности, привлечение в качестве преподавателей известных ученых в
области механики разрушения.
В 2009 году за выдающиеся достижения Милош Пётр Внук был назван
человеком года по версии Американского биографического института
(American Biographical Institute for Dedication and Excellence).
Награда д-ра М. Внука "Man of the Year 2009" и обложка его книги «Нелинейная механика
разрушения» изданная в 1990 г. издательством Springer-Verlag, Wien - New York.
Милош Внук как человек очень деликатен, внимателен и добр, всегда
готов прийти на помощь другу, если тот оказался в беде. С ним приятно
обсуждать научные проблемы и находить их решение. Он большой юморист.
До сих пор в Краковском политехническом институте ходят легенды об
забавных ситуациях, в которые попадал их воспитанник, будучи сначала
студентом, потом молодым преподавателем и наконец ученым с мировым
Милош Внук. Краков. Польша. 2008 г.
Все друзья и коллеги сердечно поздравляют Милоша Внука с 75летием и желают ему крепкого здоровья, оптимизма и долгих творческих
успехов в науке и литературе.
Список основных научных публикаций
1. Introduction to Fracture Mechanics, (in Polish), published by the Academy of Mining
and Metallurgy Press and AKAPIT Publishers, Krakow, Poland, 1977, 1982 and 2008.
2. Nonlinear Fracture Mechanics, (in English), co-author and editor, published by SpringerVerlag, Berlin – New York, 1990.
Технические отчеты, доклады и бюллетени для ограниченного распространения
1. "Review of Some Russian Papers Pertinent to the Fracture Mechanics," California
Institute of Technology, September 1967, GALCIT SM 67-9.
2. "Delayed Fracture in Viscoelastic-Plastic Solids," GALCIT 68-8, California Institute of
Technology, March 1968 (written jointly with Dr. W. G. Knauss).
3. "Energy Criterion for Initiation and Spread of Fracture in Visco-Elastic Solids,"
Engineering Experimental Station Bulletin No. 7, South Dakota State University,
Brookings, South Dakota, April 1968.
4. "Similarity Between Creep Rupture in Visco-Elastic Solids and Fatigue in Metals,"
Annual Progress Report for Office of Naval Research, Task Order NR 064-513, April
5. "Delayed Fracture Under Alternating Loadings," Annual Progress Report for the Office
of Naval Research, Task Order NR 064-513, South Dakota State University, August
6. "Subcritical Propagation of Fractures in Solids," Quarterly Progress Report for NASA
under grant NGR 42-003-006, Brookings, South Dakota, July 1970.
7. "Prior-to-Failure Extension of Flaws under Monotonic and Pulsating Loadings," Annual
Progress Report for NASA under grant NGR 42-003-006, Brookings, South Dakota, May
8. "Effect of Ductile and Viscous Dissipation on Fracture of Solids," University of
Cambridge and South Dakota State University, Annual Progress Report for Office of
Naval Research Task Order NR 064-513, August 1971.
9. "Slow and Fast Motion of Cracks in Inelastic Solids," Annual Progress Report for NASA
prepared under grant NGR 42-003-006, South Dakota State University, August 1972,
(written jointly with Dr. George Sih, Lehigh University, Bethlehem, PA).
10. "On Assessment of Fracture Toughness Near or After General Yield" (Part A) and
"Extension of Fracture by Combined Fatigue and Creep Under Confined Yield
Condition" (Part B), Final Progress Report prepared for NSF at South Dakota State
University, March 1977, Grants #GH43605 and DMR 74-0231GA-02.
Публикации в изданиях технических обществ и реферируемых журналах
1. "Limit State of a Bar with Arbitrary Cross-Section Under Tension and Torsion," Bulletin
of Polish Academy of Sciences, Vol. 10, No. 6, 1962, p. 221.
2. "Upper and Lower Bounds of the Plastic Interaction Curve for Combined Tension and
Torsion, Part I and Part II," Bulletin of Polish Academy of Sciences, Vol. 11, No. 2, 1963,
p. 33.
3. "Steady-State Creep Process of a Bar Loaded by an Axial Force and a Torque," Arch.
Mech. Stosow, Vol. 15, No. 3, 1963, p. 397. Co-authored with Professor S. Piechnik.
4. "Effect of Torsion and Tension on a Prismatic Bar with Cross-Section of Arbitrary Shape
in the Elastic-Plastic Range," Bulletin of Polish Academy of Sciences, Vol. 11, No. 11,
1963, p. 379.
5. "Yield Curves for Bars of Various Cross-sections Under Combined Torsion and
Tension," Bulletin of Polish Academy of Sciences, Vol. 11, No. 11, 1963, p. 371.
6. "An Approximation to Elliptical Integrals of the First and Second Kind by Means of
Elementary Functions and Some Applications to Physical Problems," Zastosowania Mat.,
Vol. 7, 1963, p. 205.
7. "Length of Plastic Zones for Penny-Shaped Cracks," Bulletin of Polish Academy of
Sciences, Vol.13, No. 8, 1965, p. 445. Co-authored with Professor Z. Olesiak.
8. "Plastic Energy Dissipation Due to a Penny-Shaped Crack," Rozprawy, Vol. 14, No. 3,
1968, p. 441. Co-authored with Z. Olesiak.
9. "Kinetic Energy and Equation of a Motion of a Spreading Penny-Shaped Crack," in
Proceedings of the South Dakota Academy of Sciences, Vol. 46, 1967.
10. "Energy Balance at Fracture in Elastic-Plastic Solid Due to an Axially Symmetrical
Crack," presented at Canadian Congress of Applied Mechanics, Quebec, May 1967; the
abstract is published in the Proceedings of the Canadian Congress, 1967.
11. "Plastic Energy Dissipation Due to Penny-Shaped Crack, (Part I and Part II),"
International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 4, No. 4, December 1968, p. 383 (Part
I). Co-authored with Professor Z. Olesiak.
12. "Criteria of Ductile Fracture Initiated by a Penny-Shaped Crack," Journal of Lubrication
Technology, Transactions of ASME, Vol. 90, Series F, January 1968, pp. 56-65.
13. "The Nature of Fracture in Relation to Total Potential Energy," British Journal of
Applied Physics, London, England, Ser. 2, Vol. 1, 1968.
14. "Effects of Time and Plasticity on Fracture," British Journal of Applied Physics, Ser. 2,
Vol. 2, 1969, p. 1245.
15. "Delayed Fracture in Viscoelastic-Plastic Solids," International Journal of Solids and
Structures, Vol. 6, 1970, pp. 995-1009. Co-authored with W. G. Knauss.
16. "Subcritical Growth of Fracture," International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 7,
1971, pp. 383-407.
17. "Slow Growth of Cracks," presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics,
University of Calgary, May 1971, cf. Proceedings of CANCAM 71, pp. 181-182.
18. "Effect of Strain Rate on Subcritical Growth of Cracks," International Journal of
Fracture Mechanics, Vol. 7, 1971, pp. 217-220.
19. "Accelerating Crack in a Viscoelastic Solid Subject to Subcritical Stress Intensity," in
Proceedings of the International Conference on Dynamic Crack Propagation, pp. 273280, Lehigh University, 1972, published by Noordhoff, Leyden.
20. "Initiation of Fracture in Viscoelastic Solids, Experiment vs. Theory," in Proceedings of
the International Symposium on Experimental Mechanics, held at the University of
Waterloo, June 1972, pp. 673-684.
21. "Stable Crack Growth," in Proceedings of the International Symposium of Foundations
of Plasticity, Warsaw. September 1972, Vol. 2, published by Noordhoff International,
22. "Prior to Failure Extension of Flaws in a Rate Sensitive Tresca Solid," ASTM, STP 536,
August 1973, in Proceedings of the 6th ASTM National Symposium on Fracture
Mechanics, held in Philadelphia, September 1972, pp. 64-75.
23. "Prior-to-Failure Extension of Flaws Under Monotonic and Pulsating Loadings," Journal
of Engineering Fracture Mechanics, Vol. 5, 1973, pp. 379-397.
24. "Slow Growth of Cracks in a Rate Sensitive Tresca Solid," Journal of Engineering
Fracture Mechanics, Vol. 5, No. 3, 1973, pp. 605-626.
25. "Criteria for Delayed Fracture in Solids and Their Experimental Verification," Journal of
Engineering Fracture Mechanics, Vol. 4, 1972, pp. 245-266. Co-authored with
Frankiewicz and Stankowski.
26. "Quasi-Static Extension of a Tensile Crack Contained in a Viscoelastic-Plastic Solid,"
ASME Transactions, Journal Applied Mechanics, Vol. 41, No. 1, March 1974, pp. 234242. Presented at the ASME Winter Annual Meeting in Detroit, November 1973, and at
the 7th ASTM National Symposium on Fracture Mechanics held at College Park,
Maryland, August 1973.
27. "Rate Dependent Extension of Flaws Under Cyclic Loadings," presented at the Open
Forum of the Western Applied Mechanics Conference at Stanford Research Institute,
September 1973.
28. "Fatigue in Rate Sensitive Solids," International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 10,
No. 2, June 1974, pp. 223-226. Presented at CANCAM 73, Montreal, May 1973.
29. "Transition from Slow to Fast Crack Propagation in Non-Elastic Solids," abstract in
Proceedings of 17th Polish Solid Mechanics Conference, Szczyrk, September 1975.
30. "Extension of Fracture by Combined Fatigue and Creep," in Proceedings of International
Conference on Fracture Mechanics and Technology, University of Hong Kong, March
1977, published by Noordhoff, Vol. 2, pp. 811-822.
31. "Ultimate Strength Analysis of 'Janek' Chairlift," Case Studies in Fracture Mechanics,
eds. T. P. Rich and D. J. Cartwright, published by Army Mat. and Mechanics Research
Center, Watertown, Massachusetts, 1977, pp. 4.5.1-4.5.15.
32. "Initial Stages of Crack Extension in Time-Dependent and/or Ductile Solids," in
Proceedings of the 4th International Conference on Fracture, Waterloo, Canada, Vol. 3,
ICF4, 1977, pp. 59-62.
33. "Computer Simulation of Fracture Processes," in Proceedings of First International
Conference on Numerical Methods in Fracture Mechanics, University College at
Swansea, Swansea, U.K., 1978, pp. 608-611.
34. "A Model for Stable Crack Growth," Prikladnaya Matematika i Mekhanika (PMM),
Moscow, Vol. I, Issue No. 4, 1978, pp. 758-764.
35. "Stable and Unstable Cleavage Fracture in Fully Yielded Components," Mechanics
Research Comm., Vol. 5, No. 5, 1978, pp. 269-275.
36. "Comparison of Theoretical and Experimental Results Pertaining to R-Curves in Low
and High Ductility Solids," in Proceedings of International Conference on Fracture
Mechanics in Engineering Applications, Bangalore, India, 1979. Co-authored with R. N.
37. "Initiation and Quasi-Static Extension of Fracture in Viscoelastic Media, Experiment vs.
Theory," in Proceedings of International Conference on Fracture Mechanics in
Engineering Applications, Bangalore, India, 1979. Co-authored with A. N. Joshi.
38. "Model for a Quasi-Static Tensile Crack Extending in Fully Yielded Material,"
International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 15, 1979, pp. R3-R5. Co-authored
with M. Mirabile.
39. "Occurrence of Catastrophic Fracture in Fully Yielded Components-Stability Analysis,"
International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 15, No. 6, 1979, pp. 553-581.
40. "Transition from Slow to Fast Fracture Under Post-Yield Condition," in Proceedings of
ICM-3, Third International Conference on Mechanical Behavior of Materials,
Cambridge, England, eds. Miller and Smith, Pergamon Press, Vol. 3, August 1979,
pp. 549-561.
41. "Enlargement of a Thermally Driven Penny-Shaped Crack: Stability Considerations,"
Journal of Thermal Stresses, Vol. 3, 1980, pp. 409-426.
42. "Subcritical and Fatigue Crack Growth in Anti-Plane Strain State," International Journal
of Solids and Structures, Vol. 16, 1980, pp. 1135-1146. Co-authored with M. Piszczek.
43. "Stability of a Disc-Shaped Geothermal Reservoir Subjected to Hydraulic and Thermal
Loadings," International Journal of Fracture Mechanics, Vol. 17, 1981, pp. 493-517.
Co-authored with T. Mura.
44. "Final Stretch Model of Stable Fracture," presented at 13th ASTM National Symposium
on Fracture Mechanics, Philadelphia, May 1980, published in ASTM STP 743, American
Society for Testing and Materials, pp. 500-508. Co-authored with S. Sedmak.
45. "Stable Phase of Ductile Fracture in Two- and Three-Dimensions," Transactions ASME,
Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, 1981, pp. 500-508.
46. "Comparative Study of Models for Quasi-Static Tensile Fracture," appeared in the special
volume on "Recent Contributions to Mechanics of Solids," ed. by Eringen, International
Journal of Engineering Science, Vol. 19, 1981, pp. 1517-1527. Co-authored with T.
47. "Extension of a Stable Crack at a Variable Growth Step," ASTM STP 791, American
Society for Testing and Materials, 1982. pp. I-96 to I-127. Co-authored with T. Mura.
48. "Discontinuous Extension of Fracture in Elastic-Plastic Field," ASTM STP 803, American
Society for Testing and Materials, 1983, pp. I-159 to I-175.
49. "Effect of Microstructure on the Upper and Lower Limit of Material Toughness in
Elastic-Plastic Fracture," Journal Mechanics of Materials, Vol. 2. No. 1, 1983, pp. 33-46.
Co-authored with T. Mura.
50. "Evaluation of Stress Intensity Factors by the R-Functions Method," International
Journal of Fracture, Vol. 24, 1984, pp. 107-126. Co-authored with J. Orkisz and
A. Rachowicz.
51. "Mathematical Modeling of Ductile and Time-Dependent Fracture," in Proceedings of
the 10th Canadian Fracture Conference, University of Waterloo, August 1983, eds.
Pindera and Krasnowski (text of an invited plenary lecture at CFC10), published by
Martinus Nijhoff, The Netherlands, pp. 91-109.
52. "Stable Growth of Fracture in Brittle Aggregate Materials," International Journal of
Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 2, 1984, pp. 259-286. Co-authored
with Z. Bazant and E. Law.
53. "CDM Model of Damage Accumulation in Laminated Composites," International
Journal of Fracture, Vol. 28, 1985, pp. 121-138. Co-authored with R. D. Kriz.
54. "Essential Work of Fracture (we) versus Energy Dissipation Rate (Jc) in Plane Stress
Ductile Fracture," International Journal of Fracture, Vol. 31, 1986, pp. 161-171, coauthored with D. Read.
55. "Nonlinear Time-Dependent Failure in Polymers and Metals at Elevated Temperatures,"
invited lecture given at an International Conference ICFM'87 at Fudan University,
Shanghai, China. Extended abstract appeared in Proceedings of ICFM'87, published by
Fudan University Press, 1987, pp. 661-670.
56. "Model of Fatigue Crack Growth Based on Energy Dissipated within the Process Zone,"
in Advances in Fracture Research, Proceedings of the 7th International Conference on
Fracture (ICF7), Houston, Texas, March 1989, eds. K. Salama, K. Ravi-Chandar, D. M.
R. Taplin, P. Rama Rao, Pergamon Press, Vol. 2, pp. 1121-1131. Co-authored with H.
Feng and M. Lasky.
57. "Onset and Early Stages of Fracture in Inelastic Solids," invited lecture delivered at the
21st Midwestern Conference on Mechanics, Michigan Technological University,
Houghton, Michigan, August 1989. Text of the lecture appeared in Proceedings of the
21st Midwestern Conference on Mechanics.
58. "Modeling Quasistatic Fracture in Strain Softening Cementitious Composites," invited
lecture delivered at the 21st Midwestern Conference on Mechanics, Michigan
Technological University, Houghton, Michigan, August 1989. Text of the lecture
appeared in Proceedings of the 21st Midwestern Conference on Mechanics. Co-authored
with H. Feng and J. Rohde.
59. "Mathematical Modeling of Nonlinear Phenomenon in Fracture Mechanics," Book
Chapter in Nonlinear Fracture Mechanics, ed. M. P. Wnuk, published by SpringerVerlag, 1990.
60. "Cohesive Models for Quasistatic Cracking in Inelastic Solids," International Journal of
Fracture, Vol. 48, 1993, pp. 115-138. Co-authored with H. Feng.
61. "Quasi-static Extension of Cohesive Crack Described by the Energy Partition
Technique," International Journal of Fracture, Vol. 59, 1993, pp. 245-264. Co-authored
with B. Amini.
62. Local and Global Instabilities Associated with Continuing Crack Extension in Dissipative
Solids Part I, Prace Instytutu Odlewnictwa, Krakow, 1995, Vol. 45, No. 4, pp.219-250.
63. Influence of Prestraining and Residual Stresses on Material Resistance to Crack
Propagation in Context of Fail Safe Design Procedures, co-authored with M.
Choroszynski, published in Proceedings of Welding Institution of Yugoslavia, Belgrade,
64. "Local and Global Instabilities Associated with Continuing Crack Extension in
Dissipative Solids," International Journal of Fracture, Vol. 84, 1997, pp. 237-260, coauthored with B. Omidvar .
65. "Effects of Strain Hardening on Quasi-static Fracture in Elasto-plastic Solid Represented
by Modified Yield Strip Model," International Journal of Fracture, Vol. 84, 1997, pp.
383-403, co-authored with B. Omidvar.
66. "Constitutive Modeling of Damage Accumulation and Fracture in Multiphase Materials,"
Computer Methods in Appl. Mechanics and Engineering, Vol. 141, 1998, pp. 587-591.
67. "Relationship Between the CTOD and the J-Integral for Stationary and Growing Cracks
Closed Form Solutions," 1998, International Journal of Fracture, Vol. 87, pp. 331-343,
co-authored with B. Omidvar and M. Choroszynski.
Публикации по нелинейной механике разрушения
1. M. P. Wnuk and J. Legat, 2002, “Work of fracture and cohesive stress distribution
resulting from triaxiality dependent cohesive zone model”, Int. J. Fracture, Vol. 114, pp.
29 - 46.
2. M. P. Wnuk, 2003, “Enhancement of fracture toughness due to energy screening effect in
the early stages of non-elastic failure”, published by Blackwell Publishing Ltd., UK,
Fatigue Fract. Engng. Materials, Vol. 26, pp. 741 - 753.
3. M. P. Wnuk, 2003, "Dissipation of energy as a measure of material resistance to
fracture", Maintenance and Reliability, 3-19 (1) 2003.
4. M. P. Wnuk, 2003, "Quantum theory of quasistatic fracture propagating in nonelastic
solids", Maintenance and Reliability, 6-14 (2) 2003.
5. M. P. Wnuk, 2003, “Mesomechanics of quasistatic fracture”, Physical Mesomechanics,
Vol. 6, No. 4, pp. 85-94.
6. M. P. Wnuk and A. Yavari, 2003, “On estimating stress intensity factors and modulus of
cohesion for fractal cracks”, Engineering Fracture Mechanics 70, 2003, pp. 1659-1674.
7. M.P. Wnuk, 2004, “Fundamental concepts of damage tolerant design”, Physical
Mesomechanics, Vol. 7, No. 6, pp. 19-38.
8. M. P. Wnuk, 2004, "Concepts and relationships in linear and nonlinear fracture
mechanics. Part 1, Linear elastic fracture mechanics", Maintenance and Reliability, 35-48
(1) 2004.
9. M. P. Wnuk, 2004, "Local and global instabilities in ductile failure", Maintenance and
Reliability, 40-51 (3) 2004.
10. M. P. Wnuk and A. Yavari, 2005, “A correspondence principle for fractal and classical
cracks, Engineering Fracture Mechanics”, 72, 2005, pp.2744-2757.
11. A. Rouzbehani and M. P. Wnuk, 2005, “Instabilities in Early Stages of Ductile Fracture”,
Physical Mesomechanics, 2005, Vol. 8, No. 5 & 6, pp. 81 - 92.
12. M.P. Wnuk and A. Yavari, 2008, “Discrete fractal fracture mechanics”, Engineering
Fracture Mechanics. 75(5), 2008, pp. 1127-1142.
13. M. P. Wnuk and A. Rouzbehani, 2008, “A mesomechanics model of fatigue crack growth
for nanoengineering applications”, Physical Mesomechanics, Vol. 7, No. 2, 2008.
14. M. P. Wnuk, 2008, “Discrete and Fractal Aspects of Fracture at Nano-scale Levels”,
IFMASS 10, Keynote Lecture, Zlatibor, Serbia, June 23 – 28, 2008.
15. M. P. Wnuk, 2008, “From Macro to Meso and Nano Material Failure”, in Proceedings of
the International NATO Symposium on “Safety and Reliability”, Portoroz, October 18 –
25, 2008.
16. M. P. Wnuk and A. Yavari, 2009, “A discrete cohesive model for fractal cracks”,
Engineering Fracture Mechanics 76 (2009), pp. 548-559.
17. M. P. Wnuk, 2009, “Discrete Cohesive Model of Fractal Fracture”, in Proceedings of the
4th International Conference on Fracture Mechanics of Materials and Structural Integrity,
Lviv Polytechnic National University, Lvov, Ukraine, June 2009.
18. M. P. Wnuk, 2009, “Discrete and Fractal Nature of Fracture”, presented at 9th
International Conference on New Trends in Fatigue and Fracture, October 12 – 14,
Belgrade, Serbia, 2009.
19. M. P. Wnuk, 2010, “Quantum and Fractal Nature of Fracture in Solids”, Seminar lecture
at Mech. Science and Engineering U. of Illinois at Urbana-Champagne, February 25,
20. M. P. Wnuk, 2010, “Remembering Professor Michal Zyczkowski”, essay published in
Cracow University of Technology publication “Biuletyn 2/8/2010”, Krakow 2010.
21. M. P. Wnuk, “Integrity of Bonded Joints”, 2011, Physical Mesomechanics, Russian
Academy of Sciences, Siberian Branch, Panin Jubilee Issue 2011, in print.
Sample Technical Publication
Milosz P. Wnuk
„Quantum Theory of Quasistatic
Fracture Propagating in Nonelastic
Solids”, in Polish, Maintenance
and Reliability, Technical
University of Lublin, Poland,
No. 2 ,2003,
pp. 6 - 14
Mi¦osz P. WNUK
W ciaáach niespr
*ystych w ka*dym elementarnym procesie dekohezji, który prowadzi do p
cia w skali makroskopowej, zachodzi interesujce “wspóázawodnictwo” mi
dzy rozwojem uszkodze (“damage”) oraz innych procesów
nieodwracalnej deformacji uwieczonych p
ciem (“fracture”), spowodowanych plastycznoci lub te* lepkoci
materiaáu. Prób
ilociowego opisania takich zjawisk, poprzedzajcych katastrofalny rozwój szczeliny, przedstawia
tutaj teoria kwantowa, oparta na kryterium Wnuka, tak zwanym kryterium “rozwarcia kocowego”, zaproponowanym
w 1972 roku, zob. Wnuk (1972, 1974, 1977). Nale*y podkreliü, *e zjawiska, o których tu mowa, nie mog byü adekwatnie reprezentowane przez kontunualn mechanik
zniszczenia, liniow czy te* nieliniow.
Nasza teoria zakáada dwu-fazowa struktur
strefy nieliniowej poprzedzajcej front szczeliny. Model ten dotyczy zarówno
szczelin stacjonarnych jak te* poruszajcych si
w zakresie poni*ej progu napr
*enia krytycznego (propagacja podkrytyczna). Najwa*niejszym elementem takiego zmodyfikowanego modelu kohezyjnego szczeliny jest przyj
cie istnienia czstki
Neubera w bezporednim ssiedztwie wierzchoáka szczeliny. Jest to tak zwana “strefa delta”, w odró*nieniu od “nieliniowej strefy R”. Wewntrz strefy delta zachodz intensywne procesy odksztaácenia, których nie sposób opisaü przy
pomocy mechaniki ciaá cigáych. Dla ciaá cigliwych “delta” jest bardzo maáa w porównaniu z dáugoci strefy kohezyjnej, natomiast dla ciaá kruchych obydwa parametry skali zlewaj si
w jeden obszar, którego rozmiar zmierza do zera.
W literaturze anglosaskiej stref
delta nazywa si
“process zone”. Nazwa taka implikuje, *e ostateczna faza intensywnej deformacji poprzedzajcej zjawisko zniszczenia zachodzi wáanie w tej strefie. Poniewa* czsteczka Neubera ma
skoczone wymiary, proces zniszczenia ma charakter kwantowy. Tak*e akumulacja nieodwracalnego odksztaácenia,
czas niezb
dny dla doprowadzenia stanu odksztaáce do stanu nasycenia (krytycznego) wewntrz czstki Neubera oraz
sama propagacja szczeliny maj charakter kwantowy.
W granicy, dla ciaá idealnie spr
*ystych, obowizuje “zasada odpowiednioci”, znana w mechanice kwantowej, kiedy
to opis kwantowy staje si
równowa*ny opisowi kontynualnemu. Wynikiem takiego przejcia granicznego jest powrót
do klasycznej teorii Griffitha. Teoria Griffitha jest zatem szczególnym przypadkiem opisanego tu modelu procesów
dekohezji, obserwowanych w ciaáach niespr
Sáowa kluczowe: p
kanie, spr
*ysto-plastyczne i lepko-spr
*yste odksztaácenia, szczelina quasi-statyczna, model kwantowy, uszkodzenia, zniszczenie, rozerwanie, nano-mechanika, mesomechanika, in*ynieria materiaáowa
Higher demands on reliability of high performance structures require a better understanding of damage and failure
processes that evolve in the nonelastic material prior to the critical state leading to a catastrophic fracture. To account
for these time-dependent pre-fracture stages of damage and strain evolution, such as a slow stable, or subcritical,
crack growth, occurring in dissipative materials, a quantum model is proposed.
The essential assumption underlying the theory concerns the existence of the Neuber particle, the so-called "process
zone", adjacent to the crack tip. This particle is of size ∆, and it is embedded within a larger cohesive zone, R. The neartip stress field is modeled by a cohesive zone concept modified by the structured nature of the cohesive zone. A two-phase
zone is assumed to be associated with any crack, whether it is stationary one or a moving one. Both plasticity and
viscoelasticity are incorporated in the material representation. It is shown how the variations in the ratio R/∆ lead to
a transition from ductile to brittle fracture. An equation of motion for a slowly moving crack, which remains in equilibrium
with the applied load, is established through application of the "final stretch" criterion proposed by Wnuk in 1972, cf.
Wnuk (1972, 1974, 1977).
Growth of a quasistatic crack is viewed as a sequence of local instability states, while the transition from stable to unstable crack
extension is considered to represent a global instability case. Equations predicting occurrence of such transition are derived from
the quantum model. In the limit case, when the quantum variables approach zero, one recovers the classic case of the Griffith
Fracture, elasto-plastic and viscoelastic strains, quantum modeling, time-dependent processes, quasistatic crack, damage, failure, rupture, nanomechanics, mesomechanics, materials engineering
1. Wprowadzenie
W ciaáach idealnie spr
*ystych, lub te* spr
gdy efekty plastycznoci s maáe, napr
*enie krytyczne, przy którym nast
puje inicjacja p
cia, mo*na wyznaczyü z kilku równowa*nych sobie kryteriów wywodzcych si
z mechaniki kontynualnej ciaá staáych. Mamy tu na myli kryteria oparte o takie
podstawowe zasady mechaniki jak balans energetyczny (globalne
kryterium Griffitha), krytyczny poziom wspóáczynnika intensywnoci napr
*enia (lokalne kryterium Orowana-Irwina), zastosowanie caáki Rice’a, lub kryterium potencjaáu pola, które Irwin nazwaá
“crack driving force”, lub te* liczne inne kryteria u*ywane w zakresie nieliniowym (jak np. kryterium CTOD Wellsa dla páyt spawanych), lecz majce t
wáasnoü, *e wszystkie sprowadzaj si
w przypadku granicznym – do klasycznego rezultatu Griffitha oraz
innych istotnych równa liniowej mechaniki zniszczenia (LEFM).
Kryteria te zawodz dla ciaá niespr
*ystych, lub te* – ogólniej
mówic – dla ciaá, w których uwzgl
dnia si
na kilku
poziomach zdolnoci rozdzielczej instrumentów u*ytych do obserwacji zjawisk odksztaáce poprzedzajcych makroskopow propagacj
cia. Mowa tu o zakresach “mesomechaniki” rozwa*anych w nowoczesnej teorii zniszczenia na ro*nych poziomach skali.
I tak na przykáad, klasyczna teoria szczelin, tzw. LEFM (linear elastic fracture mechanics) nie jest w stanie opisaü zale*nego od czasu
zjawiska powolnego ruchu szczeliny w zakresie napr
*e poni*ej
*enia krytycznego. Jest to faza tak zwanego “pod-krytycznego” ruchu szczeliny, bardzo istotna w rozumieniu istoty odpornoci
na p
kanie oraz dziaáaniu mechanizmów zapobiegajcym p
ciom w materiaáach niespr
*ystych, zdolnych do dyssypacji energii.
Okazuje si
, *e *adne z kryteriów stosowanych w standardowym
modelu p
ü, wyprowadzonym z kontynualnej teorii LEFM, nie
jest w stanie nie tylko opisaü, ale nawet i przewidzieü istnienia fazy
podkrytycznej propagacji szczeliny. To interesujce zjawisko mo*na przyrównaü do fazy “przemieszcze wst
pnych”, znanej fizykom
studiujcym nieliniowe aspekty procesu tarcia. I w jednym i drugim
przypadku, obserwowane zjawisko, zachodzi poni*ej okrelonego
progu, czy to przyáo*onego obci*enia, czy te* siáy pokonywujcej
opór tarcia. Mo*na by zatem powiedzieü, *e zjawisko odbywa si
wbrew prawom klasycznej fizyki.
u y [x1 , R (x1 )] =
4σ 0
[ R(x )(R(x ) − x ) −
R (x1 ) + R (x1 ) − x1
R (x1 ) − R (x1 ) − x1
W teorii kwantowej wa*n rol
graj dwie staáe materiaáowe,
∆ oraz δ̂ . Pierwsza z nich reprezentuje kwant przyrostu dáugoci szczeliny, druga za jest podwojonym przyrostem kocowym przemieszczenia prostopadáego do páaszczyzny szczeliny, który zachodzi
w punkcie obserwacyjnym umieszczonym na zewn
trznym brzegu
czstki Neubera, w czasie (równie* skwantowanym) δt = ∆/(dl/dt),
gdzie l oznacza bie*c dáugoü szczeliny. Teoria ta postuluje, ze
skokowy przyrost dáugoci szczeliny, ∆, mo*e nastpiü wówczas,
gdy speániony jest warunek Wnuka, tak zwanego „przemieszczenia
kocowego” w punkcie kontrolnym P, zob. Rys. 1, mianowicie
δ p u y = u y [0 , R (0 )] − u y [∆ , R (∆ )] =
Zauwa*my, *e na Rys. 1 przedstawione s dwa ssiednie stany
“1” i “2” – i dla tych wáanie stanów oblicza si
czas ”t-δt” oraz “t”,
a tak*e wszystkie pozostaáe wielkoci. Warto zauwa*yü, ze wspóárz
dna punktu obserwacyjnego P dla stanu 1 wynosi x1 = ∆, natomiast dla stanu 2, wspóárz
dna ta wynosi zero (front szczeliny znajduje sie obecnie w punkcie P). àczc równanie (2.3) z kryterium
(2.4), które jeszcze raz przepiszemy w zwartej postaci
δ p u y = u 2 (Ρ ) − u1 (Ρ ) = uˆ
Poniewa* δ̂ oznacza przyrost caákowitego rozwarcia wierzchoákowego, mamy prosta zale*noü miedzy liczbami kwantowy-
2. Teoria kwantowa
Dla zmodyfikowanego modelu Dugdale’a w zakresie plastycznoci bliskiego zasi
gu przemieszczenia normalne do páaszczyzny szczeliny daj si
wyraziü, cf. Rice (1968) oraz Wnuk (1974) wzorem
uy (x1 ,R) =
gáoü dowolnego ustalonego punktu wewntrz strefy R zmienia si
wraz z czasem, zatem odlegáoü t
mo*na traktowaü jako czasopodobna zmienna. Tak wi
c, dla ruchu quasi-statycznego wielkoü
R, która zale*y teraz od czasu, mo*na uwa*aü za pewn, a priori
nieznan funkcj
x1. Funkcje przemieszcze uy(x1,R), podan wzorem (2.1), nale*y zatem przepisaü w postaci
R + R − x1 
4σ0 
 R(R − x1) − 1 ln
πE1 
R − R − x1 
lub te*
4σ R 
λ 1+ 1−λ  4σ0R
uy (λ) = 0  1−λ − ln
πE1 
2 1− 1−λ  πE1
 E
λ = 1 , E1 =  E
 1 − υ 2
mi û oraz δ̂ , mianowicie 2uˆ = δ̂ .
Wyprowadzimy obecnie równanie ró*niczkowe ruchu szczeliny quasi-statycznej. Równanie to definiuje funkcj
R = R(l), gdzie
“l” oznacza bie*c dáugoü szczeliny. Zacznijmy od funkcji czasu, R = R(t), któr rozwiniemy w szereg Taylora w nast
R( t ) = R( t − δt ) +
p .s .o
Zauwa*my, *e dla szczeliny stacjonarnej wielkoü R jest staáa, okrelona przez wspóáczynnik intensywnoci napr
*e KIc oraz granice
plastycznoci σ0. Natomiast dla szczeliny poruszajcej si
, odle-
Jeli w miejsce kwantu czasu δt podstawimy ∆(dl/dt)-1, to
R(t ) = R (t − δt ) +
p .s .n
pujc czas przez czaso-podobn zmienn x1, oraz zauwa*ajc, *e dx1 = - dl, podstawiamy –dR/dx1 w miejsce dR/dl, aby otrzymaü
wyra*enie zale*ne od x1
STAN 2, t , x1
1 ˆ
t Gt
^u >x , R( x @`
czstka Neubera
strefa kohezyjna
Rys. 1. Kwant propagacji szczeliny, jako ró*nica mi
dzy poáo*eniem wierzchoáka szczeliny w stanie 2 (x=1+ d, x1=0) oraz w stanie 1 (x=1, x1= D). Rysunek
ilustruje równie* kwant przyrostu przemieszczenia (1/2) δ̂ w punkcie obserwacyjnym p
[R(x1 )]x =0 = [R(x1 )]x =∆ − dR(x1 ) ∆
Oczywicie, symbol y oznacza R/∆. Zastpimy t zmienn iloczy(2.8)
nem wska(nika cigliwoci ρ =
lub te*, równowa*ne mu wyra*enie
R(0 ) = R(∆ ) +
mianowicie, y=ρY. Warunkiem pocztkowym dla równania (2.11a)
Zamiana –dx1 na dl wynika z prostej równoci, l + x1 = x(P)
= const. Obliczymy teraz wielkoci wyst
pujce w kwantowym
kryterium ruchu (2.4)
u2(Ρ ) = uy [0,R(0)] =
4σ 
dR 
R(0) = 0 R(∆) + ∆
πE1 
dl 
u1 (Ρ ) = u y [∆ , R (∆ )] =
4σ 0
[ R(∆ )(R(∆ ) − ∆ ) −
R (∆ ) + R (∆ ) − ∆ 
R (∆ ) − R (∆ ) − ∆ 
Odejmujc te dwa wyra*enia od siebie i podstawiajc do kryterium
ruchu (2.4), otrzymujemy
R+ ∆
∆ R + R − ∆ δˆ  πE1 
 (2.11a)
− R(R − ∆) + ln
= 
R − R − ∆ 2  4σ0 
Po uporzdkowaniu równania, dostajemy
dR δˆ  πE1  R R  R  1
 − +  −1 − ln
= 
dl ∆  8σ0  ∆ ∆  ∆  2
∆ (2.11b)
1− 1−
1+ 1−
lub te* – w postaci bezwymiarowej
ρY + ρY −1
= M − ρY + ρY(ρY −1) − ln
ρY − ρY −1
 δ̂  πE1
Staá M =  
 ∆  8σ
  0
oraz zmiennej Y =
 b
dziemy nazywaü moduáem dekohezji.
jest R = Rini dla l = l0, lub tez Y = 1 dla X = X0, gdzie X =
Równanie (2.11c) jest nieliniowym równaniem ró*niczkowym
pierwszego rz
du, które áatwo mo*na scaákowaü numerycznie (zauwa*my, *e zmienne s ju* rozdzielone).
Numeryczne caákowanie równania (2.11c) prowadzi do tak zwanej “uniwersalnej krzywej materiaáowej odpornoci, R”, lub po prostu – krzywej R. Rodzin
takich krzywych, otrzymanych dla ró*nych wartoci parametru cigliwoci ρ, pokazano na Rys. 2. àatwo
zauwa*yü, ze dla bardziej cigliwego materiaáu otrzymujemy bardziej stroma krzywa R. Efekt ten prowadzi do przedáu*onej fazy
podkrytycznego ruchu szczeliny przy rosncej cigliwoci. I na odwrót, dla krzy- wych R bli*szych linii poziomej, Y = 1, zjawisko
wzrostu odpornoci na p
kanie w fazie poprzedzajcej punkt krytyczny zanika. Wreszcie, dla ciaáa idealnie kruchego, obecna teoria
kwantowa ruchu szczeliny redukuje si
do teorii Griffitha. Tutaj istnieje tylko jeden punkt krytyczny, X = 0, Y = 1, a nie zbiór stanów
krytycznych, jak to ma miejsce dla szczeliny quasi-statycznej. Wyjaniü te* nale*y, ze cig kolejnych równowagowych szczelin, o coraz
to wi
kszej dáugoci l, interpretowaü trzeba jako zbiór stanów lokalnej niestatecznoci, natomiast stan krytyczny osigni
ty w momencie przejcia do p
cia katastrofalnego, uto*samiü trzeba z niestatecznoci globalna.
Tak wiec, odcinki krzywych pokazanych na Rys.2, poczwszy
od inicjacji do punktów 1,2 oraz 3, przedstawiaj kontinua stanów
lokalnej niestatecznoci, natomiast punkty zaznaczone kóáeczkami
na trzech krzywych reprezentuj “kocow” lub te* globaln utrat
statecznoci dla rozwa*anej konstrukcji.
Punkt przejcia od propagacji równowagowej do dynamicznej
okrelony jest dwoma równaniami
∂l U
Z lewej strony tych równa wyst
puje charakterystyka mate-
Rys. 2. Krzywe “R” reprezentujce odpornoü materiaáu w pocztkowej fazie p
kania, wynikajce z równania ró*niczkowego (2.17) dla trzech ro*nych wartoci parametru cigliwoci ρ.
riaáu, RMAT, okrelona równaniem (2.11a). Po prawej stronie, natomiast, nale*y podstawiü odpowiednie wyra*enie na RAPPL, zawierajce siá
trzn oraz bie*c dáugoü szczeliny, podczas gdy
pochodna czstkowa powinna byü wykonana przy pewnych ustalonych warunkach procesu obci*enia, jakie narzuca eksperyment.
Zazwyczaj rozwa*a si
mo*liwoü obci*enia kontrolowanego siá
(wówczas U J σ lub Q), lub obci*enia dostarczonego przez tzw.
“sztywn” maszyn
, wówczas kontrolowane jest przemieszczenie,
i wtedy U J u.
Dla najprostszego przypadku szczeliny o konfiguracji Griffitha, kiedy szerokoü páyty znacznie przewy*sza rozmiar szczeliny,
oraz napr
*enie σ przyáo*one jest prostopadle do páaszczyzny szczeliny, mamy nast
pujce zwizki
π K I2 π σ 2 (πl ) 1 2
= lQ
8 σ0
8 σ 02
2σ 0
Dla prostoty zapisu opucimy wska(niki “APPL” i “MAT” (obydwie wielkoci powinny byü sobie równe w punkcie globalnej niestatecznoci), i skorzystamy z nast
pujcych elementarnych równa:
1 2 ∂R 
lQ ,
= Q2 =
∂l σ = const 2
Zauwa*my, *e pochodna czstkowa zostaáa obliczona przy zaáo*eniu eksperymentu, w którym napr
*enie jest kontrolowane przez
obserwatora. Uto*samiajc w punkcie krytycznym RMAT oraz RAPPL,
mamy zatem warunek zaistnienia globalnej niestatecznoci
dR 
= 
dl kryt l kryt
U*ywajc równania (2.11a) do przedstawienia lewej strony powy*szego równania, otrzymujemy
1 1
 4R  R
− log 
2 2
 ∆  l
Tutaj funkcja R = R(l), lub te* funkcja odwrotna l = l(R), jest zdefiniowana równaniem ró*niczkowym
1 1
 4R 
= M − − log 
2 2
 ∆ 
bo do takiej postaci redukuje si
równanie (2.11a), gdy zaáo*ymy
najbardziej interesujcy nas przypadek, kiedy to wáasnoü cigliwoci sprawia, *e rozmiar czstki Neubera ∆ jest znacznie mniejszy od dáugoci strefy kohezyjnej, R. Identyczne rownanie uniwersalnej krzywej R, wyprowadzone w niezalezny sposob, podano
w pracach Rice i Sorensen (1978) oraz Rice et al. (1980).
Schemat numerycznego obliczania krytycznej dáugoci jest
pujcy. Rozdzielajc zmienne w równaniu (2.17), dostajemy
l (R , R ini ) =
R ini
dR '
+ l0
1 1 4 R'
M − −
2 2 ∆
a nast
pnie szukamy pierwiastka równania (2.16), które przepiszemy w nast
pujcej formie
1 1  4 R 
 ⋅
 M − − ln
2 2  ∆ 
+ l0  − R = 0
 R M − − ln
 ini
2 2  ∆ 
Jeli wprowadzimy bezwymiarowe zmienne
= ρY ,Y =
= X 0 + ∆X
Rini Rini
to równanie (2.19) definiujce stan krytyczny równowa*ny globalnej niestatecznoci przepiszemy w postaci
1 1
M − 2 − 2 ln(4 ρY ) ⋅
+ X0  − Y = 0
 1 M − 1 − 1 ln(4 ρY' )
2 2
Przyjmujc moduá dekohezji M o 20% wi
kszy ni* minimalny
moduá Mmin, poni*ej którego zjawisko podkrytycznej propagacji
szczeliny nie wyst
M min =
1 1
+ ln(4 ρ )
2 2
oraz káadc X0 = 10, otrzymujemy nast
pujce rozwizania równania (2.21)
- dla ρ = 10,
Ykryt = 1.919
Xkryt = 13.563
- dla ρ = 20,
Ykryt = 2.152
Xkryt = 4.039
- dla ρ = 100, Ykryt = 2.8
Qkryt = 0.532
Qkryt = 0.554
∆Q = 19.0%
∆Q = 23.9%
-dla ρ =100 Qkryt = 0.607
∆Q = 35.7%
Ostatnia kolumna w (2.26) podaje procentowy przyrost obci*enia
w stosunku do obci*enia, przy którym nastpiá powolny wzrost
szczeliny. Widoczne jest, *e liczby wzrastaj dla rosncej cigliwoci materiaáu. Zauwa*my, *e dla ciaáa bliskiemu idealnie kruchemu ρ -> 1, oraz Qkryt -> Qini = (π/2)(σG/σ0), gdzie symbolem σG
oznaczono klasyczne napr
*enie Griffitha
σG =
2 Eγ
U*ywajc zapisu bezwymiarowego, równanie (2.7) daje si
Xkryt = 15.194
X kryt =
-dla ρ = 10
-dla ρ = 20
Dane zebrane w ostatniej kolumnie zostaáy obliczone z równaYkryt
Dla rozpatrywanych trzech przypadków, ρ = 10, 20 oraz 100,
trzy krzywe Q zostaáy zilustrowane na Rys.3. Punkty globalnej niestatecznoci pokrywaj si
przy σ-kontrolowanym systemie obci*enia z maksimami na krzywych Q. Z Rys. 3 widaü, *e poáo*enie
tych maksimów pokrywa si
dokáadnie z danymi zebranymi w równaniach (2.23). Wyniki tych oblicze przedstawimy nast
(przypomnijmy, *e Qini=.4 472)
przedstawiü jako QG =
X 0 . Stany bliskie temu granicznemu
przypadkowi omówimy w cz
ci czwartej.
dY '
+ X0
1 1
M − − ln (4 ρY ' )
2 2
3. Maksimum obci*enia jako punkt niestatecznoci
globalnej. Wska(nik niestatecznoci
Alternatywne obliczenia, prowadzce do tych samych rezultatów, mo*na wykonaü, szukajc maksimum na tzw. “krzywej Q”,
czyli funkcji zale*noci bezwymiarowego obci*enia zewn
trznego Q od dáugoci szczeliny l lub te* X. Gdy funkcja Y = Y(X) zostaáa ju* obliczona przez numeryczne caákowanie równania (2.16),
poddanego warunkowi pocztkowemu Y = 1 dla X = X0, wielkoü
Q mo*na áatwo obliczyü. Z równania (2.13) wynika
Wyprowadzimy obecnie równanie ró*niczkowe definiujce
zale*noü bezwymiarowego parametru obci*enia Q od bezwymiarowej bie*cej dáugoci szczeliny X. Przypomnijmy równanie (2.14),
które podaje zwizek miedzy zmiennymi Y, X oraz Q, to znaczy
miedzy miar odpornoci na p
kanie, dáugoci szczeliny oraz obci*eniem. Obydwie strony równania
 2Y
 X 
Q2 =
ró*niczkujemy podáug X, pami
tajc, *e dla quasi-statycznej szczeliny zarówno Y jak i Q s funkcjami X. Mamy wi
Rys. 3. Krzywe “Q” reprezentujce bezwymiarowy parametr obci*enia jako funkcje bie*cej dáugoci szczeliny quasi-statycznej, otrzymane z równania ró*niczkowego (3.5) dla trzech ro*nych wartoci cigliwoci i przy zaáo*eniu, *e pocztkowa dáugoü szczeliny l0 = 10Rini.
2 XdY
− 2Y
= dX 2
Std, otrzymujemy równanie ró*niczkowe
dY Y
dQ dX X
pnym krokiem jest wyeliminowanie pochodnej dY/dX oraz
samej funkcji Y. Jeli podstawimy praw stron
równania (2.17)
w miejsce dY/dX, to znaczy
1 1
= FD (Y , ρ ) = M − − ln(4 ρY )
2 2
oraz zastpimy Y przez (1/2)XQ2, to równanie (3.3) mo*emy przepisaü w postaci
M − ln 2eXQ 2 − Q 2
Przypomnijmy, *e moduá dekohezji M jest funkcj wska(nika cigliwoci
M (ρ ) = 1.2 M min (ρ ) = 1.2(0.5 ln(4 eρ ))
Spodziewamy si
zatem, *e wynik caákowania równania (3.6) b
dzie zale*aá od wska(nika ρ, a tak*e od dáugoci pocztkowej szczeliny, X0. Ta zale*noü jest okrelona poprzez warunek pocztkowy,
jaki dyktuje równanie (3.1), mianowicie
X = X 0 , Q = Qini =
Dla X0 = 10 otrzymujemy Qini = 0.4472, a nast
pnie caákujc równanie (3.5) dla trzech ro*nych wartoci ρ otrzymujemy trzy krzywe pokazane na Rys. 3. S to tak zwane krzywe Q. Ka*da z nich
osiga maksimum w innym punkcie, zale*nie od przyj
tej wartoci
X0 oraz ρ. Interpretacja fizyczna zjawiska tu opisywanego jest nast
Zamiast funkcji skokowej, pokazanej na Rys. 4, która reprezentuje zale*noü obci*enia od dáugoci szczeliny w klasycznej
teorii Griffitha, teoria kwantowa szczeliny quasi-statycznej przewiduje stopniowy wzrost obci*enia Q od momentu inicjacji ruchu
(X = X0, Q = Qini) a* do punktu globalnej niestatecznoci, kiedy to
caáa konstrukcja, lub te* czeü konstrukcji, ulega zniszczeniu. Przy
procesie obci*enia kontrolowanym poprzez przyáo*on siá
, punkt
globalnej niestatecznoci pokrywa si
z maksimum na krzywej Q.
Jak áatwo stwierdziü, uwa*nie obserwujc Rys. 3, poáo*enie trzech
maksimów dla pokazanych tu krzywych Q pokrywa si
z danymi
zebranymi w równaniach (2.23) oraz (2.26). Tak jest, oczywicie,
tylko w przypadku obci*enia, przy którym kontroli podlega zewn
trzna siáa. Jeliby rozpatrzyü mo*liwoü sterowania procesem
obci*enia poprzez wywierane przemieszczenie, to punkt krytyczny niestatecznoci globalnej mieciáby si
poza maksimum na krzywej Q. Zjawiska niestatecznoci tego typu zostaáy opisane w pracach Wnuk (1990), Wnuk i Omidvar (1997) oraz Wnuk, Omidvar
i Choroszynski (1998), a tak*e w pracy sponsorowanej przez NASA,
conej szczelinie propagujcej si
wzdáu* poáczenia adhezyjnego, zob. Wnuk et al. (2000)
W zakresie obci*e Qini<Q<Qmax obserwujemy interesujce
zjawisko, kiedy to przyáo*one obci*enie pozostaje w równowadze z rosnc szczelin. Funkcja reprezentujca tak zale*noü
wzrasta monotonicznie, nie powodujc katastrofalnej propagacji
szczeliny. Historia potwierdza takie zjawiska. W muzeum “Smithsonian Institution” w Waszyngtonie znajduje si
czeü kadáuba frachtowca typu “Liberty” (budowanego w Stanach w wielkim popiechu podczas drugiej wojny wiatowej), na którym widaü lady
powolnej propagacji szczeliny oraz znaki zrobione kreda przez bosmana na pokáadzie statku. Przy ka*dym znaku identyfikujcym
aktualne poáo*enie frontu szczeliny bosman dopisaá dat
. Jest to
wiec niezbity dowód na istnienie zale*nego od czasu powolnego
rozwoju szczeliny, potwierdzony równie* wieloma dowiadczeniami, wykonywanymi w laboratorium. Niekiedy upodabnia si
proces do zjawiska zm
czenia “statycznego”, wyst
pujcego bez
u*ycia obci*e cyklicznych. Efekt kocowy jest taki sam: po fazie powolnego wzrostu szczeliny nast
puje gwaátowna przemiana
w postaci katastrofalnej, nie dajcej si
zatrzymaü, propagacji p
cia. Wracajc do naszego historycznego przykáadu szczeliny
zauwa*onej na pokáadzie statku “Liberty”, to statek ten dopáyná
do portu zanim szczelina osign
áa rozmiar krytyczny. Wiele innych statków tego typu zaton
áo na morzu, lub te* w porcie, niekiedy áamic si
w poprzek caáego kadáubu.
Na zakoczenie wyjanimy koncept “wska(nika niestatecznoci”. Jeli licznik prawej strony równania (3.5) wyraziü jako funkcje X, to otrzymamy
'l l l0
Rys. 4. Krzywa R dla ciaáa idealnie kruchego, przedstawiona funkcja skokowa Heaviside’a H=H(l-l0)
Gdzie funkcja Q = Q(X) musi byü ju* znana. Gdy wyra*enie
S(X) osiga zero, ustalone zostaje poáo*enie maksimum na krzywej
Q, czyli punkt globalnej niestatecznoci. Alternatywnie, mo*na te*
u*yü licznika prawej strony równania (3.3), mianowicie
T (X ) =
S (X ) = M − ln 2eXQ 2 − Q 2
dY Y
− = FD (Y , ρ ) −
dX X
Gdzie dY/dX jest zdefiniowane równaniem (3.4), natomiast funkcja Y = Y(X) jest znana nam ju* krzywa R. Dla szczeliny stabilnej
wielkoü T jest dodatnia, dla niestabilnej T jest ujemne. Przejcie
funkcji T przez zero okrela poáo*enie punktu krytycznego w sensie globalnym (caáa konstrukcja ulega zniszczeniu).
Obydwie funkcje, S(X) oraz T(X), mog byü u*yte do precyzyjnego wyznaczenia stanu towarzyszcemu globalnej niestatecz-
Rys. 5. Wska(niki niestatecznoci, S(X) lub T(X), zdefiniowane równaniami (3.8) i (3.9), pokazane jako funkcje bie*cej dáugoci szczeliny quasi-statycznej,
X = l/Rini. Wyniki analizy zmiennoci tych funkcji zebrano wnaniach (2.23) oraz (2.26)
noci, zob. Rys. 5. Proponujemy nazywaü te funkcje wska(nikami
niestatecznoci. S one bardzo po*ytecznym narz
dziem przy projektowaniu konstrukcji z uwzgl
dnieniem niezawodnoci.
Moduá kohezyjnym przyjmiemy o 20% wy*szy ni* jego minimalna wartoü
M Kmin
4. Przypadek p
kania kruchego
4   1  2
= ρ − ρ 1 −  
3   ρ 
Dla opisania p
kania ciaá kruchych zakáadamy, *e obydwie strefy w kwantowym kohezyjnym modelu szczeliny zlewaj si
praktycznie w jeden obszar kocowy. Wówczas strefa ∆ oraz wymiar R
staj si
bliskie sobie. A zatem praw stron
równania (2.11a) nale*y teraz rozwinü na uogólniony szereg pot
gowy dla R/∆ J1. Interesujca b
dzie tak*e analiza danych oparta o model Knaussa,
w którym modelujc kruchoü materiaáu przyj
to liniowy (raczej
ni* staáy jak u Dugdale’a) rozkáad napr
*e w strefie kohezyjnej.
Wnuk i Legat (2002), rozpatrujc szczegóáowo ów model, otrzymali nast
pujce zale*noci
Przypomnijmy, ze dla wartoci moduáu MK równej lub te* poni*ej wartoci minimalnej, ruch podkrytyczny nie istnieje i pocztek propagacji szczeliny jest równowa*ny inicjacji p
cia katastrofal- nego.
Dla porównania podamy równanie krzywej R wynikajce z poáczenia modelu Dugdale’a oraz kwantowego kryterium Wnuka
(2.5). Korzystajc z uogólnionego szeregu pot
gowego upraszczamy równanie (2.11a) w nast
pujcy sposób
= M K − y + yΛ1  
 y
R 2 R  ∆2
= MD − +
∆ 3 ∆  R 
Na koniec, przepiszemy to wyra*enie w postaci bezwymiarowej
 λ  λ2  1 + 1 − λ 
Λ1 (λ ) = 1 − λ  1 −  − ln 
2  4  1 − 1 − λ 
2.5 2
lQ ,Q =
  1
= M D − ρY + ρY 1 − 
  ρY
 2
Tutaj moduá MD obliczamy ze wzoru
Gdy R≈∆, lewa strona równania ró*niczkowego (4.1) ulega
znacznemu uproszczeniu, mianowicie
R 4 R  ∆2
= MK − +
∆ 3 ∆  R 
  1
= FK (Y , ρ) = MK − ρY + (ρY )1 −  
  ρY 
Gdy ρ = 1.2, moduáy wyst
pujce w równaniach (4.3) oraz (4.6)
Wprowadzajc zmienne bezwymiarowe przepiszemy powy*sze równanie w postaci
 2
2   1   2
= 1.2  ρ − ρ  1 −   
3   ρ  
MK = 1.309
MD = 1.375
Dla ρ J 1 obydwie krzywe YD = YD(X) oraz YK = YK(X) s liniowe
i posiadaj nieomal identyczne nachylenie. Model Dugdale’a –
w swojej kwantowej wersji - pozwala obliczyü punkt krytyczny.
Na przykáad, dla ρ = 1.2 oraz X0 = 10, otrzymujemy Xkryt = 10.468
oraz Qkryt = 0.460, co ro*ni si
od punktu Griffitha, XG = 10 oraz
QG = 0.4472 bardzo niewiele. Ró*nica wynosi dla dáugoci krytycznej tylko 4.7%, natomiast dla obci*enia Qkryt ró*nica si
2.9%. Jednak*e, wartoci te mog gwaátownie wzrosnü, gdy mamy
do czynienia z mikro-szczelina, której rozmiar jest rz
du wielkoci
czstki Neubera. Problem ten zasáuguje na dalsze dociekania. Model Knaussa, w swojej kwantowej postaci, opisuje ruch quasi-statycznej szczeliny w tak wskim zakresie, *e praktycznie wszystkie
parametry punktu krytycznego, Xkryt, Ykryt oraz Qkryt, s identyczne
z odpowiednimi wartociami Griffitha, które podano powy*ej.
nawet atomy nie istniej, zarówno R jak i ∆ równaj si
zeru (i to
jest wáanie przypadek graniczny opisany teori Griffitha).
Dla materiaáu quasi-kruchego, jednostkowa praca zniszczenia
równa jest krytycznej wartoci caáki Rice’a, czyli
G = Jc = δt σ0
5. Oszacowanie charakterystycznych staáych mikrostruktury
Postaramy si
tutaj podaü interpretacj
fizyczn – oraz numeryczn – dla typowych rozmiarów, takich jak dáugoü strefy kohezyjnej R oraz wielkoü czstki Neubera ∆, dla wybranych zakresów wáasnoci materiaáowych. W szczególnoci rozpatrzymy trzy
mo*liwe przypadki stanu materiaáu:
1. graniczny przypadek materiaáu idealnie kruchego,
2. materiaá o wáasnociach quasi-kruchych, z uwzgl
dnieniem plastycznoci, oraz
3. graniczny przypadek materiaáu idealnie plastycznego, kiedy granica páyni
cia zmierza do zera. Zdajemy sobie tutaj spraw
, *e
pierwszy i trzeci przypadek reprezentuj pewne wyidealizowane zachowania materiaáu, podczas gdy przypadek drugi odtwarza z dobrym przybli*eniem zachowanie rzeczywistych materiaáów, najcz
ciej rozwa*anych w in*ynierii materiaáowej.
σ mol
Moduá Younga E, jednostkowa praca zniszczenia G, mierzona
w jednostkach energii na jednostk
powierzchni, oraz napr
molekularne σmol potrzebne s do oszacowania “kwantu struktury”
materiaáu, ∆. Dla idealnie spr
*ystego materiaáu trzeba rozwa*yü
te trzy istotne parametry na poziomie atomistycznym. Jeli symbol
b (= 10-10 m) b
dzie oznaczaü odlegáoü dwóch ssiednich atomów
w stanie równo- wagi termicznej, to praca zniszczenia, równaü si
dzie podwojonej energii powierzchniowej γ, któr z kolei mo*na
wyliczyü jako iloczyn σmol oraz odlegáoci b (taka jest bowiem
w przybli*eniu wielkoü pola zawartego pod krzywa opisujc siáy
dzy-atomowe w funkcji odlegáoci). Mamy zatem
 E 
G = 2γ = 2(bσ mol ) = 2b 
 30 
Zastosowalimy powy*ej znane w fizyce ciaáa staáego przybli-
 1 
E .
 30 
*enie σ mol ≈ 
Jeli podstawimy te wartoci do wzory (5.1), to otrzymamy
∆ = 60b = 6*10-9 m
Staáa o takim wymiarze nale*y do zakresu nano-mechaniki.
Dáugoü strefy kohezyjnej, R, w tym granicznym przypadku redukuje si
do wielkoci czsteczki Neubera, a zatem mamy R =∆,
gdzie ∆ okrelone jest wzorem (5.3). Dla idealnego kontinuum, gdzie
σ 02
Jeli zaáo*ymy, *e rozwarcie wierzchoákowe w momencie inicjacji
cia równe jest pewnej wielokrotnoci rozmiaru ziarna d, powiedzmy δt = kd (gdzie k jest liczb miedzy 2 a 3), to wzór (5.5)
sprowadzi si
do postaci
(kd ) = kd
Staáa ε0 oznacza odksztaácenie materiaáu na granicy páyni
(=σo/E), i dla stali niskow
glowych wynosi okoáo 0.002, natomiast
wielkoü ziarna szacuje si
w metaloznawstwie na 10-6 m. Tak wiec,
ze wzoru (5.6) otrzymujemy nast
pujce oszacowanie
R = (3)(500)10-6 m = 1.5 mm
Iloraz ∆/R mo*na obliczyü ze wzoru Wnuka-Mury,
W granicznym przypadku materiaáu idealnie kruchego staáe
∆ oraz R mo*na oszacowaü w oparciu o model atomistyczny procesu dekohezji. Zacznijmy od czstki Neubera, której rozmiar dla
dowolnego materiaáu mo*na oszacowaü przy pomocy znanego
w mesomechanice wzoru
Tutaj δt oznacza rozwarcie wierzchoákowe, natomiast σ0 jest
granic plastycznoci. Dáugoü strefy kohezyjnej R oszacujemy na
podstawie uniwersalnego wzoru, zobacz Wnuk i Legat (2002):
ε pf 2
zob. Wnuk i Mura (1983). W przybli*eniu iloraz ten jest proporcjonalny do ε0/εplf, a zatem czsteczka Neubera dla rozwa*anego materiaáu b
dzie posiadaü dáugoü rz
∆ = (1/100)R = 1.5*10-5 m = 15 µm
W powy*szym rachunku przyj
to, *e plastyczna czeü caákowitego odksztaácenia mierzonego w próbie jedno-osiowego rozcigania εplf wynosi 0.2, a zatem stosunek ε0 i εplf jest równy 0.002/0.2
= 1/100. Z rozwa*a tych wynika, *e podczas gdy dáugoü strefy
kohezyjnej R jest rz
du milimetrów, to rozmiar czstki Neubera
równa si
okoáo pi
tnacie mikronów. Ten zakres skali jest tak*e
rozpatrywany w zagadnieniach wspóáczesnej mesomechaniki.
Na koniec rozpatrzymy staáe ∆ i R dla materiaáu idealnie plastycznego (jak na przykáad mono-krysztaá miedzi w temperaturze
pokojowej).W literaturze anglo-saskiej taki graniczny przypadek
kania nazwany zostaá sáowem “rupture”, dla odró*nienia od powszechnie u*ywanych terminów “fracture” oraz “failure”. Jest to
wyidealizowany przykáad, kiedy materiaá faktycznie nie p
ka, tak
jak ma to miejsce w stanie kruchym, lub quasi-kruchym, lecz “rozáazi si
” jak wpóá roztopiony metal. Przyjmujc, *e granica páyni
cia a tak*e odksztaácenie ε0 zmierzaj do zera, ze wzoru (5.6) otrzymujemy górna granice dla R, mianowicie nieskoczonoü, natomiast
czstka Neubera, której wielkoü mo*na równie* oszacowaü na
podstawie wyra*enia
 σ
∆ ≈ R 0
 σ mol
zamienia si
w punkt. Oczywicie rozwa*ania tego typu nie maja
na celu cisáych numerycznych oblicze, lecz daj jedynie pogld
na rzd wielkoci omawianych tu staáych materiaáowych.
Podobne dociekania, lecz oparte o fraktaln mechanik
zniszczenia, s przedmiotem pracy Wnuka i Yavarego (2003), gdzie zamiast dwuwymiarowej powierzchni szczeliny rozwa*a si
reprezentowany pewnym fraktalem.
6. Bibliografia
[1] Wnuk M. P.: Accelerating Crack in a Viscoelastic Solid Subject to Subcritical Stress Intensity, Proceedings of the International Conference
on Dynamic Crack Propagation, pp. 273-280. edited by G. C. Sih, Lehigh University, published by Noordhoff, Leyden, The Netherlands
[2] Wnuk M. P.: Quasi-Static Extension of a Tensile Crack Contained in a Viscoelastic-Plastic Solid, J. Appl. Mechanics 1974, Vol. 41,
No. 1, pp. 234 – 242.
[3] Wnuk M. P.: Podstawy Mechaniki P
kania, Skrypt Uczelniany AGH, Wydawnictwa Naukowe AGH 1977, Skrypt Nr. 585.
[4] Rice J. R.: Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture, in “Fracture”, Vol. 2, 1968, edited by H Liebowitz, New York Academic
Press, pp. 191 – 311.
[5] Wnuk M. P.: Nonlinear Fracture Mechanics, co-author and editor of the CISM Courses and Lectures, course No. 314, International
Center for Mechanical Sciences, Udine, Italy, published by Springer-Verlag, Berlin 1990.
[6] Rice J. R., SorensenE. P.: Continuing Crack-Tip Deformation and Fracture for Plane Strain Crack Growth, in Elastic-Plastic Solids
1978, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 26, pp. 263-286.
[7] Rice J. R., Drugan W. J., Sham T. L.: Elastic-Plastic Analysis of Growing Cracks, ASTM STP 700, ASTM, Philadelphia 1980, pp. 189 – 221.
[8] Wnuk M. P., Legat J.: Work of Fracture and Cohesive Stress Distribution Resulting from Triaxiality Dependent Cohesive Zone Model,
Int. J. Fracture 2002, Vol. 114, pp. 29 – 46.
[9] Wnuk M. P., Omidvar B.: Local and Global Instabilities Associated with Continuing Crack Extension in Dissipative Solids, Int. J. Fracture
1977, Vol. 84, pp. 237 – 260.
[10] Wnuk M. P., Omidvar B., Choroszynski M.: Relationship Between the CTOD and the J-Integral for Stationary and Growing Cracks.
Closed Form Solutions, Int, J, Fracture 1988, Vol. 87, pp. 331 – 343.
[11] Wnuk M. P., Mura T.: Effect of Microstructure on the Upper and Lower Limit of Material Toughness in Elastic-Plastic Fracture,
J. Mech. Of Materials 1983, Vol. 2, pp. 33 – 46.
[12] Xi Zhang, Yiu-Wing Mai and Rob Jeffrey: A Cohesive and Damage Zone Model for Dynamic Crack Growth in Rate-Dependent Materials,
in print, Int. J. of Solids and Structures 2003.
[13] Wnuk M. P., Ramesham R., Bolin S.: Advanced Adhesion and Bonding, Jet propulsion/Caltech Publication D-17926, Pasadena 2000, CA.
[14] Wnuk M. P., Yavari A.: On Estimating Stress Intensity Factors and Modulus of Cohesion for Fractal Cracks, Engineering Fracture
Mechanics 2003, vol. 70, pp. 1659-1674.
Prof dr hab. Milosz P. Wnuk
Department of Civil Engineering and Mechanics
University of Wisconsin - Milwaukee
Milwaukee, WI 53201, USA
tel. (414) 229-5846, faks (414) 229-6958
e-mail: mpw@uwm.edu

Podobne dokumenty