Moduł ciągłości i operatory typu Favarda

Moduł ciągłości i operatory typu Favarda

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Wydział Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
Specjalizacja: Matematyka Teoretyczna
Moduł ciągłości
i operatory typu Favarda
Piotr Staszak
Praca magisterska
napisana pod kierunkiem
dra hab. J. Kryakina
Wrocław 2012
Pracę dedykuję Rodzicom.
Spis treści
1 Wprowadzenie
5
2 Klasyczny moduł ciągłości
6
2.1
Moduł ciągłości rzędu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Moduł ciągłości rzędu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Moduł ciągłości wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Inne moduły ciągłości
13
3.1
Ditzian-Totik moduł ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Boman-Shapiro moduł ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Kryakin-Babienko moduł ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4 Operatory typu Favarda
15
4.1
Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2.1
Średnie Favarda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2.2
Okresowe funkcje sklejane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Właściwości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
5 Podsumowanie
17
3
Podziękowania
Składam podziękowania Panu Doktorowi Habilitowanemu J. Kryakinowi za wiele życzliwych
uwag i rad, a przede wszystkim za cierpliwość i wsparcie okazane mi w trakcie studiów.
4
1
Wprowadzenie
Historia modułu ciągłości zaczeła się około 100 lat temu, kiedy Vallee-Poussin pokazał, że funkcję
|x| na odcinku [0, 1] można przybliżać wielomianami algebraicznymi stopnia n z dokładnością
rzędu 1/n. Postawił on też pytanie, czy to jest rząd najlepszej możliwej aproksymacji, które
spowodowało powstanie dwóch najważniejszych twierdzeń w teorii aproksymacji: twierdzenia
Jacksona i twierdzenia Bernsteina.
Pierwsze z nich stanowi, że funkcję ciągłą można tym lepiej przybliżać wielomianami trygonometrycznymi, im jest bardziej regularna. Aby sformalizować regularność funkcji Jackson
wykorzystał klasyczny moduł ciągłości pierwszego rzędu ω1
t
ω1 (f, h) = sup sup f x +
2
0<t¬h x
−f x−
t .
2 Twierdzenie Jackson’a. Dla każdej funkcji ciągłej o okresie 2π istnieje wielomian trygonometryczny Tn stopnia co najwyżej n taki, że
kf − Tn k ¬ Cω1
π
f,
,
n
gdzie C jest pewną stałą.
Twierdzenie to zostało uogólnione przez Stechkin’a, który wykorzystał moduł ciągłości rzędu k
! X
k
k
kt
− jt ωk (f, h) = sup sup (−1)j
f x+
2
j
0<t¬h x j=0
w następujący sposób:
Twierdzenie Stechkin’a. Dla każdej funkcji ciągłej o okresie 2π istnieje wielomian trygonometryczny Tn stopnia co najwyżej n taki, że
kf − Tn k ¬ Ck ωk
π
f,
,
n
gdzie Ck jest pewną stałą.
Wyniki te świadczą o istotności modułu ciągłości w teorii aproksymacji.
W pierwszej części niniejszej pracy magisterskiej przedstawiłem podstawowe własności klasycznego modułu ciągłości różnych rzędów. Przeanalizowałem jakie warunki musi spełniać funkcja, aby być modułem ciągłości oraz udowodniłem dwa bardzo ważne twierdzenia w teorii aproksymacji: twierdzenie Favarda i twierdzenie Jacksona-Stechkin’a dla modułu ciągłości drugiego
rzędu.
Drugim zagadnieniem poruszanym w pracy magisterskiej są operatory typu Favarda Fn,k . Są
to operatory, które dla danej funkcji zwracają dobrze przybliżającą ją bardziej regularną funkcję
kg − Fn,k (g)k ¬ CF n−2k kg (2k) k,
g ∈ C 2k (T).
Operatory typu Favarda mogą zostać wykorzystane do pokazania niektórych nierówności
związanych z modułami ciągłości.
5
2
2.1
Klasyczny moduł ciągłości
Moduł ciągłości rzędu pierwszego
Klasycznym modułem ciągłości funkcji f rzędu pierwszego nazywamy wartość
t
ω1 (f, h) = sup sup f x +
2
x
0<t¬h
−f x−
t .
2 Funkcja ω1 jest niemalejąca po h i ω1 (f, 0) = 0. Aby moduł ciągłości był ciągły w punkcie
h = 0 potrzeba i wystarcza, aby funkcja f była jednostajnie ciągła. Dlatego będziemy zakładać,
że f jest funkcją jednostajnie ciągłą, wtedy też ω1 (f, h) = ω1 (h) jest skończone dla każdego h.
Lebesgue i Nikolski znaleźli konieczne i wystarczające warunki, aby funkcja była modułem
ciągłości pierwszego rzędu.
Lemat 2.1. Moduł ciągłości pierwszego rzędu posiada następujące własności:
(1) ω1 jest nieujemna i niemalejąca na R+ oraz ω1 (h) → ω1 (0) = 0, dla h → 0,
(2) ω1 jest ciągła na R+ ,
(3) ω1 jest podaddytywna ω1 (h1 + h2 ) ¬ ω1 (h1 ) + ω1 (h2 ).
Dowód. Własność (1) wynika wprost z definicji. Własność (3) wynika z faktu, że jeśli |x − y| ¬
h1 + h2 , to istnieje z ∈ R taki, że |x − z| ¬ h1 i |z − y| ¬ h2 oraz |f (x) − f (y)| ¬ |f (x) − f (z)| +
|f (z) − f (y)| ¬ ω1 (h1 ) + ω1 (h2 ). Stąd i z ciągłości w h = 0 otrzymujemy
|ω1 (t + h) − ω1 (t)| ¬ ω1 (h) → 0,
gdy h → 0, co dowodzi własności (2).
W drugą stronę, jeśli funkcja ω1 spełnia warunki z powyższego lematu, to jest modułem
ciągłości pierwszego rzędu funkcji f (x) = ω1 (|x|).
Łatwo można też znaleźć związek modułu ciągłości z funkcją Lipschitza. Funkcję f nazywamy
Lipschitza α, jeśli istnieje C1 taka, że dla każdych x, y
|f (x) − f (y)| ¬ C1 |x − y|α .
Dla α > 1 jedynymi funkcjami spełniającymi powyższą nierówność są funkcje stałe, co wynika
z twierdzenia Lagrange’a. Okazuje się, że f jest Lipschitz α wtedy i tylko wtedy, gdy ω1 (f, t) ¬
C2 tα dla t ­ 0 i pewnej stałej C2 > 0.
Zauważmy także, że jeśli funkcja spełnia dwa pierwsze warunki z lematu 2.1 oraz ω(h)/h
maleje to w jest podaddytywna i w konsekwencji jest modułem ciągłości.
Lemat 2.2. Niech ω będzie ciągłą, niemalejącą funkcją na R+ , spełniającą ω(0) = 0. Jeśli
ω(h)/h jest nierosnące, to ω jest modułem ciągłości.
6
Dowód. Wystarczy pokazać własność (3) z lematu 2.1. Z założenia:
ω(h1 )
ω(h1 + h2 )
¬
h1 + h2
h1
ω(h1 + h2 )
ω(h2 )
¬
.
h1 + h2
h2
i
Mnożąc te nierówności odpowiednio przez h1 i h2 oraz dodając stronami otrzymujemy
ω(h1 + h2 ) ¬ ω(h1 ) + ω(h2 ).
Wniosek 2.3. Ciągła, niemalejąca, wklęsła funkcją ω na R+ , spełniającą ω(0) = 0 jest modułem
ciągłości.
Dowód. Funkcja f wklęsła (αf (x) + βf (y) ¬ f (αx + βy) dla α ­ 0, β ­ 0, α + β = 1),
która spełnia f (0) = 0 ma własność, że f (x)/x maleje. Dokładnie, jeśli x ¬ y, to korzystając z
wklęsłości otrzymujemy
x
y−x
x
f (y) =
f (0) + f (y) ¬ f (x).
y
y
y
e , czyli najmniejsza
Jeśli moduł ciągłości ω nie jest funkcją wklęsłą, to jego otoczka wklęsła ω
funkcja wklęsła większa od funkcji ω też jest modułem ciągłości.
Aby to udowodnić zauważmy, że jeśli L jest zbiorem funkcji liniowych l takich, że l(t) ­ ω(t)
dla t ∈ R+ (zakładamy, że taka l istnieje), to
φ(t) = inf l(t)
(1)
l∈L
jest wklęsłą funkcją taką, że φ(t) ­ ω(t). Ponadto, jeśli ψ(t) ­ ω(t) i ψ jest wklęsła, to ψ(t) ­ φ(t)
dla t ­ 0. Aby to pokazać skorzystamy z faktu, że w każdym punkcie t0 > 0, istnieją skończone
0 (t ), ψ 0 (t ) oraz z wklęsłości ψ 0 (t ) ¬ ψ 0 (t ). Niech l będzie prostą
lewa i prawa pochodna ψ−
0
+ 0
+ 0
− 0
o współczynniku kierunkowym leżącym między tymi dwiema liczbami oraz interpolującą ψ w
t0 , czyli l(t0 ) = ψ(t0 ). Wtedy φ(t0 ) ¬ ψ(t0 ). Ta nierówność pokazuje, że funkcja (1) jest otoczką
wklęsłą funkcji ω. Jeśli ω jest ograniczoną funkcją, dla której ω(0) = 0, to otoczka wklęsła też
ma takie właściwości.
e też jest modułem ciągłości,
Lemat 2.4. Jeśli ω jest modułem ciągłości to jej otoczka wklęsła ω
oraz spełnia
e (t) ¬ 2ω(t).
ω
(2)
Dowód. Niech t0 > 0. Zdefiniujmy
l(t) = 2ω(t0 ) +
ω(t0 )
(t − t0 ).
t0
Wtedy mamy ω(t) ¬ ω(t0 ) ¬ l(t) dla 0 ¬ t ¬ t0 . Natomiast dla t ­ t0 otrzymujemy
t
ω(t) = ω
· t0 ¬
t0
t
+ 1 ω(t0 ) = l(t).
t0
Powyższa nierówność wynika z lematu 2.7. W konsekwencji dla otoczki wypukłej dostajemy
e (t0 ) ¬ l(t0 ) = 2ω(t0 ). Ponieważ t0 jest dowolne, nierówność (2) jest spełniona dla t > 0, a z
ω
ciągłości także dla t = 0.
7
2.2
Moduł ciągłości rzędu drugiego
Klasycznym modułem ciągłości funkcji f rzędu drugiego nazywamy wartość
ω2 (f, h) = sup sup |f (x + t) − 2f (x) + f (x − t)|.
0<t¬h x
Moduł ciągłości ω2 nie jest funkcją podaddytywną, spełnia natomiast dwa pierwsze warunki
z lematu 2.1 oraz warunek
ω2 (nh) ¬ n2 ω2 (h)
dla dowolnego h ­ 0 i n ∈ N, co zostało udowodnione w ogólniejszej formie w lemacie 2.7.
Łatwo pokazać, że powyższy warunek wynika z warunku, że funkcja ω2 (h)/h2 jest nierosnąca.
Lemat 2.5. Jeśli funkcja ω2 (h)/h2 jest nierosnąca na (0, +∞), to ω2 (nh) ¬ n2 ω2 (h) dla dowolnego h ­ 0 i n ∈ N.
Dowód. Dla dowolnego n ∈ N, z założenia mamy
ω2 (nh)
ω2 (h)
¬
.
2
(nh)
h2
Mnożąc obustronnie przez (nh)2 otrzymujemy teze.
Jednak konieczne warunki na funkcję, aby była modułem ciągłości drugiego rzędu nie są
znane. Geit [6] i Shevchuk [11] próbowali znaleźć takie warunki. Geit pokazał, że jeśli w2 spełnia
dwa pierwsze warunki lematu 2.1 oraz ω2 (h)/h2 jest nierosnąca, to istnieje funkcja 2π okresowa,
której moduł ciągłości ω20 na odcinku [0, π] spełnia nierówności
c1 ω2 (x) ¬ ω20 (x) ¬ c2 ω2 (x)
dla stałych c1 > 0 i c2 > 0.
Ważnym zastosowaniem drugiego modułu ciągłości jest nierówność Jacksona. Do jej dowodu
wykorzystamy funkcję charakterystyczną
(
ℵh (x) =
1
h
for |x| <
0 for |x| ­
h
2
h
2
,
jej splot Λh (x) = (ℵh ∗ ℵh )(x) oraz twierdzenie Favarda.
Aby udowodnić twierdzenie Favarda, pokażemy następujący lemat.
Lemat 2.6. Jeśli f ∈ L1 jest
2π
n -okresowa,
Z 2π
to
Z 2π
f (t) cos ktdt =
0
f (t) sin ktdt = 0
k = 1, 2, . . . , n − 1.
0
Dowód. Podstawiając t = u + 2π/n dostajemy
Z 2π
Z 2π
exp(ikt)f (t)dt = exp(2iπk/n)
0
exp(iku)f (u)du,
0
8
czyli
(1 − exp(2iπk/n))
Z 2π
exp(ikt)f (t)dt = 0.
0
Dla k = 1, 2, . . . , n − 1 mamy 1 − exp(2iπk/n) = 1 − cos(2iπk/n) − i sin(2iπk/n) 6= 0, zatem
Z 2π
exp(ikt)f (t)dt = 0,
0
co jest równoważne tezie.
Twierdzenie Favarda Jeśli f jest 2π-okresowa i f ∈ C r , to
kf k ¬
gdzie Kr =
4
π
P∞ (−1)j(r+1)
j=0 (2j+1)r+1
¬
π
2
Kr (r)
kf k,
nr
nazywamy stałymi Favarda oraz K0 = 1, K1 = π2 , K2 =
Dowód. Niech Sn (f, x) oznacza n-tą sumę częściową szeregu Fouriera funkcji f .
Sn (f, x) =
=
a0
1
+
2
π
n Z π
1X
a0
(f (t) cos kt cos kx + f (t) sin kt sin kx) dt =
+
2
π k=1 −π
Z π X
n
f (t) cos k(x − t)dt =
−π k=1
1
a0
+
2
π
Z π X
n
f (x − t) cos ktdt
−π k=1
Załóżmy, że r = 2m + 1, wtedy całkując r razy przez części otrzymujemy
a0 (−1)m
+
Sn (f, x) =
2
π
Z π X
n
f (r) (x − t)
−π k=1
sin kt
dt.
kr
Podobnie możemy policzyć dla r parzystego, w konsekwencji
Sn (f, x) =
a0
1
+ (f (r) ∗ Br,n )(x),
2
π
gdzie
(
Br,n (t) =
(−1)m nk=1
P
(−1)m nk=1
sin kt
kr
cos kt
kr
P
dla r = 2m + 1
dla r = 2m
Skąd dla n → ∞ dostajemy
f (x) =
a0
1
+ (f (r) ∗ Br )(x),
2
π
gdzie
(
Br (t) =
(−1)m ∞
Pk=1
(−1)m ∞
k=1
P
Zatem
En−1 (f )C ¬
sin kt
kr
cos kt
kr
dla r = 2m + 1
dla r = 2m
1
En−1 (Br )L1 kf (r) kC
π
Pozostaje pokazać, że En−1 (Br )L1 ¬ πKr n−r .
9
π2
8 .
Niech r będzie parzyste, a τn−1,r będzie parzystym wielomianem trygonometrycznym n − 1
stopnia interpolującym parzystą funkcję Br w punktach
tj =
2j − 1
π,
2n
j = 1, 2, . . . , 2n.
Te punkty są zerami funkcji cos nx i pokażemy, że to są jedyne zera funkcji σ = Br − τn−1,r i
w nich σ zmienia znak. Załóżmy, że tak nie jest. Wtedy parzysta funkcja σ ma miejsce zerowe
różne od tj (j = 1, . . . , 2n) lub co najmniej jedno z tj jest wielokrotnym miejscem zerowym.
Wtedy twierdzenie Rolla implikuje, że σ 0 ma co najmniej n miejsc zerowych na (0, π). Ponieważ
σ 0 jest nieparzysta, więc σ 0 (0) = σ 0 (π) = 0, czyli σ 0 ma n + 2 miejsca zerowe na [0, π]. Stosując
twierdzenia Rolla drugi raz dostajemy, że parzysta funkcja σ 00 ma co najmniej n+1 pierwiastków
na tym przedziale. Powtarzając to rozumowanie otrzymujemy, że nieparzysta funkcja σ (r−1) ma
co najmniej n pierwiastków na (0, π) Ponieważ
(r−1)
σ (r−1) (t) = B1 (t) − τn−1,r (t) =
X
π − t n−1
−
βk sin kt
2
k=1
0 ¬ t ¬ 2π,
widzimy, że σ (r−1) (π) = 0 zatem σ (r−1) ma co najmniej 2n + 1 pierwiastków na (0, 2π), ale
parzysty wielomian trygonometryczny
X
1 n−1
kβk cos kt
σ (r) (t) = − −
2 k=1
jest n − 1-szego stopnia i nie może mieć co najmniej 2n pierwiastków na (0, 2π). Podsumowując
pokazaliśmy, że
sgnσ(t) = ±sgn cos(nt).
Dla r nieparzystego bierzemy τn−1,r jako wielomian trygonometryczny interpolujący Br w
punktach jπ/n dla j = 0, 1, . . . , n − 1 i podobnie możemy pokazać, że
sgnσ(t) = sgn(Br (t) − τn−1,r (t)) = ±sgn sin(nt).
że
Dla dowolnego r funkcja sgnσ(t) jest 2π/n okresowa, więc z powyższego lematu oraz z faktu,
o sgnσ(t)dt = 0, mamy
R 2π
Z 2π
τ (t)sgn(Br (t) − τn−1,r (t))dt = 0
0
gdzie τ jest dowolnym wielomianem trygonometrycznym n − 1 stopnia.
Korzystając z tej równości, otrzymujemy
kBr − τn−1,r k1 =
Z 2π
(Br (t) − τn−1,r (t)) · sgn(Br (t) − τn−1,r (t))dt =
0
Z 2π
=
(Br (t) − τ (t)) · sgn(Br (t) − τn−1,r (t))dt ¬
0
Z 2π
|Br (t) − τ (t)|dt = kBr − τ k1 ,
0
czyli
Z 2π
En−1 (Br )L1 =
|Br (t) − τn−1,r (t)|dt.
0
10
Dla r = 2m mamy
En−1 (Br )L1 = ±
Ponieważ
Z 2π
0
Z 2π
Br (t)sgn cos ntdt .
(Br (t) − τn−1,r (t)) · sgn cos ntdt = 0
4
1
1
sgn cos nt =
cos nt − cos 3nt + cos 5nt − . . . ,
π
3
5
∞
X
cos kt
B2m (t) = (−1)m
k=1
k 2m
oraz korzystając z tożsamości
Z 2π
f (t)g(t) =
0
∞
X
π
a0 (f )a0 (g) + π
[ak (f )ak (g) + bk (f )bk (g)]
2
k=1
gdzie ak (f ), bk (f ) oraz ak (g), bk (g) są współczynnikami Fouriera funkcji f i g odpowiednio,
dostajemy
Z 2π
∞
4X
(−1)k
Br (t)sgn cos ntdt = π(−1)m
.
π k=0 [(2k + 1)n]2m (2k + 1)
0
W konsekwencji
En−1 (Br )L1 =
∞
4 X
n2m
(−1)k
πK2m
= 2m .
2m+1
(2k + 1)
n
k=0
Dla r = 2m + 1 nieparzystego mamy
B2m+1 (t) = (−1)m
∞
X
sin kt
k=1
k 2m+1
,
4
1
1
sgn sin nt =
sin nt + sin 3nt + sin 5nt + . . . .
π
3
5
Zatem otrzymujemy
Z 2π
∞
4 X
1
πK2m+1
B2m+1 (t)sgn sin ntdt = 2m+1
En−1 (B2m+1 )L1 = = 2m+1 .
2m+2
n
(2k
+
1)
n
0
k=0
Korzystając z twierdzenia Favarda możemy pokazać krótki dowód twierdzenia Jacksona.
Twierdzenie Jacksona Jeśli f jest 2π-okresową funkcją na R to dla h =
π
2n
otrzymujemy
En (f ) ¬ ω2 (f, h).
Dowód. Niech τn będzie wielomianem trygonometrycznym n-tego stopnia najlepiej aproksymującym f ∗ Λh . Wtedy
kf − τ k ¬ kf − f ∗ Λh k + kf ∗ Λh − τ k.
11
Pierwszy składnik można oszacować, ponieważ
f (x) −
Z ∞
−∞
f (x − t)Λh (t)dt = f (x) −
Z h
(f (x − t) + f (x + t))Λh (t)dt =
0
=−
Z h
(f (x + t) − 2f (x) + f (x − t))Λh (t)dt
0
oraz
Rh
0
Λh (t)dt = 12 , zatem
1
kf − f ∗ Λh k ¬ ω2 (f, h).
2
Natomiast z twierdzenia Favarda otrzymujemy oszacowanie na drugi składnik
kf ∗ Λh − τn k ¬
Ponieważ
(f ∗ Λh )(x)00 = f ∗ (Λh )00 =
π2 1
k(f ∗ Λh )00 k.
8 n2
1
(f (x − h) − 2f (x) + f (x + h)),
h2
stąd
kf ∗ Λh − τ k ¬
W konsekwencji dla h =
π
2n
π2 1 1
ω2 (f, h).
8 n2 h2
otrzymujemy
kf − τ k ¬ ω2 (f,
2.3
π
).
2n
Moduł ciągłości wyższych rzędów
Dla funkcji f : [a, b] → C i r ∈ N definiujemy
∆1δ f (x)
δ
= ∆δ f (x) = f x +
2
oraz
∆rδ f (x)
=
∆δ (∆r−1
δ f (x))
=
r
X
v=0
δ
−f x−
,
2
!
r
rδ
(−1)v f x +
− vδ .
v
2
Zakładając, że [x − rδ/2, x + rδ/2] ⊆ [a, b].
Klasycznym modułem ciągłości funkcji f rzędu r nazywamy wartość
ωr (f, h) = sup k∆rδ f k∞ .
0<δ¬h
Funkcja ωr ma podobne własności jak ω1 . Jest nieujemna, niemalejąca i ciągła na R+ , natomiast nie jest podaddytywna.
Ponadto dla klasycznego modułu ciągłości mamy.
Lemat 2.7. Moduł ciągłości posiada następujące własności:
(1) ωr (f, h) ¬ 2ωr−1 (f, h) ¬ . . . ¬ 2r−1 ω(f, h) ¬ 2r kf k∞ ,
12
(2) ωr (f, nh) ¬ nr ωr (f, h) dla n ∈ N,
(3) ωr (f, λh) ¬ (λ + 1)r ωr (f, h) dla λ > 0.
r−1
Dowód. Własność (1) wynika z nierówności ∆rδ f (x) = ∆r−1
δ f (x + δ/2) − ∆δ f (x − δ/2) ¬
2ωr−1 (f, h). Aby dowieść własność (2) pokażemy przez indukcję względem r równość
∆rnδ f (x) =
n−1
n−1
2
X
2
X
...
v1 =− n−1
2
∆rδ f (x + v1 δ + · · · + vr δ).
vr =− n−1
2
Dla r = 1 równość jest spełniona
n−1
2
X
∆nδ f (x) =
v1 =−
nδ
∆δ f (x + v1 δ) = f x +
2
n−1
nδ
−f x−
.
2
2
Podobnie
∆r+1
nδ f (x)
=
n−1
n−1
2
X
2
X
...
v1 =− n−1
2
−
n−1
n−1
2
X
...
=
vr =− n−1
2
n−1
n−1
2
X
2
X
v1 =− n−1
2
∆rδ f
...
nδ
x + v1 δ + · · · + vr δ +
−
2
vr =− n−1
2
2
X
v1 =− n−1
2
∆rδ f
nδ
x + v1 δ + · · · + vr δ −
2
=
∆r+1
δ f (x + v1 δ + · · · + vr+1 δ)
vr+1 =− n−1
2
Pozostaje własność (3). Niech λ ∈ (n, n + 1], wtedy
ωr (f, λh) ¬ ωr (f, (n + 1)h) ¬ (n + 1)r ωr (f, h) ¬ (λ + 1)r ωr (f, h).
Podobnie jak dla ω2 , nie są znane konieczne warunki, aby funkcja była modułem ciągłości
rzędu wyższego niż 2.
3
Inne moduły ciągłości
3.1
Ditzian-Totik moduł ciągłości
Z. Ditzian i V. Totik w pracy [5] przedstawili zmodyfikowany moduł ciągłości
ωr,ϕ (f, h) = sup k∆rδϕ f k∞
0<δ¬h
dla x ∈ (a, b), gdzie a = −∞ lub a = 0, b = 1 lub b = ∞.
Funkcja ϕ powinna spełniać następujące własności:
13
(1) ϕ ∼ 1 lokalnie tzn. dla każdego podprzedziału [c, d] ⊂ (a, b) istnieje stała M > 0 taka, że
M −1 ¬ ϕ(x) ¬ M dla x ∈ [c, d],
(2) istnieją dwie liczby u(a) i u(b) (a = −∞ lub a = 0, b = 1 lub b = ∞) spełniające u(0) ­ 0,
u(1) ­ 0 oraz u(±∞) ¬ 0, dla których
ϕ(x) ∼

u(a)

 |x|
gdy x → a+ (a = −∞ lub a = 0)
xu(∞)
gdy x → ∞ (b = ∞)


u(1)
(1 − x)
gdy x → 1− (b = 1).
(3) ϕ(x) jest mierzalna i istnieją stałe M0 i h0 takie, że dla każdego 0 < h ¬ h0 i dla każdego
skończonego przedziału E ⊂ (a, b)
µ{x : x ± hϕ(x) ∈ E, x ∈ (a, b)} ¬ M0 µ(E),
gdzie µ(A) oznacza miarę zbioru A.
Przykłady. Dla ϕ(x) ≡ 1 otrzymujemy klasyczny moduł ciągłości. Bardziej skomplikowa√
nymi przkładami są ϕ(x) = x dla (a, b) = (0, ∞) lub ϕ(x) = x(1 − x) dla (a, b) = (0, 1).
K-funkcjonałem nazywamy
Kr,ϕ (f, t) = inf {kf − gk + tr kϕr g (r) k ; g (r−1) ∈ A.Cloc }
g
gdzie g (r−1) ∈ A.Cloc oznacza, że g jest r − 1 razy różniczkowalna i g (r−1) jest bezwzględnie
ciągła.
Powyższy moduł ciągłości i K-funkcjonał są w pewnym sensie równoważne. Obrazuje to
poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 3.1. Niech ϕ spełnia warunki 1-3. Wtedy
M −1 ωr,ϕ (f, t) ¬ Kr,ϕ (f, t) ¬ M ωr,ϕ (f, t),
0 < t ¬ t0 .
dla pewnych stałych M > 0 i t0 .
Dowód tego twierdzenia jest jednym z głównych wyników pracy [5].
Ta równoważność jest istotna dla ustalenia właściwości tego modułu ciągłości oraz pokazania
jego możliwych sposobów wykorzystania.
3.2
Boman-Shapiro moduł ciągłości
Niech σ oznacza ograniczoną
miarę Borelowską. Piszemy f ∗ σ, aby oznaczyć funkcję, której
R
wartość w t wynosi f (t − u)dσ(u). Ponadto dla a > 0, niech σ(a) (E) = σ(a−1 E) dla wszystkich
zbiorów Borelowskich E.
Jan Boman i Harold S. Shapiro podali inny moduł ciągłości, który zdefiniowali w następujacy
sposób
ωσ (f, a) = sup Dσ (f, b),
0<b¬a
gdzie
Dσ (f, b) = kf ∗ σb k.
14
Dla miary
(
σ = δ 1 − δ− 1 ,
2
gdzie δx (A) =
2
x∈
/ A,
,
x∈A
0,
1,
A- zbiór mierzalny,
otrzymujemy klasyczny moduł ciągłości pierwszego rzędu.
Moduł ciągłości zdefiniowany w pracach [9], [1] także może być widziany jako szczególny
przypadek Boman-Shapiro modułu ciągłości. Opiszemy go w kolejnym podrozdziale.
3.3
Kryakin-Babienko moduł ciągłości
Kryakin i Babienko [1] zdefiniowali nowy moduł ciągłości
h
W2k (f, x, h) = (−1)
1
Z
2k
k
∆2k
t f (x)Λh (t)dt.
R
dla h > 0, k ∈ N.
Udowodnione zostały także niektóre jego własności. Jego ograniczoność.
Twierdzenie 3.2. Dla h > 0, k ∈ N i f ∈ C(T) zachodzi
W2k (f, h) = kW2k (f, ·, h)k ¬ 3kf k.
Oraz nierówność analogiczna do nierówności Bernsteina-Stechkina.
Twierdzenie 3.3. Dla τ ∈ Tn , k, n ∈ N zachodzi
kτ (2k) k ¬
n2k
W2k (τ, h),
W2k (cos nx, h)
h ∈ (0, 2π/n].
Korzystając z tych własnośći zostało udowodnione twierdzenie typu Jacksona-Stechkina używające modułu W2k .
Twierdzenie 3.4. Niech f ∈ C(T), k, n ∈ N oraz α > 1. Wtedy
En−1 (f ) ¬ sec
4
4.1
π
απ
W2k f,
.
2α
n
Operatory typu Favarda
Definicja
Niech F = {Fn,k : n, k ∈ N} będzie rodziną operatorów Fn,k : C 2k (T) → C(T) spełniającą
kg − Fn,k (g)k ¬ CF n−2k kg (2k) k,
g ∈ C 2k (T)
(3)
gdzie stała CF > 0 nie zależy od g, k, n. Operator Fn,k ∈ F będziemy nazywali operatorem typu
Favarda.
15
4.2
4.2.1
Przykłady
Średnie Favarda
W dowodzie twierdzenia Favarda pokazaliśmy, że dla 2π okresowej g ∈ C r , r ­ 1 zachodzi
g(x) =
a0
1
+ (g (r) ∗ Br )(x).
2
π
Oznaczmy
a0
1
+ (g (r) ∗ τ ∗ ),
2
π
gdzie τ ∗ jest wielomianem trygonometrycznym n-tego stopnia najlepiej aproksymującym Br w
L1 (zob. ). Wtedy z twierdzenia Favarda Gn,r spełnia (3) ze stałą π2 , czyli jest operatorem typu
Favarda.
Gn,r (g) =
4.2.2
Okresowe funkcje sklejane
Mówimy, że s jest funkcją sklejaną s ∈ S2n,2k−1 , jeśli s(2k−1) jest kawałkami stała, tzn.
s(2k−1) (x) = sj ∈ R
x ∈ [2πj/(2n), 2π(j + 1)/(2n)),
j = 0, . . . , 2n − 1
oraz s(2k−2) ∈ C(T). Zdefiniujmy operator interpolacji w punktach πj/n, j = 0, . . . , 2n − 1
In,k (g) ∈ S2n,2k−1
Twierdzenie 4.1. In,k jest operatorem typu Favarda:
kg − In,k (g)k ¬ K2n n−2k kD2k gk.
Dowód tego faktu można znaleźć w [8] (s. 223).
4.3
Właściwości
Korzystając z operatorów typu Favarda możemy udowodnić nierówność typu Jacksona dla modułu ciągłości Kryakina-Babienko.
Twierdzenie 4.2. Dla f ∈ C(T), operatora typu Favarda Fn,k i wielomianu τ ∗ ∈ Tn−1 najlepszej jednostajnej aproksymacji funkcji f , zachodzi
kf − Fn,k (τ ∗ )k ¬ CJ W2k (f,
π
gdzie CJ = 1 + CF + 3CF sec 2α
απ
),
n
α ∈ (1, 2],
π
sec 2α
.
Dowód. Z twierdzenia (3.4) wiemy, że
π
απ
1 = En−1 (cos nx) ¬ sec
W2k cos nx,
,
2α
n
czyli
W2k
1
π
.
απ ¬ sec
cos nx, n
2α
16
Korzystając z tej nierówności oraz twierdzeń (3.2) i (3.3) otrzymujemy
∗
∗
kτ − Fn,k (τ )k ¬ CF n
π
απ
sec
W2k (τ ∗ ,
)¬
2α
n
2k ∗
kD τ k ¬ CF
απ
απ
π
απ
π
(W2k (f − τ ∗ ,
(3kf − τ ∗ k + W2k (f,
sec
) + W2k (f,
)) ¬ CF sec
)).
2α
n
n
2α
n
¬ CF
−2k
Z twierdzenia (3.4) wiemy, że
π
απ
W2k f,
2α
n
kf − τ ∗ k ¬ sec
Ponieważ
kf − Fn,k (τ ∗ )k ¬ kf − τ ∗ k + kτ ∗ − Fn,k (τ ∗ )k,
dostajemy
π
απ
kf − Fn,k (τ )k ¬ sec
W2k f,
2α
n
∗
+ CF
π
¬ 1 + CF + 3CF sec
2α
5
π
sec
2α
π
3 sec
2α
+ 1 W2k
απ
f,
n
¬
π
απ
sec
W2k f,
.
2α
n
Podsumowanie
Pierwsza część pracy magisterskiej została poświęcona modułom ciągłości. Zaczeliśmy od klasycznego modułu ciągłości pierwszego rzędu. Pokazaliśmy jakie warunki musi spełnić funkcja,
aby być takim modułem ciągłości. Warunki takie nie są znane dla modułów ciągłości wyższych
rzędów. Udowodniliśmy dwa bardzo ważne twierdzenia w teorii aproksymacji, twierdzenie Favarda i twierdzenie Jacksona.
W drugiej części zaprezentowaliśmy inne moduły ciągłości. Wsponieliśmy o modułach DitzianTotik i Boman-Shapiro oraz wprowadziliśmy moduł ciągłości Kryakina-Babienko. Wymieniliśmy
jego podstawowe właściwości, które zostały wykorzystane w trzeciej częśći pracy.
Ostatnia część została poświęcona operatorom typu Favarda. Opisaliśmy podstawowe przykłady takich operatorów, oraz udowodniliśmy niektóre ich właściwości. Pokazane zostało także
jak takie operatory mogą uprościć dowody twierdzeń w teorii aproksymacji.
17
Literatura
[1] Babienko A. G., Kryakin Yu. V., Staszak P. T. Functions measuring smoothness and
the constant in the Jackson-Stechkin theorem, 2011.
[2] Boman J. Equivalence of generalized moduli of continuity, Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, 1978.
[3] Boman J., Shapiro H. S. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity,
1980.
[4] DeVore R.A., Lorentz G.G. Constructive approximation, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[5] Ditzian Z., Totik V. Moduli of Smoothness, 1987.
[6] Geit V. E. , On the exactness of certain inequalities in approximation theory, Mathematical
Notes, 10:5, s. 768–776, 1971.
[7] Konyagin S.V., On the second moduli of continuity, Proceedings of the Steklov Institute
of Mathematics 269, s. 143-145-145, 2010.
[8] Korneichuk, N.P. Exact constants in approximation theory. Encyclopedia of Mathematics
and its Applications, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
[9] Foucart S., Kryakin Yu., Shadrin A. On the exact constant in Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric. Constr. Approx. 29 (2009), no. 2, 157–179.
[10] Shapiro H. S. Topics In Approximation Theory, 1971.
[11] Shevchuk I. A. Some Remarks on Functions of the Type of the Modulus of Continuity of
Order k ­ 2, Problems of Approximation Theory and Its Applications, s. 194-199, 1976
[12] Trigub R. M., Bellinsky E. S. Fourier Analysis and Approximation of Functions, 2004.
18