Lista 1 - wmiRepo

Lista zadań do wykładu Biomatematyka I
Lista 2
1. Pewna ławica łososi rozwija się zgodnie z prawem Malthusa
dN
= 0, 003 N (t),
dt
gdzie N (t) jest liczebnością populacji, a t jest mierzone w minutach. Delfiny,
które pojawiły się na wodach zasiedlonych przez te łososie, zjadają je z szybkością 0, 001p2 . Poza tym, ze względu na obecność delfinów 0, 002 łososi na
minutę odpływa z tych wód. Wiedząc, że w chwili t = 0 było milion łososi,
znajdź N (t) i asymptotyczne zachowanie N (t), dla t → ∞.
2. Rozważmy model populacji rozwijającej się zgodnie z następującymi regułami. Populacja rośnie zgodnie z prawem logistycznym
dN
= a N (t) − b (N (t))2 .
dt
(1)
Gdy liczebność populacji N (t), w chwili t, osiąga wartość Q (Q < ab ) jej rozwój zmienia swój charakter. Od tego momentu populacja rozwija się zgodnie
z równaniem
dN
= A N (t) − B (N (t))2 ,
(2)
dt
A
gdzie A < a, B < b. Załóżmy, że Q > B
. Wtedy populacja zaczyna maleć.
A
Jeśli zmaleje do pewnego poziomu q > B
populacja zaczyna rozwijać się
znów zgodnie z prawem (1) itd. Jak wynika z tego opisu, populacja przeżywa
fluktuacje między stanem q i Q. Oblicz czas tych fluktuacji.
3. Dla poniższych równań znajdź wszystkie punkty równowagi oraz określ,
które z nich są asymptotycznie stabilne.
!
dN
t
N (t)
= rN (t) 1 −
,
K
dN
t
= rN (t) log
dN
t
=
dN
t
N (t)
,
K
rN (t)(K − N (t))
,
K + aN (t)

N (t)
= rN (t) 1 −
K
!θ 

(0 < θ < 1),
dN
t
(
N (t)
= N (t) r exp 1 −
K
)!
.
4. Koncentracja pewnego związku w komórce jest równa C natomiast koncentracja tego związku na zewnątrz komórki jest równane Γ. Załóżmy, że
związek ten wnika do wnętrza komórki drogą dyfuzji z intensywnością βC,
gdzie β jest stałą. Tak więc
dC
= β C(t)(Γ − C(t)).
dt
Uwzględniając absorpcję otrzymujemy równanie
dC
C(t)
= β C(t)(Γ − C(t)) −
.
dt
1 + C(t)
(a) Znajdź punkty równowagi dla tego modelu i określ ich stabilność.
(b) Porównaj zachowanie się tego modelu oraz modelem uwzględniającym
absorpcję, gdy t → ∞.
5. Metodą najmniejszych kwadratów dopasuj do danych liczebności populacji
USA:
(a) model Malthusa,
(b) model logistyczny.
Sprawdź jak dobre dopasowanie otrzymasz, szacując współczynnik r w modelu Malthusa oraz współczynniki r i K w modelu logistycznym na podstawie
liczebności populacji w kolejnych dziesięcioleciach.
Dane o populacji USA od roku 1790 do 1990.
Rok
Populacja Rok
Populacja
1790
1810
1830
1850
1870
1890
1910
1930
1950
1970
1990
3.900.000
7.200.000
12.900.000
23.100.000
38.600.000
62.900.000
92.000.000
122.800.000
150.700.000
205.000.000
248.700.000
1800
1820
1840
1860
1880
1900
1920
1940
1960
1980
5.300.000
9.600.000
17.100.000
31.400.000
50.200.000
76.000.000
105.700.000
131.700.000
179.000.000
226.500.000