Obliczanie grubości zęba - Zachodniopomorski Uniwersytet

ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
z Podstaw Konstrukcji Maszyn
nr 7
Obliczanie grubości zęba
Opracował: dr inż. Marek Zapłata
Szczecin 2015
ZA
I
SK
KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
SZ
C Z E C IN I E
W
ET
w Szczecinie
IOPOM
OR
ODN
CH
UNI W ERSY T
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET
TECHNOLOGICZNY
TE
NY
CH
NOLO GICZ
2
Spis treści
Wstęp ..................................................................................................................................... 3
1
Funkcja ewolwentowa (involuta). Kąt zarysu ........................................................ 3
2
Grubość zęba korygowanego ................................................................................. 4
2.1
Grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej .................................................. 4
2.2
Grubość zęba korygowanego na dowolnej średnicy ....................................................... 6
2.3
Grubość zęba korygowanego u wierzchołka .................................................................... 6
3
Granice korekcji ......................................................................................................... 7
4
Przebieg ćwiczeń laboratoryjnych .......................................................................... 8
Literatura:................................................................................................................................ 11
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn
Obliczanie grubości zęba
3
Wstęp
Przekładnie zębate służą do przenoszenia mocy z elementu napędzanego na napędzany, Ich celem
stosowania przekładni jest dostosowanie parametrów ruchu generowanego przez silnik do wymagań
maszyny roboczej. Są zasadniczą częścią mechanizmu lub maszyny. Najczęściej cały ten zespół,
zamknięty w korpusie, nazywa się reduktorem, skrzynią biegów. Skoro jedną z podstawowych
zadań przekładni jest przenoszenie mocy to oznacza, że zęby koła są obciążane siłami, działającymi
na pewnym promieniu dają moment obrotowy, co przy zadanej prędkości obrotowej daje określoną
moc. Kierunek siły międzyzębnej (patrz: podstawowe prawo zazębienia) jest taki jak kierunek linii
przyporu. Zatem ząb, pod wpływem działania tej siły, jest obciążony naprężeniami gnącymi, które
w niektórych przypadkach będą podstawowym, dominującym naprężeniem. Nie jest zatem bez
znaczenia zarówno grubość zęba jak i jego wysokość. Te cechy geometryczne koła będą przede
wszystkim odpowiadały za wartość naprężeń gnących. Dlatego tematem niniejszego laboratorium
jest „Obliczanie grubości zęba”.
1 Funkcja ewolwentowa (involuta). Kąt zarysu
Ewolwentę kreśli punkt końcowy nici odwijającej się z koła zwanego ewolutą. Ewolutą tej krzywej
ewolwentowej, w teorii kół zębatych, nazywamy kołem zasadniczym. Podstawowa zależność
, gdzie punkt Z jest początkowym punktem
ewolwenty wyraża się równaniem (rys.1) YN = ZN
ewolwenty, położonym na okręgu koła zasadniczego.
Rys.1 Obliczanie funkcji ewolwentowej oraz określenie kąta zarysu
Z wyrysowanej na rysunku 1 konstrukcji geometrycznej można napisać następujące zależności:
= ZN
YN
4
tan = = tan czyli i ostatecznie:
( + )
= = − = ! czyli kąt zawarty między promieniem początkowego punktu ewolwenty i promieniem
rozpatrywanego jej punktu jest równy tangensowi kąta zarysu tego punktu (wyrażonego w mierze
kątowej). Kąt ten nosi nazwę involuty kąta αy i stanowi tzw. funkcję ewolwentową.
Kątem zarysu w rozpatrywanym punkcie Y zarysu zęba będziemy określali kąt zawarty między
promieniem OY koła poprowadzonym od tego punktu i styczną do zarysu (ewolwenty) w punkcie
Y. Ponieważ promień ON jest prostopadły do stycznej YN, która z kolei jest prostopadła do stycznej
w punkcie Y. Wynika stąd zależność, że kąt
#ą% &'( = #ą%)* +,-./ = Wartość kąta zarysu obliczamy z trójkąta YON
45
= cos =
0
4
Najczęściej kąt zarysu oblicza się dla promieni (średnic) charakterystycznych dla koła zębatego:
średnicy wierzchołkowej, średnicy podziałowej, średnicy stóp. Kąt zarysu dla średnicy podziałowej
jest nazywany nominalnym kątem zarysu. Zestawienie wzorów do obliczania kąta zarysu
przedstawiono w tablicy poniżej:
Tablica 1. Wzory do obliczania kąta zarysu
Kąt przyporu dla punktu zarysu położonym:
na okręgu koła
podziałowego d
678 =
-9
-
na okręgu koła
wierzchołkowego da
678 , =
-9
-,
na dowolnym okręgu
dy
678 =
na okręgu koła
obróbczo-tocznego
dow
-9
-
678 )* =
-9
-)*
2 Grubość zęba korygowanego
2.1 Grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej
Ponieważ podziałka w narzędziu-zębatce może być odmierzana na dowolnej wysokości zęba, linią
toczną może być dowolna linia równoległa do wierzchołkowej linii zębatki. W narzędziu zębatce
oznaczymy linię MM, na której grubość zęba jest równa szerokości wrębu. Jest to linia podziałowa
narzędzia zębatki. Podczas nacinania zębów, w przypadku zarysów zerowych, obrabiane koło
zębate toczy się swoją średnicą podziałową po linii podziałowej narzędzia zębatki. Wtedy linia
podziałowa MM jest jednocześnie linią toczną TT. Stąd wynika warunek, że podziałka nominalna
nacinanego koła jest równa podziałce narzędzia.
W sytuacji, gdy nacinamy koło zębate ma mieć liczbę zębów mniejszą od granicznej wystąpi
podcięcie. Abu go uniknąć dokonuje się korekcji uzębienia (odsuwamy narzędzie-zębatkę od
obrabianego koła).
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn
Obliczanie grubości zęba
Rys.2. Wyznaczanie grubości zęba o przesuniętym zarysie na średnicy podziałowej
Rys.3. Obliczanie grubości zęba na dowolnej promieniu ry (dowolnej wysokości zęba)
5
6
Z powyższego rozumowania wynika, że dla uniknięcia podcięcia, gdy odsuwamy narzędzie o
wielkość : = ;< od obrabianego koła i mamy do czynienia z zębami korygowanymi, zmienia się
(zwiększa) grubość zęba na średnicy koła podziałowego. Wizualizację takiej sytuacji pokazuje
rysunek 2. Z trójkąta ADF obliczyć można połowę przyrostu grubości zęba => = ?, A∆. (z jednej
strony). Odcinek C> = ;<, jest równy przesunięciu narzędzia zębatki.
∆. = D;< Grubość zęba na łuku koła podziałowego wynosi
F
.E# = + ∆.
D
ponieważ F = G<, można ostatecznie zapisać:
G
.E# = H + D; I <
D
2.2 Grubość zęba korygowanego na dowolnej średnicy
Z rys.3 widać, że grubość zęba na dowolnej średnicy obliczamy z zależności
JK = 24 M
obliczymy korzystając z funkcji involuty
Wartość N
M
E = MO + PQR − PQR Na kącie ϕ wyznaczona została grubość zęba korygowanego na średnicy podziałowej
ĴT
M=
24
Po podstawieniu otrzymujemy:
JKT
JK = 24 ( + PQR − PQR )
24
gdzie:
JK
grubość zęba na dowolnym okręgu o promieniu ry;
M
E
kąt środkowy odpowiadający połowie grubości zęba na okręgu o promieniu ry w mierze
łukowej w radianach;
MO
kąt środkowy odpowiadający połowie grubości zęba na okręgu podziałowym, w mierze
łukowej;
JKT
grubość zęba korygowanego na łuku koła podziałowego;
4
promień koła podziałowego;
nominalny kąt zarysu (odpowiadający kołu podziałowego);
kąt zarysu odpowiadający kołu o promieniu ry.
2.3 Grubość zęba korygowanego u wierzchołka
Korzystając ze wzoru na grubość zęba na dowolnym okręgu w miejsce promienia ry podstawiamy
ra. Pamiętając, że:
1
1
1
4U = WU = (W + 2ℎU ) = YZ[ + 2Z(\ + ])^
2
2
2
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn
Obliczanie grubości zęba
7
oraz uwzględniając zależność do obliczania grubości zęba korygowanego na średnicy koła
podziałowego (wyprowadzony w poprzednim punkcie) otrzymujemy
` + 4] tan JKU = Z([ + 2\ + 2]) _
+ PQR − PQR U b
2[
gdzie:
JKU
grubość zęba na okręgu koła wierzchołkowego;
αd
kąt zarysu ewolwenty dla koła wierzchołkowego.
3 Granice korekcji
Przesunięcie zarysu zęba wywołuje skutki w postaci zmian grubości zębów (rys.4). Podczas
stosowania korekcji dodatniej zastępuje co prawda zwiększenie grubości zęba u podstawy i na
średnicy podziałowej, ale powoduje także zmniejszanie tej grubości na średnicy wierzchołkowej,
która się podczas korekcji ulega zwiększeniu.
Rys.4a. Zmiana kształtu zębów podczas przesunięcia zarysu: przedstawienie teoretyczne
Powstaje niepożądany efekt zaostrzenia zęba na średnicy wierzchołkowej. Koła zębate prawie
zawsze są obrabiane cieplnie, często są nawęglane. Powierzchnie zębów, ze względu na wysokie
naciski powierzchniowe, powinny mieć wysoką twardość. Ząb taki podczas pracy w przekładni
zębatej może łatwo ulec uszkodzeniu – może się wykruszyć. Aby do tego nie dopuścić powinniśmy
zadbać, by ząb u swego wierzchołka był odpowiednio gruby. Dla przekładni mocy często zaleca
się, by minimalna grubość zęba na średnicy wierzchołkowej nie była mniejsza niż JU = 0,4 ∗ Z.
Jeśli mamy do czynienia z korekcją ujemną, to granicą stosowania korekcji jest podcięcie zęba u
podstawy (rys.5).
8
Rys.4b. Zmiana kształtu zębów podczas przesunięcia zarysu: zmiana kształtu i położenia zęba w zależności
od wartości korekcji dla nacinanego koła zębatego w stosunku do kształtu i położenia koła
zerowego, dla którego: z=10, m=20, y=1 i współczynników korekcji x=0,2; 0,4; 0,6; 0,8.
4 Przebieg ćwiczeń laboratoryjnych
Na zajęciach będziemy wykorzystywać, wykonany na poprzednim ćwiczeniu laboratoryjnym,
rysunek zarysu zębów z symulacji nacinania kół zębatych (moduł m=20, liczba zębów z=8). Na
rysunku tym są przedstawione trzy zarysy zębów. Pierwszy z nich jest zębem koła o zarysie
zerowym (niekorygowanym). Kolejne dwa przedstawiają zęby kół korygowanych, przy czym dla
pierwszego z nich przeprowadzono korekcję dla teoretycznej granicznej liczby zębów, a dla
drugiego dla praktycznej granicznej liczby zębów. Na każdym z tych zarysów narysowano koła:
wierzchołkowe da, podziałowe d i stóp df. Przybliżony kształt zębów, wyrysowanych na krążku
brystolu na poprzednim ćwiczeniu, przedstawiony został na rysunkach 6a-6c.
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn
Obliczanie grubości zęba
9
Rys.5. Przybliżone,
one, ze wzglę
względu na zaostrzenie i podcięcie, współczynniki przesunięcia
przesuni
zarysu w funkcji
liczby zębów
Aby wykonać ćwiczenie należy:
nale
a) na wyrysowanych zarysach zębów
z
odczytać (zmierzyć)) grubości
grubo
zębów na średnicach
wierzchołkowych;
b) obliczyć grubości
ści zębów
z bów u wierzchołka przed i po korekcji. Porównać
Porówna z obrazem
otrzymanym, jako wynik symulacji nacinania zęba
z
(punkt a);
c) w przypadku, gdy grubość
grubo zębów na średnicy
rednicy wierzchołkowej jest mniejsza od 0,4Z (przy
pomocy linijki) nanieść
nanie na ząb grubość wierzchołkową równą 0,4 Z. Zmierzyć wartość
średnic
rednic wierzchołkowych
wierzchołko
dla tak oznaczonych zębów dzikich;
d) obliczyć współczynniki skrócenia głowy zęba
z
- k dla założenia,
enia, że
ż grubość zęba na średnicy
koła wierzchołkowego nie może
mo
być mniejsza niż 0,4Z
Z oraz obliczyć średnice
wierzchołkowe dla zębów
zę
dzikich;
e) porównać wyniki obliczeń z wynikami uzyskanymi z metody graficznej. Wyciągnąć
Wyci
wnioski.
10
Rys.6a. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło niekorygowane – podcięte (x=0)
Rys.6b. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło z przesuniętym zarysem
(dla teoretycznego przesunięcia zarysu zęba x=0.53)
Laboratorium Zakładu Podstaw Konstrukcji Maszyn
Obliczanie grubości zęba
11
Rys.6c. Symulacja nacinania zębów (z=8, m=20): koło z przesuniętym zarysem
(dla praktycznego przesunięcia zarysu zęba x=0,35)
W sprawozdaniu zamieścić:
- wykreślone na zajęciach zęby obrabianego koła (na arkuszu brystolu) z oznaczonymi
średnicami wierzchołkowymi zębów dzikich;
- obliczenia przeprowadzone na zajęciach;
- wnioski:
- Przykład obliczeniowy: Mając dane: mn=4; y=1, αn =20°, z=20, β =20˚ (koło zębate
z zębami śrubowymi), obliczyć grubość zęba na średnicy wierzchołkowej.
Literatura:
1. Ochęduszko K. Koła zębate tom 1 – konstrukcja, WNT, Warszawa 2009;
2. Dziama A., Michniewicz M., Niedźwiedzki A., Przekładnie zębate, PWN, Warszawa 1995;
3. Podstway konstrukcji maszyn, Praca zbiorowa pod redakcją Dietricha M. Wydawnictowo
Naukowe PWN, Warszawa 1986.