Koło ratunkowe z matematyki dyskretnej M Id

Koło ratunkowe z matematyki dyskretnej M Id - szkice rozwiązań
Z. 1. (2pkt.) Ciąg (an ) jest zdefiniowany rekurencyjnie w następujący sposób:
a0 = −1, a1 = 2 oraz an = 4an−1 + 5an−2 dla n ­ 2. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia, podać wzór
jawny na an .
Piszemy równanie charakterystyczne: x2 − 4x − 5 = 0 i wyznaczamy jego pierwiastki r1 = −1 i r2 = 5.
Nastepnie piszemy
wzoru jawnego an = c1 · (−1)n + c2 · 5n . Z warunków początkowych piszemy
ogólną postać
0
−1 = c1 · (−1) + c2 · 50
układ równań
, po rozwiązaniu którego otrzymujemy ostateczne rozwiązanie
2 = c1 · (−1)1 + c2 · 51
an = − 67 · (−1)n + 16 · 5n .
Z. 2. (2pkt.) Niech (fn ) będzie ciągiem Fibonacciego. Udowodnić, że
2n−1
X
2
fk fk+1 = f2n
.
k=0
Należy sprawdzić I krok indukcyjny:
−1
X
dla n = 0: L =
fk fk+1 = 0, P = f02 = 0, czyli L = P .
k=0
Można było zacząć od n = 1: wtedy L = P = 1.
2(n+1)−1
2n−1
X
X
2
2
Z:
fk fk+1 = f2n
T:
fk fk+1 = f2(n+1)
k=0
D: L =
k=0
2n+1
X
k=0
fk fk+1 =
2n−1
X
2
fk fk+1 + f2n f2n+1 + f2n+1 f2n+2 = f2n
+ f2n f2n+1 + f2n+1 f2n+2
k=0
2
= f2n (f2n + f2n+1 ) + f2n+1 f2n+2 = f2n f2n+2 + f2n+1 f2n+2 = (f2n + f2n+1 )f2n+2 = f2n+2
= P.
Z. 3. (2pkt.) Ilu musi być posiadaczy kart płatniczych, aby mieć pewność, że co najmniej 7 z nich ma karty
chronione tym samym czterocyfrowym numerem PIN?
Numerów PIN jest 104 (kolejność cyfr jest ważna!!!). Więc musi być co najmniej 6 · 104 + 1 posiadaczy.
Z. 4. (2pkt.) Ile jest liczb czterocyfrowych, w których jedynie cyfra 0 może sie powtarzać?
Zero nie może wystąpić na pierwszym miejscu!
Liczb, w których nie powtarza się żadna cyfra (zero może wystąpić raz, ale nie musi) jest 9 · 9 · 8 · 7 (na
pierwszym miejscu wszystkie cyfry bez zera, na drugim już może być zero, ale nie może byc cyfry z pierwszego
miejsca, na trzecim cyfry oprócz pierwszych dwóch, na czwartym analogicznie)
Liczb, w których są dwa zera jest:
9·3·8 (na pierwszym miejscu wszystkie cyfry bez zera, potem wybieramy
dwa miejsca dla zera z trzech na 32 = 3 sposoby i wolne miejsce uzupełniamy na 8 sposobów.
Liczb, w których są trzy zera jest: 9 (na pierwszym miejscu wszystkie cyfry bez zera,a potem już trzy
zera)
Są to sytuacje rozłączne, więc ostatecznie takich liczb jest: 9 · 9 · 8 · 7 + 9 · 3 · 8 + 9.
Z. 5. (2pkt.) Na ile sposobów można rozmieścić 9 identycznych ołówków i 7 różnych kredek w 4 różnych
piórnikach?
Ołówki rozmieszczamy w piórnikach na 9+4−1
sposobów (jak kule-ołówki w szufladach-piórnikach).
9
Kredkom (które są różne!) przyporządkowujemy piórniki, do których je wkładamy na 47 sposobów. Uwaga:
nie piórnikom kredki, bo nie do każdego piórnika musimy włożyć kredkę.
100
99
99
Z. 6. (2pkt.) Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
=
+
.
20
19
20
L - na tyle sposobów możemy ze zbioru 100-elementowego wybrać 20-elementowy podzbiór.
P - w zbiorze
wyróżniamy element x. 20-elementowy podzbiór albo zawiera element x (takich podzbio
rów jest 99
,
bo
na
tyle sposobów możemy do x dobrać 19 elementów z pozostałych 99), albo elementu x
19
nie zawiera (takich podzbiorów jest 99
20 , bo wszystkie 20 elementów wybieramy z pozostałych 99). Prawo
dodawania kończy dowód.