a) grafu pełnego Kn, b) cyklu om wi

Matematyka dyskretna
Zestaw 10.
(zadania 1-12 na 25.V, pozostałe na 29.V(?))
1. Wyznaczyć liczby chromatyczne następujących grafów:
a) grafu pełnego Kn , b) cyklu o m wierzchołkach, c) kostki k-wymiarowej Qk
(zob. zestaw 9, zad. 1), d) grafu Petersena (zob. zestaw 9, zad. 12)
2. Graf G otrzymujemy dodając do cyklu o wierzchołkach 0, 1, . . . , 13 krawędzie postaci {i, i + 4 (mod 14)} dla i = 1, 3, . . . , 13. Znaleźć χ(G).
3. Pokazać (przez indukcję na liczbę wierzchołków grafu), że jeśli maksymalny stopień
wierzchołka w grafie G wynosi d, to χ(G) ¬ d + 1.
4. Pokazać, że dla dowolnego grafu G = (V, E) jest #E ­
χ(G)
2
.
5. Podać przykład grafu G spełniającego warunek χ(G) = n, który nie zawiera grafu
pełnego Kn (tzn. grupy n wierzchołków połączonych każdy z każdym).
6. Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem, a Ḡ jego dopełnieniem. Dowieść, że:
a) χ(G) · χ(Ḡ) ­ #V , b)∗ χ(G) + χ(Ḡ) ¬ #V + 1
7. Graf G = (V, E) jest dany następująco: V = {1, . . . , 151} oraz ij ∈ E ⇔ |i − j| < 2.
Pokazać, że G jest spójny oraz χ(G) > 50.
8. Pokazać, że każde drzewo o przynajmniej dwóch wierzchołkach jest grafem dwudzielnym. Które drzewa są pełnymi grafami dwudzielnymi (tzn. postaci G = (X ∪ Y, E),
gdzie E zawiera wszystkie możliwe krawędzie między X i Y )?
9. Niech G = (X ∪ Y, E) będzie grafem dwudzielnym, w którym X = {x1 , . . . , x5 },
Y = {y1 , . . . , y5 }.
a) Przyjmijmy E = {x1 y2 , x1 y4 , x2 y2 , x2 y5 , x3 y2 , x3 y4 , x4 y4 , x5 y1 , x5 y3 , x5 y5 } oraz
M = {x3 y2 , x4 y4 , x5 y5 }. Znaleźć ścieżkę alternującą dla M zaczynającą się w wierzchołku x2 i wykorzystać ją do konstrukcji przydziału M 0 zawierającego cztery krawędzie. Czy otrzymany przydział M 0 jest maksymalny?
b) Niech E = {x1 y1 , x1 y3 , x2 y1 , x2 y3 , x3 y1 , x3 y3 , x3 y5 , x4 y2 , x4 y4 , x4 y5 , x5 y3 , x5 y4 } oraz
M = {x1 y3 , x2 y1 , x3 y5 , x4 y4 }. Rozpoczynając od M znaleźć przydział zupełny w G
metodą ścieżki alternującej.
10. Grupa sześciu dziewcząt zna łącznie siedmiu chłopców, przy czym dziewczyna 1 zna
chłopców a i c, dziewczyna 2 - b i c, dziewczyna 3 - a, c, d i e, dziewczyna 4 - b, d,
f i g, dziewczyna 5 - a i e, dziewczyna 6 - a i b. Męża dla danej dziewczyny należy
szukać tylko wśród chłopców, których zna. Czy w powyższej sytuacji możliwe jest
utworzenie sześciu par małżeńskich?
11. Dany jest graf dwudzielny G = (X ∪ Y, E), w którym każdy wierzchołek w X ma
stopień co najmniej d, a każdy wierzchołek w Y ma stopień co najwyżej d. Pokazać,
że G ma przydział zupełny.
12. Wywnioskować z poprzedniego zadania, że jeśli graf dwudzielny G = (X ∪Y, E) jest
d-regularny, to ma przydział zupełny. Pokazać, że w tym przypadku E jest sumą d
rozłącznych przydziałów zupełnych.
13. Dany jest graf G = (V, E), w którym V = {a, b, c, d, e, f, g} oraz E = {ab, bc, cd, de,
ef, f g, ga, ac, af, bd, be, bf, ce, eg}. Sprawdzić, że G jest planarny i narysować go na
płaszczyźnie w taki sposób, aby krawędzie były odcinkami i nie przecinały się.
14. Pokazać, że graf Petersena (zob. zestaw 9, zad. 12) nie jest planarny.
15. Niech G = (V, E) będzie grafem planarnym, w którym #V ­ 3. Dowieść, że wtedy
#E ¬ 3 · #V − 6.
16. Niech G = (V, E) będzie grafem planarnym. Pokazać, że:
P
deg(v)/#V jest mniejszy niż 6,
a) średni stopień wierzchołka w tym grafie, tzn.
v∈V
b) G zawiera przynajmniej trzy wierzchołki o stopniach nie większych niż 5.
17. Podać przykład grafu planarnego, w którym najniższy stopień wierzchołka jest równy 5.
→
−
→
−
18. W sieci G = (V, E ) mamy V = {1, . . . , 6} oraz E = {12, 23, 36, 14, 45, 56, 34, 52};
s = 1, t = 6. Funkcja pojemności przyjmuje dla kolejnych krawędzi wartości
4, 3, 4, 3, 5, 3, 2, 1 a przepływ f wartości 2, 3, 2, 3, 4, 3, 1, 1.
Wyznaczyć: a) wartość przepływu f , b) pojemność przekroju dla S = {1, 2, 3, 4},
c) pojemność przekroju dla S = {1, 4, 5}, d) pojemność przekroju dla S = {1, 2, 4},
e) minimalną wartość przekroju w tej sieci.
→
−
→
−
19. W sieci G = (V, E ) mamy V = {1, . . . , 7} oraz E = {12, 13, 14, 23, 34, 25, 35, 36, 46,
57, 67} i s = 1, t = 7. Funkcja pojemności przyjmuje dla kolejnych krawędzi wartości 5, 6, 8, 4, 2, 10, 3, 11, 6, 9, 4 a przepływ f wartości 5, 6, 0, 0, 1, 5, 2, 3, 1, 7, 4.
Wyznaczyć: a) wartość przepływu f , b) ścieżkę rozszerzającą i wartość przepływu dla tej ścieżki, c) przekrój o pojemności 12.
→
−
→
−
20. W sieci G = (V, E ) mamy V = {1, . . . , 6} oraz E = {12, 23, 36, 14, 45, 56, 24, 35, 43}
i s = 1, t = 6. Funkcja pojemności przyjmuje dla kolejnych krawędzi wartości
12, 8, 7, 10, 14, 8, 9, 1, 1. Wyznaczyć maksymalny przepływ i minimalny przekrój w
G wykorzystując ścieżki rozszerzające: 1 2 4 5 6, 1 4 3 6, 1 4 2 3 6.
→
−
→
−
21. W sieci G = (V, E ) mamy V = {1, . . . , 6} oraz E = {12, 23, 36, 14, 45, 56, 34, 52}
i s = 1, t = 6. Funkcja pojemności przyjmuje dla kolejnych krawędzi wartości
5, 4, 5, 4, 5, 3, 3, 2. Znajdź przepływ maksymalny i przekrój minimalny w tej sieci.
→
−
→
−
22. Dana jest sieć G = (V, E ), gdzie V = {1, . . . , 24} oraz ij ∈ E ⇔ i dzieli j; ponadto
→
−
s = 1, t = 24. Funkcja pojemności dla ij ∈ E przyjmuje wartość j/i. Wyznaczyć
maksymalny przepływ w tej sieci.