rozwiązania ćwiczeń - Katarzyna Paprzycka

Komentarze

Transkrypt

rozwiązania ćwiczeń - Katarzyna Paprzycka
ROZWIĄZANIA ĆWICZEŃ
ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE
Ćwiczenie 1.A
(a) Wniosek musi być prawdziwy.
(b) Wartość logiczna wniosku nie jest wówczas zdeterminowana – może on być fałszywy, lecz może
on być też prawdziwy. Oto przykłady wnioskowań logicznie nieprawidłowych, w których przynajmniej
jedna przesłanka jest fałszywa:
Niektórzy mężczyźni są feministami.
Janusz Korwin-Mikke jest feministą.
Janusz Korwin-Mikke jest mężczyzną.
Niektórzy mężczyźni są feministami.
Kinga Dunin jest feministką.
Kinga Dunin jest mężczyzną.
W pierwszym przypadku wniosek jest prawdziwy, w drugim – fałszywy.
(c) Nie.
(d) Nie.
(e) Przesłanka, na której opiera się to wnioskowanie, musi być fałszywa. Załóżmy na chwilę – wbrew
temu, co chcemy wykazać – że przesłanka ta jest prawdziwa. Gdyby tak było, to – ponieważ
wnioskowanie jest prawidłowe – wniosek musiałby być prawdziwy! Wniosek jest jednakże fałszywy.
To znaczy, że przesłanka nie może być prawdziwa, lecz musi być fałszywa.
Ćwiczenie 1.B
(a)
Czy Roman Giertych rozgotował kalafior?
pytanie
(b)
Nie ma takiej siły, która mogłaby go powstrzymać.
wyrażenie okazjonalne
(c)
Był tam Leszek Miller.
wyrażenie okazjonalne
(d)
Jego przyjaciele rozeszli się po lesie.
wyrażenie okazjonalne
(e)
Jan Maria Rokita podstępnie podkradł się do mojej spiżarni.
wyrażenie okazjonalne
(f)
Czy Andrzej Lepper przylepił się do słoika z miodem?
pytanie
(g)
Co by to było, gdyby dzieci wiedziały więcej od polityków?!
pytanie retoryczne
W każdym z tych zdań używamy nieostrych pojęć naturalnych.
© Katarzyna Paprzycka
Logika nie gryzie. Część I: Samouczek logiki zdań.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
301
ROZDZIAŁ 2. PIĘĆ SPÓJNIKÓW ZDANIOWYCH
Ćwiczenie 2.A „parafraza zdań złożonych”
(a)
Janosik i Pyzdra odbierali dobra bogatym.
Janosik odbierał dobra bogatym i Pyzdra odbierał dobra bogatym.
(b)
Giertych wprowadzi reformę mundurków szkolnych lub oświaty.
Giertych wprowadzi reformę mundurków szkolnych lub Giertych wprowadzi reformę oświaty
(c)
Rząd Kaczyńskiego zajmie się reformę zdrowia, jeżeli upora się z lustracją.
Jeżeli rząd Kaczyńskiego upora się z lustracją, to rząd Kaczyńskiego zajmie się reformą
zdrowia.
(d)
Lepper albo brał łapówki, albo jest o to podejrzewany.
Albo Lepper brał łapówki, albo Lepper jest podejrzewany o branie łapówek.
(e)
Ksiądz Rydzyk przeprosił za skandaliczne wypowiedzi i nie wypowiedział słowa ‘przepraszam’.
Ksiądz Rydzyk przeprosił za skandaliczne wypowiedzi i nieprawda, że ksiądz Rydzyk
wypowiedział słowo ‘przepraszam’.
Ćwiczenie 2.B „zdania proste i złożone”
W zdaniach złożonych zaznaczono spójniki zdaniowe.
(a)
Tomasz jest kulturalnym mężczyzną, mającym awersję do kobiet w dużych kapeluszach.
(b)
Tomasz zaprosił Zuzannę do kina.
(c)
Jeżeli Zuzanna nie przyjdzie o umówionej porze, to Tomasz będzie zrozpaczony.
(d)
Zuzanna przyszła na czas.
(e)
Tomasz nie wierzył własnym oczom.
(f)
Zuzanna włożyła największy kapelusz, jaki Tomasz widział w całym swoim życiu bogatym
w doświadczenia z kobietami w dużych kapeluszach.
(g)
Tomasz prosił Zuzannę by zdjęła tę okropność.
(h)
Zuzanna zgodziła się nawet pozbyć się kapelusza wtedy i tylko wtedy, gdy Tomasz pozbędzie
się butów kowbojskich lub przynajmniej nie będzie ich wkładał na wspólne spotkania.
Ćwiczenie 2.C „legenda symbolizacji”
(a)
Tomasz zaprosił Zuzannę do kina.
Jeżeli Zuzanna przyjmie zaproszenie Tomasza, to włoży ona duży kapelusz.
Zuzanna włoży duży kapelusz wtedy i tylko wtedy, gdy zechce dać Tomaszowi nauczkę.
Jeżeli Zuzanna zechce dać Tomaszowi nauczkę, to on nie zaprosi jej do kina.
Legenda symbolizacji
K
:
Tomasz zaprosi Zuzannę do kina.
P
:
Zuzanna przyjmie zaproszenie Tomasza.
W
:
Zuzanna włoży duży kapelusz.
N
:
Zuzanna zechce dać Tomaszowi nauczkę.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
302
(b)
Jeżeli Anna umówi się z Jackiem, to Beata umówi się z Grzegorzem.
Jeżeli Beata umówi się z Grzegorzem, to Anna umówi się z Jackiem.
Albo Cecylia albo Danuta umówi się z Hilarym.
Jeżeli Cecylia umówi się z Hilarym, to Anna nie umówi się z Jackiem; jeżeli Danuta umówi się
z Hilarym, to Beata nie umówi się z Grzegorzem.
Legenda symbolizacji
A
:
Anna umówi się z Jackiem.
B
:
Beata umówi się z Grzegorzem.
C
:
Cecylia umówi się z Hilarym.
D
:
Danuta umówi się z Hilarym.
Ćwiczenie 2.D „negacje – 1 ”
N: Alicja pójdzie do nieba.
P: Bogdan pójdzie do piekła.
(a)
~N
Alicja nie pójdzie do nieba.
(b)
~~N
Nieprawdą jest, że Alicja nie pójdzie do nieba.
(c)
~~P
Nieprawda, że Bogdan nie pójdzie do piekła.
(d)
~~~P
Fałszem jest twierdzenie, że nieprawdą jest, iż Bogdan nie pójdzie do piekła.
Ćwiczenie 2.E „negacje – 2 ”
A: Alicja zrobi obiad
B: Bogdan zrobi obiad.
(a)
Alicja nie zrobi obiadu.
~A
(b)
Byłoby fałszem powiedzieć, że Bogdan zrobi obiad.
~B
(c)
Byłoby kłamstwem powiedzieć, że Alicja nie zrobi obiadu.
(d)
Absurdalne jest przekonanie, że Bogdan zrobi obiad.
(e)
Kłamałabym mówiąc, że fałszem jest to, iż Bogdan nie zrobi obiadu.
(f)
Nie kłamałabym mówiąc, że nieprawdą jest, iż Alicja nie zrobi obiadu.
~~A
~B
~~~B
~~~~A
Ćwiczenie 2.F „koniunkcje – 1 ”
A: Alicja pójdzie do nieba.
B: Bolek pójdzie do nieba.
C: Cezary pójdzie do piekła.
(a)
AB
Alicja i Bolek pójdą do nieba.
(b)
AC
Alicja pójdzie do nieba, a* Cezary do piekła.
(c)
BC
Bolek pójdzie do nieba, lecz* Cezary do piekła.
(d)
(A  B)  C
Alicja i Bolek pójdą do nieba, natomiast* Cezary do piekła.
(e)
A  ~B
Alicja pójdzie do nieba, ale* Bolek do nieba nie pójdzie.
(f)
~A  B
Alicja nie pójdzie do nieba, choć* Bolek pójdzie do nieba.
* Język polski częściowo wymusza na nas użycie pewnych spójników koniunkcji, ale w dużej mierze pozostawia
ich wybór kwestią otwartą. Który ze spójników będzie użyty, zależy od wielu czynników badanych np. przez
językoznawców. Powyższe zdania są zatem tylko niektórymi z możliwych sposobów odczytania tych zdań.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
303
Ćwiczenie 2.G „koniunkcje – 2”
A: Alicja zrobi obiad
B: Bogdan zrobi obiad.
C: Cezary zrobi kolację.
(a)
Alicja i Bogdan zrobią obiad.
AB
(b)
Alicja zrobi obiad, choć Cezary nie zrobi kolacji.
A  ~C
(c)
Bogdan nie zrobi obiadu, mimo że Alicja też obiadu nie zrobi.
~B  ~A
(d)
Alicja zrobi obiad, a Cezary zrobi kolację.
AC
(g)
Chociaż Cezary nie zrobi kolacji, Bogdan zrobi obiad.
~C  B
(h)
Bogdan nie zrobi obiadu, a co więcej Cezary nie zrobi kolacji.
~B  ~C
(i)
Alicja i Bogdan zrobią obiad, ale Cezary nie zrobi kolacji.
(j)
Zarówno Alicja, jak i Bogdan z ochotą zrobią obiad.
(k)
Cezary nie kiwnie nawet palcem, by zrobić kolację, a Bogdan – by zrobić obiad.
~C  ~B
(l)
Próżno oczekiwać, by Alicja zrobiła obiad, ale przynajmniej Cezary zrobi kolację.
~A  C
(A  B)  ~C
AB
Ćwiczenie 2.H „alternatywy – 1 ”
A: Ala odkurzy dom.
B: Boguś odkurzy dom.
C: Czesia zrobi kolację.
D: Damian umyje naczynia.
K: Boguś zrobi kolację.
N: Boguś umyje naczynia.
(a)
DN
Damian lub Boguś umyją naczynia.
(b)
AB
Ala bądź Boguś odkurzą dom.
(c)
BC
Boguś odkurzy dom albo Czesia zrobi kolację.
(d)
KN
Boguś zrobi kolację albo umyje naczynia.
(e)
D  ~K
Albo Damian umyje naczynia, albo Boguś nie zrobi kolacji.
(f)
~B  C
Albo Boguś nie odkurzy domu, albo Czesia zrobi kolację.
(g)
(C  D)  (K  N)
Albo Czesia zrobi kolację, a Damian umyje naczynia, albo Boguś zrobi
kolację i zarazem umyje naczynia.
(h)
(C  N)  (K  D)
Albo Czesia zrobi kolację, a Boguś umyje naczynia, albo Boguś zrobi kolację, a Damian umyje naczynia.
(i)
(A  B)  (K  N)
Albo Ala lub Boguś odkurzą dom, albo Boguś zrobi kolację bądź umyje
naczynia.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
304
Ćwiczenie 2.I „alternatywy – 2”
A: Ala zda logikę.
B: Boguś zda logikę.
C: Czesia zda prawo karne.
D: Damian zda prawo karne.
K: Boguś zda prawo karne.
M: Ala zda matematykę.
(a)
Ala bądź Boguś zdali logikę.
AB
(b)
Prawo karne zdali Czesia lub Damian.
CD
(c)
Boguś zdał logikę lub prawo karne.
BK
(d)
Ala zdała logikę bądź matematykę.
AM
(e)
Albo Ala zda logikę, albo Damian nie zda prawa karnego.
A  ~D
(f)
Albo Boguś nie zda logiki, albo nie zda prawa karnego.
~B  ~K
(g)
Albo Czesia zda prawo karne, albo Damian lub Boguś zdadzą prawo karne.
C  (D  K)
(h)
Albo Ala i Boguś zdadzą logikę, albo Czesia i Damian zdadzą prawo karne.
(A  B)  (C  D)
(i)
Albo Ala zda logikę lub matematykę, albo Boguś zda logikę lub prawo karne.
(A  M)  (B  K)
(j)
Albo Ala zda logikę, a Damian zda prawo karne, albo Boguś nie zda logiki.
(A  D)  ~B
Ćwiczenie 2.J „równoważności – 1 ”
A: Ala odkurzy dom.
B: Boguś odkurzy dom.
C: Czesia zrobi kolację.
D: Damian umyje naczynia.
K: Boguś zrobi kolację.
N: Boguś umyje naczynia.
(a)
DK
Damian umyje naczynia wtedy i tylko wtedy, gdy Boguś zrobi kolację.
(b)
AD
Ale odkurza dom zawsze i tylko wtedy, gdy Damian myje naczynia.
(c)
BC
Boguś odkurzy dom dokładnie wówczas, gdy Czesia zrobi kolację.
(d)
KN
Boguś zrobi kolację wtedy, ale tylko wtedy, gdy umyje też naczynia.
(e)
D  ~K
Damian umyje naczynia wtedy, ale tylko wtedy, gdy Boguś nie zrobi kolacji.
(f)
B  ~C
Boguś odkurzy dom wtedy i tylko wtedy, gdy Czesia nie zrobi kolacji.
(g)
C  (B  N)
Czesia zrobi kolację wtedy, ale tylko wtedy, gdy Boguś odkurzy dom i umyje naczynia.
(h)
(A  B)  (C  K)
Ala lub Boguś odkurzą dom wtedy i tylko wtedy, gdy Czesia lub Boguś
zrobią kolację.
Ćwiczenie 2.K „równoważności – 2”
A: Ala zda logikę.
B: Boguś zda logikę.
C: Czesia zda prawo karne.
D: Damian zda prawo karne.
K: Boguś zda prawo karne.
M: Ala zda matematykę.
(a)
Ala zda logikę wtedy i tylko wtedy, gdy Boguś zda logikę.
AB
(b)
Czesia zda prawo karne wtedy, ale tylko wtedy, gdy Ala zda logikę.
CA
(c)
Damian zda prawo karne wtedy i tylko wtedy, gdy Boguś nie zda logiki.
D  ~B
(d)
Boguś zda logikę dokładnie wtedy, gdy Ala nie zda logiki.
B  ~A
(e)
Czesia zda prawo karne dokładnie wtedy, gdy Damian i Boguś je zdadzą.
C  (D  K)
(f)
Ala zda logikę bądź matematykę wtedy i tylko wtedy, gdy Boguś zda logikę.
(A  M)  B
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
305
Ćwiczenie 2.L „implikacje – 1”
A: Ala odkurzy dom.
B: Boguś odkurzy dom.
C: Czesia zrobi kolację.
D: Damian umyje naczynia.
K: Boguś zrobi kolację.
N: Boguś umyje naczynia.
(a)
DK
Jeżeli Damian umyje naczynia, to Boguś zrobi kolację.
(b)
KD
Damian umyje naczynia, jeżeli Boguś zrobi kolację.
(c)
BC
Czesia zrobi kolację pod warunkiem, że Boguś odkurzy dom.
(d)
KN
Jeżeli Boguś zrobi kolację, to umyje też naczynia.
(e)
A  ~B
O ile Ala odkurzy dom, to Boguś tego nie zrobi.
(f)
~D  N
Jeżeli Damian nie umyje naczyń, to umyje je Boguś.
(g)
~B  ~C
Czesia nie zrobi kolacji, jeżeli Boguś nie odkurzy domu.
(h)
C  (A  B)
Jeżeli Czesia zrobi kolację, to Ala lub Boguś odkurzą dom.
(i)
(A  B)  (D  N)
Damian bądź Boguś umyją naczynia, jeżeli Ala albo Boguś odkurzą dom.
(j)
(C  K)  D
Damian umyje naczynia, o ile Czesia lub Boguś zrobią kolację.
(k)
A  (K  N)
Jeżeli Ala odkurzy dom, to Boguś zrobi kolację i umyje naczynia.
(l)
(A  C)  N
Jeżeli Ala odkurzy dom, a Czesia zrobi kolację, to Boguś umyje naczynia.
(m)
(C  D)  (A  B)
O ile Czesia zrobi kolację, a Damian umyje naczynia, to Ala albo Boguś
odkurzą dom.
A  (C  N)
Jeżeli Ala odkurzy dom, to jeśli Czesia zrobi kolację, to Boguś umyje naczynia.
Jeżeli Ala odkurzy dom, to Boguś umyje naczynia, o ile Czesia zrobi kolację.
(C  N)  A
Jeżeli jeśli Czesia zrobi kolację, to Boguś umyje naczynia, to Ala odkurzy
dom.
Jeżeli Boguś umyje naczynia pod warunkiem, że Czesia zrobi kolację, to
Ala odkurzy dom.
(n)
(o)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 2
306
Ćwiczenie 2.M „implikacje – 2”
A: Ala zrobi kolację.
B: Boguś zrobi kolację.
C: Cezary zrobi obiad.
D: Danusia zrobi obiad.
(a)
Jeżeli Danusia zrobi obiad, to Boguś zrobi kolację.
DB
(b)
Jeżeli Danusia zrobi obiad, to Cezary nie zrobi obiadu.
D  ~C
(c)
Cezary zrobi obiad, jeśli Boguś zrobi kolację.
Jeżeli Boguś zrobi kolację, to Cezary zrobi obiad.
(d)
Cezary zrobi obiad, jeśli Danusia nie zrobi obiadu.
Jeżeli Danusia nie zrobi obiadu, to Cezary zrobi obiad.
~D  C
(e)
Przyjmując, że Boguś zrobi kolację, to Danusia zrobi obiad.
Jeżeli Boguś zrobi kolację, to Danusia zrobi obiad.
BD
(f)
Danusia zrobi obiad pod warunkiem, że Ala zrobi kolację.
Jeżeli Ala zrobi kolację, to Danusia zrobi obiad.
AD
(g)
O ile Ala zrobi kolację, to Cezary zrobi obiad.
Jeżeli Ala zrobi kolację, to Cezary zrobi obiad.
AC
(h)
Cezary nie zrobi obiadu, jeżeli Boguś nie zrobi kolacji.
Jeżeli Boguś nie zrobi kolacji, to Cezary nie zrobi obiadu.
(i)
Ala zrobi kolację wtedy, gdy Cezary lub Danusia zrobią obiad.
Jeżeli Cezary lub Danusia zrobią obiad, to Ala zrobi kolację.
(j)
Przy założeniu, że Danusia lub Cezary zrobią obiad, Ala lub Boguś zrobią
kolację.
Jeżeli Danusia lub Cezary zrobią obiad, to Ala lub Boguś zrobią kolację.
BC
~B  ~C
(C  D)  A
(D  C)  (A  B)
Ćwiczenie 2.N „implikacje – 3”
Ć: Ala ćwiczy regularnie.
D: Ala jest na diecie.
L: Ala czuje się lepiej.
T: Ala tyje.
B: Boguś biega regularnie.
H: Boguś chudnie.
Ś: Boguś czuje się świetnie.
U: Boguś uważa, co je.
(a)
Ala poczuje się lepiej, jeśli będzie regularnie ćwiczyć.
ĆL
(b)
Ala przejdzie na dietę pod warunkiem, że Boguś zacznie uważać, co je.
UD
(c)
Boguś będzie uważał, co je, wtedy, gdy Ala będzie na diecie.
DU
(d)
O ile Boguś biega regularnie, to czuje się świetnie i chudnie.
B  (Ś  H)
(e)
Przy założeniu, że Boguś uważa, co je i biega regularnie, to czuje się świetnie.
(U  B)  Ś
(f)
Ala nie tyje, przyjąwszy, że ćwiczy regularnie.
(g)
O ile Ala nie tyje, to czuje się ona lepiej, a Boguś świetnie.
~T  (L  Ś)
(h)
Przyjmując, że Ala nie tyje, to jeśli Boguś biega regularnie, to czuje się on
świetnie.
~T  (B  Ś)
(i)
Ala nie tyje pod warunkiem, że trzyma dietę i ćwiczy regularnie.
(D  Ć)  ~T
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Ć  ~T
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
307
Ćwiczenie 2.P „symbolizacje”
A: Ala robi kolację.
P: Ala pracuje do późna.
W: Szef Ali wymaga, aby
pracowała do późna.
G: Lech jest głodny.
L: Lech robi kolację.
Ś: Jest święto.
Ź: Lech pracuje do późna.
(a)
Lech nie zrobi kolacji.
~L
(b)
Nieprawdą jest, że Ala nie zrobi kolacji.
~~A
(c)
Lech pracuje do późna w nocy wtedy i tylko wtedy, gdy Ala pracuje do późna.
ŹP
(d)
Jeżeli Ali szef wymaga od niej, aby pracowała do późna, to do późna pracuje.
WP
(e)
Ala pracuje do późna, o ile jej szef tego wymaga.
WP
(f)
Jeżeli Ali szef nie wymaga od niej, aby pracowała do późna, to do późna nie pracuje.
(g)
Kolację zrobi albo Lech, albo Ala.
(h)
Jeżeli Ala nie pracuje do późna, to ona robi kolację.
~P  A
(i)
Ala robi kolację wtedy, gdy Lech pracuje do późna.
ŹA
(j)
Lech nie zrobi kolacji, o ile nie jest głodny.
(k)
Ala robi kolację zawsze i tylko wtedy, gdy Lech nie jest głodny.
A  ~G
(l)
Szef Ali wymaga od niej, by pracowała do późna zawsze i tylko wtedy, gdy nie
ma świąt.
W  ~Ś
(m)
Lech zrobił kolację, a pomimo to jest głodny.
(n)
Szef Ali nie wymaga od niej by pracowała do późna, chociaż nie ma święta.
(o)
Lech chodzi głodny, gdy Ala pracuje do późna.
~W  ~P
LA
~G  ~L
LG
~W  ~Ś
PG
ROZDZIAŁ 3. SYMBOLIZACJA ZDAŃ JĘZYKA NATURALNEGO I
Przykład 1 – ćwiczenie
P  (K  B)
Albo Asia dostanie psa, albo zarówno Asia, jak i Basia dostanie kota.
Asia dostanie psa lub Asia i Basia dostaną kota.
Przykład 2 – ćwiczenie
(L  J)  Z
Albo prawdą jest, że jeżeli Ludwik posłucha Jarka, to cieszyć się będzie Janek,
albo że cieszyć się będzie Zbyszek.
W języku polskim wyrazilibyśmy to zdanie raczej w następujący sposób:
Albo cieszyć się będzie Zbyszek, albo – o ile Ludwik posłucha Jarka – to
cieszyć się będzie Janek.
Przykład 3 – ćwiczenie
S  [~D  (J  W)]
[(S  ~D)  J]  W
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zosia włoży swą nową sukienkę, a jeżeli Zosia nie będzie się już dąsać,
to Jacek lub Wacek zaproszą ją do kina.
Albo jeżeli Zosia włoży swą nową sukienkę i nie będzie się już dąsać, to
Jacek zaprosi ją do kina – albo Wacek zaprosi Zosię do kina.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
308
Przykład 5 i 6
Ala pójdzie do kina wtedy i tylko wtedy, gdy Beata pójdzie do teatru,
a Cezary – tak czy owak – zostanie w domu.
Ala pójdzie do kina wtedy i tylko wtedy, gdy Beata pójdzie do teatru;
jednakże Cezary zostanie w domu.
Albo Cezary nie zostanie w domu o ile Beata pójdzie do teatru, albo Ala nie
pójdzie do kina.
(A  B)  C
(B  ~C)  ~A
Ćwiczenie 3.A „spójnik główny bez negacji – 1”
(a)
(A  B)  (C  D)
(b) A  (B  (C  D))
(c)
((A  B)  C)  D
(d) A  ((B  C)  D)
(e)
(A  (B  C))  D
(f)
(g) A  (A  (A  B))
(A  A)  (A  B)
(h) ((A  A)  A)  B
(i)
(((A  B)  C)  (A  C))  (A  (B  C))
(j)
(((A  B)  (B  C))  (C  D))  (B  ((A  B)  C))
(k) (((A  B)  (C  D))  C)  ((A  ((C  D)  B))  D)
Ćwiczenie 3.B „spójnik główny bez negacji – 2”
A: Anna zostanie ukarana.
B: Bogdan zostanie ukarany.
C: Cecylia zostanie ukarana.
A: Ala zrobi obiad.
B: Beata umyje naczynia.
C: Cezary odkurzy dom.
(a)
(A  B)  C
Albo Anna i Bogdan zostaną
ukarani, albo ukarana będzie Cecylia.
Albo Ala zrobi obiad, a Beata umyje
naczynia, albo Cezary odkurzy dom.
(b)
A  (B  C)
Anna zostanie ukarana i kara też
spotka Bogdana lub Cecylię.
Ala zrobi obiad, natomiast albo Beata
umyje naczynia, albo Cezary odkurzy
dom.
(c)
A  (B  C)
Jeżeli Anna zostanie ukarana, to kara
spotka też Bogdana i Cecylię.
Jeżeli Ala zrobi obiad, to zarówno
Beata umyje naczynia, jak i Cezary
odkurzy dom.
(A  B)  C
Jest prawdą zarówno to, że jeżeli
Anna zostanie ukarana, to kara
spotka Bogdana, jak i to, że Cecylia
będzie ukarana.
Jeżeli Ala zrobi obiad, to Beata umyje
naczynia, ale tak czy owak Cezary
odkurzy dom.
(d)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
309
(e)
(A  B)  C
Jeżeli Anna lub Bogdan zostaną
ukarani, to kara spotka też Cecylię.
Jeżeli Ala zrobi obiad lub Beata
umyje naczynia, to Cezary odkurzy
dom.
(f)
A  (B  C)
Albo Anna zostanie ukarana, albo o
ile ukarany zostanie Bogdan, to kara
spotka też Cecylię.
Albo Ala zrobi obiad, albo jeżeli
Beata umyje naczynia, to Cezary
odkurzy dom.
(g)
(B  A)  (B  C)
Albo ukarani zostaną Bogdan i Anna,
albo też Bogdan i Cecylia.
Albo Beata umyje naczynia, a Ala
zrobi obiad, albo Beata umyje
naczynia, a Cezary odkurzy dom.
Ćwiczenie 3.C „spójnik główny bez negacji – 3”
A: Ala odkurzy dom.
B: Boguś zrobi obiad.
C: Czesia zrobi kolację.
D: Damian umyje naczynia.
(a)
1.
A  (B  C)
Albo Ala odkurzy dom, albo zarówno Boguś zrobi obiad, jak i Czesia
zrobi kolację.
2.
(A  B)  C
Albo Ala odkurzy dom, albo Boguś zrobi obiad, ale tak czy inaczej
Czesia zrobi kolację.
1.
D  (B  C)
Jeżeli Damian umyje naczynia, to Boguś zrobi obiad, a Czesia zrobi
kolację.
2.
B  (D  C)
Boguś zrobi obiad, natomiast jeżeli Damian umyje naczynia, to Czesia
zrobi kolację.
(c)
1.
Ala odkurzy dom lub [Boguś zrobi obiad i (Czesia zrobi kolację, jeśli Damian umyje naczynia)].
(b)
A  [B  (D  C)]
2.
Ala odkurzy dom lub [(Boguś zrobi obiad i Czesia zrobi kolację), jeśli Damian umyje naczynia].
A  [D  (B  C)]
3.
Jest prawdą to, że albo Ala odkurzy dom, albo Boguś zrobi obiad, jak i to,
że jeżeli Damian umyje naczynia, to Czesia zrobi kolację.
[(Ala odkurzy dom lub Boguś zrobi obiad) i Czesia zrobi kolację], jeśli Damian umyje naczynia.
D  [(A  B)  C]
5.
Albo Ala odkurzy dom, albo jeżeli Damian umyje naczynia, to zarazem
Boguś zrobi obiad i Czesia zrobi kolację.
(Ala odkurzy dom lub Boguś zrobi obiad) i (Czesia zrobi kolację, jeśli Damian umyje naczynia).
(A  B)  (D  C)
4.
Albo Ala odkurzy dom, albo zarazem Boguś zrobi obiad i jeśli Damian
umyje naczynia, to Czesia zrobi kolację.
Jeżeli Damian umyje naczynia, to zarówno albo Ala odkurzy dom, albo
Boguś zrobi obiad, jak i Czesia zrobi kolację.
[Ala odkurzy dom lub (Boguś zrobi obiad i Czesia zrobi kolację)], jeśli Damian umyje naczynia.
D  [A  (B  C)]
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Jeżeli Damian umyje naczynia, to albo Ala odkurzy dom, albo zarazem
Boguś zrobi obiad, jak i Czesia zrobi kolację.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
310
Ćwiczenie 3.D „spójnik główny z negacją – 1”
(I)
(a)
~(B  A)
(b) (~B)  A
(c)
~((~B)  A)
(d) (~(B  A))  (~C)
(II)
(a)
~(B  A)
(b) ~B  A
(c)
~(~B  A)
(d) ~(B  A)  ~C
(e)
(~((~A)  B))  (~C)
(e)
~(~A  B)  ~C
(f)
(~A)  (~(B  A))
(f)
~A  ~(B  A)
(g) (~(A  B))  (~A)
(g) ~(A  B)  ~A
(h) ~((A  B)  (~A))
(h) ~((A  B)  ~A)
(i)
(~(~A))  ((~B)  C)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(i)
~~A  (~B  C)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
311
Ćwiczenie 3.E „spójnik główny z negacją – 2”
A: Anna zostanie ukarana.
B: Bogdan zostanie ukarany.
(a)
A  ~B
Nieprawda, że zarówno Anna, jak i Bogdan zostaną ukarani.
~A  B
Zarówno Anna nie zostanie ukarana, jak i Bogdan nie zostanie ukarany.
~A  ~B
Anna nie zostanie ukarana, a Bogdan zostanie ukarany.
~(A  B)
Anna zostanie ukarana, a Bogdan nie zostanie ukarany.
(b)
A  ~B
Anna i Bogdan nie zostaną obydwoje ukarani.
~A  B
Anna zostanie ukarana, ale nie Bogdan.
~A  ~B
Anna nie zostanie ukarana, choć Bogdan zostanie ukarany.
~(A  B)
Ani Anna nie zostanie ukarana, ani Bogdan nie zostanie ukarany.
(c)
A  ~B
Jeżeli Anna nie zostanie ukarana, to Bogdan nie zostanie ukarany.
~A  B
Nieprawda, że jeżeli Anna zostanie ukarana, to Bogdan też zostanie ukarany.
~A  ~B
Jeżeli Anna zostanie ukarana, to Bogdan nie zostanie ukarany.
~(A  B)
Jeżeli Anna nie zostanie ukarana, to Bogdan zostanie ukarany.
(d)
A  ~B
Albo Anna nie zostanie ukarana, albo Bogdan zostanie ukarany.
~A  B
Albo Anna zostanie ukarana, albo Bogdan nie zostanie ukarany.
~A  ~B
Nieprawda, że Anna czy Bogdan zostaną ukarani.
~(A  B)
Albo Anna nie zostanie ukarana, albo Bogdan nie zostanie ukarany.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
312
Ćwiczenie 3.F „spójnik główny z negacją – 3”
(a)
A  ~B
Anna dostanie pracę, ale Bogdan – nie.
(b)
~A  ~B
Anna nie dostanie pracy i Bogdan również nie dostanie pracy.
(Ani Anna, ani Bogdan nie dostaną pracy.)
(c)
~(A  B)
Nieprawda, że Anna i Bogdan oboje dostaną pracę.
(d)
~A  B
Anna nie dostanie pracy, ale Bogdan pracę dostanie.
(e)
(~A  B)  ~C
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, a Bogdan pracę dostanie, to Cezary
nie dostanie pracy.
(f)
(~A  ~B)  C
Jeżeli zarówno Anna, jak i Bogdan nie dostaną pracy, to Cezary
dostanie pracę.
(g)
~A  C
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, to Cezary dostanie pracę.
(h)
~(A  C)
Nie jest prawdą, że jeżeli Anna dostanie pracę, to Cezary też
dostanie pracę.
(i)
~(~A  C)
Nie jest prawdą, że jeżeli Anna nie dostanie pracy, to Cezary
dostanie pracę.
(j)
~A  (B  C)
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, to pracę dostanie Bogdan lub
Cezary.
(k)
~A  (~B  C)
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, to o ile pracy nie dostanie Bogdan,
to dostanie ją Cezary. (Jeżeli Anna nie dostanie pracy, to pracę
dostanie Cezary, o ile nie dostanie jej Bogdan.)
(l)
~C  (~A  ~B)
Jeżeli Cezary nie dostanie pracy, to zarówno Anna, jak i Bogdan nie
dostaną pracy.
(m)
A  (~B  ~C)
Anna dostanie pracę wtedy, ale tylko wtedy, gdy nie dostaną pracy
ani Bogdan, ani Cezary.
(n)
(~A  B)  ~(A  B)
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, a dostanie ją Bogdan, to nie jest
prawdą, że Anna dostanie pracę wtedy i tylko wtedy, gdy pracę
dostanie Bogdan.
(o)
(C  ~A)  ~(C  A)
Jeżeli Cezary dostanie pracę, a Anna nie dostanie pracy, to nie jest
prawdą to, że jeżeli Cezary dostanie pracę, to Anna dostanie pracę.
(p)
~(A  B)  ~(A  C)
Jeżeli nie jest prawdą, że Anna i Bogdan oboje dostaną pracę, to nie
jest też prawdą, że Anna i Cezary oboje dostaną pracę.
(q)
~((~A  ~B)  (~A  ~C))
Fałszem jest teza, że jeżeli ani Anna, ani Bogdan nie dostaną pracy,
to ani Anna, ani Cezary nie dostaną pracy.
(r)
(~A  ~B)  (~B  C)
Jeżeli Anna nie dostanie pracy, to Bogdan nie dostanie pracy, a zarazem jeżeli Bogdan nie dostanie pracy, to Cezary pracę dostanie.
(s)
[(~A  ~B)  (~B  C)]  (~A  C)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Jeżeli Bogdan nie dostanie pracy, o ile Anna nie
dostanie pracy, a Cezary pracę dostanie, o ile Bogdan
pracy nie dostanie, to Cezary dostanie pracę, o ile
Anna pracy nie dostanie.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
313
Ćwiczenie 3.G „spójnik główny z negacją – 4”
(a) ~(~A  ~B)  C
(b) ~(~(A  ~B)  C)
(c) ~(~(A  ~B)  C)  D
(d) ~~(A  ~(B  ~C))  ~D
(e) ~(~(A  ~B)  (~C  D))
(f) ~(~(~A  ~B)  ~(A  B))  ~(~A  ~A)
(g) ~(~(A  (B  A))  ~~~(~B  ~A))
(h) ~~(~A  ~(B  ~C))  ~((~C  B)  A)
Ćwiczenie 3.H „symbolizacje – 1”
B: Ala będzie biegać.
Ć: Ala będzie ćwiczyć.
D: Ala popadnie w depresję.
L: Ala będzie leniwa.
M: Ala będzie właściwie umotywowana.
(a)
O: Ala będzie się odchudzać.
P: Ala przytyje.
S: Ala będzie jeździć do pracy samochodem.
W: Ala będzie pływać.
Jeżeli Ala będzie biegać lub ćwiczyć, to nie popadnie w depresję.
(B  Ć)  ~D
(b)
Jeżeli Ala będzie leniwa i popadnie w depresję, to będzie jeździć do pracy samochodem.
(L  D)  S
(c)
Nie jest prawdą, że jeżeli Ala popadnie w depresję, to przytyje.
(d)
~(D  P)
Ala będzie właściwie umotywowana i będzie się odchudzać, ale będzie też jeździć do pracy
samochodem.
(M  O)  S
lub:
M  (O  S)
(e)
Albo Ala będzie jeździć do pracy samochodem i będzie się odchudzać, albo będzie ćwiczyć.
(S  O)  Ć
(f)
Ala będzie albo biegać, albo pływać, ale nie będzie się odchudzać.
(B  W)  ~O
(g)
Ala będzie biegać albo pływać, ale tak czy owak będzie ćwiczyć.
(B  W)  Ć
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
(h)
(i)
(j)
314
Albo Ala będzie leniwa i będzie jeździć do pracy samochodem, albo będzie właściwie
umotywowana i będzie ćwiczyć.
(L  S)  (M  Ć)
Ala będzie ćwiczyć, ale nie będzie pływać; jednakże jeżeli Ala będzie właściwie umotywowana,
to będzie biegać.
(Ć  ~W)  (M  B)
Ala nie będzie biegać, nie będzie ćwiczyć, a już na pewno nie będzie się odchudzać.
(~B  ~Ć)  ~O lub:
~B  (~Ć  ~O)
Ćwiczenie 3.I „symbolizacje – 2”
B: Ala będzie biegać.
Ć: Ala będzie ćwiczyć.
D: Ala popadnie w depresję.
L: Ala będzie leniwa.
M: Ala będzie właściwie umotywowana.
O: Ala będzie się odchudzać.
P: Ala przytyje.
S: Ala będzie jeździć do pracy samochodem.
W: Ala będzie pływać.
Z: Ala będzie zmęczona.
(a)
Ala będzie się odchudzać wtedy i tylko wtedy, gdy będzie leniwa i nie będzie ćwiczyć.
(b)
O  (L  ~Ć)
Jeżeli Ala nie będzie się odchudzać, to przytyje, a jeżeli nie będzie ćwiczyć, to popadnie w
depresję.
(~O  P)  (~Ć  D)
(c)
Jeżeli Ala popadnie w depresję, to nie będzie ćwiczyć i nie będzie się odchudzać.
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
D  (~Ć  ~O)
Jeżeli Ala popadnie w depresję, to nie będzie ćwiczyć; tak czy owak Ala nie będzie się
odchudzać.
(D  ~Ć)  ~O
Ala nie popadnie w depresję wtedy i tylko wtedy, gdy nie przytyje; jednakże Ala nie będzie
ćwiczyć i nie będzie się odchudzać.
(~D  ~P)  (~Ć  ~O)
Ala nie popadnie w depresję wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ćwiczyć i będzie albo biegać, albo
pływać.
~D  (Ć  (B  W))
Ala przytyje wtedy i tylko wtedy, gdy nie będzie właściwie umotywowana i będzie jeździć do
pracy samochodem.
P  (~M  S)
Ala nie przytyje i nie popadnie w depresję pod warunkiem, że będzie biegać lub pływać.
(B  W)  (~P  ~D)
(i)
(j)
Jeżeli Ala nie będzie się odchudzać, to przytyje, a jeżeli nie będzie ćwiczyć, to popadnie w
depresję.
(~O  P)  (~Ć  D)
Albo Ala będzie biegać, o ile będzie właściwie umotywowana, albo będzie się odchudzać, jeżeli
będzie leniwa.
(M  B)  (L  O)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 3
315
Ćwiczenie 3.J „symbolizacje – 3”
B: Ala będzie biegać.
Ć: Ala będzie ćwiczyć.
D: Ala popadnie w depresję.
L: Ala będzie leniwa.
M: Ala będzie właściwie umotywowana.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
O: Ala będzie się odchudzać.
P: Ala przytyje.
S: Ala będzie jeździć do pracy samochodem.
W: Ala będzie pływać.
Z: Ala będzie zmęczona.
Jeżeli Ala będzie albo biegać i ćwiczyć, albo pływać, to nie przytyje.
((B  Ć)  W)  ~P
Jeżeli Ala będzie właściwie umotywowana, to będzie ćwiczyć pod warunkiem, że nie będzie
zmęczona.
M  (~Z  Ć)
Jeżeli Ala będzie się odchudzać, to nie przytyje, a jeżeli nie będzie się odchudzać, to przytyje,
o ile nie będzie ćwiczyć.
(O  ~P)  (~O  (~Ć  P))
Ala nie przytyje, jeżeli będzie pływać lub biegać, ale jeżeli Ala będzie leniwa, to przytyje.
[(W  B)  ~P]  (L  P)
Ala będzie albo biegać i ćwiczyć, albo pływać i się odchudzać, ale tak czy inaczej jeżeli
popadnie w depresję, to i tak przytyje.
[(B  Ć)  (W  O)]  (D  P)
Jeżeli prawdą jest, że Ala przytyje wtedy i tylko wtedy, gdy nie będzie ćwiczyć, to będzie albo
pływać, albo biegać, a nie będzie jeździć do pracy samochodem.
(P  ~Ć)  ((W  B)  ~S)
Jeżeli Ala nie będzie miała właściwej motywacji i nie będzie biegać, to jeśli również nie będzie
ćwiczyć, to przytyje, o ile nie będzie się odchudzać.
(~M  ~B)  (~Ć  (~O  P))
Jeśli Ala nie popadnie w depresję i nie będzie też leniwa, to będzie się odchudzać lub ćwiczyć
pod warunkiem, że będzie właściwie umotywowana i nie będzie zmęczona.
(~D  ~L)  [(M  ~Z)  (O  Ć)]
Ala nie będzie biegać, choć nie jest zmęczona, jeżeli nie będzie właściwie umotywowana.
Parafraza: Jeżeli Ala nie będzie właściwie umotywowana, to nie będzie biegać, choć nie jest
zmęczona.
~M  (~B  ~Z)
Zakładając, że Ala będzie się odchudzać i że albo będzie biegać lub pływać, albo też będzie
ćwiczyć, to nie przytyje, o ile nie popadnie w depresję.
[O  ((B  W)  Ć)]  (~D  ~P)
Jeżeli Ala będzie zmęczona, to będzie się odchudzać; jeżeli Ala nie będzie zmęczona, to jeśli
będzie właściwie umotywowana, to będzie biegać, a jeśli nie, to będzie ćwiczyć lub pływać.
(Z  O)  {~Z  [(M  B)  (~M  (Ć  W))]}
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
316
ROZDZIAŁ 4. SYMBOLIZACJA ZDAŃ JĘZYKA NATURALNEGO II
Ćwiczenie 4.A „ani-ani vs nie-obydwa”
C: Tomek dostanie czwórkę.
D: Tomek dostanie dwójkę.
I.
P: Tomek dostanie piątkę.
T: Tomek dostanie trójkę.
(i)
(ii)
(a)
Tomek nie dostanie ani dwójki, ani piątki.
~D  ~P
~(D  P)
(b)
Tomek nie dostanie jednocześnie dwójki i piątki.
~(D  P)
~D  ~P
(c)
Tomek zarówno nie dostanie dwójki, jak i nie dostanie piątki.
~D  ~P
~(D  P)
(d)
Tomek nie dostanie ani dwójki, ani trójki.
~D  ~T
~(D  T)
(e)
Tomek nie dostanie zarazem trójki i dwójki.
~(T  D)
~T  ~D
(f)
Tomek nie dostanie ani dwójki, ani trójki, ani czwórki.
(~D  ~T)  ~C
~((D  T)  C)
~(D  T)  ~C
(g)
Jeżeli Tomek nie dostanie trójki, to nie dostanie ani czwórki,
ani piątki.
~T  (~C  ~P)
~T  ~(C  P)
(h)
Jeżeli Tomek nie dostanie ani piątki, ani czwórki, to dostanie
trójkę.
(~P  ~C)  T
~(P  C)  T
H: Stefan Hula wygra Puchar Świata.
M: Adam Małysz wygra Puchar Świata.
II.
O: Mamy szanse na medal olimpijski.
S: Kamil Stoch wygra Puchar Świata.
(i)
(ii)
(a)
Pucharu Świata nie wygrają jednocześnie Adam Małysz i Kamil Stoch.
~(M  S)
~M  ~S
(b)
Pucharu Świata nie wygra ani Stefan Hula, ani Kamil
Stoch.
~H  ~S
~(H  S)
(c)
Ani Stefan Hula, Kamil Stoch, ani nawet Adam Małysz nie wygra Pucharu Świata.
(~H  ~S)  ~M
(d)
Jeżeli Adam Małysz nie wygra Pucharu Świata, to nie
wygrają go ani Kamil Stoch, ani Stefan Hula.
~M  (~S  ~H)
~M  ~(S  H)
(e)
Jeżeli Adam Małysz wygra Puchar Świata, to nie wygrają go ani Kamil Stoch, ani Stefan Hula.
M  (~S  ~H)
M  ~(S  H)
(f)
Jeżeli ani Małysz, ani Hula nie wygra Pucharu Świata,
to nie mamy szans na medal olimpijski.
(~M  ~H)  ~O
~(M  H)  ~O
(g)
Ani Hula, ani Stoch nie wygra Pucharu Świata, ale
mimo to mamy jeszcze szanse na medal olimpijski.
(~H  ~S)  O
~(H  S)  O
(h)
Żaden z naszych trzech skoczków nie wygra Pucharu
Świata.
(~H  ~S)  ~M
(i)
Nie wszyscy z naszych trzech skoczków wygrają Puchar Świata.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
~((H  S)  M)
~(H  S)  ~M
~((H  S)  M)
~(H  S)  ~M
~((H  S)  M)
~(H  S)  ~M
(~H  ~S)  ~M
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
317
B: Teoria Bema jest prawdziwa.
F: Teoria Festingera jest prawdziwa.
III.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Ani teoria Festingera, ani teoria Bema nie jest
prawdziwa.
Teoria Festingera i teoria Bema nie są obie prawdziwe.
Teoria Festingera i teoria Bema obie są nieprawdziwe.
Nieprawdziwa jest zarówno teoria Festingera, jak
i teoria Bema.
Ani teoria Festingera, ani teoria Heidera nie jest
nieprawdziwa.
Teorie Bema i Festingera nie są obie nieprawdziwe.
Fałszywa jest albo teoria Festingera, albo teoria
Heidera, o ile prawdziwa jest albo teoria Bema,
albo teoria Rottera.
Jeżeli teorie Heidera i Festingera nie są obie
prawdziwe, to teorie Bema i Rottera też nie są
obie prawdziwe.
Jeżeli ani teoria Heidera, ani teoria Festingera nie
jest prawdziwa, to prawdziwa jest teoria Bema.
Ani teorie Bema i Rottera nie są obie prawdziwe,
ani teorie Festingera i Heidera nie są obie prawdziwe.
H: Teoria Heidera jest prawdziwa.
R: Teoria Rottera jest prawdziwa.
(i)
(ii)
~F  ~B
~(F  B)
~(F  B)
~F  ~B
~F  ~B
~(F  B)
~F  ~B
~(F  B)
~~F  ~~H
FH
~(~F  ~H)
~(~B  ~F)
~~B  ~~F
BF
(B  R)  ~(F  H)
(B  R)  (~F  ~H)
~(H  F)  ~(B  R)
(~H  ~F)  (~B  ~R)
(~H  ~F)  B
~(H  F)  B
~(B  R)  ~(F  H)
(~B  ~R)  (~F  ~H)
~[(B  R)  (F  H)]
Ćwiczenie 4.B „albo-albo-ale-nie-jedno-i-drugie”
A: Teoria Adlera jest prawdziwa.
F: Teoria Freuda jest prawdziwa.
C: Staś pójdzie do pracy w czwartek.
W: Staś pójdzie do pracy we wtorek.
(a)
Tomek dostanie Dwóję lub Tróję, ale nie jedno i drugie.
(D  T)  ~(D  T)
(b)
Albo Przytyję, albo Schudnę, ale nie jedno i drugie.
(P  S)  ~(P  S)
(c)
W meczu zagra Dudek lub Boruc, ale nie obaj.
(D  B)  ~(D  B)
(d)
Puchar Świata zdobędzie Małysz lub Jacobsen, ale nie obaj.
(M  J)  ~(M  J)
(e)
(f)
(g)
(h)
Albo teoria Freuda, albo teoria Adlera jest prawdziwa, ale nie są
prawdziwe obie naraz.
Fałszywa jest albo teoria Freuda, albo teoria Adlera, ale nie są
fałszywe obie naraz.
Staś pójdzie do pracy albo w czwartek, albo we wtorek, ale nie
w oba dni.
Staś nie pójdzie do pracy albo w czwartek, albo we wtorek, ale nie
w oba dni.
(F  A)  ~(F  A)
(~F  ~A)  ~(~F  ~A)
(C  W)  ~(C  W)
(~C  ~W)  ~(~C  ~W)
Ćwiczenie 4.C „chyba że”
(i)
(ii)
(a)
Tomek dostanie Dwóję, chyba że zacznie się Uczyć.
UD
~U  D
(b)
Przytyję, chyba że zacznę się Odchudzać.
OP
~O  P
(c)
Na pewno Zdasz logikę, chyba że będziesz zbyt
Leniwy, by robić ćwiczenia.
LZ
~L  Z
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
(d)
(e)
(f)
(g)
Nie będziesz oglądać Telewizji, chyba że odrobisz
lEkcje.
Teoria Freuda jest prawdziwa, chyba że albo teoria
Junga, albo teoria Adlera jest prawdziwa.
Beata pójdzie z Lechem na randkę, chyba że albo po
raz kolejny Lech się Spóźni, albo znów nie przyniesie
jej Kwiatów.
Lech wygłosi Przemówienie lub Orędzie, chyba że
Kancelaria nie zatrudni specjalisty od pisania przemówień.
318
E  ~T
~E  ~T
(J  A)  F
~(J  A)  F
(S  ~K)  B
~(S  ~K)  B
~K  (P  O)
~~K  (P  O)
K  (P  O)
Ćwiczenie 4.D „tylko jeżeli – 1”
(a)
Teoria Freuda jest prawdziwa, tylko jeśli istnieje Nieświadomość.
FN
~N  ~F
(b)
(c)
MR
Jeżeli Marcin się czerwieni, to znaczy, że Róża patrzy na niego.
~R  ~M
Jeżeli Róża nie patrzy na Marcina, to Marcin się nie czerwieni.
Zaliczysz logikę, tylko jeżeli Przyjdziesz na egzamin.
~P  ~Z
~S  ~Z
(f)
Jeżeli nie pracowałaś systematycznie, to nie zaliczysz logiki.
Jeżeli Adam Małysz wygrał zawody, to znaczy, że wziął w nich udział.
~U  ~Z
Jeżeli Adam Małysz nie weźmie udziału w zawodach, to ich nie wygra.
Puszek jest cHomikiem, tylko jeśli jest Ssakiem.
Jeżeli Puszek jest chomikiem, to jest też ssakiem.
Jeżeli Puszek nie jest ssakiem, to nie jest chomikiem.
Puszek jest cHomikiem, tylko jeśli ma Torby polikowe.
HT
~T  ~H
Jeżeli Puszek jest chomikiem, to ma torby polikowe.
Jeżeli Puszek nie ma toreb polikowych, to nie jest chomikiem.
Puszek jest cHomikiem, tylko jeśli ma cztery Łapki.
HŁ
~Ł  ~H
(i)
Jeżeli zaliczyłaś logikę, to znaczy, że systematycznie pracowałaś.
ZU
~S  ~H
(h)
Jeżeli nie przyjdziesz na egzamin, to nie zaliczysz logiki.
Adam Małysz wygra Zawody tylko wtedy, gdy weźmie w nich Udział.
HS
(g)
Jeżeli zaliczyłeś logikę, to znaczy, że przyszedłeś na egzamin.
Zaliczysz logikę, tylko jeżeli będziesz Systematycznie pracować.
ZS
(e)
Jeżeli nie istnieje nieświadomość, to teoria Freuda nie jest prawdziwa.
Marian czerwieni się, tylko wtedy gdy Róża patrzy na niego.
ZP
(d)
Jeżeli teoria Freuda jest prawdziwa, to [znaczy, że] istnieje nieświadomość.
Jeżeli Puszek jest chomikiem, to ma cztery łapki
Jeżeli Puszek nie ma czterech łapek, to nie jest chomikiem.
Utoniesz, tylko jeżeli znajdziesz się w Wodzie.
UW
~W  ~U
Jeżeli utonąłeś, to znaczy, że znajdowałeś się w wodzie.
Jeżeli nie znajdziesz się w wodzie, to nie utoniesz.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
(j)
319
Odkurzysz, tylko jeśli Włączysz odkurzacz.
OW
~W  ~O
Jeżeli odkurzyłeś, to włączyłeś odkurzacz.
Jeżeli nie włączysz odkurzacza, to nie odkurzysz.
(k)
Prezydent RP będzie godnie Reprezentował Polskę tylko wtedy, gdy pojawi się na Spotkaniu.
Jeżeli Prezydent RP godnie reprezentował Polskę, to znaczy, że pojawił się na
RS
spotkaniu.
Jeżeli Prezydent RP nie pojawi się na spotkaniu, to nie będzie godnie
~S  ~R
reprezentował Polski.
(l)
Puszek jest cHomikiem, tylko jeśli nie ma Dzioba.
H  ~D
~~D  ~H
D  ~H
(m)
Jeżeli Puszek jest chomikiem, to nie ma dzioba.
Jeżeli nieprawdą jest, że Puszek nie ma dzioba, to nie jest chomikiem.
Jeżeli Puszek ma dziób, to nie jest chomikiem.
Zaliczysz logikę, tylko jeżeli zarówno wszystko zRozumiesz, jak i będziesz poprawnie
wykonywać wszystkie Ćwiczenia.
Jeżeli zaliczyłaś logikę, to znaczy, że wszystko zrozumiałaś i poprawnie
Z  (R  Ć)
wykonywałaś wszystkie ćwiczenia.
Jeżeli nie będzie tak, że zarówno wszystko zrozumiesz, jak i poprawnie
~(R  Ć)  ~Z
wykonywasz wszystkie ćwiczenia, to nie zaliczysz logiki.
Jeżeli nie wszystko zrozumiesz lub nie wykonywasz poprawnie wszystkich
(~R  ~Ć)  ~Z
ćwiczeń, to nie zaliczysz logiki.
Ćwiczenie 4.E „tylko jeżeli – 2”
A: Ania jest na diecie.
K: Kalinka jest na diecie.
L: Lidka jest na diecie.
R: Kalinka regularnie ćwiczy.
(a)
Kalinka będzie zdrowa, tylko jeśli będzie regularnie ćwiczyć.
(b)
Kalinka będzie zdrowa, tylko jeśli albo przejdzie na dietę, albo
będzie regularnie ćwiczyć.
Z: Kalinka jest zdrowa.
W: Ania jest zdrowa.
ZR
~R  ~Z
(c)
(d)
(e)
(f)
Lidka przejdzie na dietę tylko wtedy, gdy Kalinka i Ania obie będą
na diecie.
Kalinka przejdzie na dietę lub będzie regularnie ćwiczyć, tylko
jeśli Ania przejdzie na dietę.
Ania przejdzie na dietę tylko wtedy, gdy Lidka – lecz nie Kalinka –
przejdzie na dietę.
Kalinka zacznie regularnie ćwiczyć, tylko jeżeli nie przejdzie na
dietę.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Z  (K  R)
~(K  R)  ~Z
(~K  ~R)  ~Z
L  (K  A)
~(K  A)  ~L
(~K  ~A)  ~L
(K  R)  A
~A  ~(K  R)
~A  (~K  ~R)
A  (L  ~K)
~(L  ~K)  ~A
(~L  ~~K)  ~A
(~L  K)  ~A
R  ~K
~~K  ~R
K  ~R
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
(g)
(h)
(i)
320
Tylko jeśli Ania przejdzie na dietę, to przejdzie na dietę Lidka.
Parafraza: Lidka przejdzie na dietę, tylko jeśli Ania przejdzie na
dietę.
Tylko jeżeli Kalinka będzie zdrowa lub będzie regularnie ćwiczyć,
to Ania przejdzie na dietę.
Parafraza: Ania przejdzie na dietę, tylko jeżeli Kalinka będzie
zdrowa lub będzie regularnie ćwiczyć.
Kalinka i Ania będą zdrowe, tylko jeśli obie przejdą na dietę.
Zdanie to jest dwuznaczne:
Interpretacja 1: Kalinka i Ania będą obie zdrowe, tylko jeżeli
wspólnie przejdą na dietę.
Interpretacja 2: Obie Kalinka i Ania będą zdrowe, tylko jeżeli
każda z nich przejdzie na dietę.
LA
~A  ~L
A  (Z  R)
~(Z  R)  ~A
(~Z  ~R)  ~A
Interpretacja 1:
(Z  W)  (K  A)
~(K  A)  ~(Z  W)
Interpretacja 2:
(Z  K)  (W  A)
(~K  ~Z)  (~A  ~W)
Ćwiczenie 4.F „tylko jeżeli – 3”
(a)
Otrzymasz ocenę bardzo dobrą, jeżeli dostaniesz 95% na egzaminie.
prawdziwe
fałszywe
Jeżeli dostaniesz 95% na egzaminie, to otrzymasz ocenę bardzo dobrą.
(b)
prawdziwe
 fałszywe
Otrzymasz ocenę bdb, tylko jeżeli dostaniesz 95% na egzaminie.
Jeżeli otrzymałeś ocenę bardzo dobrą, to znaczy, że dostałeś 95% na egzaminie.
Jeżeli nie dostaniesz 95% na egzaminie, to nie otrzymasz oceny bardzo dobrej.
(c)
prawdziwe
Otrzymasz ocenę celującą, jeżeli dostaniesz 100% na egzaminie.
fałszywe
Jeżeli dostaniesz 100% na egzaminie, to otrzymasz ocenę celującą.
(d)
Otrzymasz ocenę celującą, tylko jeżeli dostaniesz 100% na egzaminie.
prawdziwe
fałszywe
Jeżeli otrzymałeś ocenę celującą, to znaczy, że dostałeś 100% na egzaminie.
Jeżeli nie dostaniesz 100% na egzaminie, to nie otrzymasz oceny celującej.
Ćwiczenie 4.G „warunek konieczny i dostateczny – 1”
(a)
Deszcz pada, tylko jeśli są chmury.
To, że są chmury, jest warunkiem
(b)
(d)
(e)

koniecznym
dostatecznym
tego, że pada deszcz.
koniecznym
dostatecznym
tego, że pada deszcz.
Deszcz pada, jeśli mży.
To, że mży, jest warunkiem
(c)



Puszek jest chomikiem, tylko jeśli ma torby polikowe.
To, że Puszek ma torby polikowe, jest
 koniecznym
warunkiem
 dostatecznym
Puszek jest chomikiem, jeśli ma torby polikowe.
 koniecznym
To, że Puszek ma torby polikowe, jest
warunkiem
 dostatecznym
tego, że Puszek jest chomikiem.
tego, że Puszek jest chomikiem.
Puszek jest chomikiem wtedy i tylko wtedy, gdy ma torby polikowe.
To, że Puszek ma torby polikowe, jest
 koniecznym
tego, że Puszek jest chomikiem.
warunkiem
 dostatecznym
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
(f)
Zuza zda logikę, jeżeli dostanie 55% na teście.
 koniecznym
Otrzymanie 55% na teście jest warunkiem
 dostatecznym
321
tego, by Zuza zdała logikę.
(g)
Zuza nie otrzyma oceny bardzo dobrej, jeżeli dostanie 85% na teście.
 koniecznym
Otrzymanie 85% na teście jest waruntego, by Zuza nie otrzymała
kiem
oceny bardzo dobrej.
 dostatecznym
(h)
Zuza otrzyma ocenę celującą, jeżeli, ale tylko jeżeli, dostanie 100% na teście.
Otrzymanie 100% na teście jest watego, by Zuza otrzymała ocenę
 koniecznym
runkiem
celującą.
 dostatecznym
(i)
Waleria schudnie, tylko jeżeli przejdzie na dietę.
Przejście Walerii na dietę jest warun koniecznym
kiem
 dostatecznym
jej schudnięcia.
Ćwiczenie 4.H „warunek konieczny i dostateczny – 2”
(a)
Jeżeli
(b)
Jeżeli
Arysto jest persem
to
jest kotem.
Arysto jest kotem
jeżeli
Arysto jest persem.
Arysto jest persem
tylko jeżeli
Arysto jest kotem.
Bycie persem
jest warunkiem dostatecznym
bycia kotem.
Bycie kotem
jest warunkiem koniecznym
bycia persem.
(c)
Jeżeli
(d)
Jeżeli
Burek szczeka
to
jest psem.
Burek jest psem
jeżeli
Burek szczeka
Burek szczeka
tylko jeżeli
Burek jest psem.
Szczekanie
jest warunkiem dostatecznym
bycia psem.
Bycie psem
jest warunkiem koniecznym
szczekania.
(e)
(f)
Zario jest pudlem
to
jest psem.
Zario jest psem
jeżeli
Zario jest pudlem.
Zario jest pudlem
tylko jeżeli
Zario jest psem.
Bycie pudlem
jest warunkiem dostatecznym
bycia psem.
Bycie psem
jest warunkiem koniecznym
bycia pudlem.
pada deszcz
to
są chmury
Są chmury
jeżeli
pada deszcz.
Deszcz pada
tylko jeżeli
są chmury.
Opady deszczu
są warunkiem dostatecznym
zachmurzenia.
Zachmurzenie
jest warunkiem koniecznym
opadów deszczu.
Jeżeli
Puszek jest chomikiem
to
Puszek ma torby polikowe.
Puszek ma torby polikowe
jeżeli
jest chomikiem.
Puszek jest chomikiem
tylko jeżeli
ma torby polikowe.
Bycie chomikiem
jest warunkiem dostatecznym
posiadania toreb polikowych.
Posiadanie toreb polikowych
jest warunkiem koniecznym
bycia chomikiem.
Jeżeli
J. jest politykiem,
to
jest nieuczciwy.
J. jest nieuczciwy
jeżeli
jest politykiem.
J. jest politykiem
tylko jeżeli
jest nieuczciwy.
Bycie politykiem
jest warunkiem dostatecznym
bycia nieuczciwym.
Bycie nieuczciwym
jest warunkiem koniecznym
bycia politykiem.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
322
Ćwiczenie 4.I „warunek konieczny i dostateczny – 3”
(a)
Deszcz pada, tylko jeśli są chmury.
To, że są chmury, jest warunkiem
(b)
(d)
(e)

koniecznym
dostatecznym
tego, że pada deszcz.
koniecznym
dostatecznym
tego, że mży.
Deszcz pada, jeśli mży.
Mży, tylko jeśli pada deszcz.
To, że pada deszcz, jest warunkiem
(c)



Ksena jest owczarkiem podhalańskim, tylko jeżeli jest psem.
Ksena jest psem, jeżeli jest owczarkiem podhalańskim.
 koniecznym
To, że Ksena jest owczarkiem
podhalańskim, jest warunkiem
 dostatecznym
Mela jest kotem, jeżeli jest persem.
Mela jest persem, tylko jeżeli jest kotem.
To, że Mela jest kotem, jest

warunkiem

koniecznym
dostatecznym
Puszek jest chomikiem, jeżeli ma torby polikowe.
 koniecznym
To, że Puszek ma torby polikowe, jest
warunkiem
 dostatecznym
tego, że jest psem.
tego, że jest persem.
tego, że Puszek jest
chomikiem.
Ćwiczenie 4.J „wszyscy-niektórzy”
A: Andrzej jest uczciwy.
J: Jarosław jest uczciwy.
L: Lech jest uczciwy.
(a)
Cała szóstka jest uczciwa.
(b)
Przynajmniej jedna osoba z tej szóstki jest uczciwa.
(c)
Wszyscy z tej szóstki są uczciwi.
(d)
Ktoś z tej szóstki jest uczciwy.
(e)
Nie wszyscy z tej szóstki są uczciwi.
(f)
Nikt z tej szóstki nie jest uczciwy.
(g)
Jeżeli nikt z tej szóstki nie jest uczciwy, to
nie jest uczciwy ani Jarosław, ani
Zbigniew.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
P: Przemysław jest uczciwy.
R: Roman jest uczciwy.
Z: Zbigniew jest uczciwy.
((A  J)  (L  P))  (R  Z)
((A  J)  (L  P))  (R  Z)
((A  J)  (L  P))  (R  Z)
((A  J)  (L  P))  (R  Z)
~[((A  J)  (L  P))  (R  Z)]
((~A  ~J)  (~L  ~P))  (~R  ~Z)
~[((A  J)  (L  P))  (R  Z)]
((~A  ~J)  (~L  ~P))  (~R  ~Z)
~[((A  J)  (L  P))  (R  Z)]  ~(J  Z)
[((~A  ~J)  (~L  ~P))  (~R  ~Z)]  (~J  ~Z)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
323
Ćwiczenie 4.K „symbolizacje – 1”
A: Ala robi kolację.
P: Ala pracuje do późna.
W: Szef Ali wymaga, aby
pracowała do późna.
G:
L:
Ź:
Ś:
Lech jest głodny.
Lech robi kolację.
Lech pracuje do późna.
Jest święto.
(a)
Lech nie zrobi kolacji, chyba że jest bardzo głodny.
(b)
Lech pracuje do późna w nocy wtedy i tylko wtedy, gdy Ala nie pracuje do późna.
(c)
Nieprawda, że jeżeli jest święto, to Ala pracuje do późna.
(d)
Jeśli jest święto, to Lech nie pracuje do późna.
G  ~L
~G  ~L
Ź  ~P
~(Ś  P)
Ś  ~Ź
Ś  (~L  ~A)
Ś  ~(L  A)
W  ~P
~W  ~P
(e)
Ani Lech, ani Ala nie zrobią kolacji, jeśli jest święto.
(f)
Ala nie pracuje do późna, chyba że szef od niej tego wymaga.
(g)
Jeśli Ali szef nie wymaga od niej, aby pracowała do późna, to do późna nie pracuje.
(h)
Albo Ala bądź Lech zrobią kolację, albo oboje pracują do późna.
(A  L)  (P  Ź)
(i)
Albo Lech, albo Ala (ale nie jedno i drugie) zrobi kolację.
(A  L)  ~(A  L)
(j)
Jeżeli Lech pracuje do późna, a Ala do późna nie pracuje, to ona robi kolację.
(Ź  ~P)  A
(k)
Jeśli Ala nie pracuje do późna, to Ala robi kolację, jeśli Lech pracuje do późna.
~P  (Ź  A)
(l)
Jeśli Lech zrobił kolację, to znaczy, że Ala pracowała do późna.
(m)
Lech robi kolację, tylko jeśli Ala pracuje do późna.
LP
~P  ~L
(n)
Jeśli Ala nie pracowała do późna, to Lech nie zrobił kolacji.
~P  ~L
(o)
Lech i Ala oboje pracują do późna, tylko jeśli jest święto.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
~W  ~P
LP
(Ź  P)  Ś
~Ś  ~(Ź  P)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
324
Ćwiczenie 4.L „symbolizacje – 2”
B: Ala będzie biegać.
Ć: Ala będzie ćwiczyć.
D: Ala popadnie w depresję.
L: Ala będzie leniwa.
M: Ala będzie właściwie umotywowana.
(a)
Ala nie będzie ani biegać, ani pływać, choć będzie ćwiczyć.
(~B  ~W)  Ć
(b)
O: Ala będzie się odchudzać.
P: Ala przytyje.
S: Ala będzie jeździć do pracy samochodem.
W: Ala będzie pływać.
Z: Ala będzie zmęczona.
lub:
~(B  W)  Ć
Ala nie będzie ani biegać, ani pływać, chyba że przytyje.
~P  (~B  ~W) lub: P  (~B  ~W) lub: ~P  ~(B  W) lub: P  ~(B  W)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
Ala będzie zarówno biegać, jak i pływać, chyba że będzie leniwa lub przytyje.
~(L  P)  (B  W) lub: (L  P)  (B  W)
Ala nie przytyje, jeśli będzie pływać lub biegać, chyba że będzie jeździć do pracy samochodem
i nie będzie się odchudzać.
~(S  ~O)  ((W  B)  ~P) lub: (S  ~O)  ((W  B)  ~P)
Jeżeli Ala będzie pływać lub biegać, to nie przytyje – chyba że będzie jeździć do pracy
samochodem i nie będzie się odchudzać.
(W  B)  [~(S  ~O)  ~P] lub: (W  B)  [(S  ~O)  ~P]
Ala będzie albo biegać, albo pływać; jednakże nie będzie robić jednego i drugiego, chyba że
przytyje.
(B  W)  [~P  ~(B  W)] lub (B  W)  [P  ~(B  W)] lub . . .
Ala będzie zdepresjonowana wtedy i tylko wtedy, gdy będzie leniwa i nie będzie ani się
odchudzać, ani ćwiczyć.
D  [L  (~O  ~Ć)] lub: D  [L  ~(O  Ć)]
Ala przytyje wtedy i tylko wtedy, gdy nie będzie się odchudzać, nie będzie miała właściwej
motywacji i nie będzie ani pływać, ani biegać.
P  [(~O  ~M)  (~W  ~B)] lub: P  [(~O  ~M)  ~(W  B)]
Jeżeli prawdą jest, że Ala przytyje wtedy i tylko wtedy, gdy nie będzie ani się odchudzać, ani
ćwiczyć i gdy nie będzie ani biegać, ani pływać, to Ala będzie ćwiczyć lub biegać, a na pewno
nie będzie jeździć do pracy samochodem.
[P  ((~O  ~Ć)  (~B  ~W))]  [(Ć  B)  ~S] lub [P  (~(O  Ć)  ~(B  W))]  [(Ć  B)  ~S]
Ala nie będzie zdepresjonowana tylko wtedy, gdy będzie się odchudzać bądź ćwiczyć i gdy nie
będzie zanadto zmęczona.
~D  [(O  Ć)  ~Z] lub ~[(O  Ć)  ~Z]  ~~D
Tylko jeśli Ala będzie właściwie umotywowana i nie będzie zbyt zmęczona, będzie się
odchudzać lub ćwiczyć.
(O  Ć)  (M  ~Z) lub ~(M  ~Z)  ~(O  Ć)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 4
325
Ćwiczenie 4.M „symbolizacje – 3”
A: Ceny akcji spadną.
B: Bezrobocie wzrośnie.
D: Deficyt zostanie zredukowany.
G: Stan gospodarki ulegnie poprawie.
K: Wydatki konsumentów spadną.
M: Wystąpi wzrost koniunktury w budownictwie mieszkaniowym.
O: Stopy oprocentowania wzrosną.
P: Podatki wzrosną.
R: Wzrośnie liczba miejsc pracy.
S: Wystąpi wzrost koniunktury w przemyśle samochodowym.
W: Wydatki rządowe wzrosną.
Ż: Pożyczki konsumentów wzrosną.
(a)
Stopy oprocentowania wzrosną tylko wtedy, gdy poprawi
się stan gospodarki i gdy wzrosną pożyczki konsumentów.
O  (G  Ż)
~(G  Ż)  ~O
(~G  ~Ż)  ~O
(b)
Stan gospodarki nie ulegnie poprawie, a stopy oprocentowania nie wzrosną, jeżeli albo spadną wydatki konsumentów, albo wzrośnie bezrobocie.
(K  B)  (~G  ~O)
(c)
Wzrośnie albo bezrobocie, albo oprocentowanie, ale nie
oba jednocześnie.
(B  O)  ~(B  O)
(d)
Oprocentowanie nie wzrośnie, jeżeli stan gospodarki się
poprawi, chyba że wzrosną pożyczki konsumentów.
Ż  (G  ~O)
~Ż  (G  ~O)
(e)
Deficyt zostanie zredukowany, a stan gospodarki się poprawi, o ile wzrosną podatki, a nie wzrosną stopy oprocentowania.
(P  ~O)  (D  G)
(f)
Jeżeli stopy oprocentowania nie wzrosną, to deficyt zostanie zredukowany wtedy i tylko wtedy, gdy podwyższone zostaną podatki, a nie wzrosną wydatki rządowe.
~O  (D  (P  ~W))
(g)
Podatki i stopy oprocentowania wzrosną, ale stan gospodarki się nie poprawi – chyba że zredukowany zostanie
deficyt.
(h)
(i)
(j)
(k)
Ceny akcji spadną, a stan gospodarki się nie poprawi, jeśli
stopy oprocentowania wzrosną, a deficyt nie zostanie zredukowany – chyba że stworzonych zostanie więcej miejsc
pracy lub poprawi się koniunktura w budownictwie
mieszkaniowym.
Nie wzrosną ani stopy oprocentowania, ani podatki, jeżeli
zredukowany zostanie deficyt, ale jeżeli deficyt nie
zostanie zredukowany, to podniesione zostaną zarówno
podatki, jak i stopy oprocentowania.
Stan gospodarki ulegnie poprawie pod warunkiem redukcji deficytu, ale deficyt zostanie zredukowany, tylko jeśli
nie wzrosną wydatki rządowe i podniesione zostaną podatki.
Tylko wówczas, gdy poprawi się koniunktura w budownictwie mieszkaniowym i w przemyśle samochodowym,
powstaną nowe miejsca pracy i zredukowany zostanie
deficyt; jednakże liczba miejsc pracy nie wzrośnie, chyba
że wzrosną wydatki rządowe.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
D  ((P  O)  ~G)
~D  ((P  O)  ~G)
(R  M)  [(O  ~D)  (A  ~G)]
~(R  M)  [(O  ~D)  (A  ~G)]
(D  (~O  ~P))  (~D  (P  O))
(D  ~(O  P))  (~D  (P  O))
(D  G)  (D  (~W  P))
[(R  D)  (M  S)]  (W  ~R)
[(R  D)  (M  S)]  (~W  ~R)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
326
ROZDZIAŁ 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
Ćwiczenie 5.A „wartości logiczne – 1”
a) (1  0)  (0  0)
f) (1  (1  0))  0
(1 •
0 1)  (0 1 0)
(1  (1 
1 0))  0
(1 1
 (1
 0
1
b) 1  (1  (0  0))
0
g) (0  1)  (1  0)
1  (1  (0 
1 0))
(0 
1 1)  (1 
0 0)
1  (1 
1
)
0
1
c) ((1  1)  0)  0
((1 1 1)  0)  0
 0)  0
1
0
d) 1  ((1  0)  0)
1  ((1 1 0)  0)
1 
h) 0  (0  (0  0))
0  (0  (0 
1 0))
0  (0 
1
1
i) ((0  0)  0)  0
((0 
1 0)  0)  0
0
0
0
 0
1
e) (1  0)  ((1  0)  0)
(1 
0 0)  ((1 0 0)  0)

0
1
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
j) ((0  1)  0)  (0  0)
((0 1 1
 0)  (01

0

0
1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
327
Ćwiczenie 5.B „wartości logiczne – 2”
a) (0  1)  (0  0)
f) (0  (1  0))  (1  0)
(0)  (1)
(0  (0))  (0)
(0) 
1
0
1
b) 1  (1  (0  0))
1  (1  (1))
g) (0  0)  (0  1)
1  (1)
(1)  (1)
1
1
c) ((0  1)  0)  0
((0)  0)  0
(0)  0
1
d) 1  ((1  0)  0)
1  ((1)  0)
1  (0)
h) 1  (0  (0  1))
1  (0  (1))
1  (1)
1
i) ((0  0)  0)  0
((1)  0)  0
(0)  0
0
1
e) (0  1)  ((1  0)  0)
(1)  ((0)  0)
1
 (1)
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
j) ((0  1)  0)  (1  0)
((1)  0)  (0)
(0)  0
1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
328
k) [((1  0)  0)  (1  0)]  (1  (0  0))
[((0)  0)  (1)]  (1  (0))
[(0) 
1]
[0]
 (0)
 0
1
l) ((1  0)  1)  [(1  0)  (1  (0  0))]
((0)  1)  [(1)  (1  (0))]
(0)  [ 1
0
 (0)]
 [0]
1
m) ((1  0)  (0  0))  [(0  0)  (1  ((1  0)  0))]
((0)  (1))  [(1)  (1  ((0)  0))]
(1)  [(1)  (1  (1))]
1
 [(1)  (1)]
1
 [1]
1
n) (0  0)  {[(0  0)  0]  [1  [((0  0)  0)  0]]}
(1)  {[(0)  0]  [1  [((1)  0)  0]]}
1
 {[1]  [1  [(0)  0]]}
1
 {[1]  [1  [1]]}
1
 {[1]  [1]}
1
 {1}
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
329
Ćwiczenie 5.C „wartości logiczne – 3”
a) ~1  (~1  0)
b) ~(1  1)  ~(0  0)
~1
0  (~1
0  0)
~(1 1 1)  ~(0 1 0)
~1
 0)
0  (~0 1
0 1)  ~(0 0
1
0
c) ~(1  1)  (~0  0)
d) (~1  ~1)  ~(0  0)
~(1 
1  0)
1 1)  (~0
(~1
0  ~0 )  ~ 0 1 0)
~(1 0 1)  (~0 0 0)
(~1 0 ~1)  ~(0 0
 0)
0
0
e) ~1  (~1  (~0  0))
f) (1  1)  (~1  (~1  0))
1  0))
0  (~0
~1
0  ( 1
0  0))
1 1)  (~10  ( 1
(1 
0  (~0 0 0 )
~1
0  (~1
 11
1 0))
 (~10  (~1 
0 (
~1
0  ~(1 
 1
1

(~1 
0
0
1
g) ~(0  1)  ~(0  (1  0))
h) ~[(0  0)  ~(0  0)]  (1  0)
0 0))
~ 0 0 0)  ~(0  (1 
~[ 0 1 0)  ~ 0 0 0)]  (1 0 0)
1 0)  ~(1 0 (1
1

1
1
~[
1
 ~(0 1)
~
] 
0
0 1)

0
0

0
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
330
Ćwiczenie 5.D „wartości logiczne – 4”
a) ~1  1
0  1
1
b) ~(1  1)
~(1)
0
c) ~1  ~1
0  0
0
d) ~(1  1)
~(1)
0
e) ~1  1
0  1
1
f) ~1  ~1
0  0
1
g) ~1  (~1  0)
0  (0  0)
0  (1)
1
h) ~0  ~(1  0)
1  ~(0)
1  1
1
i) (~1  ~1)  0
(0  0)  0
(1)  0
1
j) ~(1  1)  0
~(1)  0
0  0
1
k) (~0  ~0)  (~1  ~1)
(1  1)  (0  0)
(1)  (0)
0
l) ~(0  0)  ~(0  1)
~(0)  ~(0)
1  1
1
m) ~0
1
1
1




0
[~0  (~1  ~1)]
[1  (0  0)]
[1  (0)]
[0]
o) [~1  (~0  ~1)]
[0  (1  0)]
[0  (0)]
[1]
q) (~0  ~1)
(1  0)
(0)
0




1




0
~1
0
0
0
~(1  ~0)
~(1  1)
~(1)
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
n) ~0
1
1
1




0
~[0  (1  1)]
~[0  (1)]
~[1]
0
p) ~0
1
1
1
1





1
~[0  ~(1  0)]
~[0  ~(1)]
~[0  0]
~[0]
1
r) ~(0  ~0)
~(0  1)
~(1)
0




1
~(0  ~1)
~(0  0)
~(0)
1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
s) ~[~(1  0)  ~0]
~[~(0)  1]
~[1  1]
~[1]
0
u) ~1
0
0
0
0
0






1
331





1
~1
0
0
0
0
~[~0  ~(1  ~0)]
~[1  ~(1  1)]
~[1  ~(1)]
~[1  0]
~[0]
1
x) ~{~1  ~[~1
~{0  ~[0 
~{0  ~[0 
~{0  ~[0 
~{0  ~[0]}
~{0  1}
~{0}
1
 ~(~0  ~0)]}
~(1  1)]}
~(1)]}
0]}
t) ~[~(~1  ~0)  ~0]
~[~(0  1)  1]
~[~(1)  1]
~[0  1]
~[0]
1






0
~1
0
0
0
0
0
w) ~{~1  ~[~0  ~(1  ~0)]}
~{0  ~[~0  ~(1  ~0)]}
~{0  ~[1  ~(1  1)]}
~{0  ~[1  ~(1)]}
~{0  ~[1  0]}
~{0  ~[0]}
~{0  1}
~{1}
0
y) ~(~1  ~0)
~(0  1)
~(1)
0
0
0






0
~[0 
~[0 
~[0 
~[0 
~[0]
1
~(0  ~0)]
~(0  1)]
~(0)]
1]
Ćwiczenie 5.E „negacje wielokrotne – 1”
a) ~~0
b) ~~1
c) ~~~0
d) ~~~1
~ 1
~ 0
~~ 1
~~ 0
0
1
~ 0
~ 1
1
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
332
Ćwiczenie 5.F „negacje wielokrotne – 2”
a) ~1  ~~0
b) ~~(1  0)
c) ~(~1  0)
0
1
~1  ~~0
~~(1 0
0  0)
~(~1
0
0
~1  ~~
~ 1
~ 1
1
0
0
d) ~(~1  ~0)
e) ~~1  ~~0
f) ~(~0  0)
0  01 )
~(~1
0  ~~0
1
~~1
1  0)
~(~1
~ 1
0
11  ~~
0
1
~
0
1
Ćwiczenie 5.G „wartości logiczne – 5”
a) ~~1  ~~0
~0  ~1
1  0
1
b) ~(~1  ~0)
~(0  1)
~(1)
0
c) ~~(1  ~1)
~~(1  0)
~~(1)
~(0)
1
e) ~~~0  ~~~~1
~~1  ~~~0
~0  ~~1
1  ~0
1  1
1
d) ~(~1  ~1)
~(0  0)
~(0)
1
g) (0  0)
(1)
1
1
1
1
h) ~[~(~1  1)  ~0]
~[~(0  1)  1]
~[~(0)  1]
~[1  1]
~[1]
0






0
i) ~(1  ~1)
~(1  0)
~(0)
1
~[~(~1  ~0)  ~0]
~[~(0  1)  1]
~[~(0)  1]
~[1  1]
~[1]
0




0
~(~0  ~0)
~(1)
0
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
f) ~~~(0  ~1)
~~~(0  0)
~~~(1)
~~0
~1
0






1
~(1  ~0)
~(1  1)
~(1)
0
0
0
j) ~[(~1  ~1)  ~(0  ~0)]
~[(0  0)  ~(0  1)]
~[(0)  ~(1)]
~[(0)  0]
~[0]
1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
333
Ćwiczenie 5.H „podstawy skrótów”
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
p
q
pq
p
q
pq
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
p
1
q
1
pq
1
0
0
0
1
0
0
0
p
1
1
q
1
0
pq
0
0
1
0
0
0
q
pq
p
q
pq
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
p
1
q
1
pq
1
0
1
0
1
0
0
q
1
0
pq
0
0
1
0
1
0
p
q
pq
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
p
1
1
q
1
0
pq
0
0
1
0
1
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli przynajmniej jeden
z członów koniunkcji jest
fałszywy, to koniunkcja
jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli przynajmniej jeden
z członów alternatywy jest
prawdziwy, to alternatywa
jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli przynajmniej jeden
z członów alternatywy jest
fałszywy, to alternatywa
jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli poprzednik jest prawdziwy, to implikacja jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli poprzednik jest fałszywy, to implikacja jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
0
p
p
1
1
Jeżeli przynajmniej jeden
z członów koniunkcji jest
prawdziwy, to koniunkcja
jest:
1
0
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
1
0
0
p
1
q
1
pq
1
0
0
0
1
0
0
1
p
q
pq
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
p
1
1
q
1
0
pq
0
0
1
0
0
1
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
1
0
0
p
1
q
1
pq
1
0
0
0
1
0
0
334
Jeżeli następnik jest prawdziwy, to implikacja jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli następnik jest fałszywy, to implikacja jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli pierwszy człon równoważności jest prawdziwy,
to równoważność jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli pierwszy człon równoważności jest fałszywy,
to równoważność jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli drugi człon równoważności jest prawdziwy,
to równoważność jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
Jeżeli drugi człon równoważności jest fałszywy,
to równoważność jest:
 prawdziwa
 fałszywa
 nie można
jednoznacznie
określić, więc nie
można zastosować
skrótu
1
0
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
335
Ćwiczenie 5.I „skróty – 1”
Zacieniowane zostały fragmenty schematów prawdziwościowych, których nie trzeba obliczać.
a) 0  [0  (0  (1  0))]
b) [0  (1  (0  1))]  1
1
1
c) 0  [(0  0)  (1  1)]
0
d) 1  [1  ~(1  (1  1))]
1
e) ~1  [(1  1)  (1  1)]
f) ~1  [1  ~(0  (0  0))]
0  [(1  1)  (1  1)]
0
0  [1  ~(0  (0  0))]
1
g) ~0  [(1  (~1  ~1))  ~0]
h) ~0  [~1  ~(1  (0  1))]
1  [(1  (~1  ~1))  1]
1  [1]
1
1  [0  ~(1  (0  1))]
1  0
0
i) [0  (1  (0  1))]  ~(0  0)
j) ~(1  1)  [(0  1)  (1  1)]
[0  (1)]  ~(0)
[0  (1)]  1
1
Wprawniejsi z Was mogli dostrzec już na pierwszy rzut oka, że następnik jest prawdziwy, a wtedy nie trzeba było dokonywać żadnych obliczeń
w poprzedniku:
[0  (1  (0  1))]  ~(0)
[0  (1  (0  1))]  1
1
~(1)  [(0)  (1)]
0  [(0)  (1)]
0
Jeżeli zauważyliście, że pierwszy człon koniunkcji jest fałszywy, to dostrzegliście też, że nie trzeba dokonywać żadnych obliczeń drugiego członu
koniunkcji:
~(1)  [(0  1)  (1  1)]
0  [(0  1)  (1  1)]
0
Ćwiczenie 5.J „skróty – 2”
a) A  G
1  ?
1
c) A  G
1  ?
Nie można stwierdzić. Wartość logiczna zdania
A  G zależy od wartości logicznej G: jeżeli G
jest prawdziwe, wówczas A  G jest prawdziwe;
jeżeli G jest fałszywe, wówczas A  G jest fałszywe.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
b) K  G
0  ?
Nie można stwierdzić. Wartość logiczna zdania
K  G zależy od wartości logicznej G: jeżeli G
jest prawdziwe wówczas K  G jest prawdziwe;
jeżeli G jest fałszywe wówczas K  G jest fałszywe.
d) K  G
0  ?
0
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
e) A  (K  G)
1  (0  ?)
Nie można stwierdzić. Wartość logiczna zdania
A  (K  G) zależy od wartości logicznej G; jeśli
G jest prawdziwe, to A  (K  G) jest prawdziwe,
ponieważ: 1  (0  1), stąd 1  (1), stąd 1. Jeśli G
jest fałszywe, to: A  (K  G) jest fałszywe, ponieważ: 1  (0  0), stąd 1  (0), stąd 0.
336
f) A  (K  G)
1  (0  ?)
1
Zdanie A  (K  G) jest prawdziwe, ponieważ
jest alternatywą, której człon (viz. pierwszy) jest
prawdziwy.
g) K  (K  G)
h) K  (K  G)
0  (0  ?)
0
0  (0  ?)
0  (0)
0
Zdanie K  (K  G) jest fałszywe, ponieważ jest
to koniunkcja, której pierwszy człon jest fałszywy.
i) (A  K)  G
j) A  (K  G)
(1  0)  ?
(0)  ?
1
1  (0  ?)
1  (0)
0
k) (A  K)  G
(1  0)  ?
(1)  ?
Nie można stwierdzić. Wartość logiczna zdania
(A  K)  G zależy od wartości logicznej G.
Jeśli G jest prawdziwe, to (A  K)  G jest
prawdziwe. Jeżeli G jest fałszywe, to (A  K)  G
jest fałszywe.
l) A  (K  G)
1  (0  ?)
Nie można stwierdzić. Wartość logiczna zdania
A  (K  G) zależy od wartości logicznej G. Jeżeli
G jest prawdziwe, to A  (K  G) jest również
prawdziwe, ponieważ: 1  (0  1), stąd 1  1, stąd
1. Jeżeli G jest fałszywe, to: A  (K  G) jest
fałszywe, ponieważ: 1  (0  0), stąd 1  0, stąd 0.
m) (G  ~G)  K
n) ~(A  G)  [~(H  G)  ~A]
(?  ~?)  0
Wbrew pozorom można określić wartość logiczną
tego zdania. Zdanie (G  ~G)  K jest fałszywe.
Nie wiemy, co prawda, czy zdanie G jest prawdziwe, czy fałszywe, ale rozważając obie możliwości, możemy dojść do wniosku, że zdanie
(G  ~G)  K będzie fałszywe. Jeżeli G jest prawdziwe, wówczas:
(1  ~1)  0
(1)  0
0
Jeżeli G jest fałszywe, wówczas:
(0  ~0)  0
(0  1)  0
(1)  0
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
~(1  ?)  [~(?  ?)  ~1]
~(1)  [~(?  ?)  0]
0  [~(?  ?)  0]
1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 5
337
Ćwiczenie 5.K „wartości logiczne – 6”
B: Berlin jest stolicą Polski
P: Poznań jest stolicą Polski
W: Warszawa jest stolicą Polski
Symbolizacja
(a)
– zdanie fałszywe (0)
– zdanie fałszywe (0)
– zdanie prawdziwe (1)
Obliczenie wartości logicznej
Stolicą Polski jest Poznań lub Warszawa.
PW
(b)
0  1
1
 prawdziwe
 fałszywe
~0  ~1
1  0
0
 prawdziwe
 fałszywe
Stolicą Polski nie jest zarówno Poznań, jak i Warszawa.
~(P  W)
(e)
0  1
0
Stolicą Polski nie jest ani Poznań, ani Warszawa.
~P  ~W
(d)
 prawdziwe
 fałszywe
Stolicą Polski jest zarówno Poznań, jak i Warszawa.
PW
(c)
Zdanie jest:
~(0  1)
~(0)
1
 prawdziwe
 fałszywe
Jeżeli Poznań jest stolicą Polski, to Warszawa nie jest stolicą Polski.
P  ~W
0  ~1
0  0
1
 prawdziwe
 fałszywe
(f)
Jeżeli stolicą Polski nie jest ani Poznań, ani Berlin, to nie jest nią też Warszawa.
 prawdziwe
(~P  ~B)  ~W
(~0  ~0)  ~1
 fałszywe
(1  1)  0
1  0
0
(g)
Nie jest prawdą, że ani Poznań, ani Berlin, ani Warszawa nie jest stolicą Polski, ale nie jest też
prawdą, że zarówno Poznań, Berlin, jak i Warszawa są stolicą Polski.
 prawdziwe
~[(~P  ~B)  ~W]  ~[(P  B)  W] ~[(~0  ~0)  ~1]  ~[(0  0)  1]
 fałszywe
~[(1  1)  0]  ~[(0)  1]
~[(1)  0]  ~[0]
~[0]  1
11
1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 6
338
Ćwiczenie 5.L „długie zdanie”
„Tylko jeżeli zarówno Warszawa leży nad Wisłą, jak i albo Poznań leży nad Wartą i nie jeżdżą w nim
tramwaje, albo Poznań leży nad Wisłą i nie ma w nim zoo, to nieprawda, że Londyn jest stolicą Polski
lub Wielkiej Brytanii.”
L: Londyn jest stolicą Polski.
B: Londyn jest stolicą Wielkiej Brytanii.
P: Poznań leży nad Wartą.
Ł: Poznań leży nad Wisłą.
Z: W Poznaniu jest zoo.
T: W Poznaniu jeżdżą tramwaje.
W: Warszawa leży nad Wisłą.
0
1
1
0
1
1
1
Parafraza: Nieprawda, że Londyn jest stolicą Polski lub Wielkiej Brytanii, tylko jeżeli zarówno
Warszawa leży nad Wisłą, jak i albo Poznań leży nad Wartą i nie jeżdżą w nim tramwaje, albo Poznań
leży nad Wisłą i nie ma w nim zoo.
~(L  B)
~(0  1)
~(1)
0
0
0






1
[W 
[1 
[1 
[1 
[1 
[0]
[(P  ~T)  (Ł  ~Z)]]
[(1  ~1)  (0  ~1)]]
[(1  0)  (0  0)]]
[(0)  (0)]]
[0]]
Jest to więc zdanie prawdziwe, a to dobrze, bo spełniony jest w ten sposób warunek konieczny – choć
nie dostateczny otrzymania przez Was piątki z logiki (przynajmniej w czyimś mniemaniu).
ROZDZIAŁ 6. RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA
Ćwiczenie 6.A „instancje właściwe”
(1) p  q
Jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji, to z koalicji wyjdzie też LPR.
Jeżeli Janek zaprosi Anię do kina, to Ania przyjmie zaproszenie.
(2) p  (q  r)
Jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji, to albo LPR zostanie w koalicji, albo będą wybory.
Jeżeli Basia pójdzie z Czarkiem do kina, to Czarek włoży albo krawat, albo muszkę.
(3) (p  q)  r
Jeżeli Samoobrona i LPR pozostaną w koalicji, to premier Kaczyński będzie rządził długo.
Jeżeli Darek kupi kwiaty i czekoladki, to Ewa mu wybaczy.
(4) (p  q)  ~q
Jeżeli LPR opuści koalicję, to będą wczesne wybory, ale wczesnych wyborów nie będzie.
Jeżeli Franek przestanie przeklinać, to Gabrysia się z nim umówi, ale Gabrysia nie umówi się
z Frankiem.
(5) (p  q)  (~p  r)
Jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji, to z koalicji wyjdzie też LPR, a jeżeli Samoobrona nie
wyjdzie z koalicji to koalicja będzie jeszcze trwać.
Jeżeli Janek zaprosi Gosię do teatru, to Gosia mu odmówi, a jeżeli Janek nie zaprosi Gosi do
teatru, to Gosia będzie obrażona.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 6
339
(6) (p  ~q)  (q  ~p)
Jeżeli SLD złoży wniosek o wotum nieufności wobec rządu, to PO nie złoży takiego wniosku,
a jeżeli PO złoży taki wniosek, to nie złoży go SLD.
Jeżeli Janek pójdzie z Zosią do kina, to Robert do kina z nią nie pójdzie, a jeżeli Robert pójdzie
z Zosią do kina, to Janek do kina z nią nie pójdzie.
(7) [(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r]
Jeżeli prawdą jest zarówno, że rząd Kaczyńskiego poda się do dymisji, jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji, jak i że rząd Kaczyńskiego poda się do dymisji, jeżeli LPR wyjdzie z koalicji, to
prawdą też jest, że rząd Kaczyńskiego poda się do dymisji jeżeli albo Samoobrona, albo LPR
wyjdzie z koalicji.
Jeżeli prawdą jest zarówno, że Zosia zgodzi się pójść do kina, jeżeli zaprosi ją Wacek, jak i że
Zosia zgodzi się pójść do kina jeżeli zaprosi ją Jacek, to prawdą też jest, że Zosia zgodzi się pójść
do kina, jeżeli zaprosi ją Wacek lub Jacek.
Ćwiczenie 6.B „właściwy schemat logiczny – 1”
A  (B  A)
p  (q  p)
A  (A  B)
p  (p  q)
(A  B)  A
(p  q)  p
(A  B)  (~A  ~B)
(p  q)  (~p  ~q)
~(A  ~(B  ~~C))
~(p  ~(q  ~~r))
A
p
(A  B)  (A  C)
(p  q)  (p  r)
(A  B)  (C  B)
(p  q)  (r  q)
Ćwiczenie 6.C „właściwy schemat logiczny – 2”
Jeżeli Anna zda logikę,
to albo się zaręczy, albo znajdzie sobie innego chłopaka.
Jeżeli Anna zda logikę,
to nie będzie potrzebowała ani pomocy, ani
miłości Antka.
Jeżeli Anna nie zda
logiki, to będzie pisać
poprawkę, a jeśli zda,
to nie będzie pisać poprawki.
Jeżeli Anna nie zda
logiki, to jej chłopak
Antek zrobi wszystko,
co będzie mógł, żeby
jej w logice pomóc;
a Anna nie zda logiki.
p  (~q  ~r)
(~p  q)  ~p
p  (q  r)
(~p  q)  (p  ~q)
Jeżeli Staszek kupi herbatę, to nie starczy mu
pieniędzy ani na ciastko, ani na orzeszki.
Jeżeli Staszek nie kupi
herbaty, to będzie musiał pić kawę, a jeśli
kupi herbatę, to nie będzie musiał pić kawy.
Jeżeli Staszek kupi herbatę, to wypije ją albo
rano, albo o piątej po
południu.
Jeżeli Staszek nie kupi
herbaty, to będzie musiał pić kawę; a Staszek
nie kupił herbaty.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 6
Jeżeli 10 jest podzielne
przez 5, to 10 jest
podzielne przez 1 i 2.
340
Jeżeli 20 jest podzielne
przez 5, to jeśli 40 jest
wynikiem mnożenia 20
przez 2, to 40 jest podzielne przez 5.
Albo 10 jest podzielne
przez 2, albo 10 nie jest
podzielne przez 2, lecz
przez 1.
10 jest podzielne przez
5 wtedy i tylko wtedy,
gdy 10 jest wynikiem
mnożenia 5 przez pewną liczbę.
`
p  (~p  q)
pq
p  (q  r)
p  (q  r)
Jeżeli posiejesz nasionko, to o ile będziesz
o nie dbać, to będziesz
się cieszyć piękną roślinką.
Jeżeli mocno grzmi, to
zwykle pada deszcz
i grad.
Kawa jest dobra wtedy,
ale tylko wtedy, gdy
jest zabielona mlekiem.
Kacper albo dostanie
psa, albo nie dostanie
psa, lecz kota.
Ćwiczenie 6.D „właściwe schematy logiczne par zdań – 1”
(a)
(b)
(c)
(d)
AB
B  ~A
AB
A  ~B
(A  B)  C
~C  ~A
(A  B)  A
~A  ~B
pq
q  ~p
pq
p  ~q
(p  q)  r
~r  ~p
(p  q)  p
~p  ~q
(e)
(f)
(g)
A  (B  A)
B  (C  A)
~(A  ~(B  ~C))
~B
(A  B)  (~A  ~B)
C  (~B  ~A)
p  (q  p)
q  (r  p)
~(p  ~(q  ~r))
~q
(p  q)  (~p  ~q)
r  (~q  ~p)
Ćwiczenie 6.E „równoważność logiczna – 1”
(a)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
~(p 
~(1 
~(1 
~(0 
~(0 
(b)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
11
10
01
00
q)
1)
0)
1)
0)
1
1
1
0
~(1)
~(1)
~(1)
~(0)
0
0
0
1
~p  ~q
~1  ~1
~1  ~0
~0  ~1
~0  ~0
~(~p  ~q)
~(~1  ~1)
~(~1  ~0)
~(~0  ~1)
~(~0  ~0)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
00
01
10
11
~(0  0)
~(0  1)
~(1  0)
~(1  1)
~(0)
~(0)
~(0)
~(1)
Schematy te
 są logicznie równoważne
 nie są logicznie równoważne
0
0
0
1
1
1
1
0
Schematy te
 są logicznie równoważne
 nie są logicznie równoważne
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 6
(c)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
11
10
01
00
(d)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
~(p  q)
~(1  1)
~(1  0)
~(0  1)
~(0  0)
(e)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
~(p  q)
~(1  1)
~(1  0)
~(0  1)
~(0  0)
1
1
1
0
~p  ~q
~1  ~1
~1  ~0
~0  ~1
~0  ~0
~(1)
~(0)
~(1)
~(1)
~(1)
~(0)
~(1)
~(1)
341
00
01
10
11
Schematy te
 są logicznie równoważne
 nie są logicznie równoważne
0
0
0
1
0
1
0
0
~p  ~q
~1  ~1
~1  ~0
~0  ~1
~0  ~0
0
1
0
0
p  ~q
1  ~1
1  ~0
0  ~1
0  ~0
00
01
10
11
10
11
00
01
Schematy te
 są logicznie równoważne
 nie są logicznie równoważne
1
0
0
1
Schematy te
 są logicznie równoważne
 nie są logicznie równoważne
0
1
1
1
Ćwiczenie 6.F „równoważność logiczna – 2”
Logicznie równoważne są pary schematów (b), (c), (d), (f) i (h). Pary schematów (a), (e) oraz (g) nie są
logicznie równoważne.
Ćwiczenie 6.G „równoważność logiczna – 3”
(a)
(1) Pada tylko wtedy, gdy niebo jest zachmurzone.
(2) Pada wtedy, gdy niebo jest zachmurzone.
(3) Pada wtedy i tylko wtedy, gdy niebo jest zachmurzone.
Symbolizacje
[a1] P  N
[a2] N  P
[a3] P  N
Konstruujemy trzy matryce logiczne
P: Pada.
N: Niebo jest zachmurzone.
Schematy
pq
qp
pq
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
11
10
01
00
1
0
1
1
qp
11
01
10
00
1
1
0
1
pq
11
10
01
00
1
0
0
1
i porównujemy je ze sobą. Okazuje się, że żaden z tych schematów logicznych nie jest równoważny
z którymkolwiek z pozostałych. Matryce logiczne dla schematów p  q oraz q  p różnią się w rzędzie drugim i trzecim; matryce logiczne dla schematów p  q oraz p  q różnią się w rzędzie trzecim;
matryce logiczne dla schematów q  p oraz p  q różnią się w rzędzie drugim. Wnioskujemy zatem,
że w danej trójce zdań nie ma pary zdań logicznie równoważnych.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 6
342
(b)
Schematy (1) ~p  q oraz (2) p  q są logicznie równoważne.
(c)
Schematy (1) ~p  q oraz (2) ~p  q nie są logicznie równoważne.
(d)
Schematy (1) ~p  ~q oraz (2) q  ~p nie są logicznie równoważne.
(e)
Schematy (1) ~(~p  ~q) i (2) q  p nie są logicznie równoważne.
Schematy (1) ~(~p  ~q) i (3) q  p są logicznie równoważne.
Schematy (2) q  p i (3) q  p nie są logicznie równoważne.
(f)
Schematy (1) p  q i (2) ~p  ~q nie są logicznie równoważne.
Schematy (1) p  q i (3) ~q  ~p są logicznie równoważne.
Schematy (2) ~p  ~q i (3) ~q  ~p nie są logicznie równoważne.
(g)
Schematy (1) p  (q  ~r) i (2) (~q  r)  ~p nie są logicznie równoważne.
Schematy (1) p  (q  ~r) i (3) ~(q  ~r)  ~p są logicznie równoważne.
Schematy (2) (~q  r)  ~p i (3) ~(q  ~r)  ~p nie są logicznie równoważne.
(h)
Schematy (1) ~p  (q  r) i (2) (~q  ~r)  p nie są logicznie równoważne.
Schematy (1) ~p  (q  r) i (3) (~q  ~r)  p są logicznie równoważne.
Schematy (2) (~q  ~r)  p i (3) (~q  ~r)  p nie są logicznie równoważne.
(i)
(1) ~p  ~q
(2) p  ~q
(3) ~p  ~q
(4) p  q
Tylko schematy (1) ~p  ~q i (2) p  ~q są logicznie równoważne.
(j)
(1) ~(p  q)
(2) (p  ~q)  (q  ~p)
(3) ~(p  q)  ~(q  p)
Wszystkie schematy są logicznie równoważne.
(k)
(1) p  q
(2) r  s
Schematy te nie są logicznie równoważne.
Uwaga. W zadaniu tym można popełnić błąd polegający na niepamiętaniu, że szukamy właściwego schematu logicznego pary zdań. Ktoś, kto ten błąd popełnił, może myśleć, że
właściwym schematem logicznym zdania (1) jest schemat p  q, który jest też właściwym
schematem logicznym zdania (2). W ten sposób dochodzi się do błędnego wniosku, że zdania
(1) i (2) są równoważne.
Ćwiczenie 6.H „równoważność logiczna – 4”
Logicznie równoważne są pary schematów (a), (f), (g), (h) oraz (i). Pary schematów (b), (c), (d) i (e)
nie są logicznie równoważne.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 7
343
ROZDZIAŁ 7. TAUTOLOGIE, KONTRTAUTOLOGIE I SCHEMATY LOGICZNIE NIEZDETERMINOWANE
Przykład 1 i Ćwiczenie 7.A
p
1
1
0
0
0
1
0
0
Lwów jest stolicą Polski
0
 prawdziwe
 fałszywe
Żyrafy są gadami
0
ale nieprawda, że
węże są gadami
1
 prawdziwe
 fałszywe
Warszawa jest stolicą Polski
1
ale nieprawda, że
Berlin jest stolicą Niemiec
1
 prawdziwe
 fałszywe
Rekiny są ssakami
0
ale nieprawda, że
węże są ssakami
0
 prawdziwe
 fałszywe
p  ~p
1  ~1
0  ~0
10
01
1
1
p  ~p
1  ~1
0  ~0
10
01
0
0
10
01
0
0
Przykład 5
p
1
0
10
11
00
01
ale nieprawda, że
Przykład 3
p
1
0
p  ~q
1  ~1
1  ~0
0  ~1
0  ~0
Praga jest stolicą Czech
1
Przykład 2
p
1
0
q
1
0
1
0
p  ~p
1  ~1
0  ~0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 7
344
Przykład 8
p
1
1
0
0
~p  ~q
~1  ~1
~1 ~0
~0  ~1
~0  ~0
q
1
0
1
0
00
01
10
11
1
1
0
1
Schemat zdaniowy ~q  ~p jest logicznie niezdeterminowany, ponieważ w jego matrycy logicznej jest
przynajmniej jeden rząd z wartością 0 i przynajmniej jeden rząd z wartością 1.
Zdanie ‘Jeżeli Kraków nie jest stolicą Polski, to Kraków nie jest siedzibą rządu RP’ jest
zdaniem przygodnie prawdziwym, ponieważ jest to zdanie de facto prawdziwe, którego schemat
zdaniowy jest logicznie niezdeterminowany.
Przykład 9
(a) Symbolizacja i obliczenie wartości logicznej:
S  ~S
0  ~0
01
0
S: Prezydent Kwaśniewski jest szczupły.
W ten sposób wykazaliśmy, że badane zdanie jest fałszywe.
(b) Właściwym schematem zdaniowym zdania ‘Prezydent Kwaśniewski jest szczupły dokładnie wtedy,
gdy prezydent Kwaśniewski nie jest szczupły’ jest:
p  ~p
Musimy zatem obliczyć wartości logiczne w następującej matrycy logicznej.
p
1
0
p  ~p
1  ~1
0  ~0
10
01
0
0
Schemat zdaniowy p  ~p jest kontrtautologią, ponieważ we wszystkich rzędach jego matrycy logicznej otrzymujemy 0. Zdanie ‘Prezydent Kwaśniewski jest szczupły dokładnie wtedy, gdy prezydent
Kwaśniewski nie jest szczupły’ jest zdaniem logicznie fałszywym, ponieważ jego właściwy schemat
zdaniowy jest kontrtautologią.
Ćwiczenie 7.B
Podstawiając zdanie „Donald Tusk jest szczęśliwy” w schemacie p  ~p, otrzymujemy zdanie:
Donald Tusk jest szcześliwy, ale nie jest on szczęśliwy.
Jest to zdanie fałszywe.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 7
345
Ćwiczenie 7.C „tautologie – 1”
(a)
p
1
0
~(p  ~p)
~(1  ~1)
~(0  ~0)
~(0  1 )
~(1)
~(1)
Schemat ten jest
tautologią
 kontrtautologią
 logicznie niezdeterminowany
0
0
(b)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p  (p 
1  (1 
1  (1 
0  (0 
0  (0 
q
1
0
1
0
(p  q)  p
(1  1)  1
(1  0)  1
(0  1)  0
(0  0)  0
q
1
0
1
0
((p  q)  (q  p))  (p  q)
((1  1)  (1  1))  (1  1)
((1  0)  (0  1))  (1  0)
((0  1)  (1  0))  (0  1)
((0  0)  (0  0))  (0  0)
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
q)
1)
0)
1)
0)
1  (1)
1  (0)
Schemat ten jest
 tautologią
 kontrtautologią
 logicznie niezdeterminowany
1
0
1
1
(c)
p
1
1
0
0
(0)  0
(0)  0
Schemat ten jest
 tautologią
 kontrtautologią
 logicznie niezdeterminowany
1
1
1
1
(d)
p
1
1
0
0
(1  1)  0
1
1
1
10
1
1
1
0
Schemat ten jest
 tautologią
 kontrtautologią
 logicznie niezdeterminowany
(e)
p
1
1
1
1
0
0
0
0
(p  q)  [((p  r)  q)  (p  (~r  q))]
(1  1)  [((1  1)  1)  (1  (~1  1))]
(1  1)  [((1  0)  1)  (1  (~0  1))]
(1  0)  [((1  1)  0)  (1  (~1  0))]
(1  0)  [((1  0)  0)  (1  (~0  0))]
(0  1)  [((0  1)  1)  (0  (~1  1))]
(0  1)  [((0  0)  1)  (0  (~0  1))]
(0  0)  [((0  1)  0)  (0  (~1  0))]
(0  0)  [((0  0)  0)  (0  (~0  0))]
Schemat ten jest:  tautologią
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
1  [1  ]
1  [0  (1  (1  1))]
0  [0  0]
0  [0  0]
0  [0  0]
0  [0  0]
0  [0  0]
0  [0  0]
 kontrtautologią
1  [1]
00
00
00
00
00
00
1
1
1
1
1
1
1
1
 logicznie niezdeterminowany
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 7
346
Ćwiczenie 7.D „tautologie – 2”
tautologia
kontrtautologia
schemat logicznie
niezdeterminowany
(a)
pp

(b)
pp

(c)
pp
(d)
~p  p
(e)
~(p  ~p)
(f)
~p

(g)
p

(h)
p  (p  q)
(i)
(p  q)  p
(j)
((p  q)  (p  ~q))  p
(k)
(p  q)  (q  p)
(l)
(p  q)  (~q  ~p)
(m)
(p  q)  (~p  ~q)
(n)
(p  q)  (p  ~q)
(o)
(p  q)  (q  p)

(p)
~[(p  q)  (q  p)]

(q)
[(p  q)  r]  [p  (q  r)]
(r)
[(p  q)  r]  [p  (q  r)]











(a)
Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski, to Warszawa jest stolicą Polski.

(b
)
Jeżeli Kraków jest stolicą Polski, to Kraków jest stolicą Polski.

(c)
Albo Poznań nie jest stolicą Polski, albo Poznań nie jest stolicą Polski.
(d
)
Albo Warszawa nie jest stolicą Polski, albo Warszawa nie jest stolicą
Polski.
(e)
Jeżeli liczba 10 jest podzielna przez 5 i 2, to 10 jest podzielna przez 5.
(f)
Jeżeli liczba 10 jest podzielna przez 5, to 10 jest podzielna przez 5 i 2.
(g
)
(h
)
Jeżeli albo Warszawa, albo Kraków jest stolicą Polski, to Warszawa
jest stolicą Polski.
Jeżeli albo Kraków, albo Warszawa jest stolicą Polski, to Kraków jest
stolicą Polski.
Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski, to albo Warszawa, albo Kraków
jest stolicą Polski.
Warszawa jest stolicą Polski wtedy i tylko wtedy, gdy ani Kraków, ani
Warszawa nie jest stolicą Polski.
(i)
(j)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
logicznie
fałszywe
przygodnie
fałszywe
przygodnie
prawdziwe
logicznie
prawdziwe
Ćwiczenie 7.E „logiczna/przygodna prawda/fałsz”









Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 7
347
Ćwiczenie 7.F „tautologie – 3”
tautologia
logicznie
niezdeterminowany
kontrtautologia
nie można stwierdzić

(a)
~
(b)
~
(c)
~
(d)
  
(e)
  
 (nie tautologia)
(f)
  

(g)
  
 (nie kontrtautologia)
(h)
  
(i)
  
(j)
  
(k)
  
(l)
  

(m)
  
 (nie kontrtautologia)





 (nie kontrtautologia)

nie można
stwierdzić
logicznie
niezdeterminowane
kontrtautologią
 jest:
tautologią
Ćwiczenie 7.G „tautologie – 4”

(a)
~ jest tautologią
(b)
~ jest kontrtautologią
(c)
~ jest logicznie niezdeterminowany
(d)
   jest tautologią
(e)
   jest kontrtautologią
(f)
   jest logicznie niezdeterminowany
(g)
   jest kontrtautologią

(h)
   jest kontrtautologią
 (nie tautologia)
(i)
   jest logicznie niezdeterminowany
(j)
   jest tautologią
(k)
   jest kontrtautologią
(l)
   jest logicznie niezdeterminowany
(m)
   jest tautologią

(n)
   jest tautologią
 (nie kontrtautologia)
(o)
   jest logicznie niezdeterminowany
K. Paprzycka, Logika nie gryzie





(nie kontrtautologia)



 (nie tautologia)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 8
348
ROZDZIAŁ 8. SKRÓCONA METODA ZERO-JEDYNKOWA
Ćwiczenie 8.A „wartości wstecz – 1”
(a)
p
~r 0
11
 ( p1
r
q
 0 )

0
(b)
p
~r 0
 ( p1

11
0
0
~0  (1  0)
1  (0)
0
Spr.:
(c)
(d)
p
~( p0 
p
0
r )  (~ p0 
r
0
~
1
Spr.:
p
0 )
0
~0  (1  0)
1  0
0
Spr.:
q

 (
1p

0
q
0q

1p
)
0q )
0
~(0  0)  (~0  0)
~(0)  (1  0)
1  (0)
0
p
1
 [~ q
1p
 [~ 0q
1p

q
p
 ( p1 

1q
1
q
]
0
0
1  [~1  (1  1)]
1  [0  (1)]
1  0
0
Spr.:
Ćwiczenie 8.B „wartości wstecz – 2”
(a)
1
p
0

(c)
0
~
1
p
(e)
0
~
1
p
0

0
~
1
q
(g)
0
~
(
1
p
1

1
~
0
q
0
p
0

(
1
~
0
q
0

0

0
q
)
0

(i)
(k)
(
(m)
0
~
(n)
(
1
p
0
q
1
p
[(
1
p
1

1

1
r
1
r
)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(b)
0
p
0

(d)
1
p
0

0
~
1
q
(f)
1
~
0
p
0

0
~
(h)
0
~
(
1
~
0
~
((
)
0
r
1
p
(
)
0

(j)
)
1

(
0

(
1
q
1
r
0

0
~
1

0
~
1
r
1
q
1
p
)
)]
)
0
q
0
~
1
p
1
~
1
p
1

0
q
1

1
q
1
~
)
0
q
1

)
1
p
)
q
)]
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 8
(o)
(p)
349
0
~
[
1
~
0
~
(
1
p
1

1
r
)
0

(
1
r
0

(
1
p
0

0
r
)
0

{
1
p
0

[
(q)
1
p
(r)
[(
0
p
(
1

1
r
0

1
r
1

)
1

)
1
q
1
~
0

]
0
~
0
~
1
r
1
p
0
~
)
1
q
0

1
r
[
]
0

(
1
q
1

1
p
)]}
(
0
~
1
p
0

1
q
)]
Ćwiczenie 8.C „wartości wstecz – 3”
(a)
1
p
1

1
q
(b)
1
~
0
p
(c)
1
~
0
~
1
q
(d)
1
p
1

1
~
0
q
(e)
1
~
0
p
1

1
~
0
q
(f)
1
~
(
1
p
0

(
1
p
1

1
r
)
1
~
[(
1
p
0

1
~
[(
0
p
0

1
~
0
r
)
0

(
0
r
0

0
q
)]
1
~
(
1
p
0

0
r
)
1

(
1
q
1

0
~
1
p
)
1
~
[
0
~
(
0
p
1

1
~
(
0
p
(b)
1
~
0
0
p
1
0

0
0
~
1
1
q
0
(d)
~
1
1
0
p
0
0
1

1
1
1
~
1
0
1
q
0
1
0
(f)
1
~
1
0
q
0
1

1
(
1
p
0
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
0

1

0
r
0
r
0
q
(
0

)
0
r
1
p
0

0

)
(
0
~
0
r
(
1
r
1

)
1

1

)
)]
1
~
1
~
1
q
)
1
q
0
~
0
~
0
p
0
p
]
)
Ćwiczenie 8.D „wartości wstecz – 4”
(a)
1
p
0
1

1
1
q
0
(c)
~
1
0
0
p
0
1
1

0
0
0
~
0
1
0
q
1
0
1
(
1
p
0
0

0
0
q
0
)
(e)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
0

0
0
q
0
1

1
1
~
1
0
q
0
)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 8
(
0
p
1
0
~
0
[(
1
~
0
(
0
p
0
1
p
0
1

1
[(
1
p
0
1

1
(g)
(i)
(j)
(k)
1

1
1
p
1
1
q
1
)
1

1
0

1
0
q
1
0
q
1
350
1

1
)
)
1
~
0
1
q
1
(h)
1

1
0

0
(
1
p
1
1

1
1
r
1
)]
(
1
~
1
0
p
0
0

1
0
q
1
)
1

0
1
p
0
]
0
q
1
1
~
1
[(
1
p
0
0

0
0
r
1
)
0

0
0
q
0
]
)
Ćwiczenie 8.E
(a)
(b)
1
~
0
p
0

0
~
1
q
~
1
0
0
p
0
1
1

1
1
1
~
1
1
0
q
0
0
1
(c)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
~p  ~q
~1  ~1
~1  ~0
~0  ~1
~0  ~0
00
01
10
11
1
1
0
1
Ćwiczenie 8.F „tautologie – 1”
Tautologiami są schematy (c), (e), (f), (g), (i), (m), (n) i (o). Nie są tautologiami następujące schematy
(podane zostały kontrprzykłady):
(a)
1 0 0 0 0 0 01
[(p  r)  q]  ~s
(b)
10 1 1 1 1 0 0
[(~p  r)  r]  p
(d)
0 1 1 1 1 0 0
[(p  r)  r]  p
(h)
0 1 1 0
10 0 01
(p  r)  (~p  ~r)
(j)
10 0 0
~p  p
(k)
0 1 1 1
~(p  p)
(l)
0 1 1 1
~(p  p)
Ćwiczenie 8.G „tautologie – 2”
Tautologiami są schematy (a), (b) i (c). Nie są tautologiami następujące schematy (podane zostały
wszystkie kontrprzykłady):
(d)
1 1 0 0 0 0 1 1 10
~(p  r)  ~(p  ~r)
0 0 1 1 0 1 0 0 01
(e)
0 1 1 1 0 1 01
0 0
[(p  r)  (p  ~r)]  p
0 1 0 1 0 1 10
0 0
(f)
~(p  r)  (~p  ~r)
0 1 1 0 0 01 1 10
(g)
1 1 0 0 0 01 0 10
~(p  r)  (~p  ~r)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 8
351
Ćwiczenie 8.I „kontrtautologie”
Kontrtautologiami są schematy (a), (c), (e) i (g). Nie są kontrtautologiami następujące schematy
(podane zostały wszystkie kontrprzykłady):
(b)
0 1 0 1 1 0 0 0
(p  q)  ~(p  q)
(d)
0 1 1 1 0 1 01
(p  q)  (p  ~q)
0 1 0 1 0 1 10
(f)
(p  ~p)  ~(p  ~p)
1 0 01 1 1 1 0 01
(h)
(p  ~q)  ~[p  (~q  p)]
0 0 01 1 0 0 1
01 0 0
Ćwiczenie 8.J „schematy logicznie niezdeterminowane”
Nie są logicznie niezdeterminowane schematy (a), (c), (e) oraz (f). Schematy (a), (c) i (e) są kontrtautologiami, a schemat (f) jest tautologią. Logicznie niezdeterminowane są następujące schematy:
(b)
0
(p
1
1
1

0
0
0
r)
0
0
1

0
0
1 0
~(p
0 1
0 1
0

1
1
0
q)
1
0
(d)
1 1 1 1 1 1 0 01
(p  q)  ~(p  ~q)
1 0 0 0 0 1 1 10
(g)
01 1 0 1 1 1 10
(~p  q)  (p  ~q)
10 0 0 0 0 0 10
(h)
0 1 10 0 0 0 1
10 1 0
(p  ~q)  ~[p  (~q  p)]
0 0 01 1 0 0 1 01 0 0
Ćwiczenie 8.K „logiczna równoważność”
Logicznie równoważne są pary schematów (b), (c), (d), (g), (j) i (k). Nie są logicznie równoważne
następujące pary schematów (podane zostały wszystkie kontrprzykłady):
(a)
~(p  r)
0 1 1 0
~p  ~r
01 1 10
(e)
(p  q)  p
0 1 1 0 0
~p  ~(p  q)
10 1 1 0 0 1
(f)
0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0
(p  q)  (p  r)
0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0
(p  q)  (p  r)
(h)
1
p
1 0 1 0 0
p  (p  q)
(i)
p
0
p  (p  q)
0 1 0 1 1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
352
ROZDZIAŁ 9. INNE ZASTOSOWANIA METODY ZERO-JEDYNKOWEJ
Przykład 1
Schemat wnioskowania
p  ~q
~q
p
jest logicznie nieprawidłowy,
gdyż istnieje taki rząd matrycy
logicznej dla tego schematu, w
którym instancje wszystkich
przesłanek są prawdziwe, a
instancje wniosku – fałszywe.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p
1
1
0
0
~q
~1
~0
~1
~0
10
11
0
1
1
1
~q
~1
~0
~1
~0
0
1
0
1
p
1
1
0
0
Czy jest to
kontrprzykład?
 tak  nie
 tak  nie
 tak  nie
 tak
 nie
Ćwiczenie 9.B „kontrprzykłady – 1”
Poniższe kontrprzykłady oparte są na następujących faktach. W 2007 roku Adam Małysz wygrał
Puchar Świata, zdobywając łącznie 1453 punktów. Małysz nie zdobył Pucharu Świata w 2008 roku.
(a)
Jeżeli Małysz zdobył 1800 punktów w Pucharze Świata w 2007 roku, to zajął I miejsce.
Małysz zajął I miejsce w Pucharze Świata w 2007 roku.
1
1
Zatem Małysz zdobył 1800 punktów w Pucharze Świata w 2007 roku.
0
Jeżeli Małysz zdobył 1800 punktów w Pucharze Świata w 2007 roku, to zajął I miejsce.
Małysz nie zdobył 1800 punktów w Pucharze Świata w 2007 roku.
1
1
Zatem Małysz nie zajął I miejsca w Pucharze Świata w 2007 roku.
0
(b)
(c)
Jeżeli Małysz zdobędzie Puchar Świata w 2007 roku, to będzie rozchwytywany przez dziennikarzy.
Jeżeli Małysz zdobędzie Puchar Świata w 2008 roku, to będzie rozchwytywany przez dziennikarzy.
Zatem jeżeli Małysz zdobędzie Puchar Świata w 2007 roku, to zdobędzie go też w 2008 roku.
1
1
0
Ćwiczenie 9.A „kontrprzykłady – 2”
Tabela B
Przesłanka: p  ~q
(a)
Jeżeli John Lennon został zabity, to nie żyje.
(b)
Jeżeli Brad Pitt został zabity, to nie żyje.
 prawdziwe  fałszywe
 prawdziwe  fałszywe
(c)
Jeżeli Marilyn Monroe była blondynką, to nie
była łysa.
 prawdziwe  fałszywe
(d)
Jeżeli John Travolta jest blondynem, to nie
jest łysy.
 prawdziwe  fałszywe
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Przesłanka: ~q
John Lennon nie żyje.
 prawdziwe  fałszywe
Brad Pitt nie żyje.
 prawdziwe  fałszywe
Marilyn Monroe nie była łysa.
 prawdziwe  fałszywe
John Travolta nie jest łysy.
 prawdziwe  fałszywe
Wniosek: p
Czy jest to
kontrprzykład?
John Lennon został zabity.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Brad Pitt został zabity.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Marilyn Monroe była blondynką.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
John Travolta jest blondynem.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
(e)
353
Jeżeli Lassie jest psem, to nie jest owadem.
Lassie nie jest owadem.
 prawdziwe  fałszywe
(f)
 prawdziwe  fałszywe
Jeżeli Lassie jest psem, to nie jest ssakiem.
Lassie nie jest ssakiem.
 prawdziwe  fałszywe
(g)
 prawdziwe  fałszywe
Jeżeli Einstein dostał dst z logiki, to nie oblał
logiki.
Einstein nie oblał logiki.
 prawdziwe  fałszywe
(h)
 prawdziwe  fałszywe
Jeżeli 5 jest mniejsze od 3, to 5 nie jest
równe 3.
5 nie jest równe 3.
 prawdziwe  fałszywe
Lassie jest psem.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Lassie jest psem.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Einstein dostał dst z logiki.
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
5 jest mniejsze od 3.
 prawdziwe  fałszywe
 prawdziwe  fałszywe
 tak  nie
Podstawienia zmiennych p i q w przykładach (g)-(h) w Tabeli B.
(g)
p : Einstein dostał dst z logiki.
q : Einstein oblał logikę.
(h)
p : 5 jest mniejsze od 3.
q : 5 jest równe 3.
Ćwiczenie 9.C „logiczna nieprawidłowość”
(a)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1  1
1  0
0  1
0  0
(b)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p  ~q
1  ~1
1  ~0
0  ~1
0  ~0
(c)
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p
1
0
1
1
pq
1  1
1  0
0  1
0  0
p
1
1
1
0
pq
1 1
1  0
0  1
0  0
p
0
1
1
0
q
1
0
1
0
p
1
1
0
0
10
11
00
01
p  (q  r)
1  (1  1)
1  (1  0)
1  (0  1)
1  (0  0)
0  (1  1)
0  (1  0)
0  (0  1)
0  (0  0)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
1  (1)
1  (0)
1  (1)
1  (1)
0  (1)
0  (0)
0  (1)
0  (1)
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
1
0
0
0
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
p
1
0
1
1
1
1
1
1
~r
~1
~0
~1
~0
~1
~0
~1
~0
p
0
1
0
1
0
1
0
1
~p
~1
~1
~1
~1
~0
~0
~0
~0
0
0
0
0
1
1
1
1
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
(d)
p q
1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
pq
11
11
10
10
01
01
00
00
p
1
1
0
0
1
1
1
1
qr
11
10
01
00
11
10
01
00
354
p
1
0
1
1
1
0
1
1
qr
11
10
01
00
11
10
01
00
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
1
0
0
0
1
0
0
0
Ćwiczenie 9.D „logiczna prawidłowość «na sucho»”
(a)
1
2
3
4
Przesłanka 1
1
0
1
1
Przesłanka 2
1
0
1
0
Wniosek
1
1
0
1
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
Schemat reprezentowany przez tę matrycę logiczną jest:
 logicznie nieprawidłowy, ponieważ istnieje przynajmniej jeden rząd kontrprzykładów, viz. rząd: 3
(b)
1
2
3
4
Przesłanka 1
0
1
1
0
Przesłanka 2
1
0
0
1
Wniosek
0
1
0
1
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
Schemat reprezentowany przez tę matrycę logiczną jest:
 logicznie prawidłowy, ponieważ nie istnieje rząd kontrprzykładów
(c)
1
2
3
4
Przesłanka 1
0
1
0
1
Przesłanka 2
0
0
1
0
Przesłanka 3
0
0
1
0
Wniosek
0
1
0
1
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
Schemat reprezentowany przez tę matrycę logiczną jest:
 logicznie prawidłowy, ponieważ nie istnieje rząd kontrprzykładów
(d)
1
2
3
4
Przesłanka
0
0
1
1
Wniosek
0
1
0
0
Czy jest to kontrprzykład?
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
 tak
 nie
Schemat reprezentowany przez tę matrycę logiczną jest:
 logicznie nieprawidłowy, ponieważ istnieje przynajmniej jeden rząd kontrprzykładów, viz. rząd:3, 4
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
355
Ćwiczenie 9.E „logiczna prawidłowość – 1”
Logicznie prawidłowe są schematy (b), (d) oraz (f). Schematy (a), (c) i (e) są logicznie nieprawidłowe.
Ćwiczenie 9.F „logiczna prawidłowość – 2”
Logicznie prawidłowe są schematy (c), (d), (f), (h), (j), (k) i (l). Schematy (a), (b), (e), (g) oraz (i) są
logicznie nieprawidłowe.
Ćwiczenie 9.G „logiczna prawidłowość – 3”
(a)
1 1
1 1 0
p  (q  r)
10
~r
01
~p
logicznie nieprawidłowe
(b)
0
1 1
1 1 0
p  (q  r)
1
q
10 0 01
~r  ~p
logicznie prawidłowe
1 0 0
r  p
logicznie prawidłowe
(c)
0
10 1
1 1 01
~p  (q  ~r)
(d)
0 1 1
p  q
1
q
0 1 0
p  r
(e)
1 1
01 1 0
p  (~q  r)
1 0 0
q  r
1 1 1
p  s
logicznie nieprawidłowe
1 0
0 0 1
p  (r  s)
logicznie nieprawidłowe
(f)
1 1
0 1 1
p  (q  r)
10
~q
1 0 01
r  ~p
logicznie nieprawidłowe
(g)
0 0 0 1 1
(p  q)  r
0 0 0 1 0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
0 1 1 1 0 1 01
(p  s)  (q  ~s)
0 1 1 1 0 1 01
1 0 0
s  p
1 0 0
logicznie nieprawidłowe
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
356
Ćwiczenie 9.H „wzajemne wykluczanie/dopełnianie/sprzeczność/niezależność”
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) Ani LPR,
ani Samoobrona nie wyjdzie z koalicji.
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) Nie jest
prawdą, że zarówno LPR, jak i Samoobrona wyjdą z koalicji.
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) Jeżeli
LPR wyjdzie z koalicji, to LPR z koalicji
nie wyjdzie.
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) Jeżeli
LPR nie wyjdzie z koalicji, to Samoobrona wyjdzie z koalicji.
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) LPR nie
wyjdzie z koalicji, tylko jeśli Samoobrona nie wyjdzie z koalicji.
(1) LPR wyjdzie z koalicji. (2) LPR nie
wyjdzie z koalicji, jeśli Samoobrona nie
wyjdzie z koalicji.
(1) LPR lub Samoobrona wyjdzie z koalicji. (2) LPR i Samoobrona wyjdą z koalicji.
(1) Albo LPR, albo Samoobrona wyjdzie
z koalicji, ale nie jest prawdą, że z koalicji wyjdą obie partie. (2) LPR i Samoobrona wyjdą z koalicji.
(1) LPR lub Samoobrona wyjdzie z koalicji. (2) Jeżeli LPR wyjdzie z koalicji,
to Samoobrona wyjdzie z koalicji.
(1) LPR i Samoobrona wyjdą z koalicji.
(2) Jeżeli LPR wyjdzie z koalicji, to
Samoobrona nie wyjdzie z koalicji.
(1) LPR lub Samoobrona wyjdzie z koalicji. (2) LPR nie wyjdzie z koalicji, jeśli
Samoobrona nie wyjdzie z koalicji.
(1) Samoobrona wyjdzie z koalicji, a jeżeli Samoobrona nie wyjdzie z koalicji,
to LPR też nie wyjdzie z koalicji. (2) LPR
wyjdzie z koalicji, i jeżeli Samoobrona
wyjdzie z koalicji, to LPR też wyjdzie z
koalicji.
(1) Jeżeli LPR wyjdzie z koalicji, to albo
Samoobrona też wyjdzie z koalicji, albo
będą wczesne wybory. (2) LPR wyjdzie
z koalicji, ale ani Samoobrona nie wyjdzie
z koalicji, ani nie będzie wczesnych wyborów.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
p
~p  ~q




p
~p  ~q

p
~q  ~p

pq
pq


pq
pq
pq
p  ~q


pq
~q  ~p



p  (~p  ~q)
q  (p  q)
p  (q  r)
p  (~q  ~r)
Logicznie
niezależne

p
~p  q
(p  q)  ~(p  q)
pq
Z (2) wynika
logicznie (1)
Z (1) wynika
logicznie (2)
Wzajemnie
sprzeczne

p
~(p  q)
p
p  ~p
Wzajemnie
dopełniające
Wzajemnie
wykluczające
Matryce logiczne wszystkich schematów podane są niżej.




Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
(o)
(p)
(~p  ~q)  ~r
~(r  p)  ~(r  q)

~p  (q  r)
(~p  q)  (p  ~r)

~p  q
~p  r
Logicznie
niezależne

Z (2) wynika
logicznie (1)

Z (1) wynika
logicznie (2)
Wzajemnie
sprzeczne
(1) Jeżeli albo LPR nie wyjdzie z
koalicji, albo Samoobrona nie wyjdzie z
koalicji, to nie będzie wczesnych wyborów. (2) Nie jest prawdą ani to, że wczesne wybory odbędą się, tylko jeżeli LPR
wyjdzie z koalicji, ani to, że wczesne
wybory odbędą się, tylko jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji.
(1) LPR nie wyjdzie z koalicji, a wczesne
wybory odbędą się, tylko jeżeli Samoobrona wyjdzie z koalicji. (2) Wczesne
wybory odbędą się, jeżeli LPR nie wyjdzie z koalicji; jednakże albo LPR wyjdzie z koalicji, albo Samoobrona nie wyjdzie z koalicji.
(1) Jeżeli nie będzie wczesnych wyborów, to LPR wyjdzie z koalicji. (2) Jeżeli
nie będzie wczesnych wyborów, to Samoobrona wyjdzie z koalicji.
(n)
Wzajemnie
dopełniające
Wzajemnie
wykluczające
357

Matryca postaci „(a)–2” jest matrycą właściwego schematu logicznego zdania (2) podanego w przykładzie (a). Matryca postaci „(a-f)–1” jest matrycą właściwego schematu logicznego zdań (1) podanych
w przykładach (a)–(f).
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
q
1
0
1
0
q
1
0
1
0
(a-f)–1
p
1
1
0
0
(a)–2
(b)–2
(c)–2
(d)–2
(e)–2
(f)–2
~p  ~q
0
0
0
1
~(p  q)
0
1
1
1
p  ~p
0
0
1
1
~p  q
1
1
1
0
~p  ~q
1
1
0
1
~q  ~p
1
0
1
1
(g)–1
(g-h)–2
(h)–1
(i)–1
(i)–2
(j)–1
(j)–2
(k)–1
(k)–2
pq
1
1
1
0
pq
1
0
0
0
(p  q)  ~(p  q)
0
1
1
0
pq
1
1
1
0
pq
1
0
1
1
pq
1
0
0
0
p  ~q
0
1
1
1
pq
1
1
1
0
~q  ~p
1
0
1
1
(l)–1
(l)–2
p  (~p  ~q)
1
1
0
0
q  (p  q)
1
0
1
0
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 9
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
358
(m)–1
(m)–2
(n)–1
(n)–2
p  (q  r)
1
1
1
0
1
1
1
1
p  (~q  ~r)
0
0
0
1
0
0
0
0
(~p  ~q)  ~r
1
1
0
1
0
1
0
1
~(r  p)  ~(r  q)
0
0
0
0
0
0
1
0
(o)–1
(o)–2
(p)–1
(p)–2
~p  (q  r)
0
0
0
0
1
0
1
1
(~p  q)  (p  ~r)
1
1
1
1
0
1
0
0
~p  q
1
1
1
1
1
1
0
0
~p  r
1
1
1
1
1
0
1
0
ROZDZIAŁ 10. DOWODZENIE I
Przykład 2
(1) Tomek nie jest zainteresowany Beatą; Staś natomiast bardzo chciałby się z nią
umówić.
(2) Beata umówi się ze Stasiem albo wtedy, gdy zostanie przewodniczącym
samorządu, albo gdy się okaże, że Robert nie jest nią zainteresowany.
(3) Staś zostanie przewodniczącym samorządu, jeśli albo Cecylia nie umówi się
z nim, albo Paweł nie zostanie wybrany do samorządu.
(4) Cecylia nie umówi się ze Stasiem, chyba że Beata zaprosi ją na imprezę.
(5) Jeśli Tomek nie jest zainteresowany Beatą, to Beata nie zaprosi ani jego, ani
Cecylii na imprezę.
(6) Beata nie zaprosi na imprezę ani Tomka, ani Cecylii.
(7) Cecylia nie umówi się ze Stasiem.
(8) Staś zostanie przewodniczącym samorządu.
(9) Beata umówi się ze Stasiem.
Przykład 5
1.
2.
3.
4.
(A  B)  A
GH
G
G  [(A  B)  A]
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
(5), (1)
(4), (6)
(3), (7)
(2), (8)
Przykład 6
Zał.
Zał.
 Elim 2
 Wpr 3, 1


1.
2.
3.
4.
5.
6.
AB
AC
C
A
B
BC
Zał.
Zał.
 Elim 2
 Elim 2
Elim 1, 4
 Wpr 5, 3

Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
359
Przykład 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Przykład 8
AB
(B  C)  A
BC
A
B
C
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 2
Elim 1, 4
Elim 3, 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
AD
(B  C)  (A  B)
BC
AB
A
B
C
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 2
Elim 1
Elim 4, 5
Elim 3, 6
Ćwiczenie 10.A „ElimWpr – 1”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
(e)
1.
2.
3.
4.
(g)
1.
2.
3.
4.
Zał.
Zał.
C
D
CD
DC
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1




Zał.
Zał.
C
AB
C  (A  B)
(A  B)  C


(d)
1.
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1


(b)
1.
2.
3.
4.



Zał.
Zał.
A
B
AB
BA
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1




AB
Zał.
2.
3.
4.
CD
(A  B)  (C  D)
(C  D)  (A  B)
Zał.
1.
CA
~D
Zał.
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1




(f)
Zał.
Zał.
~A
~~B
~A  ~~B
~~B  ~A
2.
3.
4.
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1




(A  B)  C
D
Zał.
Zał.
[(A  B)  C]  D
D  [(A  B)  C]


Wpr 1, 2
Wpr 2, 1


(i)
(h)
1.
2.
3.
4.
Zał.
(C  A)  ~D
~D  (C  A)


Wpr 1, 2
Wpr 2, 1


(A  B)  C
AB
C
A
Zał.
Zał.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(A  B)  C
(C  D)  ~A
C
AB
CD
~A
Zał.
Zał.
1.
2.
3.
(C  A)  B
[(B  A)  (D  A)]  C
C
Zał.
Zał.



Elim 1
Elim 2


(j)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(k)
1.
2.
3.
~A  C
B  ~D
~A
C
B
~D
Zał.
Zał.
A  (B  C)
[(A  D)  (A  C)]  B
B
Zał.
Zał.


Elim 1
Elim 1
Elim 2
Elim 2






Elim 1
Elim 1
Elim 2
Elim 2




(l)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Elim 2
Elim 2
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
360
Ćwiczenie 10.B „ElimWpr – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
(e)
1.
2.
3.
4.
CA
B
A
AB
Zał.
Zał.
CD
B
Zał.
Zał.
Elim 1
Wpr 3, 2


B  (C  D)
[B  (C  D)]  B
Wpr 2, 1
Wpr 3, 2


(b)
1.
2.
3.
4.
(d)
1.
2.
3.
4.
Zał.
Zał.
C
B
BC
(B  C)  B
Wpr 2, 1
Wpr 3, 2


Zał.
Zał.
~C
~D
~C  ~D
(~C  ~D)  ~C



Wpr 1, 2
Wpr 3, 1


(f)
Zał.
Zał.
C
AB
A
AC

1.
2.
3.
4.
Elim 2
Wpr 3, 1



C  ~D
AB
~D
~D  (A  B)


Zał.
Zał.
Elim 1
Wpr 3, 2


Ćwiczenie 10.C „ElimWpr – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
AB
CD
A
D
AD
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
~C  ~D
AB
~D
~D  (A  B)
[~D  (A  B)]  ~D
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
Zał.
Zał.


Elim 1
Elim 2
Wpr 3, 4








Zał.
Zał.
Elim 1
Wpr 3, 2
Wpr 4, 3



(b)
1.
2.
3.
4.
5.
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
D

Zał.
Zał.

AB
A
AD
Elim 1
Elim 3
Wpr 4, 2





C  ~A
D
~A
C
~A  C
Zał.
Zał.
A
B
Zał.
Zał.

Elim 1
Elim 1
Wpr 3, 4




(f)
(A  B)  (C  D)
~G



AB
B
~G  B


K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 3
Wpr 2, 4



1.
2.
3.
4.
5.
AB
BA
(A  B)  (B  A)





Wpr 1, 2
Wpr 2, 1
Wpr 3, 4



Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
361
Ćwiczenie 10.D „dowody – 1”
Uwaga. Każdy z poniższych dowodów można przeprowadzić na więcej niż jeden sposób. Poszczególne możliwe sposoby przeprowadzenia poniższych dowodów będą się różniły nie tyle ogólną
strategią ich przeprowadzania – jak to może mieć miejsce w bardziej złożonych dowodach – ile
kolejnością poszczególnych kroków. Na przykład w dowodzie (a) swobodnie można zmienić kolejność
np. kroków 3 i 4 – choć oczywiście nie można zmienić wzajemnej kolejności kroków 4 i 5.
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A
C
Zał.
Zał.
AC
CA
C  (C  A)
(A  C)  [C  (C  A)]
Wpr 1, 2
Wpr 2, 1
Wpr 2, 4
Wpr 3, 5
AB
CD
A
B
BA
C
D
D  (B  A)
C  (D  (B  A))
[C  (D  (B  A))]  C
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 1
Wpr 4, 3
Elim 2
Elim 2
Wpr 7, 5
Wpr 6, 8
Wpr 9, 6
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A  B)  ~C
(C  D)  (AD)
AB
B
CD
C
BC
AD
(B  C)  (A D)
Zał
Zał.
CA
C
Zał
(C  A)  C
A
AC
C  (A  C)
[C  (A  C)]  [(C  A)  C]
Elim. 1
Elim. 3
Elim 2
Elim 5
Wpr 4, 6
Elim 2
Wpr 7, 8
Elim 1
Wpr 1, 2
Elim 1
Wpr 4, 2
Wpr 2, 5
Wpr 6, 3
Ćwiczenie 10.E „Elim – 1”
1.
2.
3.
AB
A
B
Zał.
Elim 1
Elim 1, 2
Aby zastosować regułę Elim, trzeba mieć dwa swobodnie stojące zdania: implikację oraz jej poprzednik. Dopiero wówczas wolno zastosować Elim. Błąd polegał tu na tym, że z implikacji wyprowadzano jej poprzednik. Nie jest to dozwolone przez Elim i słusznie, gdyż zdarzają się prawdziwe
implikacje o fałszywych poprzednikach. Przykładem takiej implikacji jest np. zdanie ‘Jeżeli wygram 2
miliony złotych, to będę bogaty’. Zdanie to jest prawdziwe, nie wynika z niego jednak, że mówiący je
wygrał 2 miliony złotych.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
362
Ćwiczenie 10.F „Elim – 2”
Porada babuni
W ćwiczeniu tym w bardziej skomplikowanych przykładach
możliwe są alternatywne odpowiedzi, które zostały zaznaczone
gwiazdką ‘*’ i podane pod danym zadaniem. Nie przejmujcie
się zupełnie, jeżeli nie wymieniliście wszystkich możliwych
odpowiedzi. Z pewnością będziecie w stanie je wymienić po
przerobieniu całości Samouczka.
(a)
1.
2.
3.
CD
C
D
Zał.
Zał.
(c)
1.
2.
3.
B  ~D
B
~D
Zał.
Zał.
(e)
1.
2.
3.
A  (D  B)
A
Zał.
Zał.
DB
Elim 1, 2
(g)
1.
2.
3.
CD
C
D
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
(h)
1.
2.
3.
(i)
1.
2.
3.
(A  B)  (C  D)
A  B*
CD
Zał
Zał.
Elim 1, 2
(j)
1.
2.
3.
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(l)
1.
2.
3.
4.
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(n)
1.
2.
3.
4.
*
Zał.
Zał.
(d)
1.
2.
3.
(C  A)  B
CA
B
Zał.
Zał.
(f)
1.
2.
3.
M  ~~N
M
~~N
Zał.
Zał.
~C
Zał
Zał.
~C  (A  B)
AB
Elim 1, 2
Elim 1, 2
Elim 1, 2
Elim 1, 2
AB
(A  B)  (A  B)
AB
Zał
Zał.
Elim 1, 2
~A  ~C
~A  D
~A*
~C
~D
(~D  A)  C
~D  A
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
AB
AC
A
B
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Lub [~A  ~C]  ~C
(m)
1.
2.
3.
4.
*
Elim 1, 2
~A  D
~A
D
Lub [(A  B)  (C  D)]  (C  D)
(k)
1.
2.
3.
4.
*
Elim 1, 2
(b)
1.
2.
3.
A  (A  B)*
A
[A  (A  B)]  B
B
Lub [[A  (A  B)]  B]  B
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
(o)
1.
2.
3.
4.
*
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(p)
1.
2.
3.
4.
~(D  A)
(~D  A)  C
~(D  A)  ~C
~C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(r)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
~(B  C)
AB
C
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Zał
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
(t)
1.
2.
3.
4.
~A  ~C
A  ~D*
(A  ~D)  (~D  ~B)
~D  ~B
Zał
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Lub (~D  ~C)  ~C
(q)
1.
2.
3.
4.
*
~D  ~C
AC
~D*
~C
363
AB
BC
A*
B
Lub (A  B)  B
(s)
1.
2.
3.
4.
~A  ~C
A  (D  (A  C))
A
D  (A  C)
*
Lub [(A  ~D)  (~D  ~B)]  (~D  ~B)
Ćwiczenie 10.G „zdania swobodnie stojące”
Skreślone zostały kroki nieprawidłowe.
(a)
1.
2.
3.
(C  A)  D
CA
D
Zał.
Zał.
(c)
1.
2.
3.
(e)
1.
2.
3.
(b)
1.
2.
3.
C  (A  D)
A
D
Zał.
Zał.
CD
CA
D
Zał.
Zał.
(d)
1.
2.
3.
AD
AB
B
Zał.
Zał.
~C
Zał.
Zał.
(f)
1.
2.
3.
(B  C)  D
B
C
Zał.
Zał.
(h)
1.
2.
3.
4.
AD
AB
B
BD
Zał.
Zał.
(j)
1.
2.
3.
4.
AB
CA
A
B
Zał.
Zał.
(l)
1.
2.
(A  C)  C
C
Zał.
~C  D
D
Elim 1, 2
Elim 1, 2
(g)
1.
2.
3.
4.
BC
A  (B  C)
A
C
Zał.
Zał.
(i)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
CD
A
B
Zał.
Zał.
(k)
1.
2.
AD
A
Zał.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Elim 2

Elim 2
Elim 1, 3
Elim 1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
364
(m)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
CD
A
BC
Zał.
Zał.
(o)
1.
2.
3.
4.
~(A  B)
~A  (D  C)
~A
DC
Zał.
Zał.
(A  B)  [D  (A  C)]
D
Zał.
Zał.
(q)
1.
2.
3.
4.
AC
A
(n)
1.
2.
3.
4.
~C  B
~C  D
~C
B
Zał.
Zał.
(p)
1.
2.
3.
4.
~~C  ~~A
C  (D  B)
~~C
DB
Zał.
Zał.
(r)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  [D  (A  C)]
(A  B)  D
AC
C
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 1
Elim 1
Ćwiczenie 10.H „Elim – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
(B  A)  C
B
BA
A
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 3
(b)
1.
2.
3.
4.
(C  B)  A
C
CB
B
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 3
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
BC
AB
A
B
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
B  ~C
~A  B
~A
B
~C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
~A  ~B
~B  ~C
~A
~B
~C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Elim 2, 4
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
A  (B  D)
(B  D)  C
A
BD
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Elim 2, 4
(g)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
A
B
AB
C
Zał
Zał.
Zał.
Wpr. 2, 3
Elim 1, 4
(h)
1.
2.
3.
4.
5.
(D  A)  ~C
(~D  A)  (D  A)
~D  A
DA
~C
Zał
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
(i)
1.
2.
3.
4.
(C  A)  D
B  (C  A)
CA
D
Zał.
Zał.
(j)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
(A  B)  D
AB
C
Zał
Zał.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Elim 2
Elim 1, 3
Elim. 2
Elim 1, 3
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
(k)
1.
2.
3.
4.
5.
A  [(B  C)  D]
A
BC
(B  C)  D
D
365
Zał
Zał.
Zał.
Elim. 1, 2
Elim. 3, 4
(l)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  (A  C)
AB
A
AC
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Elim 3, 4
Ćwiczenie 10.I „Elim – 4”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
CA
AB
A
B
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2
Elim 3, 4
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
AB
C  (A  D)
AD
A
B
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 3
Elim 1, 4
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
CD
AB
B
C
D
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 2, 5
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
AB
A
B
C
BC
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
Wpr 4, 5
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
CA
(A  C)  C
AB
C
A
B
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 1, 4
Elim 3, 5
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(~A  ~B)  (~B  C)
~B
~A
~A  ~B
~B  C
C
Zał.
Zał.
Zał.
Wpr 3, 2
Elim 1, 4
Elim 2, 5
A  [A  (A  C)]
A
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Elim 2, 3
Elim 2, 4
(A  B)  (C  D)
(A  B)  G
AB
CD
D
Zał
Zał.
A  (A C)
AC
C
(h)
1.
2.
3.
4.
5.
(K  L)  (K  M)
KL
K
KM
M
KM
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Elim 3, 4
Wpr 3, 5
(j)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
K  [(L  M)  N]
K
Zał
Zał.
Zał.
Elim. 1, 2
Elim. 3, 4
Wpr. 3, 5
(g)
1.
2.
3.
4.
5.
(i)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
LM
(L  M)  N
N
(L  M)  N
Elim 2
Elim. 1, 3
Elim. 4
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 10
366
Ćwiczenie 10.J „dowody – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A  (B  C)
AB
A
B
BC
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 3
Elim 4, 5
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(~C  B)  (B  A)
~C
~C  B
B
BA
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 3
Elim 4, 5
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B  (B  C)
A  (B  D)
A
BD
B
BC
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 4
Elim 1, 5
Elim 5, 6
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A  B)  (B  C)
A
AB
B
BC
C
AC
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 3
Elim 1
Elim 4, 5
Wpr 2, 6
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AB
CD
AC
A
B
C
D
BD
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
Elim 2, 6
Wpr 5, 7
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(A  C)  (B  C)
(B  C)  ~D
(A  B)  C
AB
C
A
AC
BC
~D
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 3
Elim 4
Wpr 6, 5
Elim 1, 7
Elim 2, 8
(g)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(B  A)  D
(A  C)  B
B
AC
A
BA
D
Zał.
Zał.
(h)
1.
2.
3.
4.
AB
BC
(A  B)  (B C)
[(A  B)  (B  C)]  (A  B)
B  [B  (B  A)]
B
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Elim 2, 3
Elim 2, 4
(B  C)  (A  D)
(B  C)  A
BC
AD
D
Zał
Zał.
B  (B A)
BA
A
(j)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
D  (A  B)
D
AB
C
CD
(C  D)  (A B)
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
Wpr 3, 5
Wpr 4, 6
(l)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A  (A  B)
(A  B)  C
A
AB
C
B
BC
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Elim 3, 4
Wpr 5, 6
(i)
1.
2.
3.
4.
5.
(k)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Elim 2
Elim 2
Elim 4
Wpr 3, 5
Elim 1, 6
Zał
Zał.
Wpr 1, 2
Wpr 3, 1
Elim 2
Elim. 1, 3
Elim. 4
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
(m)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(A  B)  C
A  (A  B)
(A  B)  A
AB
C
A
AB
B
AB
(A  B)  C
367
Zał.
Zał.
Zał.
 Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
Elim 2, 6
Elim 6, 7
Wpr 6, 8
 Wpr 9, 5
(n)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11
12
(A  B)  [(L  M)  N]
A  (L  M)
LB
A
B
AB
(L  M)  N
LM
N
L
M
MN
Zał
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 3
 Wpr. 4, 5
Elim. 1, 6
 Elim 2
Elim 7, 8
Elim 3
Elim 8, 10
 Wpr 9, 11
ROZDZIAŁ 11. DOWODZENIE II
Przykład 1
1.
2.
3.
4.
(A  D)  B
C  (A  D)
AD
C
Przykład 2
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 3
Przykład 3
1.
2.
3.
4.
5.
AC
A
DA
(A  C)  B
[(A  C)  B]  (D  A)
AB
C  ~B
C
~B
A
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
A  (B  C)
AC
B  ~D
A
BC
C
B
~D
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 1
Elim 2, 4
Elim 5, 6
Elim 3, 7
Przykład 4
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 1
Wpr 4, 3
Przykład 5
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
(C  D)  (~A  B)
B
~A  B
CD
C
Zał.
Zał.
Wpr 2
Elim 1, 3
Elim 4
Przykład 6
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
MTP 1, 4
1.
2.
3.
4.
~A  ~B
B  ~~B
~~B
~A
Zał.
Zał.
Elim 2
MTP 1, 3
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
368
Przykład 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(S  O)  B
B  (P  W)
O  ~W
O
SO
B
PW
~W
P
Zał.
Zał.
Zał.
1.
2.
Elim 3
Wpr 4
Elim 1, 5
Elim 2, 6
Elim 3
MTP 7, 8
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Jeżeli dostanę 17 lub 18 punktów na
teście, to otrzymam ocenę bdb.
Parafraza: Jeżeli otrzymałem ocenę
bdb, to [znaczy, że] albo przyswoiłem sobie regułę wprowadzania implikacji albo wkułem wszystkie możliwe dowody.
Dostałem 18 punktów, a przecież nie
wkułem wszystkich możliwych dowodów.
Dostałem 18 punktów na teście.
Dostałem 17 lub 18 punktów na teście.
Otrzymałem ocenę bdb.
Albo przyswoiłem sobie regułę
wprowadzania implikacji, albo wkułem wszystkie możliwe dowody na
pamięć.
Nie wkułem wszystkich możliwych
dowodów.
Przyswoiłem sobie regułę wprowadzania implikacji.
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Wpr 4
Elim 1, 5
Elim 2, 6
Elim 3
MTP 7, 8
Ćwiczenie 11.A „Elim – 1”
(a)
1.
2.
3.
CD
C
D
Zał.
Zał.
(c)
1.
2.
3.
B  ~D
~D*
B
Zał.
Zał.
*
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
~A  ~B
~A*
~B
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
(A  B)  (C  D)
C  D*
AB
Lub [(A  B)  (C  D)]  (A  B)
lub (A  B)  [(A  B)  (C  D)]
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
(d)
1.
2.
3.
(C  A)  B
C  A*
B
Zał.
Zał.
*
Zał
Zał.
Elim 1, 2
Elim 1, 2
M  ~~N
~~N*
M
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Lub (M  ~~N)  M lub M  (M  ~~N)
(h)
1.
2.
3.
A  B*
~C  (A  B)
~C
Zał
Zał.
Elim 1, 2
Lub [~C  (A  B)]  ~C lub ~C  [~C  (A  B)]
(j)
1.
2.
3.
*
Elim 1, 2
Lub [(C  A)  B]  B lub B  [(C  A)  B]
(f)
1.
2.
3.
*
Lub (~A  ~B)  ~B lub ~B  (~A  ~B)
(i)
1.
2.
3.
*
A  (D  B)
D  B*
A
CD
D
C
*
Lub [A  (D  B)]  A lub A  [A  (D  B)]
(g)
1.
2.
3.
*
Elim 1, 2
Lub (B  ~D)  ~D lub ~D  (B  ~D)
(e)
1.
2.
3.
*
Elim 1, 2
(b)
1.
2.
3.
AB
A*
B
Lub (A  B)  B lub B  (A  B)
Zał
Zał.
Elim 1, 2
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
(k)
1.
2.
3.
4.
*
A*
(~D  A)  C
~D  A
~D
369
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Lub (~D  A)  ~D lub ~D  (~D  A)
(m)
1.
2.
3.
4.
C
A
[A  (A  B)]  C
A  (A  B)
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(l)
1.
2.
3.
4.
*
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Lub (~A  ~C)  ~A lub ~A  (~A  ~C)
(n)
1.
2.
3.
4.
*
~A  ~C
~A  D
~C*
~A
~D  ~C
AC
~C*
~D
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Lub (~D  ~C)  ~D lub ~D  (~D  ~C)
(o)
1.
2.
3.
4.
~(D  A)
(~D  A)  C
~(D  A)  ~C
~C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(p)
1.
2.
3.
4.
AB
BC
B
A
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(q)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
~(B  C)
AB
C
Zał
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
(r)
1.
2.
3.
4.
~A  ~C
A  (D  (A  C))
D  (A  C)
A
Zał
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Ćwiczenie 11.B „Elim – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
(A  B)  C
B
AB
A
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 3
(b)
1.
2.
3.
4.
CB
B  ~A
B
C
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 1, 3
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
BC
AB
A
B
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
CB
~A  B
C
B
~A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Elim 2, 4
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
AB
BC
A
B
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1, 3
Elim 2, 4
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
AB
BC
C
B
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 4
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
370
Ćwiczenie 11.C „Elim – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
CA
AB
A
B
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2
Elim 3, 4
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
(A  B)  C
BD
AB
B
A
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2
Elim 3, 4
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
CD
AB
B
C
D
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 2, 5
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
AB
DC
C
B
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 2, 5
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BC
(A  C)  C
AB
C
B
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 1, 4
Elim 3, 5
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(A  B)  (~C  A)
~C
A
~C  A
AB
B
Zał.
Zał.
Zał.
Wpr 2, 3
Elim 1, 4
Elim 3, 5
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(A  B)  (B  C)
BC
C
B
AB
A
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 2
Elim 4, 5
Ćwiczenie 11.D „dowody – 1”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A  (B  C)
AB
A
B
BC
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 1, 3
Elim 4, 5
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B  (B  C)
A  (B  D)
A
BD
B
BC
C
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 2, 3
Elim 4
Elim 1, 5
Elim 5, 6
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AB
CD
AC
A
B
C
D
BD
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
Elim 2, 6
Wpr 5, 7
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
Elim 2, 6
Wpr 5, 7
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(~A  C)  (B  C)
H  (B  C)
(~A  D)  C
~A  D
C
~A
~A  C
BC
H
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 3
Elim 3
Elim 4
Wpr 6, 5
Elim 1, 7
Elim 2, 8
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AB
CD
BD
B
A
D
C
AC
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
371
Ćwiczenie 11.E „Wpr – 1”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
A
AC
AB
BA
~B
BB
(B B)  B
B  (B B)
B
AC
BB
B  (A  C)
(A  C)  B
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 2
Wpr 2
(b)
1.
2.
3.
4.
(d)
1.
2.
3.
4.
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
AC
(A  C)  B
B  (A  C)
~B
BB
~B  B
B  ~B
~A
AC
~A  B
B  ~A
B  (A  C)
(A  C)  B
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Wpr 2
Wpr 2
Ćwiczenie 11.F „Wpr – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
(e)
1.
2.
3.
A
AC
A  ~B
~B  A
~A
AC
~A  ~B
~B  ~A
~B
BB
~B  ~B
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Zał.
Zał.
Wpr 1
(b)
1.
2.
3.
4.
(d)
1.
2.
3.
4.
(f)
1.
2.
3.
4.
A
AC
(A  C)  ~B
~B  (A  C)
B
AC
B  ~B
~B  B
~B
BB
(B B)  ~B
~B  (B B)
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
Ćwiczenie 11.G „Wpr – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
A
AC
A  (~B  A)
(~B  A)  A
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
(b)
1.
2.
3.
4.
~A
AC
~A  (~B  A)
(~B  A)  ~A
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 1
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
(c)
1.
2.
3.
4.
A
AC
(A  C)  (~B  A)
(~B  A)  (A  C)
372
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
(d)
1.
2.
3.
4.
~B
BB
(B B)  (~B  A)
(~B  A)  (B B)
Zał.
Zał.
Wpr 2
Wpr 2
Ćwiczenie 11.H „Wpr – 4”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
(e)
1.
2.
3.
4.
(g)
1.
2.
3.
4.
(i)
1.
2.
3.
4.
A
(A  B)  C
AB
C
~B
(A  ~B)  C
A  ~B
C
A
D  (A  C)
AC
D
Zał.
Zał.
Wpr 1
Elim 2, 3
Zał.
Zał.
Wpr 1
Elim 2, 3
Zał.
Zał.
Wpr 1
Elim 2, 3
(B  A)  (C  D)
A
Zał.
Zał.
BA
CD
Wpr 2
Elim 1, 3
~A
C
Zał.
Zał.
CD
B  (C  D)
Wpr 2
Wpr 3
(b)
1.
2.
3.
4.
(d)
1.
2.
3.
4.
(f)
1.
2.
3.
4.
(h)
1.
2.
3.
4.
(j)
1.
2.
3.
4.
(D  ~B)  A
~B
Zał.
Zał.
D  ~B
A
Wpr 2
Elim 1, 3
(C  ~B)  (~A  ~B)
C
Zał.
Zał.
C  ~B
~A  ~B
Wpr 2
Elim 1, 3
~B
Zał.
Zał.
C  (~A  ~B)
~A  ~B
C
Wpr 1
Elim 2, 3
~A
C
Zał.
Zał.
CA
(C  A)  (C  D)
Wpr 2
Wpr 3
~A
C
Zał.
Zał.
CB
(C  B)  D
Wpr 2
Wpr 3
~D  (A  C)
CB
C
AC
~D
Zał.
Zał.
Ćwiczenie 11.I „Wpr – 5”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
AB
(A  C)  D
A
AC
D
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
Elim 1
Wpr 3
Elim 2, 4
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
Elim 2
Wpr 3
Elim 1, 4
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
373
A
C
Zał.
Zał.
AB
DC
(A B)  (D  C)
Wpr 1
Wpr 2
Wpr 3, 4
(C  A)  [D  (C  A)]
A
Zał.
Zał.
CA
D  (C  A)
D
Wpr 2
Elim 1, 3
Elim 3, 4
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
A
A  [(A  B)  D]
(A  B)  D
AB
D
A
(C  A)  B
CA
B
BC
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
Wpr 1
Elim 3, 4
Zał.
Zał.
Wpr 1
Elim 2, 3
Wpr 4
Ćwiczenie 11.J „dowody – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A  B)  D
(~E  D)  ~C
A
AB
D
~E  D
~C
Zał.
Zał.
Zał
Wpr 3
Elim 1, 4
Wpr 5
Elim 2, 6
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
~B
AB
(A  B)  C
DA
[(A  B)  C]  (D  A)
Zał.
Zał.
Wpr 1
Wpr 3
Wpr 1
Wpr 4, 5
(b)
1.
2.
3.
AB
~A
B
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
Ćwiczenie 11.K „MTP – 1”
(a)
1.
2.
3.
AB
~B
A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(c)
1.
2.
3.
CB
~B
C
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(d)
1.
2.
3.
~A  ~B
~~B
~A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(e)
1.
2.
3.
~A  (B  C)
~(B  C)
~A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(f)
1.
2.
3.
(A  C)  B
~B
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(g)
1.
2.
3.
A  ~B
~~B
A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
(h)
1.
2.
3.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
AC
~A
~~B  A
~~B
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
374
Ćwiczenie 11.L „MTP – 2”
(a)
1.
2.
3.
4.
(c)
1.
2.
3.
4.
~D
(C  D)  D
CD
C
~B
~B  (A  B)
AB
A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
MTP 1, 3
Zał.
Zał.
Elim 1, 2
MTP 1, 3
(b)
1.
2.
3.
4.
(d)
1.
2.
3.
4.
~A  ~B
BD
~B
D
Zał.
Zał.
(~B  ~A)  ~~A
~~A
Zał.
Zał.
~B  ~A
~B
Elim 1, 2
MTP 2, 3
[~A  (D  A)]  A
~A
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
Elim 2, 3
MTP 2, 4
Elim 1
MTP 2, 3
Ćwiczenie 11.M „MTP – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
~D  (A  D)
~D  B
~D
AD
A
Zał.
Zał.
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
[(A  B)  C]  C
~C  ~B
~C
(A  B)  C
AB
Zał.
Zał.
Elim 2
Elim 1, 3
MTP 3, 4
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
Elim 2
MTP 1, 3
MTP 3, 4
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
Zał.
Zał.
Zał
Wpr 1
Elim 3, 4
Wpr 1
Elim 2, 6
MTP 5, 7
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
~A  (D  A)
DA
D
B  (A  B)
~B
AB
A
DA
Zał.
Zał.
MTP 1, 2
MTP 2, 3
Wpr 4
(D  A)  [A  (~B  A)]
~A  ~(D  A)
~A  C
~A
~(D  A)
A  (~B  A)
~B  A
~B
Zał.
Zał.
Zał
Elim 3
Elim 2, 4
MTP 1, 5
MTP 6, 4
MTP 7, 4
Ćwiczenie 11.N „dowody – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C
~A  (~D  C)
(C  D)  (A  B)
CD
AB
~D  C
~A
B
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 11
375
Ćwiczenie 11.O „dowody – 4”
(a)
1.
L  (G  F)
Zał.
2.
T  ~F
Zał.
3.
(P  L)  (U  P)
Zał
4.
UT
U
Zał
5.
6.
UP
Elim 4
Elim 3
7.
8.
9.
10.
P
GF
Elim 5, 6
Elim 3
Elim 7, 8
Elim 1, 9
11.
12.
13.
T
~F
G
Elim 4
Elim 2, 11
MTP 10, 12
(b)
1.
~T  S
Zał.
2.
(P  ~R)  U
Zał.
3.
(~C  ~Ł)  P
Zał.
4.
B  ~C
Zał.
5.
~T  (~E  ~B)
Zał.
6.
7.
8.
9.
10.
~T
Elim 1
Elim 5, 6
Elim 7
MTP 4, 8
Wpr 9
11.
12.
P
P  ~R
Elim 3, 10
Wpr 11
13.
U
Elim 2, 12
PL
L
~E  ~B
~B
~C
~C  ~Ł
Jeżeli Ania zda logikę, to jej chłopak Tomek zaprosi ją albo do
greckiej, albo do francuskiej restauracji.
Jeżeli Ania oglądała dużo TV, to Tomek nie zaprosi jej do
francuskiej restauracji.
Jeżeli Ania będzie dobrze przygotowana, to zda logikę; a jeżeli
Ania będzie się dużo uczyć, to będzie dobrze przygotowana.
Ania dużo się uczyła, ale też oglądała dużo TV.
Ania dużo się uczyła.
Jeżeli Ania będzie się dużo uczyć, to będzie dobrze
przygotowana.
Ania będzie dobrze przygotowana.
Jeżeli Ania będzie dobrze przygotowana, to zda logikę.
Ania zda logikę.
Tomek zaprosi Anię albo do greckiej, albo do francuskiej
restauracji.
Ania oglądała dużo TV.
Tomek nie zaprosi Ani do francuskiej restauracji.
Tomek zaprosi Anię do greckiej restauracji.
Tomek nie jest zainteresowany Beatą; Staś natomiast bardzo
chciałby się z nią umówić.
Jeżeli albo Staś zostanie przewodniczącym samorządu, albo
Robert nie będzie zainteresowany Beatą, to Beata umówi się ze
Stasiem.
Jeżeli albo Cecylia nie umówi się ze Stasiem, albo Paweł nie
zostanie wybrany do samorządu, to Staś zostanie przewodniczącym samorządu.
Albo Beata zaprosi Cecylię na imprezę, albo Cecylia nie
umówi się ze Stasiem.
Jeżeli Tomek nie jest zainteresowany Beatą, to Beata nie
zaprosi ani jego, ani Cecylii na imprezę.
Tomek nie jest zainteresowany Beatą.
Beata nie zaprosi na imprezę ani Tomka, ani Cecylii.
Beata nie zaprosi Cecylii na imprezę.
Cecylia nie umówi się ze Stasiem.
Albo Cecylia nie umówi się ze Stasiem, albo Paweł nie
zostanie wybrany do samorządu.
Staś zostanie przewodniczącym samorządu.
Albo Staś zostanie przewodniczącym samorządu, albo Robert
nie będzie zainteresowany Beatą.
Beata umówi się ze Stasiem.
Przesłankę 4 można oddać również jako implikację. W takim wypadku dowód przebiegnie podobnie –
różnić się będą tylko dwa kroki:
4.
~B  ~C
...
Zał.
9.
~C
Elim 4, 8
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
376
ROZDZIAŁ 12. DOWODZENIE III
Przykład 1
Przykład 3
1.
2.
3.
4.
ZA
A  (~P  ~R)
~R  ~N
~N  ~I
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Z
A
~P  ~R
~R
~N
~I
Z  ~I
Zał. (Wpr)
Elim 1, 5
Elim 2, 6
Elim 7
Elim 3, 8
Elim 4, 9
Wpr 5-10
Przykład 4
1.
A  (B  ~D)
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
AC
A
B  ~D
~D
(A  C)  ~D
Zał. (Wpr)
Elim 2
Elim 1, 3
Elim 4
Wpr 2-5
Przykład 5
1.
A  (B  C)
Zał.
1.
A
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A  B xxxx
A
BC
B
C
(A  B)  C
Zał. (Wpr)
Elim 2
Elim 1, 3
Elim 2
Elim 4, 5
Wpr 2-6
2.
3.
4.
C
A
CA
Zał. (Wpr)
R1
Wpr 2-3
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
377
Ćwiczenie 12.A „Wpr – 1”
(a)
(b)
Zał.
3.
B
8.
9.
A
BA
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
~B
Wpr 3-8
8.
9.
A
~B  A
(c)
3.
C
8.
9.
~B
C  ~B
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
AC
Wpr 3-8
8.
9.
B
(A  C)  B
(e)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-8
(f)
Zał.
8.
9.
Wpr 3-8
(d)
Zał.
3.
Zał. (Wpr)
C
BA
C  (B  A)
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
CA
Wpr 3-8
8.
9.
B
(C  A)  B
(g)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-8
(h)
Zał.
3.
~(A  B)
8.
9.
C
~(A  B)  C
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Wpr 3-8
8.
9.
(i)
~A
BC
~A  (B  C)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-8
(j)
Zał.
3.
A  ~A
8.
9.
B
(A  ~A)  B
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Wpr 3-8
8.
9.
BC
CD
(B  C)  (C  D)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-8
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
378
Ćwiczenie 12.B „Wpr – 2”
(a)
(b)
Zał.
3.
A
8.
9.
B
AB
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
~A
Wpr 3-8
8.
9.
B
~A  B
(c)
3.
A
8.
9.
~B
A  ~B
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
AC
Wpr 3-8
8.
9.
B
(A  C)  B
(e)
A
BC
A  (B  C)
3.
Wpr 3-8
8.
9.
AB
C
(A  B)  C
Zał. (Wpr)
Wpr 3-8
(h)
Zał.
8.
9.
Wpr 3-8
Zał.
Zał. (Wpr)
(g)
3.
Zał. (Wpr)
(f)
Zał.
8.
9.
Wpr 3-8
(d)
Zał.
3.
Zał. (Wpr)
A  ~B
~B  A
(A  ~B)  (~B  A)
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Wpr 3-8
8.
9.
~(A  B)
Zał. (Wpr)
~A  B
~(A  B)  (~A  B)
Wpr 3-8
A  (B  ~D)
~D
Zał.
Zał.
A
B  ~D
B
AB
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
B  (B  C)
~B
Zał.
Zał.
A
BC
C
AC
Zał. (Wpr)
MTP 1, 2
MTP 2, 4
Wpr 3-5
(A  B)  (B  C)
~(A  B)
Zał.
Zał.
~B
BC
C
~B  C
Zał. (Wpr)
MTP 1, 2
MTP 3, 4
Wpr 3-5
Ćwiczenie 12.C „Wpr – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A  (B  C)
~B
Zał.
Zał.
A
BC
C
AC
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
MTP 2, 4
Wpr 3-5
~A  (C  B)
C
Zał.
Zał.
~A
CB
B
~A  B
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
A  (B  C)
~D
Zał.
Zał.
A  ~D
A
BC
(A  ~D)  (B  C)
Zał. (Wpr)
Elim 3, 2
Elim 1, 4
Wpr 3-5
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
379
Ćwiczenie 12.D „R – 1”
(a)
1.
A
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
xxxx
xxxxxxx
A
A
A
A
A
A
A
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Zał.
(b)
1.
Zał.
2.
Zał.
R1
R1
3.
4.
R1
R1
R1
R1
R1
xxxx
A
xxxxxxx
A
A
A
Zał.
R1
Zał.
R1
R1
R1
A
R1
(c)
1.
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Zał.
A
xxxx
A
xxxxxxx
A
A
A
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Zał.
R2
R2
R2
A
A
13.
14.
Zał.
R2
R2
R2
xxxx
A
xxxxxxx
A
A
A
Zał.
R2
Zał.
R2
R2
R2
A
R2
(d)
1.
Zał.
2.
xxxx
A
xxxxxxx
A
A
A
A
A
A
A
A
Zał.
R4
3.
4.
Zał.
R4
R4
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
R4
R4
R4
R4
R4
R4
xxxxxxx
A
A
A
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
R4
R4
R4
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
xxxx
xxxxxxx
A
A
A
Zał.
Zał.
R6
R2
A
A
R2
R2
xxxx
A
xxxxxxx
A
A
A
Zał.
R2
Zał.
R2
R2
R2
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
380
Ćwiczenie 12.E „R – 2”
(a)
(b)
1.
AB
Zał.
2.
3.
4.
C
AB
C  (A  B)
Zał. (Wpr)
R1
Wpr 2-3
(c)
1.
2.
3.
Zał.
R1
Wpr 1, 2
A
A
AA
(d)
1.
2.
AB
BC
Zał.
Zał.
1.
2.
AB
CD
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C
BC
B
AB
A
CA
Zał. (Wpr)
R2
Elim 3, 4
R1
Elim 5, 6
Wpr 3-7
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
B  (D  G)
B
AB
A
DG
D
CD
C
AC
[B  (D  G)]  (A  C)
Zał. (Wpr)
Elim 3
R1
Elim 4, 5
Elim 3
Elim 7
R2
Elim 8, 9
Wpr 6, 10
Wpr 3-11
Ćwiczenie 12.F „Wpr – 4”
(a)
(b)
Zał.
3.
A
4.
7.
8.
9.
B
C
BC
A  (B  C)
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Zał. (Wpr)
4.
B
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
~C
B  ~C
~A  (B  ~C)
(c)
Zał. (Wpr)
~A
Zał.
3.
BC
Zał. (Wpr)
3.
4.
~B
Zał. (Wpr)
4.
BC
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
C
(B  C)  C
~B  [(B  C)  C]
C
~B  C
(B  C)  (~B  C)
(e)
Zał. (Wpr)
~B
4.
7.
8.
9.
Zał. (Wpr)
Wpr 4-7
Wpr 3-8
(f)
Zał.
3.
Wpr 4-7
Wpr 3-8
(d)
Zał.
7.
8.
9.
Zał. (Wpr)
~B
B
BC
B  (B  C)
~B  [B  (B  C)]
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Zał. (Wpr)
4.
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
AB
D
C
DC
(A  B)  (D  C)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Wpr 4-7
Wpr 3-8
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
381
Ćwiczenie 12.G „Wpr – 5”
(a)
(b)
Zał.
3.
B
4.
7.
8.
9.
A
C
AC
B  (A  C)
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Zał. (Wpr)
4.
~B
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
~A
~B  ~A
~C  (~B  ~A)
(c)
Zał. (Wpr)
~C
Zał.
3.
BC
Zał. (Wpr)
3.
4.
A
Zał. (Wpr)
4.
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
CA
A  (C  A)
(B  C)  [A  (C  A)]
(e)
Zał. (Wpr)
B
A
CA
A  (C  A)
B  [A  (C  A)]
Zał. (Wpr)
Wpr 4-7
Wpr 3-8
(f)
Zał.
3.
Wpr 4-7
Wpr 3-8
(d)
Zał.
7.
8.
9.
Zał. (Wpr)
B
4.
AC
7.
8.
9.
C
(A  C)  C
B  [(A  C)  C]
Zał.
Zał. (Wpr)
3.
Zał. (Wpr)
4.
Wpr 4-7
Wpr 3-8
7.
8.
9.
BC
A
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
C
AC
(B  C)  (A  C)
Wpr 4-7
Wpr 3-8
(A  G)  C
Zał.
Ćwiczenie 12.H „Wpr – 6”
(a)
1.
2.
(A  B)  C
B
Zał.
Zał. (Wpr)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
AG
C
BC
A  (B  C)
Zał. (Wpr)
Wpr 2
Elim 1, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
(d)
1.
A  (B  C)
Zał.
3.
4.
5.
6.
7.
A
AB
C
AC
B  (A  C)
Zał. (Wpr)
Wpr 2, 3
Elim 1, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
(c)
1.
(A  C)  G
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A
B
AC
C
BC
A  (B  C)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(b)
1.
Zał. (Wpr)
2.
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 2, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
3.
4.
5.
6.
7.
A
B
A
BC
C
AC
B  (A  C)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
G  (A  B)
G
~A
AB
B
~A  B
G  (~A  B)
382
Zał.
(f)
1.
Zał. (Wpr)
2.
Zał. (Wpr)
Elim 1, 2
MTP 3, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
3.
4.
5.
6.
7.
C  (B  A)
~C
Zał.
Zał. (Wpr)
~B
BA
A
~B  A
~C  (~B  A)
Zał. (Wpr)
MTP 1, 2
MTP 3, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
B  (A  C)
Zał.
Ćwiczenie 12.I „dowody – 1”
(a)
1.
2.
A  (B  C)
B
Zał.
Zał. (Wpr)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3.
4.
5.
6.
7.
A
BC
C
AC
B  (A  C)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
(c)
1.
2.
(A  B)  C
BD
Zał.
Zał.
A
B
AB
C
Zał. (Wpr)
Elim 2
Wpr 3-4
Elim 1, 5
(A  B)  C
(A  A)  B
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A
A
A
AA
B
AB
C
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(b)
1.
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
R4
Wpr 4-5
Elim 2, 6
Wpr 3-7
Elim 1, 8
A
Zał. (Wpr)
B
AC
C
BC
A  (B  C)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
(d)
1.
2.
CA
DB
Zał.
Zał.
3.
~A
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Zał. (Wpr)
~B
D
C
CD
~B  (C  D)
~A  [~B  (C  D)]
Zał. (Wpr)
MTP 2, 4
MTP 1, 3
Wpr 6, 5
Wpr 4-7
Wpr 3-8
AC
AB
Zał.
Zał.
A
B
C
BC
A  (B  C)
Zał. (Wpr)
Elim 2, 3
Elim 1, 3
Wpr 4, 5
Wpr 3-6
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 12
(g)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(i)
1.
2.
AB
BC
383
Zał.
Zał. (Wpr)
A
B
C
AC
(B  C)  (A  C)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
CD
Zał.
A
(k)
1.
2.
A  (B  C)
DB
Zał.
Zał.
D
BC
B
C
DC
A  (D  C)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
A
BC
C
AC
B  (A  C)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 1
Elim 4, 2
Wpr 3, 5
Wpr 2-6
CD
Zał.
(j)
1.
3.
Zał. (Wpr)
Elim 1
Wpr 3-4
Wpr 2-5
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Zał.
2.
B
C
BC
A  (B  C)
A
A  (B  C)
Zał. (Wpr)
3.
4.
5.
6.
3.
(h)
1.
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
Elim 5, 6
Wpr 4-7
Wpr 3-8
Zał. (Wpr)
A
B
Zał. (Wpr)
D
C
DC
B  (D  C)
A  (B  (D  C))
Zał. (Wpr)
Elim 1
Wpr 4-5
Wpr 3-6
Wpr 2-7
(l)
1.
2.
(A  C)  ~B
(B  C)  D
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AB
AC
~B
A
C
(A  B)  C
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 1
MTP 3, 5
Elim 4, 6
Wpr 3-7
4.
5.
6.
7.
8.
384
Logika nie gryzie
ROZDZIAŁ 13. DOWODZENIE IV
Przykład 1
1.
(A  B)  (B  A)
2.
3.
4.
A
AB
B
5.
6.
7.
8.
B
BA
A
AB
Przykład 2
Zał.
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 3, 2
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 6, 5
Wpr 2-4, 5-7
1.
2.
1.
2.
3.
AB
A  (C  D)
B  (D  G)
Zał.
Zał.
Zał.
A
CD
D
Zał. (Elim)
Elim 2, 4
Elim 5
7.
8.
9.
10.
B
DG
D
Zał. (Elim)
Elim 3, 7
Elim 8
Elim 1, 4-6, 7-9
Przykład 5
1.
2.
A  ~B
B
3.
4.
5.
6.
~A
~B
B
A
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
BD
B
A
D
C
AC
(A  C)  (B  D)
Zał.
Zał.
Zał. (Wpr)
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
Elim 2, 6
Wpr 5, 7
Zał. (Wpr)
Elim 9
Elim 1, 10
Elim 9
Elim 2, 12
Wpr 11, 13
Wpr 3-8, 9-14
Przykład 4
4.
5.
6.
D
AC
A
B
C
D
BD
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Przykład 3
AB
CD
1.
2.
(A  B)  C
B  ~C
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A
B
AB
C
~C
~A
Zał. (~Wpr)
Elim 2
Wpr 3, 4
Elim 1, 5
Elim 2
~Wpr 3-6, 3-7
Przykład 6
Zał.
Zał.
1.
2.
~A  B
BA
Zał. (~Elim)
MTP 1, 3
R2
~Elim 3-4, 3-5
3.
4.
5.
6.
7.
~A
~A
B
A
A
Zał.
Zał.
Zał. (~Elim)
R3
Elim 1, 4
Elim 2, 5
~Elim 3-4, 3-6
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 13
385
Ćwiczenie 13.A „Wpr – 1”
(a)
(b)
3.
B
5.
A
6.
A
8.
9.
B
BA
Zał. (Wpr)
3.
C
5.
~A
Zał. (Wpr)
6.
~A
Wpr 3-5, 6-8
8.
9.
C
C  ~A
(c)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-5, 6-8
(d)
3.
BC
5.
CB
6.
CB
8.
9.
Zał. (Wpr)
BC
(B  C)  (C  B)
3.
AC
5.
~C  A
Zał. (Wpr)
6.
~C  A
Wpr 3-5, 6-8
8.
9.
Zał. (Wpr)
AC
(A  C)  (~C  A)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-5, 6-8
Ćwiczenie 13.B „Wpr – 2”
(a)
(b)
3.
D
5.
A
6.
A
8.
9.
D
DA
3.
AC
5.
CB
Zał. (Wpr)
6.
CB
Wpr 3-5, 6-8
8.
9.
Zał. (Wpr)
(c)
AC
(A  C)  (C  B)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-5, 6-8
(d)
3.
~~B
5.
~(A  ~B)
6.
~(A  ~B)
8.
9.
~~B
~~B  ~(A  ~B)
3.
AB
5.
C
Zał. (Wpr)
6.
C
Wpr 3-5, 6-8
8.
9.
Zał. (Wpr)
AB
(A  B)  C
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Wpr 3-5, 6-8
386
Logika nie gryzie
Ćwiczenie 13.C „dowody – 1”
(a)
1.
2.
AC
D  ~A
3.
4.
C
D
5.
6.
7.
8.
(c)
1.
2.
D
~A
C
CD
AB
BC
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A
B
C
C
B
A
AC
(b)
1.
2.
~A  C
A  ~C
Zał. (Wpr)
Elim 2
3.
4.
~A
~C
Zał. (Wpr)
Elim 2
MTP 1, 6
Wpr 3-4, 5-7
5.
6.
7.
~C
~A
~A  ~C
Zał. (Wpr)
MTP 1, 5
Wpr 3-4, 5-6
(A  A)  B
BD
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 4
(d)
1.
2.
3.
4.
A
A
5.
6.
7.
AA
B
D
(b)
2.
3.
~C  D
~C
5.
A
Zał. (Elim)
6.
D
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
Zał. (Wpr)
Elim 2, 6
Elim 1, 7
Wpr 3-5, 6-8
Zał.
Zał.
Zał. (Wpr)
MTP 2, 3
Zał. (Wpr)
R3
Wpr 3-4, 3-4
Elim 1, 5
Elim 2, 6
Ćwiczenie 13.D „Elim – 1”
(a)
2.
3.
BA
B
5.
C
6.
A
8.
9.
(c)
2.
3.
C
C
(D  A)  (A  C)
DA
5.
~B  A
6.
AC
8.
9.
Zał. (Elim)
~B  A
~B  A
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (Elim)
(d)
2.
3.
Zał. (Elim)
Zał. (Elim)
A
A
Elim 2, 3-5, 6-8
~A  ~B
~A
Zał. (Elim)
5.
BA
Zał. (Elim)
6.
~B
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
BA
BA
Zał. (Elim)
Elim 2, 3-5, 6-8
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 13
387
Ćwiczenie 13.E „Elim – 2”
(a)
2.
3.
DB
D
5.
C
6.
B
8.
9.
Zał. (Elim)
(c)
2.
3.
C  (A  B)
C
5.
~D  ~B
6.
AB
8.
9.
~D  ~B
~D  ~B
AB
A
5.
CA
Zał. (Elim)
6.
B
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
C
C
(b)
2.
3.
Zał. (Elim)
(d)
2.
3.
Zał. (Elim)
Zał. (Elim)
CA
CA
Elim 2, 3-5, 6-8
(A  B)  (B  A)
AB
Zał. (Elim)
5.
AB
Zał. (Elim)
6.
BA
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
AB
AB
Elim 2, 3-5, 6-8
(b)
2.
3.
~B  ~~D
~B
Zał. (Elim)
5.
~~C
Zał. (Elim)
6.
~~D
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
~~C
~~C
Elim 2, 3-5, 6-8
(A  B)  (B  A)
AB
Zał. (Elim)
Zał. (Elim)
Ćwiczenie 13.F „Elim – 3”
(a)
2.
3.
A  ~A
A
5.
C
6.
~A
8.
9.
(c)
2.
3.
C
C
(A  B)  (B  C)
AB
5.
~B
6.
BC
8.
9.
Zał. (Elim)
~B
~B
Zał. (Elim)
(d)
2.
3.
5.
BA
Zał. (Elim)
6.
BA
Elim 2, 3-5, 6-8
8.
9.
BA
BA
Zał. (Elim)
Zał. (Elim)
Elim 2, 3-5, 6-8
388
Logika nie gryzie
Ćwiczenie 13.G „dowody – 2”
(a)
1.
2.
~A  B
~A  B
3.
4.
~A
B
Zał. (Elim)
Elim 2, 3
5.
6.
7.
B
B
Zał. (Elim)
R5
Elim 1, 3-4, 5-6
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11
12.
B
AB
(A  C)  D
G  (~A  B)
10.
11.
12.
H
HB
HB
AB
(A  C)  (B  C)
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
A
AC
C
Zał. (Elim)
Elim 2
Elim 4, 3
6.
7.
8.
9.
B
BC
C
Zał. (Elim)
Elim 2
Elim 7, 6
Elim 1, 3-5, 6-8
C
Zał. (Elim)
Wpr 4
Elim 2, 5
Wpr 6
Zał. (Elim)
Wpr 8
Elim 3, 9
Wpr 10
Elim 1, 4-7, 811
B
~A  B
G
DG
DG
G
H
HB
(b)
1.
2.
Zał.
Zał.
Zał.
A
AC
D
DG
(d) wersja 1
1.
AB
2.
A  (G 
H)
3.
GH
4.
B
5.
A
6.
GH
7.
8.
9.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 1
Elim 2, 5
Zał. (Elim)
Elim 3, 7
Wpr 8, 4
Zał. (Elim)
Wpr 10, 4
Elim 6, 7-9, 10-11
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(d) wersja 2
1.
AB
2.
A  (G  H)
3.
GH
4.
B
5.
A
6.
GH
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 1
Elim 2, 5
7.
8.
G
H
Zał. (Elim)
Elim 3, 7
9.
10.
11.
12.
H
H
Zał. (Elim)
R9
Elim 6, 7-8, 9-10
Wpr 11, 4
H
HB
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 13
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11
12.
AB
A  (G  H)
GH
A
GH
G
H
GH
H
G
GH
GH
389
Zał.
Zał.
Zał.
Elim 1
Elim 2, 4
Zał. (Elim)
Elim 3, 6
Wpr 6, 7
Zał. (Elim)
Elim 3, 9
Wpr 10, 9
Elim 5, 6-8, 9-11
(f)
1.
2.
3.
(B  A)  D
A  (B  C)
CD
Zał.
Zał.
Zał.
4.
5.
6.
A
BA
D
Zał. (Elim)
Wpr 4
Elim 1, 5
7.
BC
Zał. (Elim)
8.
9.
10.
B
BA
D
Zał. (Elim)
Wpr 8
Elim 1, 9
11.
12.
13.
14
C
D
Zał. (Elim)
Elim 3, 11
Elim 7, 8-10, 11-12
Elim 2, 4-6, 7-13
D
D
Ćwiczenie 13.H „~Wpr – 1”
p
~p
p
~p
(a)
A
~A
(g)
C  ~D
~(C  ~D)
(b)
AB
~(A  B)
(h)
~A  ~(A  B)
~(~A  ~(A  B))
(c)
~(A  B)
~~(A  B)
(i)
~(C  B)
~~(C  B)
(d)
~A  B
~(~A  B)
(j)
~A  C
~(~A  C)
(e)
~~A
~~~A
(k)
~~~C
~~~~C
(f)
~B
~~B
(l)
~B  B
~(~B  B)
Ćwiczenie 13.I „~Wpr – 2”
(a)
(b)
3.
B
5.
~C
8.
9.
C
~B
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
(c)
3.
AB
5.
~C
8.
9.
~~C
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
(d)
3.
~A  ~B
~C  D
5.
~C
~(~C  D)
~~B
8.
9.
3.
~B
5.
8.
9.
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
~~C
~(~A  ~B)
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
390
Logika nie gryzie
Ćwiczenie 13.J „~Wpr – 3”
(a)
(b)
3.
C
5.
~A
8.
9.
A
~C
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
(c)
~A
5.
~B
8.
9.
B
~~A
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
(d)
3.
AB
5.
~(C  B)
8.
9.
3.
CB
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
3.
~(A  B)
5.
~C
8.
9.
C
~~(A  B)
Zał. (~Wpr)
~Wpr 3-5, 3-8
Ćwiczenie 13.K „dowody – 3”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
AB
A  ~B
Zał.
Zał.
A
B
~B
~A
Zał. (~Wpr)
Elim 1, 3
Elim 2, 3
~Wpr 3-4, 3-5
(c) wersja 1
1. A  C
2. B  ~~D
3. ~C  ~D
Zał.
Zał.
Zał.
AB
A
C
~C
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 4
Elim 1, 5
Elim 3
~Wpr 4-6, 4-7
(d)
1.
2.
(A  B)  C
~(C  A)
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
7.
AB
C
CA
~(C  A)
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 1, 3
Wpr 4
R2
~Wpr 3-5, 3-6
4.
5.
6.
7.
8.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
(b)
1.
2.
CB
A
Zał.
Zał.
3.
4.
5.
6.
~C
C
~C
~~C
Zał. (~Wpr)
Elim 1
R3
~Wpr 3-4, 3-5
(c) wersja 2
1. A  C
2. B  ~~D
3. ~C  ~D
4.
5.
6.
7.
8.
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Zał.
Zał.
Zał.
AB
B
~~D
~D
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 4
Elim 2, 5
Elim 3
~Wpr 4-6, 4-7
~D
CA
~A  B
Zał.
Zał.
Zał.
CD
C
A
~A
~(C  D)
Zał. (~Wpr)
MTP 4, 1
Elim 2, 5
Elim 3
~Wpr 4-6, 4-7
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 13
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
391
A  ~D
(B  C)  ~A
Zał.
Zał.
(A  B)  (C  D)
AB
CD
A
B
~D
C
BC
~A
~[(A  B)  (C  D)]
Zał. (~Wpr)
Elim 3
Elim 3
Elim 1
Elim 4, 6
Elim 1
MTP 5, 8
Wpr 7, 9
Elim 2, 11
~Wpr 3-6, 3-11
Ćwiczenie 13.L „~Elim – 1”
(a)
(b)
3.
~A
5.
~C
8.
9.
Zał. (~Elim)
C
A
~Elim 3-5, 3-8
(c)
3.
~~B
5.
~C
8.
9.
~~C
~B
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
(d)
3.
~(A  B)
3.
~~(~A  ~B)
5.
~C  D
5.
~C
8.
9.
~(~C  D)
AB
8.
9.
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
~~C
~(~A  ~B)
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
Ćwiczenie 13.M „~Elim – 2”
(a)
(b)
3.
~~C
5.
~(A  B)
8.
9.
AB
~C
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
(c)
~A
5.
~(B  C)
8.
9.
Zał. (~Elim)
BC
A
~Elim 3-5, 3-8
(d)
3.
~(~A  B)
5.
~(~C  B)
8.
9.
3.
~C  B
~A  B
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
3.
~(A  B)
5.
~(A  B)
8.
9.
AB
AB
Zał. (~Elim)
~Elim 3-5, 3-8
392
Logika nie gryzie
Ćwiczenie 13.N „dowody – 4”
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
~~A  C
B  ~~D
~A
~~A
~A
A
(b) wersja 2
1. ~C  (B  ~C)
2. ~B
3.
4.
5.
6.
7.
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
~~C
B  ~C
~C
~~C
~C
~C  ~B
~A  (~B  B)
~C
~B
~B  B
B
C
(e) wersja 2
1.
AC
2.
B  ~~D
3.
~C  ~D
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
AB
A
C
~C
~A
B
~~D
~D
~(A  B)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał.
Zał.
Zał. (~Elim)
Elim 1
R3
~Elim 3-4, 3-5
Zał.
Zał.
Zał. (~Elim)
MTP 1, 3
MTP 2, 4
R3
~Elim 3-5, 3-6
Zał.
Zał.
Zał. (~Elim)
Elim 1, 3
Elim 2
Elim 4, 5
~Elim 3-4, 3-6
Zał.
Zał.
Zał.
Zał. (~Wpr)
Zał. (~Wpr)
Elim 1, 5
Elim 3
~Wpr 5-6, 5-7
MTP 4, 8
Elim 2, 9
Elim 3
~Wpr 4-10, 4-11
(b) wersja 1
1. ~C  (B  ~C)
2. ~B
3.
4.
5.
6.
7.
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
~~C
B  ~C
B
~B
~C
Zał. (~Elim)
MTP 1, 3
MTP 3, 4
R2
~Elim 3-5, 3-6
~(A  B)  (C  D)
~D  ~B
Zał.
Zał.
~(A  B)
CD
D
~D
AB
Zał. (~Elim)
Elim 1, 3
Elim 4
Elim 2
~Elim 3-5, 3-6
(e) wersja 1
1.
AC
2.
B  ~~D
3.
~C  ~D
4.
Zał.
Zał.
AB
Zał.
Zał.
Zał.
Zał. (~Wpr)
5.
6.
7.
8.
A
C
~C
C  ~C
Zał. (Elim)
Elim 1, 5
Elim 3
Wpr 6, 7
9.
B
Zał. (Elim)
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
~(C  ~C)
~~D
~D
C  ~C
C  ~C
C
~C
~(A  B)
Zał. (~Elim)
Elim 2, 9
Elim 3
~Elim 10-11, 10-12
Elim 4, 5-8, 9-13
Elim 14
Elim 14
~Wpr 4-15, 4-16
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
393
ROZDZIAŁ 14. DOWODZENIE V
Przykład 1
Przykład 2
1.
~W  ~S
Zał.
1.
~(W  S)
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
WS
~W
S
~S
~(W  S)
Zał. (~Wpr)
Elim 1
MTP 2, 3
Elim 1
~Wpr 2-4, 2-5
2.
3.
4.
5.
W
WS
~(W  S)
~W
Zał. (~Wpr)
Wpr 2
R1
~Wpr 2-3, 2-4
S
WS
~(W  S)
Zał. (~Wpr)
Wpr 6
R1
~Wpr 6-7, 6-8
Wpr 5, 9
Przykład 3
1.
~F  ~J
2.
FJ
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
~F
F
~F
~~F
~J
J
~(F  J)
~S
~W  ~S
Przykład 4
Zał.
1.
Zał. (~Wpr)
2.
Zał. (~Wpr)
Elim 2
R3
~Wpr 3-4, 3-5
MTP 1, 6
Elim 2
~Wpr 2-7, 2-8
3.
4.
5.
6.
Przykład 5
1.
ZR
Zał.
2.
3.
4.
~Z
R
~Z  R
Zał. (Wpr)
MTP 1, 2
Wpr 2-3
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
6.
7.
8.
9.
10.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
~(F  J)
~(~F  ~J)
Zał.
Zał. (~Elim)
~F
~F  ~J
~(~F  ~J)
Zał. (~Elim)
Wpr 3
R2
~Elim 3-4, 3-5
~J
~F  ~J
~(~F  ~J)
Zał. (~Elim)
Wpr 7
R2
~Elim 7-8, 7-9
Wpr 6, 10
R1
~Elim 2-11, 2-12
F
J
FJ
~(F  J)
~F  ~J
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
Przykład 6. Dowód (b) z użyciem reguły DeM
394
Przykład 6. Dowód (b) bez użycia reguły DeM
1.
~Z  R
Zał.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.0
~(Z  R)
~Z  ~R
~Z
R
~R
ZR
Zał. (~Elim)
DeM 2
Elim 3
Elim 1, 4
Elim 3
~Elim 2-5, 2-6
2.
Przykład 7
1.
WB
2.
~B
3.
4.
5.
6.
7.
W
B
~B
~W
~B  ~W
p
pr
p  (p  r)
~(Z  R)
~Z
R
ZR
~(Z  R)
Z
ZR
~(Z  R)
ZR
Zał.
Zał. (~Elim)
Zał. (~Elim)
Elim 1, 3
Wpr 4
R2
~Elim 3-5, 3-6
Wpr 7
R2
~Elim 2-8, 2-9
Przykład 8
Zał.
1.
Zał. (Wpr)
2.
Zał. (~Wpr)
Elim 1, 3
R2
~Wpr 3-4, 3-5
Wpr 2-6
3.
4.
5.
6.
7.
Dowód 10
1.
2.
3.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
~Z  R
~B  ~W
Zał.
Zał. (Wpr)
W
~B
~W
W
B
WB
Zał. (~Elim)
Elim 1, 3
R2
~Elim 3-4, 3-5
Wpr 2-6
Dowód 11
Zał. (Wpr)
Wpr 1
Wpr 1-2
~(p  ~p)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p
p  ~p
~(p  ~p)
~p
p  ~p
~(p  ~p)
p  ~p
Zał. (~Elim)
Zał. (~Wpr)
Wpr 2
R1
~Wpr 2-3, 2-4
Wpr 5
R1
~Elim 1-6, 1-7
Ćwiczenie 14.A
(a)
1.
A
Zał.
1.
2.
3.
4.
5.
~A
A
~A
~~A
Zał. (~Wpr)
R1
R2
~Wpr 2-3, 2-4
2.
3.
4.
5.
A
Zał. (~Elim)
R1
R2
~Elim 2-3, 2-4
(b)
1.
2.
AA
A
Zał.
Elim 1
1.
2.
A
AA
Zał.
Wpr 1, 1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
~~A
~A
~~A
~A
Zał.
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
(c)
1.
AA
Zał.
395
1.
2.
A
AA
Zał.
Wpr 1
(A  B)  C
Zał.
A
Zał. (Elim)
R2
Elim 1, 2-3, 2-3
(d)
1.
A  (B  C)
Zał.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
AB
A
BC
B
C
(A  B)  C
Zał. (Wpr)
Elim 2
Elim 1, 3
Elim 2
Elim 4, 5
Wpr 2-6
2.
2.
3.
4.
(e)
1.
A
A
AB
Zał. (Wpr)
A
3.
4.
5.
6.
7.
B
AB
C
BC
A  (B  C)
Zał. (Wpr)
Wpr 2, 3
Elim 1, 4
Wpr 3-5
Wpr 2-6
Zał.
1.
~A  B
Zał.
Zał. (~Elim)
2.
A
2.
~(~A  B)
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A
B
~A  B
~(~A  B)
~A
~A  B
~(~A  B)
~A  B
Zał. (~Wpr)
Elim 1, 3
Wpr 4
R2
~Wpr 3-5, 3-6
Wpr 7
R2
~Elim 2-8, 2-9
3.
4.
5.
6.
7.
B
AB
Zał. (~Elim)
MTP 1, 3
R2
~Elim 3-4, 3-5
Wpr 2-6
~(A  B)
Zał.
1.
A  ~B
Zał.
Zał. (~Elim)
2.
3.
4.
5.
6.
AB
A
B
~B
~(A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 1
Elim 2, 3
Elim 1
~Wpr 2-4, 2-5
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
~(A  ~B)
Zał. (Wpr)
A
~B
A  ~B
~(A  ~B)
B
AB
~(A  B)
A  ~B
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (~Elim)
Wpr 3, 4
R2
~Elim 4-5, 4-6
Wpr 3-7
R1
~Elim 2-8, 2-9
Zał. (Wpr)
~B
~A
A
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
(g)
1.
~(~A  B)
396
Zał.
1.
A  ~B
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
~A  B
~B
~A
A
~(~A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 1
MTP 2, 3
Elim 1
~Wpr 2-4, 2-5
2.
3.
4.
5.
~A
~A  B
~(~A  B)
A
Zał. (~Elim)
Wpr 2
R1
~Elim 2-3, 2-4
6.
7.
8.
9.
10.
B
~A  B
~(~A  B)
~B
A  ~B
Zał. (~Wpr)
Wpr 6
R1
~Wpr 6-7, 6-8
Wpr 5, 9
~(~A  B)
Zał.
1.
A  ~B
Zał.
2.
3.
4.
5.
6.
~A  B
~A
~B
B
~(~A  B)
Zał. (~Wpr)
Elim 2
MTP 1, 3
Elim 2
~Wpr 2-4, 2-5
(h)
1.
2.
~(A  ~B)
Zał. (~Elim)
3.
4.
5.
6.
A
A  ~B
~(A  ~B)
~A
Zał. (~Wpr)
Wpr 3
R2
~Wpr 3-4, 3-5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
~B
A  ~B
~(A  ~B)
B
~A  B
~(~A  B)
A  ~B
Zał. (~Elim)
Wpr 7
R2
~Elim 7-8, 7-9
Wpr 6, 10
R1
~Elim 2-11, 2-12
Ćwiczenie 14.B
(a)
1.
2.
3.
(b)
p
p
pp
Zał. (Wpr)
R1
Wpr 1-2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(pq)  (q r)
p
pq
q
qr
r
pr
((pq)  (qr))  (pr)
(c)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(p  q)  (p  r)
p
pq
q
pr
r
qr
p  (q  r)
((p  q)  (p  r))  (p  (q  r))
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 3, 2
Elim 1
Elim 5, 2
Wpr 4, 6
Wpr 2-7
Wpr 1-8
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 3, 2
Elim 1
Elim 5, 4
Wpr 2-6
Wpr 1-7
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
397
(d)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(p  r)  (p  ~r)
p
pr
r
p  ~r
~r
~p
((p  r)  (p  ~r))  ~p
Zał. (Wpr)
Zał. (~Wpr)
Elim 1
Elim 3, 2
Elim 1
Elim 5, 2
~Wpr 2-4, 2-6
Wpr 1-7
(e)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
p  (q  r)
pq
qr
q
r
(p  q)  r
(p  (q  r))  ((p  q)  r)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 2
Elim 3, 4
Wpr 2-5
Wpr 1-6
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p  (q  r)
q
qr
r
p
pr
q  (p  r)
(p  (q  r))  (q  (p  r))
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 3, 2
Elim 1
Wpr 5, 4
Wpr 2-6
Wpr 1-7
(g)
1.
2.
p  (q  r)
q
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
3.
4.
5.
6.
7.
p
qr
r
pr
q  (p  r)
Zał. (Wpr)
Elim 1, 3
Elim 4, 2
Wpr 3-5
Wpr 2-6
8.
q  (p  r)
Zał. (Wpr)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
p
q
pr
r
qr
p  (q  r)
(p  (q  r))  (q  (p  r))
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim 8, 10
Elim 11, 9
Wpr 10-12
Wpr 9-13
Wpr 1-7, 8-14
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 14
398
(h)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
(p  q)  ((p  r)  (q  s))
pq
(p  r)  (q  s)
Zał. (Wpr)
Elim 1
Elim 1
Zał. (Elim)
Elim 3
Elim 5, 4
Wpr 6
p
pr
r
rs
q
qs
s
rs
rs
((p  q)  ((p  r)  (q  s)))  (r  s)
Zał. (Elim)
Elim 3
Elim 9, 8
Wpr 10
Elim 2, 4-7, 8-11
Wpr 1-12
Ćwiczenie 14.C
1.
2.
~[(p  q)  (q  p)]
Zał. (~Elim)
Zał. (Wpr)
p
3.
~q
Zał. (~Elim)
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
q
p
qp
(p  q)  (q  p)
~[(p  q)  (q  p)]
Zał. (Wpr)
R2
Wpr 4-5
Wpr 6
R1
~Elim 3-7, 3-8
Wpr 2-9
Wpr 10
R1
~Elim 1-11, 1-12
q
pq
(p  q)  (q  p)
~[(p  q)  (q  p)]
(p  q)  (q  p)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 15
399
ROZDZIAŁ 15. DOWODZENIE VI
Ćwiczenie 15.A
(a) RŻE
i. p  r
+1
+2
+3
(b) RŻE
i. p  r
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Wpr (+1)-(+2)
p
r
pr
+1
+2
+3
r
p
rp
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Wpr (+1)-(+2)
(c) RŻW
i.
j.
pr
rp
+1
+2
p
r
+3
+4
+5
r
p
pr
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Zał. (Wpr)
Elim j, +3
Wpr (+1)-(+2), (+3)-(+4)
(d) MTP
i. p  q
j. ~p
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
Zał. (Elim)
p
q
Zał. (Elim)
R +6
Elim i, (+1)-(+5), (+6)-(+7)
q
q
q
(e) MTT
i. p  r
j. ~r
+1
+2
+3
+4
Zał. (~Elim)
R +1
Rj
~Elim (+2)-(+3), (+2)-(+4)
~q
p
~p
p
r
~r
~p
(f) HS
i. p  q
j. q  r
Zał.
Zał.
Zał. (~Wpr)
Elim i, +1
Rj
~Wpr (+1)-(+2), (+1)-(+3)
(g) HSS
i. p  r
+1
+2
+3
+4
+5
+6
rq
p
r
q
pq
(r  q)  (p  q)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
+1
+2
+3
+4
p
q
r
pr
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Elim j, +2
Wpr (+1)-(+3)
(h) HSS
i. p  r
Zał. (Wpr)
+1
Zał. (Wpr)
Elim i, +2
Elim +1, +3
Wpr (+2)-(+4)
Wpr (+1)-(+5)
+2
+3
+4
+5
+6
qp
q
p
r
qr
(q  p)  (q  r)
Zał. (Wpr)
Zał. (Wpr)
Elim +1, +2
Elim i, +3
Wpr (+2)-(+4)
Wpr (+1)-(+5)
400
Logika nie gryzie
(i) MN
i. p  r
j. p  s
+1
+2
+3
+4
+5
p
r
s
rs
p  (r  s)
(j) MPN
i. p  r
j. q  s
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Elim j, +1
Wpr +2, +3
Wpr (+1)-(+4)
(k) DP
i. p  r
j. q  r
pq
+1
+1
+2
+3
+4
p
r
rs
+5
+6
+7
+8
+9
q
s
rs
rs
(p  q)  (r  s)
Zał. (Elim)
Elim i, +2
+4
+5
+6
+7
q
r
Zał. (Elim)
Elim j, +4
Elim +1, (+2)-(+3), (+4)-(+5)
Wpr (+1)-(+6)
(m) RF
i. p  (q  r)
j. p  q
p
qr
q
r
pr
r
p
rp
Zał. (Wpr)
Elim +1
Elim i, +2
Elim +1
Elim j, +4
Wpr +3, +5
Wpr (+1)-(+6)
Zał. (Wpr)
Zał. (Elim)
Elim i, +2
Wpr +3
Zał. (Elim)
Elim j, +5
Wpr +6
Elim +1, (+2)-(+4), (+5)-(+7)
Wpr (+1)-(+8)
(n) RF
i. p  (q  r)
pq
+1
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Elim j, +1
Elim +2, +3
Wpr (+1)-(+4)
(o) RS
i. p
+1
+2
+3
pq
Zał. (Wpr)
p
r
+1
+2
+3
+4
+5
pq
p
r
q
s
rs
(p  q)  (r  s)
(l) DPN
i. p  r
j. q  s
+2
+3
r
(p  q)  r
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+2
+3
+4
+5
+6
+7
Zał. (Wpr)
p
qr
q
r
pr
(p  q)  (p  r)
Zał. (Wpr)
Elim i, +2
Elim +1, +2
Elim +3, +4
Wpr (+2)-(+5)
Wpr (+1)-(+6)
(p) RC
i. ~p  p
Zał. (Wpr)
Ri
Wpr (+1)-(+2)
+1
+2
+3
+4
~p
p
~p
p
Zał. (~Elim)
Elim i, +1
R +1
~Elim (+1)-(+2), (+1)-(+3)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 15
(q) RDS
i. ~p
+1
(r) IW
i. (p  ~r)  ~p
p
+2
+3
+4
+5
+6
401
~r
p
~p
r
pr
Zał. (Wpr)
+1
Zał. (~Elim)
R +1
Ri
~Elim (+2)-(+3), (+2)-(+4)
Wpr (+1)-(+5)
+2
+3
+4
+5
+6
+7
Zał. (Wpr)
p
~r
p  ~r
~p
p
r
pr
Zał. (~Elim)
Wpr +1, +2
Elim i, +3
R +1
~Elim (+2)-(+4), (+2)-(+5)
Wpr (+1)-(+6)
(s) IW
i. (p  ~r)  r
+1
Zał. (Wpr)
p
+2
+3
+4
+5
+6
+7
Zał. (~Elim)
Wpr +1, +2
Elim i, +3
R +2
~Elim (+2)-(+4), (+2)-(+5)
Wpr (+1)-(+6)
~r
p  ~r
r
~r
r
pr
Ćwiczenie 15.B
Część ze stosownych dowodów była już przedstawiana wcześniej. Na przykład dowody uzasadniające
wprowadzenie reguł DeM będą miały ten sam przebieg, co dowody z przykładów 1, 2, 3 i 4 w rozdziale 14.
Transpozycja (Trans)
Idempotentność (Idem)
Por. przykłady 7, 8 (rozdział 14)
Por. ćwiczenie 14.A, przykłady (b) i (c)
De Morgan (DeM)
Implikacja (Impl)
Por. przykłady 1, 2, 3, 4 (rozdział 14)
Por. ćwiczenie 14.A, przykład (e)
Negacja Implikacji (NegImpl)
Eksportacja (Eksp)
Por. ćwiczenie 14.A, przykład (f)
Por. ćwiczenie 14.A, przykład (d)
Podwójna negacja (Neg)
Por. ćwiczenie 14.A, przykład (a)
Przemienność (Przem)
i. p  r
+1
+2
+3
p
r
rp
Elim i
Elim i
Wpr +2, +1
Dowód {r  p} ⊢ p  r jest analogiczny.
i.
pr
+1
+2
r
p
+3
+4
+5
p
r
rp
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Zał. (Wpr)
Elim i, +3
Wpr (+1)-(+2), (+3)-(+4)
Dowód {r  p} ⊢ p  r jest analogiczny.
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
i.
pr
+1
+2
p
rp
+3
+4
+5
r
rp
rp
Zał. (Elim)
Wpr +1
Zał. (Elim)
Wpr +3
Elim i, (+1)-(+2), (+3)-(+4)
Dowód {r  p} ⊢ p  r jest analogiczny.
402
Logika nie gryzie
Łączność (Łącz)
i
p  (q  r)
+1
+2
+3
p
pq
(p  q)  r
Zał. (Elim)
Wpr +1
Wpr +2
+4
qr
Zał. (Elim)
+5
+6
+7
q
pq
(p  q)  r
+8
+9
+10
+11
r
(p  q)  r
(p  q)  r
(p  q)  r
Zał. (Elim)
Wpr +5
Wpr +6
i
p  (q  r)
+1
+2
+3
+4
+5
+6
p
qr
q
r
pq
(p  q)  r
Elim i
Elim i
Elim +2
Elim +2
Wpr +1, +3
Wpr +5, +4
Dowód {(p  q)  r} ⊢ p  (q  r) jest analogiczny.
Zał. (Elim)
Wpr +8
Elim +4, (+5)-(+7), (+8)-(+9)
Elim i, (+1)-(+3), (+4)-(+10)
Dowód {(p  q)  r } ⊢ p  (q  r) jest analogiczny.
Absorpcja (Abs)
i
+1
+2
+3
+4
pr
p
r
pr
p  (p  r)
i
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Wpr +1, +2
Wpr (+1)-(+3)
+1
+2
+3
+4
p  (p  r)
p
pr
r
pr
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Elim +2
Wpr (+1)-(+3)
Rozdzielność (Rozdz)
i
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
+10
+11
p  (q  r)
p
pq
pr
(p  q)  (p  r)
i
Zał. (Elim)
Wpr +1
Wpr +1
Wpr +2, +3
qr
Zał. (Elim)
q
Elim +5
pq
Wpr +6
r
Elim +5
pr
Wpr +8
(p  q)  (p  r) Wpr +7, +9
(p  q)  (p  r) Elim i, (+1)-(+4), (+5)-(+10)
+1
(p  q)  (p  r)
pq
Elim i
+2
+3
p
p  (q  r)
Zał. (Elim)
Wpr +2
+4
+5
q
pr
Zał. (Elim)
Elim i
+6
+7
p
p  (q  r)
+8
+9
+10
+11
+12
r
qr
p  (q  r)
p  (q  r)
p  (q  r)
Zał. (Elim)
Wpr +6
Zał. (Elim)
Wpr +4, +8
Wpr +9
Elim +5, (+6)-(+7), (+8)-(+10)
Elim +1, (+2)-(+3), (+4)-(+11)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 15
i
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
403
p  (q  r)
qr
p
i
Elim i
Elim i
+1
+2
+3
+4
+5
pq
p
q
qr
p  (q  r)
+6
+7
+8
+9
+10
+11
pr
p
r
qr
p  (q  r)
p  (q  r)
q
Zał (Elim)
pq
Wpr +2, +3
(p  q)  (p  r) Wpr +4
r
Zał (Elim)
pr
Wpr +2, +6
(p  q)  (p  r) Wpr +7
(p  q)  (p  r) Elim +1, (+3)-(+5), (+6)-(+8)
(p  q)  (p  r)
Zał (Elim)
Elim +1
Elim +1
Wpr +3
Wpr +2, +4
Zał (Elim)
Elim +6
Elim +6
Wpr +8
Wpr +7, +9
Elim i, (+1)-(+5), (+6)-(+10)
Równoważność (Równ)
i
pr
i
(p  r)  (r  p)
+1
+2
+3
p
r
pr
Zał. (Wpr)
Elim i, +1
Wpr (+1)-(+2)
+1
+2
+3
p
pr
r
+4
+5
+6
+7
r
p
rp
(p  r)  (r  p)
Zał. (Wpr)
Elim i, +4
Wpr (+4)-(+5)
Wpr +3, +6
+4
+5
+6
+7
r
rp
p
pr
i
+1
pr
~[(p  r)  (~p  ~r)]
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
+10
+11
+12
+13
+14
+15
+16
+17
+18
+19
+20
+21
+22
+23
Zał. (~Elim)
Zał. (~Elim)
~p
r
p
~p
~r
~p  ~r
(p  r)  (~p  ~r)
~[(p  r)  (~p  ~r)]
p
Zał. (~Wpr)
Elim i, +3
R +2
~Wpr (+3)-(+4), (+3)-(+5)
Wpr +2, +6
Wpr +7
R +1
~Elim (+2)-(+8), (+2)-(+9)
Zał. (~Elim)
~r
p
r
~r
~p
~p  ~r
(p  r)  (~p  ~r)
~[(p  r)  (~p  ~r)]
r
pr
(p  r)  (~p  ~r)
~[(p  r)  (~p  ~r)]
(p  r)  (~p  ~r)
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (~Wpr)
Elim i, +12
R +11
~Wpr (+12)-(+13), (+12)-(+14)
Wpr +15, +11
Wpr +16
R +1
~Elim (+11)-(+17), (+11)-(+18)
Wpr +10, +19
Wpr +20
R +1
~Elim (+1)-(+21), (+1)-(+22)
Zał. (Wpr)
Elim i
Elim +2, +1
Zał. (Wpr)
Elim i
Elim +5, +4
Wpr (+1)-(+3), (+4)-(+6)
404
i
Logika nie gryzie
(p  r)  (~p  ~r)
+1
pr
Zał (Elim)
+2
+3
p
r
Zał (Wpr)
Elim +1
+4
+5
+6
r
p
pr
Zał (Wpr)
Elim +1
Wpr (+2)-(+3), (+4)-(+5)
+7
~p  ~r
Zał (Elim)
+8
p
Zał (Wpr)
+9
+10
+11
+12
r
Zał. (~Elim)
R +8
Elim +7
~Elim (+9)-(+10), (+9)-(+11)
+13
r
Zał (Wpr)
+14
+15
+16
+17
+18
+19
i
+1
~r
p
~p
~p
r
~r
p
pr
pr
Zał. (~Elim)
R +13
Elim +7
~Elim (+14)-(+15), (+14)-(+16)
Wpr (+8)-(+12), (+13)-(+17)
Elim i, (+1)-(+6), (+7)-(+18)
(p  r)  (~p  ~r)
Zał (Wpr)
p
+2
+3
pr
r
Zał (Elim)
Elim +2
+4
~p  ~r
Zał (Elim)
+5
+6
+7
+8
+9
~r
p
~p
r
Zał. (~Elim)
R +1
Elim +4
~Elim (+5)-(+6), (+5)-(+7)
Elim i, (+2)-(+3), (+4)-(+8)
+10
r
Zał (Wpr)
r
+11
+12
pr
p
Zał (Elim)
Elim +11
+13
~p  ~r
Zał (Elim)
+14
+15
+16
+17
+18
+19
~p
r
~r
p
p
pr
Zał. (~Elim)
R +10
Elim +13
~Elim (+14)-(+15), (+14)-(+16)
Elim i, (+11)-(+12), (+13)-(+17)
Wpr (+1)-(+9), (+10)-(+18)
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 15
405
Negacja równoważności (NegRówn)
i
+1
+2
~(p  r)
~[(p  ~r)  (~p  r)]
Zał (~Elim)
Zał (Wpr)
p
+3
+4
+5
+6
+7
r
Zał. (~Elim)
Wpr (+2)-(+3)
Wpr +4
R +1
~Elim (+3)-(+5), (+3)-(+6)
+8
r
Zał (Wpr)
~r
p  ~r
(p  ~r)  (~p  r)
~[(p  ~r)  (~p  r)]
+9
+10
+11
+12
+13
+14
+15
+16
p
pr
~(p  r)
(p  ~r)  (~p  r)
i
(p  ~r)  (~p  r)
+1
~p
~p  r
(p  ~r)  (~p  r)
~[(p  ~r)  (~p  r)]
pr
Zał. (~Elim)
Wpr (+9)-(+8)
Wpr +10
R +1
~Elim (+9)-(+11), (+9)-(+12)
Wpr (+2)-(+7), (+8)-(+13)
Ri
~Elim (+1)-(+14), (+1)-(+15)
Zał (~Wpr)
+2
+3
+4
+5
+6
p  ~r
p
r
~r
r  ~r
Zał (Elim)
Elim +2
Elim (+1), (+3)
Elim +2
Wpr (+4)-(+5)
+7
~p  r
Zał (Elim)
+8
+9
+10
+11
+12
+13
+14
+15
+16
~(r  ~r)
r
p
~p
r  ~r
r  ~r
r
~r
~(p  r)
Zał. (~Elim)
Elim +7
Elim (+1), (+9)
Elim +7
~Elim (+8)-(+10), (+8)-(+11)
Elim i, (+2)-(+6), (+7)-(+11)
Elim +13
Elim +13
~Wpr (+1)-(+14), (+1)-(+15)
Ćwiczenie 15.C
(a)
1.
2.
CD
~~(C  D)
Zał.
Neg 1
(b)
1.
2.
3.
~~C  D
Neg 1
4.
C  ~~D
Neg 1
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
~A  ~B
~~(~A  ~B)
Zał.
Neg 1
3.
~~~A  ~B
Neg 1
4.
~A  ~~~B
Neg 1
406
(c)
1.
2.
Logika nie gryzie
C  ~~A
~~(C  ~~A)
Zał.
Neg 1
(d)
1.
2.
3.
CA
Neg 1
4.
5.
~~C  ~~A
C  ~~~~A
(e)
1.
2.
3.
~~(B  ~C)
B  ~C
Zał.
Neg 1
3.
~~~~(B  ~C)
Neg 1
Neg 1
Neg 1
4.
5.
~~(~~B  ~C)
~~(B  ~~~C)
Neg 1
Neg 1
~(A  ~(B  C))
~A  ~~(B  C)
Zał.
DeM 1
(f)
1.
2.
~(~D  ~(A  C))
~~D  ~~(A  C)
Zał.
DeM 1
~(A  (~B  ~C))
DeM 1
3.
~(~D  (~A  ~C))
DeM 1
4.
~~(D  (A  C))
DeM 1
(g)
1.
2.
~(~(~A  ~C)  ~(~B  ~D))
~(~~(A  C)  ~(~B  ~D))
Zał.
DeM 1
3.
~(~(~A  ~C)  ~~(B  D))
DeM 1
4.
~((~~A  ~~C)  ~(~B  ~D))
DeM 1
5.
~(~(~A  ~C)  (~~B  ~~D))
DeM 1
6.
~~(~A  ~C)  ~~(~B  ~D))
DeM 1
(h)
1.
2.
CB
(C  B)  (C  B)
Zał.
Idem 1
(i)
1.
2.
~(A  D)
~(A  D)  ~(A  D)
Zał.
Idem 1
3.
(C  B)  (C  B)
Idem 1
3.
~(A  D)  ~(A  D)
Idem 1
4.
(C  C)  B
Idem 1
4.
~((A  A)  D)
Idem 1
5.
6.
C  (B  B)
(C  C)  B
Idem 1
Idem 1
5.
6.
~(A  (D  D))
~((A  A)  D)
Idem 1
Idem 1
7.
C  (B  B)
Idem 1
7.
~(A  (D  D))
Idem 1
(j)
1.
2.
(A  B)  (C  D)
(C  D)  (A  B)
Zał.
Przem 1
(k)
1.
2.
(A  B)  (C  D)
((A  B)  C)  D
Zał.
Łącz 1
3.
(B  A)  (C  D)
Przem 1
3.
A  (B  (C  D))
Łącz 1
4.
(A  B)  (D  C)
Przem 1
(l)
1.
2.
(A  B)  (C  D)
((A  B)  C)  ((A  B)  D)
Zał.
Rozdz 1
3.
(A  (C  D))  (B  (C  D))
Rozdz 1
4.
(A  B)  (C  D)
Rozdz 2
5.
((A  C)  (B  C))  ((A  B)  D)
Rozdz 2
6.
((A  B)  C)  ((A  D)  (B  D))
Rozdz 2
7.
(A  B)  (C  D)
Rozdz 3
8.
((A  C)  (A  D))  (B  (C  D))
Rozdz 3
9.
(A  (C  D))  ((B  C)  (B  D))
Rozdz 3
Rozwiązania ćwiczeń do rozdziału 15
407
Ćwiczenie 15.D
(a)
1
2
3
(J  A)  F
~~(J  A)  F
~(J  A)  F
Zał.
Neg 1
Impl 2
1
2
3
~(J  A)  F
~~(J  A)  F
(J  A)  F
Zał.
Impl 1
Neg 2
1
2
3
(S  ~K)  B
~~(S  ~K)  B
~(S  ~K)  B
Zał.
Neg 1
Impl 1
1
2
3
~(S  ~K)  B
~~(S  ~K)  B
(S  ~K)  B
Zał.
Impl 1
Neg 2
(b)
(c)
A  (L  ~K) jest logicznie równoważne ~(L  ~K)  ~A na mocy reguły transpozycji.
~(L  ~K)  ~A jest logicznie równoważne (~L  K)  ~A:
1
2
3
~(L  ~K)  ~A
(~L  ~~K)  ~A
(~L  K)  ~A
Zał.
DeM 1
Neg 2
1
2
3
(~L  K)  ~A
(~L  ~~K)  ~A
~(L  ~K)  ~A
Zał.
Neg 1
DeM 2
A  (L  ~K) jest logicznie równoważne (~L  K)  ~A:
1
2
3
4
A  (L  ~K)
~(L  ~K)  ~A
(~L  ~~K)  ~A
(~L  K)  ~A
Zał.
Transp 1
DeM 2
Neg 3
1
2
3
4
(~L  K)  ~A
(~L  ~~K)  ~A
~(L  ~K)  ~A
A  (L  ~K)
Zał.
Neg 1
DeM 2
Transp 3
(d)
Z  (R  Ć) jest logicznie równoważne ~(R  Ć)  ~Z na mocy reguły transpozycji.
~(R  Ć)  ~Z jest logicznie równoważne (~R  ~Ć)  ~Z na mocy reguł de Morgana.
Z  (R  Ć) jest logicznie równoważne (~R  ~Ć)  ~Z:
1
2
3
Z  (R  Ć)
~(R  Ć)  ~Z
(~R  ~Ć)  ~Z
Zał.
Transp 1
DeM 2
1
2
3
(~R  ~Ć)  ~Z
~(R  Ć)  ~Z
Z  (R  Ć)
Zał.
DeM 1
Transp 2
Oczywiście każdy z tych dowodów można skonstruować za pomocą wyłącznie reguł pierwotnych.
Dowody te będą jednak bardziej złożone.
Ćwiczenie 15.E
(a)
1.
2.
3.
4.
5.
(b)
~(p  ~p)
~p  ~~p
~p
~~p
p  ~p
K. Paprzycka, Logika nie gryzie
Zał. (~Elim)
DeM 1
Elim 2
Elim 2
~Elim 1-3, 1-4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
~[(p  q)  (q  p)]
~(p  q)  ~(q  p)
~(p  q)
~(q  p)
p  ~q
q  ~p
p
~p
(p  q)  (q  p)
Zał. (~Elim)
DeM 1
Elim 2
Elim 2
NegImpl 3
NegImpl 4
Elim 5
Elim 6
~Elim 1-7, 1-8

Podobne dokumenty