Skrypt

Blok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych
I.
Odczytywanie informacji z wykresu – co tak naprawdę na nim się
znajduje.
Chcąc odczytać informacje z wykresu funkcji, musimy dokładnie wiedzieć, jaka wielkość fizyczna
została na nim przedstawiona. W przypadku wykresów wielkości skalarnych nie ma żadnych
wątpliwości (np. wykres szybkości od czasu, wykres temperatury w zależności od głębokości itp.).
Sprawa komplikuje się jednak w przypadku wykresów związanych z wielkościami wektorowymi,
ponieważ czasami informacja podana w zadaniu jest niejednoznaczna.
Nie można narysować wykresu funkcji wektora (np. od czasu, odległości itd.). Można jedynie
narysować wykres zależności wartości wektora (np. od czasu, odległości itd.) lub wykresy
zależności poszczególnych współrzędnych wektora (np. od czasu, odległości itd.)
Często – zarówno w zadaniach, jak i na wykładach - stosowany jest jednak skrót myślowy – mówi
się na przykład „na rysunku przedstawiono wykres prędkości od czasu”, co literalnie nie może być
prawdą. Należy wówczas zadać sobie pytanie, co tak naprawdę zostało przedstawione na
wykresie.
►Przykład 2.1: „Wykres prędkości ciała w ruchu
prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Skoro rozważany ruch jest prostoliniowy, to
znaczy, że odbywa się po linii prostej, z którą możemy
związać jedną oś układu współrzędnych, np. oś OX.
Ponieważ część wykresu v(t ) znajduje się poniżej osi
czasu, oznacza to, że v(t )  0 (w przedziale czasu,
t 2 : (2 s; 3,5 s)). Nie może zatem być to wykres
wartości prędkości ciała (wartość wektora jest zawsze
wielkością nieujemną). Zatem wykres przedstawia
zależność współrzędnej prędkości ciała od czasu.
►Przykład 2.2: „Wykres prędkości ciała w ruchu
prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Skoro rozważany ruch jest prostoliniowy, to
znaczy, że odbywa się po linii prostej, z którą możemy
związać jedną oś układu współrzędnych, np. oś OX.
Wykres v(t ) w całości leży powyżej osi czasu (co
oznacza, że v(t )  0 przez cały czas trwania ruchu),
dlatego z całą pewnością można stwierdzić, że jest to
wykres wartości prędkości tego ciała. Bez
dodatkowych informacji o zwrocie prędkości nie można
jednak stwierdzić jednoznacznie, czy jest to także
wykres współrzędnej prędkości tego ciała, czy też nie. Istnieją bowiem przynajmniej dwie
możliwości – odpowiadające im wykresy współrzędnych prędkości przedstawiono poniżej:
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
10
gdy ciało porusza się przez cały czas
zgodnie ze zwrotem wybranej osi OX
gdy ciało porusza się przez cały czas w stronę
przeciwną do zwrotu wybranej osi OX
►Przykład 2.3: „Wykres prędkości ciała
przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Ponieważ nie posiadamy informacji, czy
ruch jest prostoliniowy, musimy zakładać, że jest on
krzywoliniowy.
Ponieważ część wykresu v(t ) znajduje się poniżej
osi czasu, oznacza to, że v(t )  0 (w przedziale
czasu, t 2 : (2 s; 3,5 s)). Nie może zatem być to
wykres wartości prędkości ciała (wartość wektora
jest zawsze wielkością nieujemną). Zatem wykres
przedstawia zależność jednej ze współrzędnych prędkości ciała od czasu.
►Przykład 2.4: „Wykres prędkości ciała
przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Ponieważ nie posiadamy informacji, czy
ruch jest prostoliniowy, musimy zakładać, że jest on
krzywoliniowy.
Wykres v(t ) w całości leży powyżej osi czasu (co
oznacza, że v(t )  0 przez cały czas trwania
ruchu), dlatego z całą pewnością można stwierdzić,
że jest to wykres wartości prędkości tego ciała.
Być może wykres przedstawia także zależność
jednej ze współrzędnych prędkości ciała od czasu,
ale aby to stwierdzić, potrzebne są dodatkowe informacje (kierunek i zwrot prędkości).
Można dowiedzieć się, jaka jest zależność całego wektora (od zmiennej niezależnej, np.
od czasu), ale tylko wtedy, gdy poznamy wykresy zależności wszystkich jego
współrzędnych (od tej samej zmiennej niezależnej, np. od czasu).
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
11
II.
Odczytywanie informacji z wykresu – analiza wykresu.
1. Z wykresów współrzędnych wektorów można odczytać, w którą stronę zwrócona jest
odpowiednia składowa wektora.
►Przykład 2.5: Na wykresie zależności iksowej
współrzędnej prędkości od czasu, widać, że w
przedziale czasu t 1 :
(0 s; 2 s) współrzędna ta jest dodatnia (tzn. v x ( t )  0) ,
skąd wnioskujemy, że w czasie t 1 iksowa składowa
prędkości jest zwrócona zgodnie ze zwrotem osi OX. Na
tym samym wykresie, w przedziale czasu t 2 : (2 s; 3,5
s) iksowa współrzędna prędkości jest ujemna
( v x ( t )  0) ), skąd wiadomo, że w czasie t 2 iksowa
składowa prędkości jest zwrócona przeciwnie do zwrotu
osi OX.
2. Z wykresów zależności jednej wielkości fizycznej od zmiennej niezależnej (np. czasu) można
często obliczyć inne wielkości fizyczne.
 Wykres przedstawia zależność wielkości fizycznej  od zmiennej niezależnej  , czyli
() , a my poszukujemy funkcji () , przy czym wiemy, że () jest pochodną
d()
). Wówczas szukana () jest
d
funkcją tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu () do osi C, obliczaną w
każdym punkcie  .
funkcji () po  (czyli ()  ' () 
Wersja bez pochodnych: Wykres przedstawia zależność wielkości fizycznej Z od zmiennej
niezależnej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w
jednostkach fizycznych (j). Jeżeli poszukujemy zależności wielkości fizycznej W(J), której
jednostką jest ( zj ) , to W(J) jest równe tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu Z(J)
do osi J, obliczanej w każdym punkcie J.
►Przykład 2.6: Wykres współrzędnej prędkości ciała został
przedstawiony na rysunku. Narysuj zależność współrzędnej
przyspieszenia tego ciała od czasu.
Wiemy, że a x  v x t  ' , czyli iksowa współrzędna
przyspieszenia ciała jest pochodną funkcji iksowej
współrzędnej prędkości tego ciała po czasie.
Albo mówiąc inaczej:
m
 v 
m  
, co potwierdza równość jednostek po obu stronach równania:     s  .
ax   x 
 t  t 0
 s 2   s 
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
12
Zatem współrzędna przyspieszenia ciała jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do
wykresu v x ( t ) . W podanym przykładzie: a x ( t )   42 m2  2 m2 (i jest akurat funkcją stałą).
s

s
Wykres przedstawia zależność wielkości fizycznej  od zmiennej niezależnej  , czyli
() , a my poszukujemy funkcji () , przy czym wiemy, że () jest całką funkcji

() po d (czyli ()  () d ). Wówczas szukana () jest równa sumie
pól figur zawartych pomiędzy wykresem () a osią  ; przy czym pola figur
znajdujących się powyżej osi  są w tej sumie uwzględniane ze znakiem „+”, a pola
figur znajdujących się poniżej osi  są w tej sumie uwzględniane ze znakiem „-”.

Wersja bez całek: Wykres przedstawia zależność wielkości fizycznej Z od zmiennej
niezależnej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w
jednostkach fizycznych (j). Jeżeli poszukujemy zależności wielkości fizycznej W(J),
której jednostką jest z  j , to W(J) jest równe sumie pól figur zawartych pomiędzy
wykresem Z(J) a osią J; przy czym pola figur znajdujących się powyżej osi J są w tej
sumie uwzględniane ze znakiem „+”, a pola figur znajdujących się poniżej osi  są w
tej sumie uwzględniane ze znakiem „-”.
►Przykład 2.7: Wykres iksowej współrzędnej prędkości
ciała został przedstawiony na rysunku. Oblicz zmianę
współrzędnej przemieszczenia ciała po czasie t 1  3,5 s .
Wiemy, że v x ( t ) 
dx ( t )
, czyli funkcja iksowej
dt
współrzędnej prędkości ciała jest pochodną funkcji iksowej
współrzędnej położenia tego ciała po czasie. Stąd
zależność iksowej współrzędnej przemieszczenia od

czasu jest całką: x ( t )  v x ( t )  dt .
Albo mówiąc inaczej:
x  v x ( t )  t t 0 , co potwierdza równość jednostek po obu stronach równania: (m) 
ms  (s) .
Zatem współrzędna przemieszczenia ciała po czasie t 1  3,5 s , licząc od początku ruchu, jest
równa sumie pól P1 i  P2 zawartych pomiędzy wykresem funkcji v x ( t ) , a osią czasu. Jak widać
pole P1 wstawiamy do tej sumy ze znakiem „+” (bo ta figura leży powyżej osi czasu), a pole P2 ze znakiem „-” (bo ta figura leży poniżej osi czasu). W podanym przykładzie:
x ( t )  12  4 ms  2 s  12  2 ms  1,5 s  2,5 m
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
13
III.
Matematyczny opis ruchu prostoliniowego.
W wielu zadaniach mamy do czynienia albo z ruchem jednostajnym, albo z ruchem jednostajnie
zmiennym.

Ruch jednostajny to taki ruch, w którym wartość prędkości ciała pozostaje stała podczas

całego ruchu, czyli | v | const .
Jeśli dodatkowo ruch ten odbywa się po linii prostej (ruch jednostajny prostoliniowy),
opisywany jest przez parę równań:
○
○

 


x  x 0  v  t - wektor położenia tego ciała ( x 0 oznacza początkowe położenie ciała)

v  const
- wektor prędkości tego ciała
Ruch jednostajnie zmienny oznacza, że wartość przyspieszenia ciała pozostaje stała

podczas całego ruchu, czyli | a | const .
Jeśli dodatkowo ruch ten odbywa się po linii prostej (ruch prostoliniowy jednostajnie
zmienny), opisywany jest przez parę równań:
○
○

 


x  x 0  v 0 x  t  12 a x  t 2 - wektor położenia tego ciała ( x 0 oznacza początkowe

położenie ciała, v 0 oznacza początkową prędkość ciała)

 
v  v 0x  a x  t
- wektor prędkości tego ciała
Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony to taki ruch, w którym prędkość ciała i
jego przyspieszenie mają ten sam zwrot (czyli ich współrzędne mają te same znaki).
Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrzędnych mają postać:
○
○


x  x 0  | v 0 x | t  12 | a x | t 2 - iksowa współrzędna położenia tego ciała


v x | v 0 x |  | a x | t
- iksowa współrzędna prędkości tego ciała
Ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony to taki ruch, w którym prędkość ciała i jego
przyspieszenie mają przeciwne zwroty (czyli ich współrzędne mają przeciwne znaki).
Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrzędnych mają postać:
○
○


x  x 0  | v 0 x | t  12 | a x | t 2 - iksowa współrzędna położenia tego ciała


v x | v 0 x |  | a x | t
- iksowa współrzędna prędkości tego ciała
Stwierdzenie, że w ruchu przyspieszonym przyspieszenie jest dodatnie, a w ruchu
opóźnionym – ujemne jest błędne, gdyż to nie wektor, ale jego składowe mają przypisane
znaki; sam wektor nie ma określonego znaku.
Niepoprawne jest również stwierdzenie, że wartość przyspieszenia w tych ruchach jest
odpowiednio: dodatnia lub ujemna, gdyż wartość dowolnego wektora jest liczbą
nieujemną.
Nie jest także w ogólności prawdą, że w ruchu przyspieszonym prostoliniowym
współrzędna przyspieszenia jest dodatnia, a w ruchu prostoliniowym opóźnionym –
ujemna, bo to zależy od wyboru zwrotu osi układu współrzędnych.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
14
IV.
Składanie ruchów – rzuty.
Spadek swobodny, rzut pionowy, rzut poziomy i ukośny są przykładami ruchów odbywających się
ze stałym przyspieszeniem, w płaszczyźnie pionowej.
Spadek swobodny i rzut pionowy są ruchami, które można opisać w jednym wymiarze
( w kierunku pionowym), natomiast rzut poziomy i rzut ukośny to ruchy, do których opisu
potrzebne są dwa wymiary.
We wszystkich przypadkach poniżej układy współrzędnych zostały tak wybrane, aby oś

pionowa była osią OY. Wówczas przyspieszenie ziemskie, g jest równoległe do tej osi.
Należy jednak zwrócić uwagę na to, że zwrot osi OY jest dobierany w zależności od
rozważanego przypadku.
1. Spadek swobodny i rzut pionowy są ruchami prostoliniowymi jednostajnie zmiennymi,
opisywanymi układem równań wektorowych:
 y  y 0  v 0 y  t  1 g  t 2
2
,



v

v

g

t
 y
0y



gdzie y 0 - początkowe położenie ciała na osi pionowej, v 0 y - początkowa prędkość ciała, g przyspieszenie ciała. Są to równania ogólne, z których wyprowadza się następnie równania
współrzędnych, uwzględniając szczegóły konkretnych ruchów oraz zwrot osi OY obranego
wcześniej przez nas układu współrzędnych. I tak:
Spadek swobodny - we współrzędnych:
 y | y 0 |  1 | g | t 2
2


v

|
g
|

t
 y
- przy tak wybranym układzie współrzędnych:
Rzut pionowy - we współrzędnych:
 y | y 0 |  | v 0 y | t  1 | g | t 2
2



v y | v 0 y |  | g | t
- przy tak wybranym układzie współrzędnych:
2. Rzut poziomy i ukośny można rozpatrywać jako złożenie dwóch, odbywających się
równocześnie ruchów: jednostajnego wzdłuż osi poziomej (osi OX) i jednostajnie zmiennego
wzdłuż osi pionowej (osi OY).

Ruch jednostajny wzdłuż osi OX odbywa się ze stałą prędkością v 0 x i opisywany jest równaniami
wektorowymi:
 



x  x 0  v 0x  t i v x  v 0x .
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
15

Ruch jednostajnie zmienny wzdłuż osi OY odbywa się z prędkością początkową v 0 y i

przyspieszeniem g , i opisywany równaniami wektorowymi:
 y  y 0  v 0 y  t  1 g  t 2
2



v

v

g

t
 y
0y
Rzut poziomy - we współrzędnych:
 y | y 0 |  1 | g | t 2
2


v

|
g
|

t
 y
 



x  x 0  v 0x  t i v x  v 0x
- przy tak wybranym układzie współrzędnych:
Rzut ukośny – we współrzędnych:
 y | y 0 |  | v 0 y | t  1 | g | t 2
2



v y | v 0 y |  | g | t
 



x  x 0  v 0x  t i v x  v 0x ,
gdzie


| v 0 x || v 0 |  cos 


| v 0 y || v 0 |  sin 
- przy tak wybranym układzie współrzędnych:
Jeżeli można pominąć opory ruchu, to czas wznoszenia ciała na maksymalną wysokość równy
jest czasowi opadania (w rzucie pionowym w górę, w rzucie ukośnym).
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
16