Wykład analizy matematycznej

Wojciech Kryszewski
Wykład analizy matematycznej
Część I. Funkcje jednej zmiennej
Toruń 2009
Spis treści
Wstęp
1
Preliminaria
Wskazówki dla Czytelnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
12
1 Liczby rzeczywiste
1.1 Liczby naturalne, całkowite i wymierne . . . . . . . . . . . .
1.1.A Dlaczego liczby wymierne nie są dostatecznie dobre?
1.2 Zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.A Definicja aksjomatyczna liczb rzeczywistych . . . . .
1.2.B Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządku
1.2.C Konsekwencje aksjomatu ciągłości . . . . . . . . . .
1.3 Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . .
1.3.A Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.B Liczby całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.C Liczby wymierne i niewymierne . . . . . . . . . . . .
1.3.D Przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów . . . . . .
1.3.E Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
17
18
18
20
22
25
26
29
31
32
34
2 Funkcje rzeczywiste
2.1 Przegląd funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . .
2.1.A Potęga o wykładniku rzeczywistym . . . . . .
2.1.B Funkcje potęgowe, wykładnicze i wielomiany
2.1.C Logarytmy i funkcje logarytmiczne . . . . . .
2.1.D Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne .
2.1.E Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kilka elementarnych nierówności . . . . . . . . . . .
2.3 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
38
38
43
44
46
47
47
53
3 Teoria ciągów liczbowych
3.1 Granica ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Własności ciągów zbieżnych i kryteria zbieżności
3.2.A Przejścia graniczne . . . . . . . . . . . . .
3.2.B Kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . .
3.3 Działania na ciągach zbieżnych . . . . . . . . . .
3.4 Liczba Eulera e, logarytmy naturalne . . . . . . .
3.5 Granice niewłaściwe ciągów . . . . . . . . . . . .
3.6 Granice częściowe i ekstremalne ciągów . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
57
62
64
65
68
72
75
78
4 Uzupełnienia
4.1 Terminologia topologiczna . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.A Zbiory zwarte i spójne . . . . . . . . . . . . .
4.2 Uwagi na temat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych
4.2.A Problem aproksymacji . . . . . . . . . . . . .
4.3 Konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . .
4.3.A Konstrukcja Dedekinda . . . . . . . . . . . .
4.3.B Konstrukcja Cantora . . . . . . . . . . . . . .
4.3.C Jednoznaczność zbioru liczb rzeczywistych . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
86
89
91
93
93
96
99
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
Spis treści
5 Granica i ciągłość funkcji
5.1 Granica funkcji w punkcie . . . . . . . . .
5.2 Warunki dostateczne istnienia granicy . .
5.2.A Notacja Landaua . . . . . . . . . .
5.3 Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Kombinacje funkcji ciągłych . . . . . . . .
5.5 Własności funkcji ciągłych . . . . . . . . .
5.6 Jednostajna ciągłość funkcji . . . . . . . .
5.7 Punkty nieciągłości funkcji . . . . . . . .
5.8 Granice ekstremalne funkcji i półciągłość
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
101
109
113
117
123
126
130
133
136
6 Różniczkowalność funkcji
6.1 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Interpretacja pochodnej i różniczkowalności
6.3 Różniczka funkcji . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Metody obliczania pochodnych funkcji . . .
6.5 Pochodne jednostronne i niewłaściwe . . . .
6.6 Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
143
144
148
150
151
155
157
7 Badanie funkcji i ich pochodnych
7.1 Twierdzenie Lagrange’a . . . . . . . . . . . .
7.2 Wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Warunki istnienia ekstremów . . . . . . . . .
7.4 Wypukłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.A Punkty przegięcia funkcji i asymptoty
7.5 Badanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Elementy teorii interpolacji . . . . . . . . . .
7.7 Przybliżone rozwiązywanie równań . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
161
161
175
182
186
191
193
195
197
8 Teoria szeregów liczbowych
8.1 Szeregi i ich zbieżność . . . . . . . .
8.2 Kryteria zbieżności bezwzględnej . .
8.3 Szeregi o wyrazach dowolnego znaku
8.3.A Grupowanie wyrazów . . . .
8.3.B Przemienność . . . . . . . . .
8.4 Iloczyn Cauchy’ego szeregów . . . .
8.5 Szeregi iterowane i podwójne . . . .
8.6 Iloczyny nieskończone . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
201
201
205
215
218
218
221
224
228
Teoria całki Riemanna
9.1 Definicja całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Własności całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Podstawowe klasy funkcji całkowalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.A Metody przybliżone obliczania całek . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Własności funkcji górnej granicy całkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Inne metody obliczania całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Metody poszukiwania funkcji pierwotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.A Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.B Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych . . . . . . . . . . . . . .
9.6.C Podstawienia Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.D Metoda Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.E Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne . . . .
9.7 Całka Riemanna-Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.A Funkcje o wahaniu skończonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.B Całka Riemanna-Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym
9.8 Całka Kurzweila-Henstocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
231
231
238
241
246
249
256
263
267
273
274
276
277
279
281
283
296
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 Całka niewłaściwa
301
10.1 Całka niewłaściwa I rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.2 Całka niewłaściwa II rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3 Uzupełnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11 Różne zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego
315
11.1 Różne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.1.A Liczby algebraiczne i przestępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
iii
Spis treści
11.2 Krzywe i figury w RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.A Różniczkowalność i całkowalność funkcji wektorowych zmiennej
11.2.B Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej . . .
11.2.C Pole powierzchni figur płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.D Objętość i pole powierzchni figur obrotowych . . . . . . . . . .
11.3 Interpretacja i zastosowania fizyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
rzeczywistej
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
12 Ciągi i szeregi funkcyjne
12.1 Zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Własności zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . .
12.3 Kryteria zbieżności jednostajnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Własności funkcji granicznych ciągów i szeregów zbieżnych jednostajnie
12.5 Szeregi potęgowe i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Własności sumy szeregu potęgowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Szeregi Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.A Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Uzupełnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.A Funkcja ciągła i nigdzie nieróżniczkowalna . . . . . . . . . . . . .
12.8.B Zbieżność jednostajna całek niewłaściwych . . . . . . . . . . . .
12.8.C Przejścia graniczne w całce Riemanna-Stieltjesa . . . . . . . . . .
12.8.D Struktura funkcji monotonicznych . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.E Zwartość w przestrzeniach funkcyjnych, rodziny funkcji ciągłych
12.8.F Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa . . . . . . . . . . . . .
12.8.G Aproksymacja funkcji półciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
319
321
328
330
335
340
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
347
347
350
352
355
361
367
369
379
383
383
384
386
387
389
393
398
Skorowidz
403
Bibliografia
409