LISTA 2 ZAGADNIENIA PROWADZĄCE DO RÓWNAŃ

LISTA 2
ZAGADNIENIA PROWADZĄCE DO RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH RZĘDU PIERWSZEGO
1. a) Znaleźć krzywą przechodzącą przez punkt (2, 3) i mającą następującą własność: odcinek
dowolnej jej stycznej zawarty między osiami układu współrzędnych jest dzielony na pół
w punkcie styczności.
b) Znaleźć wszystkie krzywe o własności: odcinek dowolnej stycznej do krzywej zawarty
pomiędzy punktem styczności a punktem przecięcia z osią Ox jest dzielony na pół w
punkcie przecięcia z osią Oy.
2. a) W obwodzie mamy połączone szeregowo nienaładowany kondensator o pojemności C,
opornik o oporze R i źródło siły elektromotorycznej E. W chwili t = 0 zamykamy obwód.
Zbadać zależność napięcia na kondensatorze oraz natężenia prądu w obwodzie od czasu
t. Sporządzić wykresy tych zależności.
b) W obwodzie połączono szeregowo opornik o oporze R = 5[Ω], cewkę o indukcyjności L = 2, 5[H] oraz zewnętrzną siłę elektromotoryczną e(t) = 10 sin t[V]. Wyznaczyć
natężenie prądu i(t)[A] w obwodzie, jeśli i(0) = 0.
3. Prędkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia. Rozgrzany element zanurzono w cieczy o stałej temperaturze 20o C. po 5 minutach
jego temperatura spadla do 80o C, a po następnych 5 minutach do 50o C. Jaka była jego
temperatura na początku?
4. Zbiornik o pojemności 100 litrów zawiera roztwór soli o stężeniu 15%. Po włączeniu pomp
(w chwili t = 0) do zbiornika zaczyna wlewać się czysta woda z prędkością 3 l/min, a
powstały roztwór wylewa się z tą samą prędkością. Ile będzie soli w zbiorniku po 10
minutach? Po jakim czasie stężenie soli osiągnie 5%.
5. Zbiornik zawiera początkowo 200 litrów czystej wody. Do zbiornika wlewany jest roztwór
soli o stężeniu 10% z prędkością 2 l/min, a powstały roztwór wylewa się dwa razy wolniej.
Jakie będzie stężenie soli w zbiorniku po 20 minutach? ∗ Kiedy stężenie soli w zbiorniku
osiągnie 5%?
6. Chłopiec o wadze 36 kilogramów dobiega do ślizgawki z prędkością 3,6 m/s. Współczynnik
tarcia między jego butami a ślizgawką wynosi 1/20. Znaleźć odległość, jaką przebędzie
chłopiec, jako funkcję prędkości. Jako daleko chłopiec dojedzie?
7. To samo zadanie, gdy dodatkowo wieje z przeciwka wiatr z siłą równą 12v niutonów, gdzie
v jest prędkością chłopca (w m/s).
8. Najwyższy budynek świat (Burj Khalifa w Dubaju) ma 828 metrów wysokości. Ile czasu
będzie spadać na ziemię kamień upuszczony z jego wierzchołka i z jaką prędkością uderzy
w ziemię? Opór powietrza zaniedbujemy.
9. Waga spadochroniarza ze spadochronem wynosi 90 kilogramów. Opór powietrza jest proporcjonalny do prędkości. Znaleźć współczynnik k oporu powietrza dla lotu z zamkniętym
spadochronem, jeśli prędkość graniczna wynosi wtedy 53 m/s. Znaleźć prędkość po 20 s.
Znaleźć odległość, jaką przebył spadochroniarz do tego czasu.
10. Spadochroniarz z poprzedniego zadania otwiera spadochron po 20 s lotu. Graniczna prędkość wynosi teraz 5 m/s. Znaleźć nowy współczynnik k oporu powietrza. Jaka będzie
prędkość spadochroniarza po 1,2 oraz 5 sekundach lotu ze spadochronem? Jaką odległość
przebędzie w ciągu tych 5 s? Czy odpowiedź na to pytanie sugeruje na jakiej wysokości
powinien otworzyć spadochron, by bezpiecznie wylądować?
11. ∗ Rakieta o masie początkowej M0 (masa rakiety wraz z paliwem) porusza się w przestrzeni
kosmicznej z prędkością v0 . W chwili t = 0 zaczęto spalać paliwo. Spala się paliwo o masie
k na sekundę, nadając mu prędkość u względem rakiety. Znaleźć prędkość rakiety jako
funkcję czasu.
Wsk. Pęd układu złożonego z rakiety i wyrzucanych gazów musi być zachowany. Przy
układaniu równania można więc porównać pędy w chwili t oraz t + ∆t.
12. ∗ To samo zadanie, gdy rakieta startuje pionowo w górę z powierzchni ziemi. Ponadto
znaleźć prędkość rakiety w chwili, gdy wyczerpie się 90% początkowej ilości paliwa, przy
założeniu, że jego początkowa masa wynosiła m0 .
13. ∗ Zbiornik w kształcie walca jest napełnionony cieczą. Ciecz wycieka przez otwór w dnie.
Prędkość opróżniania zbiornika jest proporcjonalna do powierzchni otworu i pierwiastka
kwadratowego z wysokości cieczy nad otworem w dnie. Stwierdzono, że jeśli zbiornik jest
napełniony początkowo do połowy, to opróżnia się w ciągu 18 minut. Ile czasu potrzeba
na opróżnienie zbiornika, jeśli na początku jest on pełny?
ODPOWIEDZI
1. a) Hiperbola xy = 6, b) parabole y = Cx2 .
e−t/(RC) , b) i(t) = 1, 6 sin t − 0, 8 cos t + 0, 8e−2t .
2. a) uC (t) = E(1 − e−t/(RC) ), i(t) = E
R
3. 140◦ C.
4. y(10) = 11, 11 kg, t = 36 minut 37 sekund.
5. y(20) = 3, 82 kg, stężenie wynosi 1,74 % , po 82 minutach 50 sekundach.
6. y(v) = 13, 21 − 1, 02v 2 , 13,21 metra.
7. 5,33 metra, y(v) = −3v + 4, 41 ln(v + 1, 47) + 3, 63.
8. 13 sekund, 127,5 m/s.
9. k = 16, 66 kg/s, v(20) = 51, 69 m/s, y(20) = 781 metrów.
10. k = 176, 58 kg/s, v(1) = 11, 56 m/s, v(2) = 5, 92 m/s, v(5) = 5, 002 m/s, y(5) = 48, 77
metra.
0
.
11. v(t) = v0 + u ln MM
0 −kt
12. v(t) = −gt − u ln(1 − Mkt0 ).
√
13. 18 2 minut, tj. 25 minut 27 sekund.