Własności_funkcji
Transkrypt
Własności_funkcji
Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Andrzej Musielak Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Przypomnienie o funkcjach elementarnych Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne to podstawowe funkcje elementarne. Wszystkie funkcje, które powstaną z ich dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz złożenia tych funkcji to funkcje elementarne. Pojęcie funkcji elementarnych, ich właściwości, dziedziny, wykresy są ważne w dalszej części programu matematyki! ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 √ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 √ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0 Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 √ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0 Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0 Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 √ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0 Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0 Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0 Aby wyrażenie logt a miało sens, musi być t > 0 i t ≠ 1 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Funkcja f odwzorowująca zbiór D ⊂ R w R jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Dziedzina naturalna funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja jest dobrze określona. W praktyce pewne liczby mogą nam ”wypaść” z dziedziny w następujących wypadkach: Aby wyrażenie 1t miało sens, musi być t ≠ 0 √ Aby wyrażenie t miało sens, musi być t ≥ 0 Aby wyrażenie √1t miało sens, musi być t > 0 Aby wyrażenie loga t miało sens, musi być t > 0 Aby wyrażenie logt a miało sens, musi być t > 0 i t ≠ 1 Aby wyrażenie arc sin t lub arc cos t miało sens, musi być −1 ≤ t ≤ 1 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji Przykładowe zadanie: arc sin x2 Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: f (x) = √1−log (x+2) 2 Rozwiązanie: Muszą być spełnione następujące warunki: −1 ≤ x2 ≤ 1 x + 2 > 0 1 − log2 (x + 2) > 0 Pierwszy warunek oznacza, że x ∈ [−2, 2]. Drugi, że x ∈ (−2, +∞). W przypadku trzeciego mamy: 1 > log2 (x + 2) ⇔ log2 2 > log2 (x + 2) ⇔ 2 > x + 2 ⇔ 0 > x Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Dziedzina funkcji czyli x ∈ (−∞, 0). Ponieważ muszą być spełnione wszystkie trzy warunki jednocześnie, więc odpowiedzią jest część wspólna tych przedziałów, czyli (−2, 0) ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Funkcję rzeczywistą nazywamy różnowartościową jeśli dla dowolnych x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 ) Inaczej mówiąc: funkcja różnowartościowa różnym argumentom przypisuje różne wartości (jak sama nazwa wskazuje). W praktyce wykazać, że funkcja jest różnowartościowa można kilkoma sposobami: Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Można skorzystać z równoważnej definicji różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Można skorzystać z równoważnej definicji różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa) czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie będzie różnowartościowa) Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Można skorzystać z równoważnej definicji różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa) czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie będzie różnowartościowa) Jeśli wiemy skądinąd, że funkcja jest monotoniczna, to możemy wywnioskować, że jest też różnowartościowa. Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Można skorzystać z równoważnej definicji różnowartościowości: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Można narysować wykres funkcji (o ile to możliwe) i sprawdzić czy każda prosta pozioma przetnie ten wykres co najwyżej raz (wtedy funkcja będzie różnowartościowa) czy też przeciwnie: istnieje taka prosta pozioma, która przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie będzie różnowartościowa) Jeśli wiemy skądinąd, że funkcja jest monotoniczna, to możemy wywnioskować, że jest też różnowartościowa. Jeśli badana funkcja jest złożeniem funkcji różnowartościowych, to sama też jest różnowartościowa. Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Przykładowe zadanie: √ Sprawdzić czy funkcja f (x) = log2 (2 + arc sin x) z dziedziną naturalną jest różnowartościowa. Rozwiązanie: Nietrudno sprawdzić, że dziedzina naturalna to [−1, 1]. Jeśli chcemy skorzystać z definicji, to zakładamy, że dla pewnych x1 , x2 z dziedziny zachodzi równość f (x1 ) = f (x2 ) i sprawdzamy czy wynika√stąd, że x1 = x2 : √ log2 (2 + arc sin x1 ) = log2 (2 + arc sin x2 ) Podnosimy stronami do kwadratu: log2 (2 + arc sin x1 ) = log2 (2 + arc sin x2 ) Korzystamy z tego, że funkcja log2 t jest różnowartościowa: 2 + arc sin x1 = 2 + arc sin x2 Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje różnowartościowe Odejmujemy obustronnie dwójkę: arc sin x1 = arc sin x2 Korzystamy z różnowartościowości funkcji arc sin t x1 = x2 cbdo! Inną metodą jest zauważenie, że nasza funkcja to złożenie √ funkcji x, log2 x, 2 + x i arc sin x, z których każda jest różnowartościowa, a zatem nasza funkcja też jest różnowartościowa. ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Monotoniczność funkcji Funkcję rzeczywistą nazywamy rosnącą jeśli dla dowolnych x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Funkcję rzeczywistą nazywamy malejącą jeśli dla dowolnych x1 , x2 z dziedziny funkcji zachodzi wynikanie: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Funkcja jest monotoniczna w przedziale < a, b > gdy jest rosnąca lub malejąca dla x ∈< a, b >. Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Przykładowe zadania Zadanie: Sprawdzić czy funkcja f (x) = (log2 x)2 jest monotoniczna. Rozwiązanie: Pokażemy, że funkcja ta nie jest ani rosnąca ani malejąca. Weźmy najpierw x1 = 41 oraz x2 = 2 Mamy wtedy 2 f (x1 ) = (log2 14 ) = (−2)2 = 4 i f (x2 ) = (log2 2)2 = (1)2 = 1 czyli f(x) nie jest rosnąca. A teraz weźmy najpierw x1 = 12 oraz x4 = 2 Mamy wtedy 2 f (x1 ) = (log2 21 ) = (−1)2 = 1 i f (x2 ) = (log2 4)2 = (2)2 = 4 czyli f(x) nie jest malejąca. Wniosek: funkcja ta nie jest monotoniczna dla x ∈ R. ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcja odwrotna Jeśli funkcja f ∶ A → B (gdzie A to dziedzina, a B - zbiór wartości) jest różnowartościowa, to istnieje wtedy funkcja odwrotna do niej (oznaczana przez f −1 ), której dziedziną jest B, a zbiorem wartości A oraz jeśli f (x) = y , to f −1 (y ) = x. Można powiedzieć, że funkcja odwrotna zamienia miejscami wartość z argumentem funkcji wyjściowej. Rozważmy na przykład funkcję f (x) = log2 (2x + 4). Łatwo sprawdzić (rysując wykres), że jej dziedziną jest (−2, +∞), a zbiorem wartości R oraz, że funkcja jest różnowartościowa. Istnieje zatem funkcja do niej odwrotna. Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcje odwrotna Funkcja wyjściowa przypisuje argumentowi x wartość y zgodnie z ”przepisem” y = log2 (2x + 4), czyli ”weź argument, pomnóż go przez dwa, do wyniku dodaj czwórkę, a całość zlogarytmuj przy podstawie dwa”. Jeśli szukamy funkcji odwrotnej, to tym razem argumentem jest y , a wartością x, więc choć zależność między nimi to również y = log2 (2x + 4), to tym razem podobnego ”przepisu” nie ma (bo obliczenie x dla danej wartości y wymagałoby za każdym razem rozwiązania równania). Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Funkcja odwrotna Skoro więc ”przepisu” na to jak wyliczać wartość x w zależności od y nie ma, to należy go znaleźć. Mamy: y = log2 (2x + 4) 2y = 2x + 4 2y − 4 = 2x 2y −1 − 2 = x i stąd mamy ”przepis” na x: x = 2y −1 − 2 lub jak kto woli: f −1 (y ) = 2y −1 − 2 Na koniec można jeszcze z przyczyn estetycznych zmienić nazwę zmiennej na x (alternatywnie można też zamienić miejscami x i y na samym początku): f −1 (x) = 2x−1 − 2 ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Ćwiczenia Narysuj wykres funkcji: a) f (x) = (x − 2)2 + 3 b) f (x) = 2x−1 − 1 c) f (x) = 2 − log3 (x − 3) d) f (x) = 3−4x 2x+1 Sprawdź czy xfunkcja jest różnowartościowa: a) f (x) = e 3 + 4 b) f (x) = ln(x 2 + 4) 3 c) f (x) = 2x − 2 d) f (x) = e x + e −x Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych Ćwiczenia Znajdź dziedzinę naturalną oraz zbiór wartości. Sprawdź czy funkcja jest różnowartościowa, a jeśli tak, to wyznacz funkcję odwrotną. : √ a) f (x) = 2 + log5 (x + 1) b) f (x) = x−2 √ 1−x 7 4 c) f (x) = 5x d) f (x) = log22 x − 4 log2 x Wyznacz funkcję odwrotną do podanej: a) f (x) = x 2 − 2x + 3 dla x ∈ (1, +∞) b) f (x) = 2x−5 + 5 z dziedziną naturalną √ c) f (x) = x + x1 dla x ∈ (1, ∞) d) f (x) = 2x − 8 z dziedziną naturalną e)* f (x) = cos x dla x ∈ [π, 2π] ◇◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Własności funkcji rzeczywistych