Zadania i rozwiązania etapu I
Transkrypt
Zadania i rozwiązania etapu I
X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap I – szkolny Matematyka to „sztuka poprawnego rozumowania”. Odpowiedź do każdego zadania należy uzasadnić, nie wystarczy odpowiedzieć tak lub nie. Zadanie 1 W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko? Zadanie 2 Ustaw w kolejności malejącej liczby: 342 ; 435 ; 528 ; 621 ; 714 Zadanie 3 Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262(7) według następującej zasady: 485(10) = 1262(7) = 1 . 73 + 2 . 72 + 6 . 71 + 2 . 70 Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym 112410(5) + 2131(4). Zadanie 4 Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm. Jaką długość ma druga cięciwa? Zadanie 5 W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki AD = AC i BE = BC. Uzasadnij, że kąt DCE ma 1350. Zadanie 6. Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm2. Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna? Powodzenia ! Przykładowe rozwiązania Zadanie 1. W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko? Rozwiązanie: x - waga foczki, y - waga słoniątka Średnia waga zwierząt wzrosła o 3 kilogramy, zatem waga obu zwierząt wzrosła o 6 kilogramów. 6 – 4 = 2 Foczka przybrała na wadze 2 kilogramy. 4% . x = 2 x = 50 Foczka ważyła 50 kilogramów. 2% x y 3 2 2 (50 100 y 250 y) 6 y + 4 = 254 Odpowiedź: Słoniątko obecnie wazy 254 kilogramów. Zadanie 2 Ustaw w kolejności malejącej liczby: 342 ; 435 ; 528 ; 621 ; 714 Rozwiązanie: 342 = (36)7 = 7297 435 = (45)7 = 10247 528 = (54)7 = 6257 621 = (63)7 = 2167 714 = (72)7 = 497 36 = 33 . 33 = 27 . 27 = 729 45 = 42 . 43 = 16 . 64 = 1024 Odpowiedź: 435 ; 342 ; 528 ; 621 ; 714. Zadanie 3 Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262(7) według następującej zasady: 485(10) = 1262(7) = 1 . 73 + 2 . 72 + 6 . 71 + 2 . 70 Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym 112410(5) + 2131(4). Rozwiązanie: 112410(5) = 1 . 55 + 1 . 54 + 2 . 53 + 4 . 52 + 1 . 51 + 0 . 50 = 3125 + 625 + 250 + 100 + 5 + 0 = 4 105 2131(4) = 2 . 43 + 1 . 42 + 3 . 41 + 1 . 40 = 128 + 16 + 12 + 1 = 157 4 105 + 157 = 4 262 4262 : 3 = 1420 reszta = 2 1420 : 3 = 473 reszta = 1 473 : 3 = 157 reszta = 2 157 : 3 = 52 reszta = 1 52 : 3 = 17 reszta = 1 17 : 3 = 5 reszta = 2 5 : 3 = 1 reszta = 2 1 : 3 = 0 reszta = 1 12211212(3) = 1 . 37 + 2 . 36 + 2 . 35 + 1 . 34 + 1 . 33 + 2 . 32 + 1 . 31 + 2 . 30 Odpowiedź: 112410(5) + 2131(4) = 12211212(3). Zadanie 4 Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm. Jaką długość ma druga cięciwa? Rozwiązanie: Trójkąty ABC i AEF są równoramienne i podobne, bo mają równe kąty. Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję x = AE – długość drugiej cięciwy, AB = 8 5 8 12 a stąd x = 19,2 x drugi przypadek: x = AB - długość drugiej cięciwy, AE=8 5 x 12 a stąd x 8 Odpowiedź: Dłuższa cięciwa ma długość 19,2 cm lub 3,(3) cm. 3 1 3 Zadanie 5 W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki AD = AC i BE = BC. Uzasadnij, że kąt DCE ma 1350. Rozwiązanie: i - kąty ostre trójkąta prostokątnego 900 Trójkąty DAC i CBE są równoramienne, stąd 1800 (1800 2 DCA 900 Odpowiedź:. 2 ) 2 2 900 1800 i 2 900 (1800 2 450 ) 2 1350 DCA 1350 Zadanie 6. Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm2. Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna? Rozwiązanie: Oba trójkąty, na które krótsza przekątna BD podzieliła trapez są równoramienne. W trójkącie BCD wysokość a podzieliła podstawę na dwie części równe a, zatem trójkąt BCD jest prostokątny. 1 2 Pole trapezu jest równe 1 a 2 1 1 a2 2 a 8 96 Dłuższą przekątną trapezu p obliczamy z twierdzenia Pitagorasa p2 = 82 + 162 p 8 5 Odpowiedź: Dłuższa przekątna ma długość p 8 5.