5. Liczby zespolone
Transkrypt
5. Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Andrzej Musielak Rok akademicki 2015/16 UTP Bydgoszcz Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco: (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) (a, b)⋅(c, d) = (ac−bd, ad +bc) Takie określenie działań zapewnia nam ”porządne” zachowanie całej struktury, co ściśle rzecz biorąc oznacza, że zbiór punktów na płaszczyźnie z tymi dwoma działaniami jest ciałem, czyli czymś o podobnych własnościach do zbioru liczb rzeczywistych. Wygodniej ze względów rachunkowych będzie jednak używać postaci algebraicznej liczb zespolonych: (a, b) = a + bi W szczególności więc (1, 0) = 1 i (0, 1) = i oraz i 2 = (0, 1) ⋅ (0, 1) = (−1, 0) = −1. Dzięki temu ułatwieniu można dodawać i mnożyć liczby zespolone jak normalne Andrzejwystarczy Musielak Wykłady Liczby zespolone wyrażenia algebraiczne, tylkoz matematyki pamiętać, że i 2 = −1. Proste równania zespolone Przykład: z 2 − 2z + 5 = 0 Takie równanie rozwiązujemy tak samo jak zwykłe równanie kwadratowe, z tą różnicą, że nie przeszkadza nam ujemna delta: ∆ = 4 − 20 = −16 Pierwiastki kwadratowe z −16 są dwa: 4i oraz −4i (łatwo widać, że kwadrat tych liczb to właśnie −16). Możemy wybrać którykolwiek z nich i zapisać (umownie!): √ ∆ = 4i skąd ostatecznie: z1 = 2+4i z2 = 2−4i 2 = 1 + 2i 2 = 1 − 2i ◇ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone Nie zawsze jednak pierwiastek z delty można po prostu odgadnąć, czasem koniecznie będzie jego policzenie: Przykład: z 2 + (1 − 2i)z + 1 + 5i = 0 ∆ = (1 − 2i)2 − 4(1 + 5i) = 1 − 4i − 4 − 4 − 20i = −7 − 24i Nie widać od razu ile wynosi pierwiastek z tej liczby, wiemy jednak, że na pewno jest postaci a + bi dla pewnych a, b rzeczywistych. Mamy więc: (a + bi)2 = −7 − 24i a2 − b 2 + 2abi = −7 − 24i czyli a2 − b 2 = −7 oraz 2abi = −24i. Wyznaczamy z drugiego równania b = − 12 a , wstawiamy do pierwszego: a2 − 144 = −7 a2 (a2 )2 + 7a2 − 144 = 0 a to już łatwo sprowadzić podstawieniem t = a2 do równania kwadratowego (tym razem już w liczbach rzeczywistych). Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone t 2 + 7t − 144 = 0 są t1 = 9 i t2 = −16, czyli a2 = 0 lub a2 = −16. Oczywiście rzeczywiste rozwiązania ma tylko to pierwsze równanie, mamy więc a = 3 i b = −4 lub a = −3 i b = 4. Wybieramy dowolną z dwóch możliwości otrzymując ostatecznie: √ ∆ = 3 − 4i =1+i z2 = −1+2i−3+4i = −2 + 3i z1 = −1+2i+3−4i 2 2 ◇ Jeśli natomiast równanie nie jest kwadratowe, bo występuje w nim moduł lub sprzężenie, wówczas radzimy sobie podstawieniem z = a + bi. Przykład: z 2 − 2iz = 1 Podstawiamy z = a + bi: (a + bi)2 − 2i(a − bi) = 1 a2 − b 2 + 2abi − 2ai − 2b = 1 Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone a2 − b 2 − 2b + (2ab − 2a)i = 1 Musi być więc a2 − b 2 − 2b = 1 oraz 2ab − 2b = 0. Z drugiego równania wynika, że a = 0 lub b = 1. Jeśli a = 0, to z pierwszego wynika, że b = −1, a jeśli b = 1, to z pierwszego wynika, że a = 2 lub a = −2. Ostatecznie otrzymujemy trzy rozwiązania: i, 2 + i, −2 + i ◇◇◇ Postać trygonometryczna Oprócz postaci algebraicznej liczb zespolonych jest jeszcze postać trygonometryczna, w której korzystamy ze współrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie, czyli kąta φ między półprostą dodatnią OX , a półprostą OZ (gdzie Z to nasza liczba zespolona; oraz promienia r (czyli długości odcinka OZ ). Łatwo sprawdzić, że wówczas: a b cos φ = ∣z∣ sin φ = ∣z∣ Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone skąd dostajemy: a + bi = ∣z∣(cos φ + i sin φ) Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej wystarczy wyłączyć przed nawias moduł tej liczby, a następnie znaleźć w tablicach wartość kąta dla którego cosinus i sinus przyjmują odpowiednie wartości. Przykład: √ Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę − 3 + i. Jej √ √ moduł to oczywiście (− 3)2 + 12 = 2, mamy zatem: √ √ − 3 + i = 2 ⋅ (− 23 + 12 i) √ Szukamy więc takiego kąta, którego cosinus jest równy − 23 , a sinus jest równy 12 . Nietrudno sprawdzić w tablicach, że takim kątem jest φ = 56 π, mamy więc ostatecznie: √ 5π ) − 3 + i = 2 ⋅ (cos 5π 6 + i sin 6 Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna z uwagi Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone na wzór de Moivre’a, który przydaje się do potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych: n (∣z∣(cosφ + i sin φ)) = ∣z∣n (cos nφ + i sin nφ) Zobaczmy jak wygląda potęgowanie liczby z poprzedniego przykładu: √ 11 5π )) = (− 3 + i)11 = (2 ⋅ (cos 5π 6 + i sin 6 5π )= 211 ⋅ (cos 11 ⋅ 5π 6 + i sin 11 ⋅ 6 55π 7π 55π 11 )= = 2 ⋅ (cos 6 + i sin 6 ) = 211 ⋅ (cos 7π 6 + i sin 6 √ 2048 ⋅ (− 23 − 12 i) Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy dowolne rozwiązanie równania z n = w . Zasadnicze Twierdzenie Algebry mówi, że każdy wielomian (niezerowego stopnia) ma zespolone miejsce zerowe. Łatwo stąd wywnioskować, że każdy wielomian zespolony n-tego stopnia ma dokładnie n miejsc zerowych (licząc z krotnościami). W szczególności więc również pierwiastków n-tego stopnia z w musi być dokładnie Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone n. Wystarczy zatem wskazać n rozwiązań powyższego równania, żeby znaleźć wszystkie pierwiastki z w . Jeśli w = ∣w ∣(cos α + i sin α), to te rozwiązania są postaci: √ n ) dla k = 0, 1, . . . , n − 1 zk = ∣w ∣ (cos α+2kπ + i sin α+2kπ n n W szczególności jeśli w = 1, to pierwiastki n-tego stopnia z jedynki są postaci: 2kπ zk = cos 2kπ dla k = 0, 1, . . . , n − 1 n + i sin n Warto zwrócić uwagę, że pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej na płaszczyźnie są wierzchołkami n-kąta foremnego. Policzmy dla przykładu pierwiastki czwartego stopnia z −1 czyli rozwiązania równania z 4 = −1. Mamy: −1 = cos π + i sin π, czyli α = π i n = 4. Tak więc szukane pierwiastki to: √ √ 2 z0 = cos π4 + i sin π4 = 22 + i 2√ √ 2 2 π+2π z1 = cos π+2π + i sin = − + i 4 4 √2 √2 2 π+4π z2 = cos π+4π − √i 22 4 + i sin 4 = − √ 2 2 2 π+6π z3 = cos π+6π 4 + i sin 4 = 2 − i 2 Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone Ćwiczenia Przedstaw liczbę zespoloną w najprostszej postaci: a) (1 + 3i)(2 − i) b) (1 − 2i)(2 − i) − (2 + i)(3 − i) 2 −(1−i)(2−i) 2−i d) (1+2i) c) 1+i (1+i)(3+2i) Rozwiąż równania: a) z 2 + 6z + 13 = 0 b) 4z 2 + 4z + 17 = 0 c) z 2 − z + i + 1 = 0 d) z 2 − (i + 1)z + i = 0 Oblicz: e) z 2 + (i − 5)z + 8 − i = 0 f) z 2 − 3iz − 3 + i = 0 g) ∣z∣2 + 2z = 1 + 2i h) z 2 − 2z = −1 √ √ √ Znajdź: a) (1 + i)2013 b) (1 + i 3)44 c) ( 6 − i 2)81 a) pierwiastki zespolone ósmego stopnia z 1 b) pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z i Andrzej Musielak Wykłady z matematyki Liczby zespolone