n an - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Ciąg arytmetyczny. Definicja i przykłady.
Definicja
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg o co najmniej trzech wyrazach, w
którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała.
Przykład 1.
Ciąg kolejnych liczb naturalnych
1, 2, 3, 4, ...
różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 1
Przykład 2.
Ciąg kolejnych liczb nieparzystych
1, 3, 5, 7, ...
różnica wynosi 2.
Definicję ciągu można użyć do sprawdzenia, czy dany ciąg jest
arytmetyczny czy nie.
Przykład 1.
Sprawdź, czy ciąg an=5n - 2 jest arytmetyczny.
Obliczamy
an+1 = 5(n + 1) - 2 = 5n + 5 - 2 = 5n + 3
Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny.
Robert Malenkowski
Teraz liczymy różnicę r = an+1 - a n = 5n + 3 - (5n - 2) = 5n + 3 - 5n + 2 = 5
Widzimy, że r = 5 nie zależy od wartości indeksu n.
Jest stałą liczbą 5, więc nasz ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
Przykład 2.
Sprawdź, czy ciąg an = n2 jest arytmetyczny.
an+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1
Sprawdzamy teraz różnicę
r = an+1 - an = (n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1
I teraz r = 2n+1. Różnica r zależy od wartości n.
Dla n = 1 r= 2 ∙ 1 + 1 = 3
dla n = 2 r= 2 ∙ 2 +1 = 5
Zatem różnica nie jest stała dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu
a n = n 2.
Czyli ciąg ten nie jest ciągiem arytmetycznym.
1.2.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Łatwo jest zauważyć, że w ciągu arytmetycznym wyrazy ciągu powstają przez
dodawanie różnicy r
do poprzedniego wyrazu. Zatem
a1 = a 1
a 2 = a 1+ r
a3 = a2+ r = a1+ r + r = a1 + 2r
a4 = a3+ r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny.
Robert Malenkowski
aby dostać czwarty wyraz dodajemy 3r, czyli o jedną różnicę mniej niż numer
wyrazu.
Zatem ogólnie an = a1 + (n - 1)r.
Aby uzyskać wyraz an musimy do wyrazu a1 dodać n - 1 różnic r.
Otrzymujemy w ten sposób wzór ogólny ciągu arytmetycznego
an = a1 + (n - 1)r
Widzimy, że aby obliczyć dowolny wyraz potrzebuję znać tylko dwie wielkości:
a1 i r.
Oznacza to tylko dwie zmienne i w konkretnych zadaniach będzie oznaczało, że
potrzebujemy ułożyć dwa równania.
Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny.
Robert Malenkowski
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Jakie liczby należy wstawić między 5 i 17, aby wraz z danymi liczbami
tworzyły ciąg arytmetyczny?
a.
b.
c.
d.
3i4
10 i 13
9 i 13
11 i13
2. Liczby
2,6,10,14
są
kolejnymi
początkowymi
wyrazami
ciągu
arytmetycznego a n  . Wyrazem tego ciągu nie jest liczba:
a.
b.
c.
d.
90
150
160
170
3. Ciągiem arytmetycznym
an 
jest ciąg, którego kolejnymi wyrazami są
liczby:
1
a. 3,1,2
5
b. log 2 4, log 2 2 ,8
c. 3,6,12
d. log 5 5,5,8
4. Ciąg arytmetyczny
ciągu jest równa:
3
a.
2
b. 2
c. 3
d.
4
3
an  jest określony wzorem
an 
4n  1
. Różnica r tego
3
Zajęcia nr 51 (TM5). – Ciąg arytmetyczny.
Robert Malenkowski
5. Piłka, odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość o 12 cm
mniejszą od poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po drugim
uderzeniu, jeśli po czwartym odbiła się na wysokość 27 cm?
a. 15 cm
b. 39 cm
c. 73 cm
d. 51 cm