wykorzystanie analizy cepstralnej do identyfikacji

Bartosz OSTAPKO
Politechnika KoszaliĔska
WYKORZYSTANIE ANALIZY CEPSTRALNEJ
DO IDENTYFIKACJI SKàADOWYCH WIDMA
SYGNAàU UĩYTECZNEGO
1. WstĊp
Analiza cepstralna wiąĪe siĊ bezpoĞrednio z poszukiwaniem widma sygnaáu,
oraz samą modyfikacją tego widma. Nazwa cepstrum powstaáa poprzez przestawienie sylab angielskiego wyrazu spectrum, a pierwszy raz zostaáa zastosowana
w pracy [1] wydanej w roku 1963 w Nowym Jorku. Samemu cepstrum towarzyszą równieĪ pojĊcia mające sens fizyczny i są to: quefrency, rahmonics, gamnitude, saphe oraz lifter. Terminem najczĊĞciej towarzyszącym cepstrum jest quefrency, która wyraĪana w sekundach jest odwrotnoĞcią odstĊpu czĊstotliwoĞci
pomiĊdzy harmonicznymi widma. NajproĞciej moĪna powiedzieü, Īe istnieje
zaleĪnoĞü pomiĊdzy rahmonicznymi w cepstrum oraz harmonicznymi w widmie.
Pierwsze zastosowania analizy cepstralnej sáuĪyáo do badania ech sejsmicznych
pochodzących od trzĊsieĔ ziemi oraz sygnaáów radarowych, dzisiaj stosowane
jest do analizy sygnaáów akustycznych.
2. PojĊcie cepstrum
Cepstrum definiuje siĊ jako odwrotne przeksztaácenie Fouriera logarytmu widma
mocy i moĪna wyraziü wzorem:
2
∞
C (τ ) =
³ log S ( f )e
j 2πfτ
df
= F −1[log S ( f )]2
(1)
−∞
gdzie S(f) jest widmem mocy analizowanego sygnaáu f(t).
Inne cepstrum moĪna definiowaü za pomocą poniĪszego wzoru (2) oraz zaleĪnoĞcią (3), która odpowiada definicyjnie funkcji autokorelacji.
∞
C (τ ) =
³ log S ( f )e
−∞
j 2πfτ
df = F −1[log S ( f )]
(2)
60
Bartosz Ostapko
∞
C (τ ) =
³ log S ( f )e
j 2πfτ
df = F −1[log S ( f )] = R (τ )
(3)
−∞
Na podstawie zespolonego przeksztaácenia Fouriera widma amplitudowego
otrzymuje siĊ równieĪ cepstrum zespolone lub inaczej poáączone (4).
∞
C (τ ) =
³ F ( jf )e
j 2πfτ
df = F −1[ F ( jf )]
(4)
−∞
Cepstrum zespolone jest reprezentacją uĪyteczną w sytuacji, w której sygnaá
uwaĪany jest za splot funkcji pobudzenia i odpowiedzi impulsowej (dot. homorficznej teorii dĨwiĊku).
We wszystkich wyraĪeniach opisujących cepstrum zmienna niezaleĪna τ jest
zmienną rzeczywistą i moĪna ją porównaü ze zmienną τ w funkcji autokorelacji,
a jej wartoĞü odpowiada maksimom cepstrum. W przypadku wzorów definicyjnych logarytm dziesiĊtny moĪe zostaü zastąpiony logarytmem naturalnym, a zamiast transformaty Fouriera stosowana równieĪ moĪe byü transformata kosinusowa.
3. Przykáadowe zastosowanie cepstrum
Dla lepszego zobrazowania wykorzystania analizy cepstralnej moĪna posáuĪyü siĊ
prostym przykáadem do którego obliczenia uĪyto Ğrodowiska MATLAB i dostĊpnych w nim funkcji. Rozpatrzony zostaá sygnaá sinusoidalny o zaáoĪonej z góry
czĊstotliwoĞci ωs oraz amplitudzie a.
Caáą symulacjĊ przeprowadzono dla skoĔczonego czasu t. Po upáywie czasu te
dodano do badanego sygnaáu sinusoidalnego echo o amplitudzie równej poáowy
amplitudy sygnaáu badanego (rysunek 1). Otrzymany sygnaá poddano procesowi
modulacji dwuwstĊgowej, równieĪ za poĞrednictwem gotowych funkcji
z programu, wynik symulacji przedstawiono rysunku 2.
Tak wiĊc:
a
º
ª
X (t ) = A ⋅ «a ⋅ cos ω s t + cos ω s (t − te )» ⋅ cos ωot
2
¼
¬
(5)
Wykorzystanie analizy cepstralnej do odentyfikacji skáadowych…
Rys. 1. Sygnaá z dodanym echem
Rys. 2. Sygnaá zmodulowany
61
62
Bartosz Ostapko
Rys. 3. Widmo sygnaáu zmodulowanego z dodanym echem
Rys. 4. Cepstrum sygnaáu zmodulowanego z dodanym echem
Wykorzystanie analizy cepstralnej do odentyfikacji skáadowych…
63
Sygnaá zmodulowany poddano przeksztaáceniu Fouriera (rysunek 3), a uzyskane widmo poddano analizie cepstralnej. Otrzymany wynik przedstawiono
powyĪej (rysunek 4).
Na podstawie otrzymanych wyników, moĪna zauwaĪyü Īe rahmoniczna odpowiadająca wartoĞci 0,4 odpowiada równieĪ wartoĞci czasowej miejsca dodanego echa. Reasumując, powyĪej przedstawiono symulacjĊ, w której najpierw
obliczono transformatĊ Fouriera splotu dwóch funkcji, a nastĊpnie widmo, które
powstaáo, poddano operacji logarytmowania. W ten sposób uwypuklono wáasnoĞci addytywnoĞci echa, które zobrazowano w postaci impulsu przy okreĞlonej
wartoĞci rahmonicznej. PowyĪszy przykáad obrazuje w prosty i przejrzysty sposób wykorzystanie cepstrum i jest podstawą do rozpoczĊtych rozwaĪaĔ nad zastosowaniem go do analizy sygnaáów EKG.
5. Podsumowanie
Obecnie analiza cepstralna znalazáa szerokie zastosowanie przy badaniu sygnaáów akustycznych. DziĊki moĪliwoĞci eliminacji echa i zakáóceĔ z sygnaáu uĪytecznego nadaje siĊ równieĪ do zastosowania w przypadku zagadnieĔ związanych z transmisją i identyfikacją sygnaáów. Praktyczne zastosowanie cepstrum
umoĪliwia lepszą i bardziej dokáadną analizĊ widma dowolnego sygnaáu oraz
wykrywanie periodycznoĞci w tym widmie. Operacja logarytmowania zastosowana w cepstrum sprawia, Īe jest ona niewraĪliwa na przykáad na zmiany sygnaáu obwiedni. DziĊki zastosowaniu takiego zabiegu pojawia siĊ moĪliwoĞü dokáadniejszego i bardziej szczegóáowego analizowania przebiegu sygnaáu.
Bibliografia:
1. Begerth P., Healy M,. Tukey J.: The quefrency analysis of time series for echoes Cepstrum, Pseudo-Autocovariance, Cros-Cepstrum and Saphe Cracking.
Proc. of the Symposium on Time Series Analysis. Wiley N.Y. 1963.
2. Smyczek J.: Systemy transmisji informacji. Tom I. Koszalin 2003.
3. CzyĪewski A.: DĨwiĊk cyfrowy. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT,
Warszawa 2002.
4. Oppenheim A. V., Schafer R. W.: From Frequency to Quefrency: A History
of the Cepstrum. IEEE Signal Processing Magazine 2004.
5. Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink. HELION, Gliwice 2004.
6. Karu Z. Z.: Signal and Systems, ZiZi Press 2001.
7. Vaseghi S. V.: Advanced Signal Processing and Digital Noise, Wiley 1997.
8. Soliman S. S., Srinath M. D.: Continuous and discrete signals and systems,
Prentice-Hall New Jersey 1998.