Metody numeryczne - Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne - Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne- wybrane zagadnienia
dr Bogdan Grabiec
Zielona Góra 2010
Tytuł projektu:
Wniosek:
Priorytet:
Działanie:
Poddziałanie:
Beneficjent:
Unowocześnienie programów, poprawa jakości kształcenia oraz otwarcie nowej
specjalności ekofizyka na kierunku fizyka w Uniwersytecie Zielonogórskim,
POKL 04.01.01-00-041/09-00
Program Operacyjny Kapitał Ludzki
IV. Szkolnictwo wyższe i nauka
4.1 Wzmocnienie i rozwój potencjału dydaktycznego uczelni oraz zwiększenie liczby
absolwentów kierunków o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy,
4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
Uniwersytet Zielonogórski, ul. Licealna 9, 65-417 Zielona Góra
Spis treści
1 Interpolacja. Interpolacja Lagrange’a
3
2 Aproksymacja
9
2.0.1 Aproksymacja średniokwadratowa . . . . . . . . . . . . 9
2.0.2 Aproksymacja jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Numeryczne różniczkowanie
15
4 Całkowanie numeryczne
17
4.0.3 Metoda trapezów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.0.4 Metoda Simpsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Numeryczne rozwiązywanie równań
23
6 Równania rożniczkowe
27
1
2
SPIS TREŚCI
Rozdział 1
Interpolacja. Interpolacja
Lagrange’a
Wyobraźmy sobie że mamy zadaną funkcje y=f(x) dla x0 ∈ [x1 , x2 ]. Określenie wartości funkcji dla x z tego przedziału, nie stanowi problemu, wystarczy
wyznaczyć y0 = f (x0 ). Sprawa się komplikuje gdy nie dysponujemy już ścisłą
postacią funkcji a jedynie zbiorem punktów (x1 , y1 ), ..., (xN , yn ). Sposób wyznaczenia przybliżonej wartości funkcji dla argumentu x0 znajdującego sie
między zadanymi punktami już nie jest takie proste. Jednym z sposobów
realizujących powyższe zagdanienie nosi nazwę interpolacji.
Przykład 1
3
4
ROZDZIAŁ 1. INTERPOLACJA. INTERPOLACJA LAGRANGE’A
Dysponując dwoma punktami o współrzędnych : (x1 , y1 = f (x1 )) oraz
(x2 , y2 = f (x2 )).Określimy przybliżoną watość funkcji dla argumentu x0 z
przedziału należącego do [x1 , x2 ]. Problem ten możemy rozwiązać następująco: szukamy równanie prostej przechodzącej przez dane punkty
y1 − y
y2 − y1
.
=
x1 − x
x2 − x1
Na podstawie powyższego równania, możemy wyznaczyć wartość y
y=
y2 − y1
(x − x1 ) + y1
x2 − x1
a tym samym, przybliżona wartość dla x=x0
y0 =
y2 − y1
(x0 − x1 ) + y1
x2 − x1
Przykład 2
Zagadnienie to możemy rozszerzyć o znajomość wspólrzędnych następnego
punktu. Tym razem zadamy sobie pytanie jaki wielomian, tzn. o jakim stopniu możemy przeprowadziċ przez podane trzy punkty. Odpowiedzią na zadany problem jest funkacja kwadratowa postaci f (x) = a2 x2 +a1 x+a0 . Musimy
znaleźć wielkości a,b i c wyrażone poprzez znajomość x1 , x2 , x3 , y1 , y2, y3 Uzyskujemy układ równań postaci:
a2 x21 + a1 x1 + a0 = y1
a2 x22 + a1 x2 + a0 = y2


a2 x23 + a1 x3 + a0 = y3



Rozwiązanie ma postać:
a2 =
a1 =
a2 =
x21 x1 y1 x22 x2 y2 x23 x3 y3 W
x21 y1 1 x22 y2 1 x23 y3 1 W
y1 x1 1 y2 x2 1 y3 x3 1 W
5
gdzie
x21 x1 1 W = x22 x2 1 = (x3 − x2 )(x3 − x1 )(x2 − x1 )
x23 x3 1 Co pozwala zapisać ostatecznie:
W3 (x) = y1
(x − x2 )(x − x3 )
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 )
−y2
+y3
(x2 − x1)(x3 − x1)
(x2 − x1 )(x3 − x2 )
(x3 − x1 )(x3 − x1 )
Możemy sformułować następującą własność w postaci twierdzenia.
Twierdzenie 1.0.1 Dla zadanych N punktów :(x1 , y1), ...., (xN , yN ), które
będziemy nazywać węzłami interpolacyjnymi, istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia N, postaci
WN (x) =
N
X
ai xi .
i=0
dowód
Zadane punkty muszą spełniać powyższe rȯwnania
a0 + a1 x1 + ... + aN xN
= y1
1
...........................


a0 + a1 xN + ... + aN xN
N = yN



6
ROZDZIAŁ 1. INTERPOLACJA. INTERPOLACJA LAGRANGE’A
Ponownie, rozwiązania dla powyższego układu stosując twierdzenie Cramera, możemy zapisać w postaci:
ai =
n
1 X
yj Dij
D j=0
gdzie Dij oznacza dopełnienia algebraiczne elementów i-tej kolumny macierzy
A postaci


1 x1 x21 ... xN
1

 1 x
x22 ... xN

2
2 

A=
 ... ... ...
... ... 
1 xN x2N ... xN
N
co kończy dowód. Warto wspomnieć że wyznacznik macierzy A nie jest trudny
do obliczenia.
Y
(xi − xj ) 6= 0
|A| =
0¬j<i¬n
Jest to tzw. wyznacznik Vandermonde’a.
Twierdzenie 1.0.2 Dla danych węzłów interpolacyjnych x0 , x1 , ..., xN ∈ [a, b]
i danej funkcji f ∈ C [n+1] [a, b] możemy dla dowolnego punktu x ∈ [a, b] znaleźć takie ζ = ζ(x) ∈ [a, b] że
f (x) = P (x) +
f (n+1) (ζ(x))
(x − x0 )(x − x1 )...(x − xN )
(n + 1)!
gdzie
P (x) =
N
X
f (xk )Ln,k (x),
k=0
Ln,k (x) =
N
Y
(x − xi )
i=0,i6=k (xk − xi )
dla k = 0, 1, ..., n.
dowód:
Jeśli x = xk dla k = 0, 1, ..., n, f (xk ) = P (xk ).
Natomiast gdy x 6= xk wprowadzam funkcję:
(t − x0 )(t − x1 )...(t − xN )
(x − x0 )(x − x1 )...(x − xN )
n
Y
(t − xi )
= f (t) − P (t) − [f (x) − P (x)]
i=0 (x − xi )
g(t) = f (t) − P (t) − [f (x) − P (x)]
7
Patrząc na funkcję g, widać że musi być klasy c[n+1] [a, b]. Dla t = xk oraz
t = x g = 0. W związku z tym mogę wykorzystać n+1 razy twierdzenie
Rolle’a. Wobec tego mogę zapisać:
0 = g (n+1) (ζ) = f (n+1) (ζ) − P (n+1) (ζ) − [f (x) − P (x)]
n
d(n+1) Y
(t − xi )
|t=ζ .
(n+1)
dt
i=0 (x − xi )
Wielkość P (x) jest wielomianem stopnia n. Pochodna (n+1) rzędu z wielkości
daje nam w wyniku zero. Natomiast
n
d(n+1) Y
(n + 1)!
(t − xi )
.
|t=ζ = Qn
(n+1)
dt
i=0 (x − xi )
i=0 (x − xi )
ostatecznie uzyskujemy
(n + 1)!
.
0 = f (n+1) (ζ) − 0 − [f (x) − P (x)] Qn
i=0 (x − xi )
f (x) = P (x) +
n
f (n+1) (ζ) Y
(x − xi ).
(n + 1)! i=0
Przykład 3
Dla danych punktów:(-2,3),(1,1),(2,-3),(4,8) znaleźć wielomian interpolacyjny
rozwiązanie
(x + 2)(x − 2)(x − 4)
(x − 1)(x − 2)(x − 4)
+1
W4 (x) = 3
(−2 − 1)(−2 − 2)(−2 − 4)
(1 − 3)(1 − 2)(1 − 4)
(x + 2)(x − 1)(x − 4)
(x + 2)(x − 1)(x − 1)
− 3
+8
.
(2 + 2)(2 − 1)(2 − 4)
(4 + 2)(4 − 1)(4 − 2)
Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego. Problem tego zagadnienia polega na wyznaczeniu wielkości
ε(x) = f (x) − Wn (x),
która będzie nas informowała o tym jak poważne są odchylenia wartości funkcji od wartości opartej na wielomianie interpolacyjnym. W tym celu wprowadzamy funkcje typu:
ϕ(u) = f (u) − Wn (u) + K(U − x0 )(u − x1 )...(u − xn ),
wykorzystujac twierdzenie Rolle’a (n+1) razy, uzyskamy
K=
f (n+1) (ζ)
(n + 1)!
a tym samym
|f (x) − Wn (x)| ¬
Mn+1
|Wn (x)|.
(n + 1)!
8
ROZDZIAŁ 1. INTERPOLACJA. INTERPOLACJA LAGRANGE’A
Rozdział 2
Aproksymacja
Wprowadzmy następujące oznaczenia:
f(x) - funkcja która chcemy przbliżyć,
F(x) - funkcja która przybliżamy funkcję f(x) i nazywamy ją funkcją aproksymującą.
Warto wspomieć że jeśli aproksymacje rozważamy na przedziale to będziemy ją nazywać aproksymacją intergralna, natomiast jeśli na zbiorze dyskretnym to aproksymacją punktową.
Poprzez aproksymacje funkcji f(x) rozumiemy znalezienie takiej funkcji
F(x)
F (x) = a0 φ0 (x) + ... + am φm (x)
gdzie φ0 , φ1, ..., φm oznacza bazę w przestrzeni m+1 wymiarowej, tak aby np.
minimalizowała normę ||f (x) − F (x)||. Całe zagadnienie sprowadza się do
wyznaczenia współczynników a0 , a1 , ..., am .
2.0.1
Aproksymacja średniokwadratowa
Dla tego problemu rozważymy aproksymacje punktową, której podstawą jest
zminmalizowanie normy postaci
||F (x) − f (x)|| =
n
X
(F (xi ) − f (xi ))2
i=0
gdzie i = 1, 2, 3, ...n.
Jeśli rozważymy wykorzystanie bazy przestrzeni w postaci:
φ0 (x) = 1, φ1 (x) = x, φ2 (x) = x2 , ...., φm (x) = xm .
Funkcje aproksymujacą możemy zapisać w postaci
F (x) =
m
X
i=0
9
φi (x)xi .
ROZDZIAŁ 2. APROKSYMACJA
10
Definiujemy funkcje H postaci:
H(a0 , a1 , a2 , ..., am ) =
n
X
fj −
m
X
ai φi (xj )
i=0
j=1
!2
Warunek konieczny pozwalający znaleźć minimum:
m
n
X
X
∂H
ai φi(xj ) xkj = 0
fj −
= −2
∂ak
i=0
j=0
!
Co pozwala zapisać powyższa zależność w postaci
m
X
ai gik = ρk , k = 0, 1, 2, ..., m
i=0
gdzie
gik =
n
X
xi+k
j
j=0
ρk =
n
X
f (xj )xkj
j=0
Przykład: regresja liniowa
Dysponujemy znajmościa współrzędnych punktów:(xi , yi), i = 1, 2, ..., m
Aproksymacji dokonujemy za pomocą funkcji:
F (x) = a0 + a1 x.
W tym przypadku musimy zminimalizowac wyrażenie:
H(a0 , a1 ) =
m
X
(f (xj ) − (a0 + a1 xj ))2 .
j=1
Warunek konieczny na istnienie minimum:











∂H(a0 ,a1 )
∂a0
∂H(a0 ,a1 )
∂a1
= −2
= −2
m
X
j=1
m
X
(f (xj ) − (a0 + a1 xj )) = 0
xj (f (xj ) − (a0 + a1 x)) = 0
j=1
Rozwiązując powyższe równania uzyskujemy
hyihx2i − hxihxyi
hx2 i − (hxi)2
hxyi − hxihyi
=
hx2 i − (hxi)2
a0 =
a1
11
gdzie
2.0.2
xi
hxi =
m
X
yi
hyi =
m
X
xi yi
hxyi =
m
X
hx2 i =
m
X
i=0
m
i=0
m
i=0
m
(xi )2
i=0
m
Aproksymacja jednostajna
W tym przypadku rozważamy funkcję f (x), x ∈< a, b >. Szukamy najmniejszej maksymalnej różnicy
||F (x) − f (x)|| = supx∈<a,b> |F (x) − f (x)|
Metoda szeregów potęgowych
Metoda ta jest jedną z najbardziej znanych sposobów aproksymacji jednostajnej. Polega ona na przybliżaniu funkcji szregiem potęgowym, oczywiście
skończonym.
F (x) = f (x0 ) +
f (m) (x0 )
f (1) (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )m
1!
m!
W tym przypadku błąd aproksymacji wyznaczymy za pomocą zależności
|f (x) − F (x)| ¬
Mm+1 m+1
δ
(m + 1)!
Przykład
Funkcje f (x) = sin(x), dla x ∈< −0.1; 0.1 > możemy przybliżyć funkcją
x3
x5
sin(x) = x −
+
6
120
ROZDZIAŁ 2. APROKSYMACJA
12
Przybliżenie Pade’go
W tym przypadku funkcja aproksymujacą przyjmuje postać
F (x) = Rn,k (x) =
Ln (x)
a0 + aa x + ... + an xn
=
Mk (x)
1 + b1 x + ... + bk xk
gdzie N = n + m. Na podaną funkcję nakładamy następującę warunki
1. f (0) = Rn,k (0) =
Ln (0)
Mk (0)
(m)
2. pochodne f (m) (0) − Rn,k (0) = 0 dla m=1,2,..., N
Rozwinięcie funkcji f (x) w szereg Taylora w x = 0 można zapisać:
f (x) =
∞
X
ci xi .
i=0
Błąd aproksymacji będzie miał następującą postać:
ε(x) = f (x) −
Ln (x)
.
Mk (x)
Uwzględniając warunki (1) i (2) uzyskujemy równanie:
∞
X
i=0
ci xi
k
X
bi xi −
n
X
i=0
i=0
ai xi =
∞
X
di xi
i=n+k+1
które prowadzi do następujących zależności pomiędzy wspołczynnikami a, b
ic


c
= =0
j<0

 j



b
= =0
j>k

 j

k

 X











cn+k−s−j bj = 0
s = 0, 1, ..., k − 1
j=0
ar
=
k
X
cr−j bj r = 0, 1, ..., n.
j=0
Przykład
Rozważmy funkcje f (x) = ex na przedziale x ∈< −0.5; 0.5 >. Znajdziemy
przybliżenie Pade’go R2,1 (x), n = 2, k = 1, N = 3 dla tej funkcji.
Rozwinięcie Taylora ma postać
f (x) = 1 + x +
x2 x3
+
= R3,0 (x)
2
6
13
wobec tego c0 = 1, c1 = 1, c2 = 0.5, c3 = 1/6.
Z równań na wspołczynniki b i c otrzymujemy:
c3−0−0 b0 + c3−0−1 b1 = c3 b0 + c2 b1 =
a0 = c0 b0 = 1, a1 = c1 b0 + c0 b1 = 1 −
1 1
1
+ b1 = 0 ⇒ b1 = −
6 2
3
2
1 1
1
1
= , a2 = c2 b0 + c1 b1 = − = .
3
3
2 3
6
Ostatecznie możemy zapisać
R2,1 =
1 + 32 x + 16 x2
.
1 − 31 x
14
ROZDZIAŁ 2. APROKSYMACJA
Rozdział 3
Numeryczne różniczkowanie
Bogata w informację jest znajomość pochodnej pewnej wielkości. W fizyce
najczęściej podawane przykłady to definicje prędkości i przyśpieszenia.
v(t) =
a(t) =
dr(t)
dt
dv(t)
dt
=
d2 r(t)
dt2
Znając równanie toru ruchu ciała, czyli funkcje r = r(t), jesteśmy w stanie powiedzieć z jaką szybkością porusza się ciało oraz jaka działa na niego
siła. Pierwszą uzyskamy z wyznaczenia pochodnej polożenia po czasie a drugą z pomnożenia masy przez drugą pochodną polożenia po czasie. Na tym
przykładzie widaċ, że, umiejętność policzenia pochodnej z danej funkcji jest
niezbędna dla każdego inżyniera, fizyka czy matematyka.
1. Pochodna numeryczna dwu-punktowa
Rozważmy funkcję f ∈ C 2 [a, b], oraz dwa punkty x0 , x1 = x0 + h ∈ [a, b].
Korzystając z twierdzenia z rodziału 1, możemy zapisać
f (x) = f0
x − x1
x − x0
(x − x0 )(x − x1 ) ”
+ f1
+
f (ζ)
x0 − x1
x1 − x0
2!
Po podstawieniu i obliczeniu pochodnej po x
f (x0 + h) − f (x0 )
(x − x0 )(x − x0 − h) d ”
+((x−x0 )−h)f ” (ζ(x))+
f (ζ(x)).
h
2!
dx
Gdy podstawimy za x = x0 , uzyskamy
f ′ (x) =
f ′ (x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 ) h ”
− f (ζ).
h
2
czyli
f ′ (x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 )
+ O(h).
h
15
ROZDZIAŁ 3. NUMERYCZNE RÓŻNICZKOWANIE
16
W podobny sposób możemy wyprowadzić wzory:
2. Pochodna numeryczna trzy-punktowa
f (x0 + h) − f (x0 − h)
+ O(h2 )).
2h
3. Pochodna numeryczna piecio-punktowa
f ′ (x0 ) =
f (x0 − 2h) − 8f (x0 − h) + 8f (x0 + h) + f (x0 + 2h)
+ O(h4 ).
12h
Natomiast wyższe pochodne wyznaczymy za pomocą wzorów:
5. Druga pochodna numeryczna trzy-punktowa
f ′ (x0 ) =
f ”(x0 ) =
f (x0 + h) − 2f (x0 ) + f (x0 − h)
+ O(h2 ).
h2
oraz
6. Druga pochodna numeryczna piecio-punktowa
−f (x0 − 2h) + 16f (x0 − h) − 30f (x0 ) + 16f (x0 + h) − f (x0 + 2h)
+O(h2 ).
12h2
Powyższe równania można wyprowadzić korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f (x) w otoczeniu punktu x0
f ”(x0 ) =
f ′ (x0 )
f “(x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n + ..
1
2!
n!
oraz wiedząc, ze xk+1 − x0 = xk+1 − xk = h
f (x) = (f (x0 ) +
Dla x = xk+1
1 (3)
1
f (xk+1 ) = fk+1 = fk + fk′ · h + fk′′ · h2 + fk · h3 + ...
2
6
Przykład
Wyprowadzimy powyższa metoą wzór na pierwszą pochodną numeryczna
3-punktowa. Wymagana jest zanjomość:
1
f (xk+1 ) = fk+1 = fk + fk′ · h + fk′′ · h2 + O(h3 )
2
1
f (xk−1 ) = fk−1 = fk − fk′ · h + fk′′ · h2 + O(h3 )
2
Tworzymy następującą kombinacje:
fk+1 − fk−1 = fk′ · h + O(h3 )
Po przeksztłceniu uzyskujemy:
f ′k =
fk+1 − fk−1
+ O(h2 ).
h
Rozdział 4
Całkowanie numeryczne
Sytuacja jest bardzo podobna jak do analizowanych zagadnień w rodziałe
poprzednim. Tym razem szukamy sposobu na obliczenie
Z
t2
r(t) =
t2
v(t) =
Z
v(t)dt
t1
lub
t1
a(t)dt.
Zagadnienie możemy rozważyc w sposȯb następujący:
Z
b
a
f (x)dx ≃
n
X
ai f (xi ).
i=0
Rozważymy stosowane najczęściej w obliczeniach: metode trapezów i Simpsona.
17
ROZDZIAŁ 4. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
18
4.0.3
Metoda trapezów
Niech x0 = a, x1 = b, h = b − a ponownie wykorzystujemy twierdzenie z
rozdziału pierwszego
f (x) =
x − x0
x − x1
f (x0 ) +
f (x1 )
x0 − x1
x1 − x0
Po podstawieniu:
Z
b
a
x − x0
x − x1
f (x0 ) +
f (x1 ) dx
f (x)dx =
x0 − x1
x1 − x0
xZ
0
1 x1
+
f ”(ζ(x))(x − x0 )(x − x1 )dx.
2 x0
Z
x1
Wykorzystując twierdzenie o wartości średniej:
Z
x1
x0
Z
x1
f ”(ζ(x))(x − x0 )(x − x1 )dx = f ”(ζ)
(x − x0 )(x − x1 )dx
x0
1
= − h3 .
6
Ostatecznie po obliczeniach:
Z
b
a
f (x)dx =
1
h
(f (x0 ) + f (x1 )) − h3 f ”(ζ).
2
12
Program w c/c++ oparty na tej metodzie możemy zrealizować w następujący sposób, wynik uzyskamy tak jak w obliczeniach, oczywiście 0.5.
19
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double fun(double x)
{
return x;
}
int main()
{
double a=0.0;
double b=1.0;
int N=100;
double h=(b-a)/100;
double calka=0.;
double x0=a;
for(int i=0;i<N;i++)
{
calka=calka+(h/2.)*(fun(x0+i*h)+fun(x0+(i+1)*h));
}
cout<<calka<<endl;
return 0;
}
ROZDZIAŁ 4. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
20
4.0.4
Metoda Simpsona
Tym razem wybieramy trzy punkty : x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h =
(b − a)/2
Z
(x − x1 )(x − x2 )
f (x0 )dx
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
x
Z x0 2
(x − x0 )(x − x2 )
f (x1 )dx
+
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
x
Z x0 2
(x − x0 )(x − x1 )
+
f (x2 )dx
xZ0 (x2 − x0 )(x2 − x1 )
x2
+ 61
f (3) (ζ(x))(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )dx.
b
a
f (x)dx =
Z
x2
x0
Po odpowiednim wycałkowaniu, uzyskujemy:
Z
x2
x0
f (x)dx =
h5
h
(f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )) − f (4) (ζ)
3
90
Kod programu w c/c++ realizujący powyższy problem:
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double fun(double x)
{
21
return x;
}
int main()
{
double a=0.0;
double b=1.0;
int N=100;
double h=(b-a)/100;
double calka=0.;
double x0=a;
for(int i=0;i<N/2;i++)
{
calka=calka+(h/3.)*(fun(x0+2*i*h)+4.*fun(x0+(2*i+1)*h)+fun(x0+(2*i+2)*h));
}
cout<<calka<<endl;
return 0;
}
22
ROZDZIAŁ 4. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Rozdział 5
Numeryczne rozwiązywanie
równań
Kiedy mamy dane równanie kwadratowe typu
f (x) = ax2 + bx + c = 0,
bez problemu, przypominamy sobie odpowiednie wzory, które pozwalają nam
analitycznie wyznaczyć miejsca zerowe. Pojawia sie problem gdy mamy do
rozwiązania równanie postaci
f (x) = exp(−x) ln(x) − x ∗ x = 0.
Niestety już nie jesteśmy analitycznie rozwiązać to równanie. Możemy jedynie podać przybliżona wartość miejsca zerowego.
Numeryczne metody rozwiązywanie równan f (x) = 0 z jedną niewiadoma:
1. Metoda połowienia (bisekcji)
Jeśli f ∈ C[a, b] i f (a) · f (b) < 0 to pierwiatek równania jest x0 ∈ [a, b].
Metoda oparta jest na procedurze zmiejszania przedziału w taki sposób że
po każdym kroku jest o połowę mniejszy.
przyklad
Rozważmy funkcje f (x) = x3 + 4x2 − 10. Zadamy sobie pytanie czy w przedziale < 1, 2 > znajduję się miejsce zerowe. Wyznaczamy:
f (1) = −5; f (2) = 6, f (1) · f (2) < 0.
Miejsce zerowe znajduję się w tym przedziale.
23
24
ROZDZIAŁ 5. NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ
Przykład
Numerycznie rozwiązujemy równanie typu f (x) = exp(−x) ln(x) − x ∗ x = 0..
Program w c/c++ realizujący ten problem może mieć postać:
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double fun(double x)
{
return exp(x)*log(x)-x*x;
}
int main()
{
double a=1.0;
double b=2.0;
double ab=b-a;
double delta=0.001;
double x0;
while( fabs(ab) > delta)
{
x0=(a+b)/2.0;
if(fun(a)*fun(x0) < 0.)
{
25
b=x0;
ab=b-a;
}
else
{
a=x0;
ab=b-a;
}
cout<<x0<<endl;
}
return 0;
}
i uzyskujemy rozwiązania kolejno krok po kroku:
1.5; 1.75; 1.625; 1.6875; 1.71875; 1.70312; 1.69531; 1.69141; 16336; 1.69434
2. Metoda Newtona
Jeśli f ∈ C 2 [a, b] tworzę ciąg typu
xn = xn−1 −
f (xn−1 )
.
f ′ (xn−1 )
Procedura trwa do momentu aż dla zadanej dokładności δ
|xn − xn−1 | ¬ δ.
26
ROZDZIAŁ 5. NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double fun(double x)
{
return exp(x)*log(x)-x*x;
}
double fun1(double x)
{
return exp(x)*log(x)+exp(x)*(1./x)-2.*x;
}
int main()
{
double a=1.0;
double b=2.0;
double ab=b-a;
double delta=0.001;
double x0=(a+b)/2.;
double x1;
while( fabs(ab) > delta)
{
x1=x0-fun(x0)/fun1(x0);
ab=x1-x0;
x0=x1;
cout<<x1<<endl;
}
return 0;
}
Otrzymujemy w kolejnych krokach miejsc zerowe:1.7398; 1.69657; 1.6946; 1.6946.
3. Metoda siecznych
xn+1 = xn −
(xn − xn−1 )fn
.
fn − fn−1
Rozdział 6
Równania rożniczkowe
Opis wielu zagadnień dla układów dynamicznych sprowadza się do równań
rożniczkowych pierwszego rzędu. Ogólnie możemy zapisać to w postaci:



















dy1
dt
dy2
dt
....
dyn
dt
= g1 (y1, y2, ..., yn, t)
= g2 (y1, y2, ..., yn, t)
... ..............................
= gn (y1, y2, ..., yn, t)
Przyklad
Rozważmy oscylator harmoniczny w jednym wymiarze
dx
= g1 (x, v, t)
dt
 dv


= g2 (x, v, t)
dt




gdzie g1 (x, v, t) = v, g2 (x, v, t) = −kx/m.
1. Metoda Eulera
Najprostszą metodą numerycznego przedstawienia równań różniczkowych jest
metoda Eulera. Polega ona na zastąpieniu pochodnych, pochodnymi numerycznymi.
yn+1 − yn
yn+1 − yn
dy
=
=
= g(yn , tn )
dt
tn+1 − tn
h
co pozwala zapisać
yn+1 = yn + hgn + O(h2 ).
Algorytm oparty na metodzie Eulera jest mało dokładny i szybko robiegający się. Dokładność metody można zwiększyć jedynie poprzez zwiększenie
27
ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA ROŻNICZKOWE
28
punktów początkowych. Dla wielu zagadnień nie jest to korzystne dlatego ze
zwykle zadany jest tylko jeden punkt zwany warunkiem początkowym.
2. Metoda Rungego-Kutty
Metoda Rungego-Kutty należy do tych algorytmow które nie wymagaja̧ znajomości wielu punktów początkowych. Korzysta ona z dwóch rożnych szergów
Taylora dla zmiennych dynamicznych.
2
3
y(t + h) = y + hy ′ + h2 y“ + h3! y (3) + ...
2
3
= y + hg + h2 (gt + ggy ) + h3! (gtt + 2ggtuy + g 2 gyy + ggy2 + gt gy ) + ...
2
∂ g
.
gdzie gα,β = ∂α∂β
Równanie to możemy zapisać formalnie w postaci
y(t + h) = y(t) + α1 k1 + α2 k2 + ... + αn kn ,
gdzie
kn = hg(y +
n−1
X
mnl kl + h
l=1
n−1
X
mnl ).
l=1
2a. Metoda Rungego-Kutty 2-go rzędu
W tym przypadku n=2, równania mają postać, wyższe rzędy zaniedbujemy,
traktując je jako zaniedbywalnie małe.
y(t + h) = y(t) + hg +
h2
(gt + ggy )
2



y(t + h) = y(t) + α1 k1 + α2 k2
k1
= hg(y, t),


k2
= h(y + m21 k1 , t + m21 h) = hg + m21 h2 (gt + ggy )
wraz z ich postaciami po rozwinięciu w szerg Taylora z dokładnością do
wyrazów stopnia co najwyzej 2. Porównując oba równania uzyskujemy
y(t+h) = y(t)+hg +
h2
(gt +ggy ) ≡ y(t)+α1 hg(y, t)+α2hg +m21 h2 (gt +ggy ).
2
Poszukujemy współczynników spełniających relacje
(
1 = α1 + α2
1
= α2 m21
2
Rozwiązania mogą mieć postać:
α1 = α2 = 21 , m21 = 13
α1 = 31 , α2 = 23 , m21 =
3
4
29
2b. Metoda Rungego-Kutty 4-go rzędu
Postępując podobnie jak w poprzedniej metodzie (w tym przypadku n=4)
y(t + h) = y(t) + α1 k1 + α2 k2 + α3 k3 + α4 k4 ,
gdzie i ich postać po rozwinięciu w szereg Taylora z dokładnością do wyrazów
stopnia co najwyżej 2
k1
k2
k3
k4
=
=
=
=
hg(y, t),
h(y + m21 k1 , t + m21 h) = hg + m21 h2 (gt + ggy ),
hg(y + m31 k1 + m32 k2, t + m31 h + m32 h),
hg(y + m41 h1 + m32 k2 + m33 k3, t + m31 h + m32 h + m33 h).
Uzyskujemy następujące zależności pomiędzy współczynnikami
1
y(t + h) = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4),
6
k1
k2

k

3


k4





=
=
=
=
hg(y, t)
hg(y + 0.5k1 , t + 0.5h)
hg(y + 0.5k3 , t + 0.5h)
hg(y + k3 , t + h)
Przyklad
Rozważmy oscylator harmoniczny z tłumieniem (y1 = x, y2 = v) z warunkami
początkowymi x(0) = 0, v(0) = v0 . Równania mają postać:
dx
= g1 (x, v, t) = v
dt
dv



= g2 (x, v, t) = − kx
− bv
m
dt




Wykorzystując metodę Rungego-Kutty 4-rzędu uzyskujemy
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double g1(double x, double v,double t)
{
return v;
}
ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA ROŻNICZKOWE
30
double
{
double
double
return
}
g2(double x, double v, double t)
a1=0.1;
a2=0.1;
-a1*x-a2*v;
int main()
{
double h=0.001;
int N=50;
double x0=1.;
double v0=0.;
double k11,k12,k13,k14;
double k21,k22,k23,k24;
double x,v;
double t;
t=0.;
x=x0;
v=v0;
for(int i=0;i<N;i++)
{
t=i*h;
k11=h*g1(x,v,t);
k21=h*g2(x,v,t);
k12=h*g1(x+k11/2.,v+k21/2.,t+h/2.);
k22=h*g2(x+k11/2.,v+k21/2.,t+h/2.);
k13=h*g1(x+k12/2.,v+k22/2.,t+h/2.);
k23=h*g2(x+k12/2.,v+k22/2.,t+h/2.);
k14=h*g1(x+k13,v+k23,t+h);
k24=h*g2(x+k13,v+k23,t+h);
x=x+(k11+2.*k12+2.*k13+k14)/6.;
v=v+(k21+2.*k22+2.*k23+k24)/6.;
cout<<t<<"\t"<<x<<endl;
cout<<t<<"\t"<<v<<endl;
}
return 0;
}
Bibliografia
[1] Tao Pang, Metody obliczeniowe w fizyce, PWN 2001
[2] Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski, Metody Numeryczne, WNT 1998
[3] J.N.Bronsztajn, K.A. Siemiendiajew, Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN 1999
[4] Jerzy Grębosz, Symfonia C++, Oficyna Kallimach, Kraków 1996
31
Skorowidz
aproksymacja
a. jednostajna 11
a. sredniokwadratowa 9
a. Pade’go 12
a. szeregami funkcyjnymi 11
interpolacja 3
całkowanie numeryczne
c. numeryczne trapezami 18
c. numeryczne Simpsona 20
numeryczne rozwiązywanie równań 23
metoda Newtona 23
metoda połowienia 25
metood siecznych 26
pochodna numeryczna
pierwsza pochodna numeryczna 2punktowa 15
pierwsza pochodna numeryczna 3punktowa 16
pierwsza pochodna numeryczna 5punktowa 16
równania różniczkowe 27
metoda Eulera 27
metoda Rungego-Kutty 28
32