MATEMATYKA

Komentarze

Transkrypt

MATEMATYKA
MATEMATYKA
Spis treści
1
alfabet grecki
6
funkcje
2
cyfry rzymskie
7
trójkąty
2
jednostki miar
8
podział kątów
3
wzory skróconego mnożenia
10
wielokąty
4
podzielność liczb
11
koło i okrąg
4
przedrostki
12
bryły
5
skala
13
działania na procentach
5
zbiory
13
pojęcia matematyczne w pigułce
ALFABET GRECKI
Duża litera
Mała litera
Nazwa litery
Α
α
alfa
Β
β
beta
Γ
γ
gamma
Δ
δ
delta
Ε
ε
epsilon
Ζ
ζ
dzeta
Η
η
eta
Θ
θ
teta
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
CYFRY RZYMSKIE
Cyfra rzymska
Cyfra arabska
I
1
IV
4
V
5
VI
6
IX
9
X
10
XI
11
L
50
C
100
D
500
M
100
JEDNOSTKI MIAR
JEDNOSTKI DŁUGOŚCI
kilometr
hektometr
metr
decymetr
centymetr
milimetr
mikrometr
km
hm
m
dm
cm
mm
µm
1 km
0,1 km
0,001 km
0,0001 km
0,00001 km
0,000001 km
0,000000001 km
10 hm
1 hm
0,01 hm
0,001 hm
0,0001 hm
0,00001 hm
0,00000001 hm
1 000 m
100 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
0,000001 m
10 000 dm
1 000 dm
10 dm
1 dm
0,1 dm
0,01 dm
0,00001 dm
100 000 cm
10 000 cm
100 cm
10 cm
1 cm
0,1 cm
0,0001 cm
1 000 000 mm
100 000 mm
1 000 mm
100 mm
10 mm
1 mm
0,001 mm
1 000 000 000 µm
100 000 000 µm
1 000 000 µm
100 000 µm
10 000 µm
1 000 µm
1 µm
JEDNOSTKI MASY
tona
kwintal
kilogram
dekagram
gram
miligram
t
q
kg
dag
g
mg
1t
0,1 t
0,001 t
0,00001 t
0,000001 t
0,000000001 t
10 q
1q
0,01 q
0,0001 q
0,00001 q
0,00000001 q
1 000 kg
100 kg
1 kg
0,01 kg
0,001 kg
0,000001 kg
100 000 dag
10 000 dag
100 dag
1 dag
0,1 dag
0,0001 dag
1 000 000 g
100 000 g
1 000 g
10 g
1g
0,001 g
1 000 000 000 mg
100 000 000 mg
1 000 000 mg
10 000 mg
1 000 mg
1 mg
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
JEDNOSTKI OBJĘTOŚCI
kilometr
sześcienny
metr
sześcienny
hektolitr
decymetr
sześcienny
/litr/
centymetr
sześcienny
/mililitr/
milimetr
sześcienny
km3
m3
hl
dm3/l/
cm3/ml/
mm3
1 km3
0,000000001 km3
0,0000000001 km3
1 000 000 000 m3
1 m3
0,1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
1010 hl
10 hl
1 hl
0,01 hl
0,00001 hl
0,00000001 hl
1012 dm3 /l/
1 000 dm3 /l/
100 dm3 /l/
1dm3 /l/
0,001 dm3 /l/
0,000001 dm3 /l/
1015 cm3 /ml/
1 000 000 cm3 /ml/
100 000 cm3 /ml/
1 000 cm3 /ml/
1 cm3 /ml/
0,001 cm3 /ml/
1018 mm3
1 000 000 000 mm3
100 000 000 mm3
1 000 000 mm3
1 000 mm3
1 mm3
JEDNOSTKI POLA POWIERZCHNI
kilometr
kwadratowy
hektar
ar
metr
kwadratowy
decymetr
kwadratowy
centymetr
kwadratowy
milimetr
kwadratowy
km2
ha
a
m2
dm2
cm2
mm2
1 km2
0,01 km2
0,0001 km2
0,000001 km2
0,00000001 km2
0,0000000001
km2
0,000000000001
km2
100 ha
1 ha
0,01 ha
0,0001 ha
0,000001 ha
0,00000001 ha
0,0000000001 ha
10 000 a
100 a
1a
0,01 a
0,0001 a
0,000001 a
0,00000001 a
1 000 000 m2
10 000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
100 000 000 dm2
1 000 000 dm2
10 000 dm2
100 dm2
1 dm2
0,01 dm2
0,0001 dm2
1010 cm2
108 cm2
1 000 000 cm2
10 000 cm2
100 cm2
1 cm2
0,01 cm2
1012 mm2
1010 mm2
108 mm2
1 000 000 mm2
10 000 mm2
100 mm2
1 mm2
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
kwadrat różnicy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
kwadrat sumy
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
różnica kwadratów
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
różnica sześcianów
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
suma sześcianów
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
sześcian różnicy
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
sześcian sumy
­(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
kwadrat sumy trzech składników
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
PODZIELNOŚĆ LICZB
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez:
2
gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8
3
gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3
4
gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się przez 4
5
gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5
6
gdy dzieli się przez 2 i 3
7
gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby
a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez 7
8
gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8
9
gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9
10
gdy ostatnią jej cyfrą jest 0
11
gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez 11
PRZEDROSTKI
powiększają
przedrostek
skrót
ile razy zwiększa jednostkę
tera
T
1012
bilion
giga
G
109
miliard
mega
M
106
milion
kilo
k
103
tysiąc
hekto
h
102
sto
deka
da
10
dziesięć
przedrostek
skrót
jaka to część jednostki
decy
d
dziesiąta część
centy
c
setna część
mili
m
tysięczna część
mikro
k
milionowa część
nano
n
miliardowa część
piko
p
bilionowa część
femto
f
biliardowa część
atto
a
trylionowa część
pomniejszają
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
SKALA
Skala
1:1
1:k
k:1
wymiary
rzeczywiste
każdy wymiar zmniejszony
k razy
każdy wymiar zwiększony
k razy
obwód
O
k razy mniejszy [O : k]
k razy większy [O · k]
pole powierzchni
P
k2 razy mniejsze [P : k2]
k2 razy większe [P · k2]
objętość
V
k3 razy mniejsza [V : k3]
k3 razy większa [V · k3]
ZBIORY
Podstawowe symbole i oznaczenia
Symbol
Znaczenie
Symbol
Znaczenie
i (koniunkcja)
zbiór, którego elementami są a,b,c
lub (alternatywa)
iloczyn kartezjański zbiorów A i B
nieprawda że (zaprzeczenie)
zbiór pusty
wtedy i tylko wtedy (równoważność)
przedział otwarty o końcach a i b
jeżeli..., to... (implikacja)
przedział domknięty o końcach a i b
zawiera się w
jest równy
należy do
jest tożsamościowo równy (jest przystający)
Działania na zbiorach
Działanie
Ilustracja graficzna
Zapis symboliczny definicji
Niektóre własności
Suma zbiorów
Iloczyn zbiorów
Różnica zbiorów \
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
Relacje między zbiorami
Równość zbiorów
Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B
i na odwrót.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B
wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy element zbioru A jest
elementem zbioru B (A nazywamy
podzbiorem B, B zaś nadzbiorem
zbioru A).
Zawieranie się
zbiorów(inkluzja)
Jeżeli
i
to
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem
pustym, nazywamy rozłącznymi. Zbiory rozłączne
FUNKCJE
Jeżeli mamy dwa niepuste zbiory A, B i każdemu elementowi ze zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element
ze zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy FUNKCJĄ określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B.
Sposoby opisywania funkcji
opis słowny
Każdej liczbie ze zbioru {-4, -3, -2, 0, 1, 3} przypisujemy liczbę o dwa od niej mniejszą
graficzny
tabelka
x
-4
-3
-2
0
1
3
y
-6
-5
-4
-2
-1
1
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
wykres
wzór
y=x-2; x należy {-4, -3, -2, 0, 1, 3} lub (-4,-6); (-3,-5); (-2,-4); (0,-2); (1,-1);(3,1)
TRÓJKĄTY
Klasyfikacja ze względu na boki
Trójkątem równobocznym nazywamy trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą
długość.
|AB| = |BC| = |AC|
Trójkątem równoramiennym nazywamy trójkąt, którego (co najmniej) dwa boki mają
tę samą długość.
|AC| = |BC|
Trójkątem różnobocznym nazywamy trójkąt, którego boki mają różne długości.
Klasyfikacja ze względu na kąty
Trójkątem ostrokątnym nazywamy trójkąt, którego wszystkie kąty są ostre.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
Trójkątem prostokątnym nazywamy trójkąt, którego jeden z kątów jest prosty.
Trójkątem rozwartokątnym nazywamy trójkąt, którego jeden z katów jest rozwarty.
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości obu przyprostokątnych.
c2 = a2 + b2
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości obu przyprostokątnych.
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu
kąta. Np.
PODZIAŁ KĄTÓW
Podział ze względu na miary
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
Kąty naprzemianległe, odpowiadające, przyległe i wierzchołkowe
Kąty położone tak jak na rysunku obok, nazywamy kątami naprzemianległymi.
Kąty położone tak jak na rysunku obok, nazywamy kątami odpowiadającymi.
Kątami przyległymi nazywamy takie dwa kąty, które mają jedno ramę wspólne, a pozostałe ramiona są półprostymi dopełniającymi się. Suma miar kątów przyległych równa się 180 stopni
Kąty wypukłe, których ramiona wzajemnie się przedłużają, nazywamy kątami
wierzchołkowymi. Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
Kąty w kole
Wierzchołek każdego z tych kątów jest środkiem koła. Są to kąty środkowe.
Wierzchołek każdego z kątów (mniejszy niż 180 stopni) leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg. Są to kąty wpisane.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona z 17
Kąty w kole - własności
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary
Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym
WIELOKĄTY
Figura
Obwód
Pole pow.
KWADRAT
O = 4a
2
P=a 2
P = ½d
PROSTOKĄT
O = 2a + 2b
P = ab
RÓWNOLEGŁOBOK
O = 2a + 2b
P = ah
ROMB
O = 4a
P = ah
P = ½d d
1 2
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 10 z 17
TRAPEZ
O=a+b+c+d
P = ½(a + b)h
TRÓJKĄT
O=a+b+c
P = ½a
DELTOID
LATAWIEC
O = 2a + 2b
P = ½d d
1 2
KOŁO i WIELOKRĄG
Okręgiem o środku S i promieniu r > 0 nazywamy figurę złożoną z wszystkich punktów
płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa r.
Cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końcami są dwa różne punkty okręgu.
Średnicą okręgu nazywamy cięciwę, która przechodzi przez środek okręgu.
Cięciwa okręgu dzieli okrąg na dwie części. Każdą z nich nazywamy łukiem, tego okręgu.
Łuk okręgu wyznaczony przez średnicę nazywamy półokręgiem.
Kołem o środku S i promieniu r > 0 nazywamy figurę złożoną z wszystkich punktów
płaszczyzny, których odległość od środka jest nie większa niż r.
Pole wycinka AOB
Długość łuku AB
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 11 z 17
BRYŁY
V – objętość
Pp – pole podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej
P – pole całkowite
Graniastosłup to wielościan, którego wierzchołki należą do dwóch równoległych
płaszczyzn, krawędzie zaś, które nie są zawarte w tych płaszczyznach, są
równoległe. Sześcian to graniastosłup, którego ściany są przystającymi kwadratami, a w każdym
wierzchołku spotykają się trzy ściany.
Prostopadłościan to graniastosłup prosty, w którym wszystkie ściany boczne są
prostopadłe do podstawy.
Ostrosłup jest wielościanem takim, że jedna jego ściana, zwana podstawą, jest
wielokątem, zaś pozostałe ściany są trójkątami wyznaczonymi przez wierzchołek
tego ostrosłupa i wierzchołki wielokąta podstawy. VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 12 z 17
Kulą o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni,
których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa długości promienia.
Powierzchnią kuli (sferą) o środku O i promieniu długości r nazywamy zbiór
wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest równa
długości promienia.
Stożek obrotowy to figura powstała z obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej
zawierającej jedną z przyprostokątnych (lub ogólnie: figurę powstałą przez obrót
danej prostej wokół prostej mającej z daną jeden punkt wspólny).
Walec to figura powstała przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z
jego boków (lub ogólnie: figurę powstałą przez obrót prostej wokół prostej do niej
równoległej). DZIAŁANIA NA PROCENTACH
Aby zamienić % na ułamek wystarczy liczbę % podzielić przez 100: np. 35% = 35 :100 = 0,35
Aby zamienić ułamek na % wystarczy ten ułamek pomnożyć przez 100%: np. 0,12 = 0,12 * 100% = 12%
Aby obliczyć % z liczby wystarczy procent zamienić na ułamek i pomnożyć go przez tę liczbę: np. 45% z liczby 20 =
0,45 * 20 = 9
Aby znaleźć liczbę na podstawie danego jej %, wystarczy podaną wartość podzielić przez liczbę % i pomnożyć przez
100: np. znajdź liczbę wiedząc, że jej 20% wynosi 16.
Szukana liczba = 16 : 20% = 16 : 0,2 = 80
Aby obliczyć jakim % liczby A jest liczba B, wystarczy podzielić liczbę B przez liczbę A i wynik pomnożyć przez 100%:
np. jakim % liczby 60 jest liczba 9?
9 : 60 * 100%=0,15 * 100% = 15%, więc liczba 9 to 15% liczby 60.
POJĘCIA MATEMTYCZNE W PIGUŁCE
Liczby nieujemne to liczby dodatnie i zero.
Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 13 z 17
Liczby odwrotne to dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden.
Liczby pierwsze to takie liczby naturalne większe od 1, które mają tylko dwa różne dzielniki.
Liczby przeciwne to liczby, których suma jest równa zero.
Liczby złożone to liczby naturalne, które mają więcej niż dwa dzielniki. Rozwinięcie dziesiętne liczby to przedstawienie liczby w postaci dziesiętnej.
Rozwinięcie dziesiętne nieskończenie okresowe to rozwinięcie dziesiętne pewnych liczb niewymiernych.
Rozwinięcie dziesiętne skończone to dziesiętne postać pewnych liczb wymiernych
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to odległość od zera punktu odpowiadającego tej liczbie na osi liczbowej.
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby ujemnej jest przeciwna
do niej liczba dodatnia.
Jednomian to liczba zmienna lub iloczyn zmiennych i pewnego współczynnika liczbowego
Suma algebraiczna jest to suma jednomianów.
Odejmowanie lub dodawanie jednomianów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.
Sumę algebraiczną można rozłożyć na czynniki przez: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, stosowanie
wzorów skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów.
Równanie jest to równość dwóch wyrażeń algebraicznych, w których występuje jedna lub kilka niewiadomych.
Wyrażenie algebraiczne to symboliczne zapisy liczb i działań.
Wartość liczbowa wyrażenia jest to wartość otrzymana po podstawieniu liczb w miejsce liter w wyrażeniu i wykonaniu wskazanych działań.
Zmienne są to litery zastępujące liczby w wyrażeniach algebraicznych.
Współczynnik liczbowy to liczba występująca na początku uporządkowanego jednomianu.
Jeżeli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma, to o takich równaniach mówimy, że są to równania pierwszego
stopnia z jedną niewiadomą.
Jeżeli równanie jest tożsamością, to znaczy, że każda liczba spełnia to równanie.
Jeżeli równanie jest sprzeczne, to znaczy, że nie ma takiej liczby rzeczywistej, która spełnia to równanie.
Nierówności równoważne to nierówności mające ten sam zbiór rozwiązań.
Równania równoważne są to równania mające dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Proporcja to równość dwóch stosunków, która ma tę samą własność, że iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyrazów środkowych.
Dane są dwa zbiory A i B. Funkcję określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru A jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B.
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.
Element zbioru B, który został przyporządkowany elementowi x zbioru A, nazywamy wartością funkcji.
Funkcja malejąca to taka, w której ze wzrostem wartości argumentów x maleją wartości funkcji y.
Funkcja rosnąca to taka, w której ze wzrostem wartości argumentów x rosną wartości funkcji y.
Funkcja stała to taka, w której każdej wartości argumentu x przyporządkowana jest ta sama wartość funkcji y.
Wykres funkcji jest to graficzne przedstawienie funkcji w układzie współrzędnych.
Miejsce zerowe funkcji to każdy argument, dla którego wartość funkcji równa jest zeru.
Układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie to układ dwóch prostych prostopadłych zwanych osiami
współrzędnych; oś pionowa y – oś rzędnych, oś pozioma x – oś odciętych.
Układ równań pierwszego stopnia, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia, którego nie spełnia żadna para liczb, nazywamy układem sprzecznym.
Układ równań pierwszego stopnia, który spełnia nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 14 z 17
Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.
Ilustracją graficzną oznaczonego układu równań są dwie proste przecinające się. Współrzędne punktu przecięcia
się tych prostych są rozwiązaniem tego układu równań.
Ilustracja graficzną nieoznaczonego układu równań jest prosta. Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Ilustracja graficzną układu równań sprzecznych są dwie różne proste równoległe. Rozwiązaniem układu równań
sprzecznego jest zbiór pusty.
Współrzędne punktu na płaszczyźnie to uporządkowana para liczb określająca położenie punktu względem osi
współrzędnych.
Rozkład liczby na czynniki pierwsze to przedstawienie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Rozstęp danych to różnica między największą a najmniejszą liczbą w danej próbie.
Sondaż to badanie opinii publicznej na podstawie przeprowadzonego wywiadu.
Próba to wybrana grupa elementów, które badamy w celu wyciągnięcia wniosków o całej populacji.
Mediana to liczba znajdująca się pośrodku danych z próby, uporządkowanych w kolejności od najmniejszej do największej.
Moda to cecha, która w próbie występuje nie rzadziej niż inne.
Histogram jest to diagram słupkowy przedstawiające dane pochodzące z obserwacji.
Ankieta to zbiór pytań na określony temat.
Każdy czworokąt ma dwie przekątne
Trapezy to wszystkie czworokąty wypukłe, w których jest przynajmniej jedna para boków równoległych.
Trapezoidy to czworokąty wypukłe, które nie mają boków równoległych.
Trapez równoramienny: ramiona są równej długości , przekątne są równej długości, kąty przy podstawach są równej miary, mają jedną oś symetrii.
Trapez prostokątny: jedno ramię jest jednocześnie wysokością trapezu.
Równoległoboki są to trapezy, które mają dwie pary boków równoległych.
Równoległobok: boki równoległe są równej długości, przeciwległe kąty są równej miary, przekątne dzielą się na
połowy.
Romb jest to równoległobok, w którym długości wszystkich boków są równe.
Romb: wysokości są równe, ma dwie osie symetrii; przekątne: są prostopadłe, zawierają się w dwusiecznych kątów
wewnętrznych, zawierają się w osiach symetrii rombu, przecinają się w środku okręgu wpisanego w romb.
Prostokąt to równoległobok, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są proste.
Prostokąt: przekątne są równej długości, symetralne boków równoległych są osiami symetrii prostokąta, punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie.
Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.
Kwadrat: ma cztery osie symetrii; przekątne: są prostopadłe i równej długości, zawierają się w osiach symetrii, zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych, przecinają się we wspólnym punkcie, w środku okręgów opisanego na
kwadracie i wpisanego w kwadrat.
Każdy czworokąt można podzielić na dwa trójkąty, a zatem suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa
3600.
W czworokąt można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.
Na czworokącie można opisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przyległych są równe 1800.
Jeżeli liczba boków wielokąta jest równa n, to suma kątów wewnętrznych jest równa:
(n – 2)x180.
Wielokąt wypukły, którego wszystkie boki są jednakowej długości, a kąty wewnętrzne jednakowej miary, to wielokąt
foremny.
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 15 z 17
Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: Jeżeli w trójkącie kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny.
Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków wyrażone są liczbami naturalnymi
Twierdzenie Talesa: Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to stosunek długości którychkolwiek
dwóch odcinków utworzonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: Jeżeli proste przecinające ramiona kąta wyznaczają na jednym ramieniu odcinki proporcjonalne do odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu, to te proste są równoległe.
Graniastosłupy: podstawy są przystającymi wielokątami, podstawy leżą w płaszczyznach równoległych, krawędzie
boczne są równoległe, ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są kwadratami, to sześcian.
Graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupem prawidłowym.
Przekątne graniastosłupa to każdy odcinek łączący wierzchołki obu podstaw nienależące do tej samej ściany.
Przekrój graniastosłupa to część płaszczyzny, która dzieli graniastosłup na dwie części.
Ostrosłupy: podstawa jest wielokątem, ma jedną podstawę, ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku,
który nazywamy wierzchołkiem podstawy; krawędzie wychodzące z wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy to spodek wysokości tego ostrosłupa; odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego spodkiem wysokości to wysokość ostrosłupa.
Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem.
Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.
Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi,
nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy nazywamy liniowy kąt, którego wierzchołek leży na wspólnej krawędzi, a ramiona są do niej prostopadłe i jedno ramię leży na ścianie bocznej, a drugie na
podstawie.
Walec jest to bryłą, którą otrzymujemy przez obrót prostokąta o 3600 dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków.
Podstawy walca to dwie ściany wyznaczone przez obrót prostopadłych do osi obrotu boków prostokąta, które są
przystającymi kołami i leżą względem siebie równolegle.
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.
Przekrojem poprzecznym walca nazywamy część wspólną walca i płaszczyzny przecinającej walec równolegle do
podstawy.
Przekrojem poprzecznym walca jest koło.
Stożek jest to bryła, którą otrzymujemy, obracając trójkąt prostokątny dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych o kąt 3600.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny.
Przekrojem poprzecznym stożka jest koło lub punkt.
Kula jest bryłą, którą otrzymujemy, obracając półkole o kąt 3600 dokoła prostej zawierającej średnicę.
Powierzchnię kuli nazywamy sferą.
Przekrój osiowy kuli nazywamy kołem wielkim.
Cięciwa to odcinek, którego końcami są punkty leżące na okręgu.
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołki kąta, dzieląca ten kąt na połowy.
Figury przystające to takie, które po nałożeniu na siebie się pokrywają.
Kąt dwuścienny to jedna z dwóch części przestrzeni wyznaczona przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi.
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 16 z 17
Kąt środkowy jest to kąt, którego wierzchołek jest środkiem koła.
Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek jest punktem okręgu koła, a ramiona zawierają cięciwy tego koła.
Odcinek koła to jedna z dwóch części koła wyznaczona przez cięciwę tego koła.
Okrąg opisany na wielokącie jest to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.
Okrąg wpisany w wielokąt jest to okrąg styczny do wszystkich boków wielokąta.
Oś symetrii figury to prosta, względem której każdy punkt figury i punkt do niego symetryczny względem tej prostej
należy do figury.
Podstawy graniastosłupa to dwie równoległe ściany tego graniastosłupa, na których leżą wszystkie wierzchołki graniastosłupa.
Promień okręgu to odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugim końcem punkt leżący na okręgu.
Przekątna wielokąta to odcinek łączący dowolne dwa niekolejne wierzchołki wielokąta.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodzącego przez jego środek.
Średnia arytmetyczna liczb jest to iloraz sumy tych liczb przez ich liczebność.
Średnica to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.
Środek symetrii figury jest to punkt, względem którego każdy punkt figury i punkt do niego symetryczny względem
tego punktu należą do figury.
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem boku równoległego.
Wielościany to bryły, których ścianami są wielokąty.
Wysokość graniastosłupa to każdy odcinek o końcach leżących na podstawach graniastosłupa i prostopadły do tych
podstaw.
Wysokość trójkąta to odcinek prostej przeprowadzonej przez wierzchołek trójkąta, prostopadłej do przeciwległego
boku, liczony od wierzchołka do przecięcia się prostej z przeciwległym bokiem lub jego przedłużeniem
VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA
strona 17 z 17

Podobne dokumenty