= ∫ ∫

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ
ROK XLVI NR 1 (160) 2005
Stanisław Polanowski
Hubert Wysocki
DEKOMPOZYCJA FALKOWA WYKRESU
INDYKATOROWEGO SILNIKA OKRĘTOWEGO
ZA POMOCĄ WAVELET EXPLORER
STRESZCZENIE
W pracy omówiono zagadnienie analizy falkowej sygnałów o charakterze dynamicznym
w zakresie ich dekompozycji. Przytoczono definicje pojęć, teoretyczne podstawy zagadnienia oraz
zasady wykorzystania modułu Wavelet Explorer programu Mathematica. Zamieszczono przykłady
dekompozycji wykresu (przebiegu) indykatorowego średnioobrotowego silnika okrętowego wykonanej przy zastosowaniu wybranych filtrów dostępnych w pakiecie.
WSTĘP
Wyniki pomiarów szybkozmiennych, do których w dziedzinie tłokowych
silników okrętowych należą głównie przebiegi ciśnień spalania, ciśnień wtrysku,
drgań, momentu i prędkości obrotowej, charakteryzują się zmiennością także
w warunkach pracy ustalonej silników. Sygnały pomiarowe tych wielkości są obarczone zakłóceniami. Może pojawić się potrzeba wyeliminowania zakłóceń, tzn.
wygładzenia przebiegu lub też wyłonienia samych zakłóceń, które mogą być użyteczne np. w diagnostyce obiektów technicznych.
Falki i związana z nimi analiza falkowa sygnałów są zagadnieniami nowymi. Pojęcia te zostały wprowadzone przez Grossmana i Morleta w 1984 roku [3].
Metoda bazuje na tzw. wielorozdzielczej dekompozycji sygnału, której algorytm
obliczeniowy opracował w 1989 roku Mallat [5]. Podstawową rolę w analizie falkowej odgrywają dwie funkcje: funkcja skalująca φ (t ) i falka ψ (t ) o własnościach
∫
+∞
−∞
φ (t )dt = 1,
∫
+∞
ψ (t )dt = 0.
−∞
131
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Generują one rodzinę funkcji służących do dekompozycji lub rekonstrukcji
sygnału f (t ) . Dla podkreślenia związku obu tych funkcji w konstrukcji wspomnianej „rodziny” czasami φ (t ) i ψ (t ) nazywamy odpowiednio „falką ojcem” i „falką
matką”.
Za pomocą funkcji skalującej (ojca), poprzez przesunięcia i skalowania
w dziedzinie czasu, konstruuje się bazę falek postaci φ ( at − b) . W przypadku falek
dyskretnych parametry a, b przyjmują postać a = 2, b = k, gdzie j, k ∈ C.
Nazwa „falka” sugeruje oscylacyjny charakter przebiegu krzywej ψ (t ) ,
który jest zapewniony przez warunek
∫
+∞
ψ (t )dt = 0 . Falki mogą zatem opisywać
−∞
sygnały o przebiegach z dużymi impulsami lub ostrymi krawędziami. Są wykorzystywane m.in. do odszumiania (filtracji) sygnałów, kompresji danych, a także
w analizie numerycznej, gdzie znacznie przyspieszają obliczenia numeryczne problemów, w których są stosowane. Doskonałym narzędziem do analizy sygnałów
i przetwarzania obrazów za pomocą falek jest pakiet Wavelet Explorer programu
Mathematica.
Celem pracy jest zwięzłe przedstawienie możliwości pakietu w zakresie dekompozycji sygnałów na przykładzie przebiegu indykatorowego średnioobrotowego
silnika okrętowego. W opracowaniu korzystano głównie z dokumentacji pakietu
w wersji 1.2.1, a także z literatury [1, 2, 4].
ANALIZA WIELOROZDZIELCZA SYGNAŁU
Sygnał f (t ) może być przedstawiony jako kompozycja dostatecznie gładkiego przebiegu oraz pewnych wahań, zwanych detalami (szczegółami). Różnica
między częścią gładką sygnału a detalami zleży od rozdzielczości, czyli od pewnej
skali, poniżej której detale nie są dostrzegalne. Jeżeli przy danej rozdzielczości pominiemy detale, to otrzymamy pewną aproksymację sygnału.
Niech j ∈ C będzie poziomem rozdzielczości, natomiast 1/2j – jej skalą.
Przez f j (t ) oznaczmy aproksymację funkcji f (t ) na poziomie j, natomiast przez
d j (t ) detale na poziomie j, tzn. d j (t ) = f j +1 (t ) − f j (t ) , czyli
f j +1 (t ) = f j (t ) + d j (t ).
132
(1)
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Sygnał f (t ) może być odtworzony, jeżeli znamy detale na wszystkich poziomach rozdzielczości, tzn. gdy j → ∞ . Zatem
f (t ) = f j (t ) +
∞
∑ d (t ).
(2)
k
k= j
Zakładać będziemy, że f (t ) jest elementem przestrzeni L2 ( R, R) funkcji
rzeczywistych całkowalnych z kwadratem, tzn.
⎧
L2 ( R, R) := ⎨ f : R → R :
⎩
∫
[ f (t )]2 dt < ∞ ⎫⎬ ,
⎭
+∞
−∞
w której określony jest iloczyn skalarny
( f | g ) :=
∫
+∞
−∞
f (t ) g (t )dt ∈ L2 ( R, R).
Przestrzeń ta może być przedstawiona jako suma prosta swoich podprzestrzeni V j oraz Wk , tzn.
L2 ( R, R) = V j ⊕
∞
⊕W ,
k= j
k
(3)
gdzie f j (t ) ∈ V j , d k (t ) ∈ Wk .
V j oraz Wk nazywamy p r z e s t r z e n i ą a p r o k s y m a c y j n ą i p r z e s t r z e n i ą d e t a l i odpowiednio na poziomach rozdzielczości j oraz k.
Zgodnie z (1) zachodzi relacja
V j +1 = V j ⊕ W j ,
(4)
przy czym żąda się, aby V j ⊥ W j dla j ≤ k oraz aby W j ⊥ Wk dla j ≠ k .
Wielorozdzielcza reprezentacja (2) sygnału f (t ) związana jest z konstrukcją przestrzeni V j .
1 (160) 2005
133
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Mówimy, że ciąg przestrzeni {V j } j∈C tworzy analizę wielorozdzielczą
w L2 ( R, R) , jeżeli:
−
... ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ L2 ( R, R) ;
−
I j V j = { 0 }, U j V j = L2 ( R, R) ;
−
f (t ) ∈ V j ⇔ f ( 2t ) ∈ V j +1 ;
−
f (t ) ∈ V0 ⇒ f (t − k ) ∈ V0 ;
−
istnieje funkcja φ (t ) , zwana funkcją skalującą, taka że {φ (t − k ) : k ∈ C } jest
bazą ortonormalną w V0 .
Z powyższych założeń wynika, że:
−
lim V j = { 0 },
−
f (t ) ∈ V0 ⇒ f ( 2 j t − k ) ∈ V0 ;
−
{ φ j , k (t ) := 2 j / 2 φ ( 2 j t − k ) : k ∈ C } jest bazą ortonormalną w V j .
j →∞
lim V j = L2 ( R , R );
j →∞
Funkcję φ (t ) ∈ V0 ⊂ V1 możemy przedstawić jako kombinację liniową elementów bazy { φ j , k (t ) } przestrzeni V1
φ (t ) = ∑ hkφ1, k (t ) = 2 ∑ hkφ ( 2t − k ) .
k
(5)
k
Równanie (5) nazywamy równaniem analizy wielorozdzielczej.
Korzystając z (5), można wykazać następujące własności ciągu współczynników { hk } :
−
∑h
k
= 2;
k
−
-
∑h h
k
k + 2l
= δ 0,l , gdzie δ 0, l jest symbolem Kroneckera.
k
Z (3) i (4) wynika, że:
L2 ( R, R) =
+∞
⊕W
k = −∞
134
k
.
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Zatem bazy przestrzeni W j mogą być bazami w L2 ( R, R) . Niech
{ψ j , k (t ) := 2 j / 2 ψ ( 2 j t − k ) : k ∈ C } będzie bazą ortonormalną w W j . Funkcję
ψ (t ) ∈ W0 generującą tę bazę nazywamy f a l k ą m a t k ą lub f a l k ą b a z o w ą .
Z (4) otrzymujemy W0 ⊂ V1 . Falka ψ (t ) może być więc przedstawiona jako
kombinacja liniowa elementów bazy ψ 1, k (t )} przestrzeni V1 :
ψ (t ) = ∑ g kφ1, k (t ) = 2 ∑ g kφ ( 2t − k ) .
k
(6)
k
(6) nazywamy r ó w n a n i e m f a l k o w y m .
Wykazuje się, że między ciągami liczbowymi { g k } i { hk } , które nazywamy odpowiednio f i l t r e m g ó r n o - i d o l n o p r z e p u s t o w y m , zachodzi relacja
g k = ( −1) k h1− k .
(7)
Jeżeli nośnik funkcji skalującej φ (t ) jest nieskończony, to sumy w równaniach (5) i (6) są nieskończone. W praktyce ograniczamy się do sum skończonych
w granicach od k = − k max do k = k max , gdzie k max zależy od wymaganej dokładności.
Niech φˆ(ω ) będzie przekształceniem Fouriera funkcji skalującej φ (t ) , tzn.
+∞
φˆ(ω ) = ∫ φ (t )e − iωt dt .
−∞
Można wykazać, że w dziedzinie częstotliwości warunek ortonormalności
bazy {φ (t − k ) : k ∈ C } przestrzeni V0 wyraża się wzorem
+∞
∑ | φˆ(ω + 2π l | = 1.
2
(8)
l = −∞
Jeżeli zatem baza {φ (t − k ) : k ∈ C } nie jest ortonormalna, to funkcja
φˆort (ω ) =
φˆ(ω )
+∞
(9)
∑ | φ (ω + 2π l ) |
2
l = −∞
1 (160) 2005
135
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
spełnia warunek ortonormalności (8):
2
+∞
+∞
∑ | φˆ(ω + 2π l | = ∑
k = −∞
2
k = −∞
φˆ(ω + 2π k )
+∞
=1
∑ | φ (ω + 2π l ) |
2
l = −∞
i wyznacza bazę ortonormalną {φort (t ) : k ∈ C } w V0 .
Jako przykład analizy wielorozdzielczej omówimy konstrukcję opartą na
funkcjach sklejanych.
SPLINOWA ANALIZA WIELOROZDZIELCZA
Niech Sn będzie zbiorem funkcji f (t ) o następujących własnościach:
−
na każdym przedziale [k, k + 1], gdzie k ∈ N 0 , f (t ) jest wielomianem co najwyżej n-tego stopnia;
−
f (t ) ∈ C n −1 ( R, R), n ∈ N .
Funkcję f (t ) ∈ Sn nazywamy podstawową funkcją sklejaną (funkcją giętą,
splinem) n-tego stopnia.
Niech |t|+ := max(0,t), | t | n+ := (| t | + ) n , gdzie n∈ N. B – s p l i n e m (box splinem) n-tego stopnia nazywamy funkcję
⎧ 1 n +1
n + 1⎞
j⎛
⎟⎟ [ t + n / 2 − j ]+n
dla n parzystych
⎪ ∑ ( −1 ) ⎜⎜
j
n
!
⎝
⎠
⎪ j =0
β n ( t ) := ⎨
,n∈ N.
n +1
⎪ 1 ( −1 ) j ⎛⎜ n + 1⎞⎟ [ t + ( n + 1 ) / 2 − j ] n dla n nieparzystych
+
⎜ j ⎟
⎪ n! ∑
⎝
⎠
⎩ j =0
Funkcja βn(t) ma nośnik długości n + 1 postaci [-n/2, n/2 +1] dla n parzystych oraz [-(n + 1)/2, (n + 1)/2] dla n nieparzystych. Jej wykres jest zatem symetryczny względem prostej t = ½ dla n parzystych oraz t = 0 dla n nieparzystych.
136
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Można również wykazać, że zbiór B := { β n (t − k ) : k ∈ C } stanowi bazę
w przestrzeni Sn . Nie jest to jednak baza ortogonalna.
Po wczytaniu pakietu Wavelet Explorer do programu Mathematica funkcje
β n (t ) generowane są poleceniem Bspline[n, t]. Aby wczytać pakiet, w notatniku
programu wpisujemy polecenie Needs[”Wavelets‘Wavelets‘”].
Z rysunku 1. wynika, że B nie jest bazą ortogonalną.
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Rys. 1. Wykresy funkcji β3(t + 1), β3(t), β3(t - 1)
Można to również sprawdzić, obliczając np. iloczyn skalarny
( β 3 (t ) | β 3 (t − 1)) =
∫
+∞
−∞
β 3 (t ) β 3 (t − 1)dt = 0.23631.
Niech V0 = Sn ∩ L2 ( R, R) . Wówczas V j jest przestrzenią funkcji f (t ) całkowalnych z kwadratem o następujących własnościach:
−
−
na każdym przedziale [k/2j, (k+1)/ 2j], gdzie k ∈ N 0 , f (t ) jest wielomianem co
najwyżej n-tego stopnia;
f (t ) ∈ C n −1 ( R, R), n ∈ N .
Mamy zatem V0 ⊂ V1 . Ponieważ B nie jest bazą ortonormalną w V0 , należy
skorzystać ze wzoru (9), który dla splinów przyjmuje postać
φˆort (ω ) = M (ω ) βˆn (ω ),
gdzie M (ω ) =
∑a e
k
− ikϖ
.
k
1 (160) 2005
137
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Stąd, po zastosowaniu odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymujemy
wzór na funkcję skalującą
φort (t ) =
+∞
∑α β (t − k ),
k
(10)
n
k = −∞
generującą bazę ortonormalną w V0 .
Ponieważ nośnik funkcji (10) jest nieskończony, w praktyce stosuje się
wzór przybliżony
φort (t ) =
k max
∑α β (t − k ),
k
n
1
(11)
k = k max
który w Wavelet Explorer jest realizowany przez funkcję SplinePhi[n, t, kmax].
Sprawdzając następujące własności splinowej funkcji skalującej
∫
+∞
+∞
−∞
−∞
φ (t )dt = 1, (φ (t ) | φ (t − 2)) = ∫ φ (t )φ (t − 2)dt = 0
dla funkcji bazowych 7. stopnia wygenerowanych przy k max = 25 (rys. 2.), otrzymujemy odpowiednio wartości przybliżone
1,00093 oraz -6,26131×10-6,
przy czym całkowanie ograniczono do przedziału [-13, 13].
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-10
-5
0
5
10
Rys. 2. Wykres splinowych funkcji bazowych φ (t ),φ (t − 2) 7. stopnia
przy k max = 25
1
138
W dalszym ciągu będziemy pisali
φ (t ) zamiast φort (t ) .
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Współczynniki filtru { hk } w równaniu (5) splinowej analizy wielorozdzielczej wyznaczamy za pomocą funkcji
SplineFilter[n, kmax].
Przy danym ciągu { hk } , na postawie (7), wyznaczamy filtr { g k } . Po
uwzględnieniu postaci (10) funkcji skalującej (ojca), otrzymujemy wzór na falkę
matkę
ψ (t ) =
+∞
∑ b β (2t − k ),
k
n
k = −∞
który w praktyce zastępujemy wzorem przybliżonym
⎧ k max +1
bk β n ( 2t − k )
⎪
⎪k = − k max +1
ψ (t ) ≈ ⎨ k max +1
⎪
bk β n ( 2t − k )
⎪
⎩ k = − k max
∑
dla n nieparzyst ych,
∑
dla n parzystych
realizowanym przez funkcję SplinePsi[n, t, kmax].
Sprawdzając następujące własności splinowej falki
∫
+∞
+∞
−∞
−∞
ψ 0,0 (t )dt = 0, (ψ 1,0 (t ) | ψ 1,0 (t )) = 2∫ ψ ( 2t ) ψ ( 2t )dt = 1
dla funkcji 2. stopnia wygenerowanych przy k max = 25 (rys. 3), otrzymujemy odpowiednio wartości przybliżone
0,000405 oraz 1,00000,
przy czym całkowanie ograniczono do przedziału [-4, 4].
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
Rys. 3. Wykresy splinowych falek ψ (t ),ψ ( 2t ) 2. stopnia przy k max = 25
1 (160) 2005
139
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
PRZEKSZTAŁCENIA FALKOWE
Rozważmy sygnał f (t ) i załóżmy, że znamy tylko jego przybliżenie f j (t )
na poziomie rozdzielczości j, natomiast informacje dotyczące detali dla skali mniejszej od 1/2j są albo nieznane, albo ignorowane. Wówczas, na podstawie (1), możemy dokonać d e k o m p o z y c j i sygnału
f j (t ) = f j −1 (t ) + d j −1 (t ).
(12)
Ponieważ f j (t ) ∈ V j i V j ma bazę ortonormalną { φ j , k (t ) : k ∈ C } , więc
f j (t ) =
∑f
k
φ j ,k (t ),
j
k
przy czym { f k j } traktujemy jako ciąg dany z uwagi na znajomość f j (t ) . Analogicznie wnioskujemy, że
f j −1 (t ) =
∑f
k
j −1
φ j −1, k (t ),
k
przy czym ciąg { f k j −1} jest nieznany.
Ponieważ d j −1 (t ) ∈ W j −1 i W j −1 ma bazę ortonormalną { ψ j , k (t ) : k ∈ C } , więc
d j −1 (t ) =
∑d
j −1
k
ψ j −1, k (t ),
k
gdzie {d kj −1} jest również ciągiem nieznanym.
Wykazuje się, że ciągi { f k j −1} , {d kj −1 } można wyrazić za pomocą ciągu
{ f k j } według następujących wzorów
f k j −1 =
∑h
l −2k f l
l
j
, d kj −1 =
∑g
l −2k f l
j
,
(13)
l
które określają tzw. p r z e k s z t a ł c e n i e f a l k o w e ( t r a n s f o r m a t ę f a l k o w ą ) .
Jest oczywiste, że dekompozycja (12) może być powtarzana wielokrotnie,
aż do osiągnięcia pewnego poziomu rozdzielczości j0. Otrzymujemy wówczas:
140
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
f j (t ) =
∑
k
f k j0 φ j0 , k ( t ) +
j −1
∑ ∑d ψ
l = j0
l
k
l , k ( t ).
(14)
k
Zagadnienie odwrotne, polegające na uzyskaniu przybliżenia f j (t ) na podstawie znajomości f j −1 (t ) i d j −1 (t ) zgodnie ze wzorem (12), nazywamy r e k o n s t r u k c j ą sygnału. Zatem, gdy dane są ciągi { f k j −1} , {d kj −1} , sprowadza się ona do
wyznaczenia { f k j } według wzoru:
f kj =
∑h
k − 2l f l
j −1
l
+
∑g
k − 2l d l
j −1
.
(15)
l
Wzór (15) określa tzw. o d w r o t n e p r z e k s z t a ł c e n i e f a l k o w e .
W Wavelet Explorer przekształcenie falkowe (13) realizowane jest przez funkcję
WaveletTransform[danepom, filtr],
której pierwszy argument danepom jest listą
~ ~
~
{ f 0 , f1 , . . ., f K −1 }
(16)
danych pomiarowych sygnału f (t ) w równoległych chwilach czasowych, tzn.
~
f k = f (k / 2 J ) , gdzie J jest ustalonym końcowym poziomem rozdzielczości.
Z uwagi na to, że na każdym poziomie rozdzielczości algorytm dekompozycji sygnału polega na dzieleniu chwil czasowych przez 2, ogólna liczba pomiarów
K musi być parzysta. Drugi argument filtr oznacza filtr dolnoprzepustowy { hk } .
Funkcja
WaveletTransform[danepom, filtr, l]
pozwala dokonać l-krotnej dekompozycji sygnału iteracyjnie, w dół, na coraz niższe
poziomy rozdzielczości, o ile liczba danych pomiarowych K będzie podzielna
przez 2l.
Jeżeli K dzieli się przez 2J, to przyjmuje się, że dane pomiarowe (16) odpowiadają J-temu poziomowi rozdzielczości, tzn.
~ ~
~
danepom ≡ { f 0 , f1 , . . . , f K −1} = { f 0J , f1J , . . . , f KJ −1}.
1 (160) 2005
(17)
141
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Wówczas wartością funkcji
WaveletTransform[danepom, filtr, J]
jest lista wtdanepom J+1 list
{{ f 00 , f10 , . . . , f K00 −1},{d 00 , d10 , . . . , d K0 1 −1},{d 01 , d11 , . . . , d 1K 2 −1}, . . . ,
{d 0J −1 , d1J −1, . . . , d KJ −J 1−1}},
z których pierwsza zawiera
(18)
K 0 = K / 2 J , każda następna zaś odpowiednio
K i = ( K / 2 J ) ⋅ 2i −1 , i ∈ 1, J elementów.
Odwrotne przekształcenie falkowe (15) realizowane jest przez funkcję
InverseWaveletTransform[wtdanepom, filtr].
Wartością tej funkcji jest lista inwtdanepom, którą możemy porównać z listą
(16). Mianowicie za pomocą polecenia
Max[Abs[danepom-inwtdanepom]]
(19)
możemy sprawdzić, jaki jest największy błąd bezwzględny między danymi pomiarowymi (16) a danymi inwtdanepom uzyskanymi za pomocą odwrotnego przekształcenia falkowego.
Z kolei polecenie
Sqrt[(danepom-inwtdanepom).(danepom-inwtdanepom)/(danepom.danepom)] (20)
pozwala obliczyć względny błąd średniokwadratowy między tymi danymi.
Wartości wskaźników (19) i (20) mogą służyć do oceny doboru filtru falkowego filtr i jego parametrów.
DEKOMPOZYCJA SYGNAŁU
Zakładając, że dane pomiarowe (16) reprezentują poziom rozdzielczości J,
tzn. zachodzi równość (17), na podstawie (12) możemy napisać
f J (t ) = f 0 (t ) + d 0 (t ) + d1 (t ) +L + d J −1 (t ) .
142
(21)
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Za pomocą funkcji
MRDecomposition[wtdanepom,filtr]
otrzymujemy wielorozdzielczą dekompozycję (21) w równoodległych chwilach
czasowych k / 2 J , k ∈ 0, K − 1 w postaci listy mrdanepom J+1 list
{{ f 0,0 , f 0,1 , . . . , f 0, K −1},{d 0,0 , d 0,1 , . . . , d 0, K −1},{d1,0 , d1,1 , . . . , d1, K −1}, . . . ,
(22)
{d J −1,0 , d J −1,1 , . . . , d J −1, K −1}},
gdzie
f
j, k
= ( f (t ) | φ
(t )), d
= (d (t ) | φ
(t )) .
j
J ,k
j, k
j
J ,k
Z kolei mrdanepom[[j]] oznacza j-tą podlistę ( j ∈ 1, J + 1) listy (22).
DEKOMPOZYCJA PRZEBIEGU INDYKATOROWEGO
O wyborze przebiegu ciśnienia w cylindrze jako sygnału, na przykładzie
którego zostaną omówione zasady dekompozycji falkowej, zadecydowały oczekiwania w zakresie obróbki tego rodzaju sygnałów, a także dobra znajomość fizyki
procesu, źródeł i postaci zakłóceń, co umożliwia wiarygodną ocenę uzyskanych
wyników.
Celem zaawansowanej obróbki wykresów indykatorowych są najczęściej
pochodne przebiegu, a głównie pochodna pierwszego rzędu. W takich przypadkach
zachodzi potrzeba odpowiedniego wygładzenia przebiegu ciśnienia, co może być
dokonane z wykorzystaniem dekompozycji falkowej lub innymi metodami.
Na rysunku 4. pokazano wykres indykatorowy dla ciśnienia pomierzonego
w cylindrze silnika średnioobrotowego 6AL20/24 z rozdzielczością kątową 0,1 °owk.
Piłokształtne zakłócenia obserwowane po momencie zapłonu są spowodowane przez krótki (10 mm) kanał gazowy pomiędzy komorą spalania a czujnikiem,
którego obecność została wymuszona względami technologicznymi. Jest to znane,
często spotykane zjawisko w pomiarach ciśnień cylindrowych.
1 (160) 2005
143
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Rys. 4. Wykres indykatorowy dla pomiaru w cylindrze silnika 6AL20/24
na obciążeniu nominalnym: p – ciśnienie, α – kąt obrotu wału korbowego,
krok próbkowania 0.1 °owk
Do analizy rozważanego sygnału użyto kilku filtrów. Między innymi zostaną zaprezentowane wyniki analizy za pomocą filtru SplineFilter[3,50] bazującego na
splinach oraz filtru Shannona. Funkcja skalująca oraz falka Shannona wyrażają się
wzorami:
φ (t ) −
sin π t
sin π (t − 0.5) − sin 2π (t − 0.5)
,
, ψ (t ) =
πt
π (t − 0.5)
natomiast polecenie ShannonFilter[kmax] generuje współczynniki filtru Shannona od
− k max do k max . W przykładzie przyjęto k max = 200 .
Rozważana próbka liczyła 3600 pomiarów ciśnienia w równoodległych
odstępach 0.1 °owk. Do analizy przyjęto K = 3584 pomiarów stanowiących listę
danepom. Ponieważ liczba K dzieli się przez 25 , w związku z tym możemy przyjąć,
że danepom reprezentują piąty poziom rozdzielczości, tzn. J=5.
Na rysunku 5. pokazano detale otrzymane w wyniku dekompozycji splinowej analizowanego przebiegu ciśnienia.
Najbardziej interesujący przedział z punktu widzenia analizy sygnału pokazano w odpowiednim powiększeniu skali kątowej. Porównując detale pod względem
amplitudowym, należy zwrócić uwagę na ich skalę. Detale wyższego rzędu powiększono z uwagi na ich małe wartości.
Rysunek 6. przedstawia wygładzony wykres indykatorowy będący wynikiem splinowej dekompozycji przebiegu analizowanego ciśnienia.
144
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Rys. 5. Detale otrzymane w wyniku dekompozycji przebiegu indykatorowego
z zastosowaniem filtru SplineFilter[3,50]
1 (160) 2005
145
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Rys. 6. Porównanie przebiegu ciśnienia pomierzonego pc z przebiegiem wygładzonym pS50
przy użyciu filtru SplineFilter[3,50]:
p’S50 – pochodna przebiegu pS50 względem kąta obrotu wału korbowego α
Na rysunku 6. widoczna jest duża gładkość przebiegu pS50 będąca wynikiem
wygładzenia zafalowań przebiegu pc. Dla oceny uzyskanej gładkości i charakteru
zafalowań na rysunku 6. pokazano również przebieg pochodnej p’S50. Pochodną p’S50
otrzymano z przebiegu pc metodą ruchomej aproksymacji za pomocą wycinka wielomianu 3. stopnia o szerokości przedziału 11 punktów (2 °owk). Metoda ta jest
znana pod nazwą filtru Savitzkiego-Golaya. Zastosowano filtr będący opracowaniem własnym [6]. Należy podkreślić, że aproksymacja za pomocą wycinka wielomianu o dwukrotnie większej szerokości (21 punktów) nie ma wpływu na wartości
pochodnej w rozpatrywanej skali.
Kierując się fizyką przebiegu pc, można stwierdzić, że zafalowanie pochodnej p’S50 obserwowane w przedziale kąta wynoszącym 155 – 168 (°owk) wskazuje
na niedokładność splinowej dekompozycji przebiegu pc. To zafalowanie nie powinno być generowane.
Rysunek 7. przedstawia wyniki wygładzenia przebiegu pc za pomocą ruchomego obiektu aproksymującego (filtru) typu 3B4, który jest zbudowany z trzech
wielomianów 4. stopnia z zastosowaniem aproksymacji wielokrotnej [7].
Porównując jakość wygładzania przebiegów ciśnień, nie zauważamy istotnych różnic na krzywych wygładzonych obiema metodami. Różnice te ujawniają się
dopiero przy porównaniu pochodnych pierwszego rzędu otrzymanych aproksymacji
(rys. 8.).
146
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Rys. 7. Porównanie przebiegu ciśnienia pomierzonego pc
z przebiegiem wygładzonym p3B4 przy użyciu ruchomego obiektu aproksymującego 3B4:
p’3B4 – pochodna przebiegu p3B4 względem kąta obrotu wału korbowego α
Rys. 8. Porównanie pochodnych pierwszego rzędu p’3B4 i p’S50 otrzymanych
z wygładzonych przebiegów pS50 i p3B4; α – kąt obrotu wału korbowego,
sz1 – sz4: szczegóły
1 (160) 2005
147
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
Szczegół sz1 pokazuje zafalowania na przebiegu pS50, które nie istnieją na
przebiegu pc. Szczegół sz2 ujawnia duże fazowe opóźnienie początku zapłonu obserwowanego na przebiegu pS50 w porównaniu z przebiegiem p3B4. Szczegół sz3
ukazuje znaczny błąd wartości maksymalnej amplitudy pochodnej pierwszego rzędu, która jest ważnym parametrem w dziedzinie silników okrętowych. Dla diagnostyki silników istotne może być także zafalowanie oznaczone przez sz4, które
występuje na przebiegu p3B4, a na przebiegu pS50 zostało wygładzone, co należy
również uznać za błąd. Prawdopodobnie zafalowanie to świadczy o chwilowym
wzroście ciśnienia spowodowanym dotryskiem paliwa.
Analogiczne lub większe błędy przejawiają się na przebiegach wygładzonych za pomocą innych filtrów falkowych dostępnych w pakiecie Wavelet Eksplorer, do których należą m.in. filtry Daubechies, Coiflet, Least Asymmetric, Meyera
i Shannona (rys. 9.).
W przypadku filtru Shannona po dodatkowym wygładzeniu przebiegu ruchomym wielomianem 3. stopnia o szerokości 6,6 °owk (65 punktów) uzyskano
prawie identyczny przebieg jak w przypadku wygładzenia przebiegu obiektem
aproksymującym 3B4. Świadczy o tym porównanie pochodnych pierwszego rzędu
p’3B4 i p’Sh[k=33] (rys. 9.). Występują tylko niewielkie różnice w ich przebiegach
w pobliżu α = 170 °owk i α = 175 °owk, co należy przyjąć jako błąd filtru Shannona. Na przebiegu uzyskanym za pomocą filtru Shannona nadal występują, niewidoczne w tej skali, zafalowania, które ujawnią się na przebiegu pochodnej drugiego rzędu.
WNIOSKI
Podsumowując analizę pochodnych, należy stwierdzić, że z punktu widzenia oczekiwań stawianych przed dekompozycją falkową przebiegu indykatorowego,
uzyskana jakość wygładzenia ciśnienia nie jest zadowalająca.
Znalezienie właściwego filtru do dekompozycji sygnału zależy od jego
kształtu i właściwości. Pakiet Wavelet Explorer programu Mathematica jest wyposażony w kilka zaawansowanych filtrów falkowych. Nie są to filtry działające
automatycznie, lecz konieczne jest odpowiednie dobranie ich parametrów do rozwiązywanego problemu.
Jak pokazują wyniki dokonanej analizy wykresu indykatorowego, ważne
jest również właściwe uzasadnienie zjawisk wyodrębnionych ze zdekomponowanego sygnału, czego podstawą jest znajomość fizyki analizowanego procesu, występujących zakłóceń i błędów pomiarowych.
148
Zeszyty Naukowe AMW
Dekompozycja falkowa wykresu indykatorowego silnika okrętowego...
Rys. 9. Porównanie jakości wygładzania przebiegu ciśnienia pc przy użyciu różnych filtrów
falkowych pakietu Wavelet Explorer: p – ciśnienie, p’ – pochodna ciśnienia, α – kąt obrotu
wału; znaczenia indeksów: S – Spline, D – Daubechies, C – Coiflet, L – Least Asymmetric,
M – Meyer, Sh – Shannon, 3B4 – ruchomy obiekt zbudowany z 3 wielomianów 4. stopnia,
k – wskaźnik szerokości przedziału
1 (160) 2005
149
Stanisław Polanowski, Hubert Wysocki
BIBLIOGRAFIA
[1]
Białasiewicz J. T., Falki i aproksymacje, WN-T, Warszawa 2000.
[2]
Bogges A., Narcowich F. J., A first course in wavelets with Fourier analysis,
Prentice Hall, 2001.
[3]
Grossman A., Morlet J., Decomposition of hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, SIAM „Journal of Mathematical Analysis”, 1984, Vol. 15, No 4, p. 723 – 736.
[4]
Härdle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A., Wavelets, approximation and statistical application, New York: Springer-Verlag, Ser. Lecture
notes in statistics, 1998, Vol. 129; http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/
wav/pdf/wavpdf.pdf.
[5]
Mallat S., A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE „Transaction of Pattern Analysis and Machine Intelligence”,
1989, Vol. 11, p. 674 – 693.
[6]
Polanowski S., Analiza danych pomiarowych z zastosowaniem ruchomych
obiektów aproksymujących, „Zeszyty Naukowe” AMW, 2004, nr 2, s. 117 –
133, Gdynia 2004.
[7]
Polanowski S., Aproksymacja nadążna przebiegu ciśnienia spalania i generowanie pochodnych i całek, „Journl of Kones”, 1966.
[8]
Savitzky A., Golay M. J. E., Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures, „Analytical Chemistry”, 1964, Vol. 36,
p. 1627 – 1639.
ABSTRACT
The paper discusses the problem of the wavelet decomposition of dynamic signals.
It explains definitions of notions, theoretical foundations of the issue and rules of using Wavelet
Explorer module. It also gives examples of decomposition of a medium rotational engine indicator
diagram (course), which was made with certain filters available in the packet.
Recenzent dr hab. inż. Andrzej Ambrozik, prof. nadzw. Politechniki Świętokrzyskiej
150
Zeszyty Naukowe AMW