n - Pierwsza

MATEMATYKA DYSKRETNA
Lista 1: Indukcja matematyczna
Zasada indukcji: Niech T (n) b¦dzie zdaniem o liczbie naturalnej n. Przypu±¢my,
»e T (1) jest prawdziwe. Przypu±¢my tak»e, »e je±li T (n) jest prawdziwe, to T (n + 1)
te» jest prawdziwe (implikacja ta zachodzi dla ka»dego n ≥ 1). Wtedy T (n) jest
prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 1.
Symbolicznie:
I. T (1),
II. dla ka»dego n ≥ 1: [T (n) ⇒ T (n + 1)],
dla ka»dego n ≥ 1: T (n).
Z tej najpro±ciej sformuªowanej zasady wynikaj¡ inne bardziej skomplikowane sformuªowania zasady indukcji. Na przykªad, zamiast od 1 mo»na wystartowa¢ od 0
lub od dowolnej liczby naturalnej m. Wtedy T (n) jest prawdziwe dla ka»dej liczby
naturalnej n ≥ m. Zaªo»enia, »e prawdziwa jest implikacja T (n) ⇒ T (n + 1), mo»na
nieco osªabi¢ wymagaj¡c, »eby T (n + 1) zachodziªo pod warunkiem, »e wszystkie
zdania T (k) przy k ≤ n s¡ prawdziwe (to czasami jest znacznie wygodniejsze w
dowodzie).
1. Stosuj¡c zasad¦ indukcji udowodnij nast¦puj¡ce wzory
(a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
n2 (n + 1)2
(b) 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 =
,
4
n n
(c) n! >
(Skorzysta¢ z nierówno±ci (1 + n1 )n < e).
e
2. Udowodnij, »e liczba 11n − 4n jest podzielna przez 7 dla wszystkich n ≥ 0.
3. Oblicz 1+3+. . .+(2n−1) dla kilku warto±ci i odgadnij wzór ogólny. Nast¦pnie
udowodnij wzór stosuj¡c indukcj¦.
4. Niech T (n) oznacza zdanie n2 + 5n + 1 jest liczb¡ parzyst¡. Udowodnij, »e
T (n) implikuje T (n + 1) dla dowolnego n ≥ 1. Dla jakich n zdanie T (n) jest
prawdziwe?
5. Znajd¹ jawny wzór na wyrazy ci¡gu okre±lonego rekurencyjnie: sn+1 = 2/sn ,
s0 = 1.
6. Jaki ci¡g deniuj¡ wzory: f0 = f1 = 1, fn = (10fn−1 + 100)/fn−2 .
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista 2 (rekurencja)
UWAGA: Ta lista, tak jak i ka»da nast¦pna, przeznaczona jest na jeden tydzie«. Na
¢wiczeniach nie nale»y przerabia¢ wszystkich zada«, a jedynie wybrane trudniejsze
przykªady.
1. Rozwi¡za¢ relacje rekurencyjne:
(a) an = 4an−2 dla n ≥ 2 oraz a0 = 0, a1 = 1.
(b) an = an−1 + an−2 dla n ≥ 2 oraz a0 = 1, a1 = 3.
(c) an = an−1 + 9an−2 − 9an−3 dla n ≥ 3 oraz a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2.
(d) an = 8an−1 − 16an−2 dla n ≥ 2 oraz a0 = −1, a1 = 0.
(e) an = 2an−1 − 4an−2 + 8an−3 + 16an−4 dla n ≥ 4 oraz a0 = 1, a1 = 2, a2 =
1, a3 = 2.
2. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wzory:
(a) Fn2 − Fn+1 Fn−1 = (−1)n dla n ≥ 1.
2
(b) Fn−1
+ Fn2 = F2n ,
(c) Fn−1 Fn + Fn Fn+1 = F2n+1 .
3. Znale¹¢ wzór rekurencyjny na ilo±¢ sposobów wypªacenia n zªotych przy u»yciu
(a) monet jedno i dwuzªotowych;
(b) monet jedno, dwu i pi¦ciozªotowych.
4. Deniujemy rekurencyjnie ci¡g bn : b0 = b1 = b2 = 1 oraz bn = bn−1 + bn−3 dla
n ≥ 3.
(a) Poka», »e bn ≥ 2bn−2 dla n ≥ 3,
√
(b) Udowodnij, »e bn ≥ ( 2)n−2 dla n ≥ 2,
(c) Udowodnij, »e bn ≤ ( 32 )n−1 dla n ≥ 1,
(d) Czy mo»na rozwi¡za¢ t¡ relacj¦ rekurencyjn¡?
5. Rekurencyjnie deniujemy tylko wyrazy o indeksie b¦d¡cym pot¦g¡ dwójki.
Spróbuj odgadn¡¢ kolejno ogólny wzór na wyraz ci¡gu s(2n). Znalezion¡ równo±¢ udowodnij.
(a) s(2n ) = 2s(n), s(0) = 1;
(b) s(2n ) = 2s(n) + A, s(0) = 1;
(c) s(2n ) = 2s(n) + An, s(0) = 1;
(d) s(2n ) = 2s(n) + An + B , s(0) = C;
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista 3 (elementy teorii liczb)
1. Wyznacz warto±ci n div m oraz n mod m dla nast¦puj¡cych par: (20, 3),
(−20, 4), (−20, 4), (371246, 65).
2. W zbiorze Z7 liczb modulo 7 oblicz warto±¢ wyra»e« : 4 + 4, 5 + 6, 4 · 4, oraz
dla dowolnego k : 0 + k , 1 · k .
3. Wypisz tablice dodawania i mno»enia dla zbioru Z4 liczb modulo 4.
4. Rozwi¡» równania w zbiorze Z6 : 1 + x = 0, 2 + x = 0, 3 + x = 0, 1 · x = 1,
2 · x = 1, 3 · x = 1.
5. Wyka», »e czterocyfrowa liczba n jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Jakie znasz jeszcze inne cechy
podzielno±ci?
6. Podaj NWD nast¦puj¡cych par liczb (bez stosowania algorytmu Euklidesa):
(20, 20), (20, 1), (20, 10), (20, 0), (20, 70), (20, −20), (20, 27).
7. Oblicz przy pomocy algorytmu Euklidesa NWD nast¦puj¡cych par liczb: (120, 162),
(20, 14), (170, 850), (289, 850), (14259, 3521).
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista 4 (elementy teorii liczb)
1. Rozwi¡» kongruencj¦
mx ≡ 1 (mod 26)
dla ka»dej warto±ci m = 5, 11, 4, 9, 13.
2. Rozwi¡» ukªad kongruencji z niewiadom¡ x dla 1 ≤ x ≤ 13 · 99
x ≡ 8 (mod 13)
x ≡ 0 (mod 13)
x ≡ 8
a)
b)
c)
x ≡ 0 (mod 99)
x ≡ 65 (mod 99)
x ≡ 65
(mod 13)
(mod 99)
3. Liczby 213408, 250001 rozªo»y¢ na czynniki pierwsze.
4. Ostatnie zadanie z poprzedniej listy rozwi¡za¢ wykorzystuj¡c rozkªad liczb na
czynniki pierwsze.
5. Udowodni¢, »e liczba (377 −1)/2 jest nieparzysta i zªo»ona. (Wskazówka: oblicz
377 mod 4).
6. Udowodni¢, »e aby sprawdzi¢ czy dana liczba n jest pierwsza
(czy zªo»ona),
√
wystarczy sprawdzi¢, czy n ma dzielnik nie wi¦kszy ni» n.
7. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Udowodni¢, »e kp jest liczb¡ podzieln¡ przez
p, dla 1 ≤ k ≤ p − 1.
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista 5 (Asymptotyka funkcji liczbowych)
(Je±li nie jest napisane inaczej, log oznacza logarytm przy podstawie 2).
1. Dla ka»dego z poni»szych ci¡gów znajd¹ najmniejsz¡ liczb¦ k tak¡, »e f (n) =
O(nk ):
(a) f (n) = 13n2 + 4n − 73,
(b) f (n) = (n2 + 1)(2n4 + 3n − 8,
(c) f (n) = (n3 + 3n − 1)4 ,
√
(d) f (n) = n + 1,
√
(e) f (n) = n2 + n.
2. Wykaza¢, »e
ak nk + ak−1 nk−1 + . . . + a0 = O(nk ).
3. Okre±lamy log(k) n = log log . . . log n, gdzie logarytmowanie wykonywane jest
k razy. Wykaza¢, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci (dla jakich k i c?):
1 ≺ log(k) n ≺ log(k−1) n ≺ n ≺ nk ≺ nk+1 ≺ cn ≺ (c + 1)n ≺ nn ≺ . . .
gdzie f ≺ g oznacza f (n) = O(g(n));
4. Dla ka»dego z poni»szych ci¡gów podaj pierwszy z lewej ci¡g a(n) z hierarchii
z zadania 3, »e f (n) = O(a(n)):
(a) f (n) = 3n ,
(b) f (n) = n3 · log n,
√
(c) f (n) = log n,
(d) f (n) = n + 3 log10 n,
(e) f (n) = (n log n + 1)2 .
5. Porówna¢ tempo wzrostu funkcji 2004n , nn i n!.
6. Pokaza¢, »e dla dowolnych podstaw r, s > 1 zachodzi logr n logs n. Wywnioskowa¢ st¡d, »e w zapisie O(log n) podstawa jest nieistotna.
7. Udowodnij, »e dªugo±¢ zapisów dziesi¦tnego i binarnego liczby naturalnej n
wynosi O(log n).
8. Umiejscowi¢ w hierarchii zadania 3 funkcje
(a) f (n) = 1 + 2 + . . . + n
(b) g(n) = 12 + 22 + . . . + n2