Wyznacz pęd ( ), kręt względem środka masy ( ) oraz energię
Transkrypt
Wyznacz pęd ( ), kręt względem środka masy ( ) oraz energię
Wyznacz pęd ( p ), kręt względem środka masy ( K o ) oraz energię kinetyczną ( E k ) jednorodnego sześcianu o boku a i gęstości ρ obracającego się wokół krawędzi ze stałą prędkością kątową ω . Rozwiązanie ϕ = ωt ⎛ ⎞ 2 2 ro = ⎜⎜ a cos(ωt ), a sin(ωt ),0 ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ T ⎛ ⎞ 2 2 v o = r&o = ⎜⎜ − aω sin(ωt ), aw cos(ωt ),0 ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Wektor pędu układ nieruchomy o początku na osi obrotu . p = m vo = ρ a 4ω 2 T ( − sin( ω t ), cos( ω t ),0 )T Wektor krętu względem punktu A wektor krętu względem punktu A (A leży na osi obrotu) wynosi: K A = I Aω Wyznaczenie tensora bezwładności IA w układzie współrzędnych poruszającym się wraz z ciałem ,w którym oś z pokrywa się z osią obrotu (układ III) . • Najpierw wyznaczamy tensor bezwładności w układzie o początku w środku masy i osiach równoległych do krawędzi (układ I). układ I a/2 a/2 a/2 I = I x ∫ ∫ ∫ ρ( y 2 + z )dxdydz = ρx 2 a/2 −a / 2 −a / 2 −a / 2 −a / 2 y3 ⋅ 3 a/2 a/2 ⋅ z −a / 2 −a / 2 z3 + ⋅ x −a / 2 ⋅ y −a / 2 ⋅ 3 a/2 a/2 a/2 = −a / 2 ⎛a a ⎞ a 1 ⎟⎟ ⋅ 2 = ρ = ρ ⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ ⎜⎜ + 3 8 ⎠ 6 ⎝ 8 a5 I xyI = I xzI = I yzI = 0 I yI = I zI = ρ 6 5 5 5 ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ I = ⎜ 0 1 0⎟ 6 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ I ρa 5 ⎜ • Ponieważ wartości własne tensora I I są takie same, więc w każdym układzie współrzędnych o początku w punkcie 0 tensor ma taką samą postać. Więc w układzie wsp. II postać tensora jest taka sama I II = I I układ II • Następnie przesuwamy równolegle układ współrzędnych do pozycji III i wyznaczamy IA z twierdzenia Steinera . Punkt 0 ma w układzie III współrzędne ⎞ ⎛ ⎜ a 2 ,0 ,0 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ układ III I xIII = I xII = ρ 5 a 6 2 I III y =I II y I III z =I II z ⎛a 2⎞ a5 a5 2 5 ⎟ ⎜ + m⎜ ⎟ = ρ 6 + ρ 2 = 3 ρa ⎝ 2 ⎠ 2 I xyIII = I xyII I III 5 5 ⎛a 2⎞ ⎟ = ρ a + ρ a = 2 ρa 5 + m ⎜⎜ ⎟ 6 2 3 ⎝ 2 ⎠ 2 2 + m⋅a ⋅ 0 = 0 , I xzIII = I xzII + m ⋅ a ⋅0 = 0, 2 2 ⎛1 ⎜ ⎜6 =⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 2 3 0 ⎞ 0⎟ ⎟ 0 ⎟ ⋅ ρa 5 , ⎟ 2⎟ ⎟ 3⎠ I yzIII = I yzII + m ⋅ 0 ⋅ 0 = 0 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ω =⎜0⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ ⎠ Kręt w układzie III 2 ⎞ ⎛ III K A = ⎜ 0,0, ρa 5 ⎟ 3 ⎠ ⎝ Aby wyznaczć kręt w układzie wyjściowym nieruchomym (x,y,z) (którego oś z pokrywa się z osią obrotu ) należy go przetransformować do tego układu. Macierz przejścia z układu III do układu (x,y,z) ma potać ⎛ cos ϕ ⎜ Q = ⎜ sin ϕ ⎜ 0 ⎝ − sin ϕ cos ϕ 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ⎞⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ K A = Q ⋅ K AIII cos ϕ 0 ⎟⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ 2 2 0 1 ⎟⎠⎜ ρa 5 ⎟ ⎜ ρa 5 ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Ponieważ oś z 3 układu związanego z poruszającym się ciałem pokrywa się z osią obrotu, więc wektor krętu ma tą samą postać w oby układach. ⎛ cos ϕ ⎜ = ⎜ sin ϕ ⎜ 0 ⎝ − sin ϕ Kręt w układzie nieruchomym związanym ze środkiem masy. 1 K o = K A + p × ro = ( 0,0, ρa 5ω ) 6 Energia kinetyczna układu Ek = 1 1 I zAω 2 = ρa 5ω 2 2 3