plik PDF

Marcin Braun
Ten zegar stary...
Przykład zastosowania funkcji liniowej do prostego rozwiązania
niebanalnego skądinąd zadania.
Uczniowie odnoszą często wrażenie,
że ich praca nie ma większego sensu.
Ktoś specjalnie się trudził, żeby wymyślić „zadanie na funkcję liniową” tylko
po to, żeby oni – z nie mniejszym trudem – je rozwiązali. Trudno mówić,
że jakieś narzędzie matematyczne jest
użyteczne, bo można za jego pomocą
rozwiązać takie czy inne zadanie,
skoro każdy wie, że to zadanie zostało
specjalnie wymyślone po to, żeby to
narzędzie zastosować. To tak, jakby
wbijać w ścianę gwóźdź nie po to, żeby
coś na nim powiesić, ale żeby przećwiczyć zastosowanie młotka.
Warto więc dawać uczniom jak najwięcej zadań, które nawet jeśli nie są całkiem z życia wzięte, to nie są też specjalnymi przykładami na to czy inne
pojęcie. Oto przykład takiego zadania
pochodzącego sprzed wojny.
O godzinie piątej rano zegar spieszył
się o pół godziny. O trzeciej po południu spóźniał się o półtorej godziny.
Którą godzinę pokazywał w południe?
O której godzinie wskazywał dwunastą? Kiedy wskazywał właściwą godzinę?
Zakładamy, że zegar szedł ze stałą (choć
oczywiście niewłaściwą) prędkością.
Założenie jest bardzo ważne. Jeśli
zegar przyspieszał i zwalniał, nie
mamy szans na rozwiązanie, bo mogło
być różnie. Prawdziwe zegary na ogół
idą jednostajnie1 .
Zadanie nie jest proste i niewielu
uczniów poradzi sobie z nim bez
naszej pomocy. Jest jednak odpowiednie do wspólnego rozwiązania
na lekcji, gdy możemy naprowadzać
22
uczniów na właściwe pomysły. Wówczas może być bardzo kształcące.
Zobaczmy, jakie kolejne etapy mamy
do pokonania.
Proponujemy uczniom
wykorzystanie funkcji
Nie będzie to niespodzianka, skoro
i tak od kilku lekcji mówimy właśnie
na ten temat. Możemy zapytać, do
czego na ogół służy funkcja. Jeśli się to
będzie działo w przyszłym roku szkolnym, uczniowie pewnie odpowiedzą:
– No... do opisu zależności między
dwiema wielkościami... czyli zmiennymi...
– To jakie tu mogą być te dwie wielkości? – zapytamy.
– No... prawdziwa godzina i ta godzina
na zegarze.
– Wprowadźmy więc oznaczenia.
Niech x oznacza prawdziwą godzinę,
a y – godzinę na zegarze.
Tu potrzebny jest krótki komentarz.
Najważniejszym zastosowaniem pojęcia funkcji w praktyce jest właśnie opis
zależności między zmiennymi. Opierając się na tym założeniu (a nie
na regułce „funkcją nazywamy takie
przyporządkowanie...”) i na wielu
z życia wziętych przykładach, pozwalamy uczniom znacznie lepiej zrozumieć sens pojęcia funkcji.
Wydaje się, że skoro w ramach
reformy mamy zwracać większą uwagę
na zrozumienie i na praktyczne zastosowania, takie podejście zyska więcej
zwolenników.
CIEKAWE ZADANIE
CYAN BLACK
ML1 str. 22
Na razie dla uczniów funkcja to
przede wszystkim przyporządkowanie
z jednego zbioru do drugiego. Zapytajmy ich więc, co mamy czemu
przyporządkować. Powinni (po ewentualnych dalszych podpowiedziach)
zgadnąć, że godzinie prawdziwej przyporządkowujemy godzinę na zegarze.
Teraz możemy wprowadzić oznaczenia
i przejść do dalszej części rozwiązania.
Co to za rodzaj funkcji?
– Liniowa! – odpowiedzą chórem
uczniowie na to pytanie.
– A dlaczego?
– Bo ostatnio mówiliśmy o funkcji
liniowej.
To oczywiście nie jest dowód. Możemy
jednak uzasadnić liniowość funkcji,
rozważając klika przykładów:
• Wyobraźmy sobie, że zegar nastawiliśmy o północy, ale chodzi dwa
razy szybciej, niż powinien. Wtedy
o pierwszej pokaże drugą, o trzeciej
szóstą, ogólnie o godzinie x pokaże
godzinę 2x. W tym wypadku właściwym wzorem jest y = 2x.
• A gdyby zegar chodził tylko półtora
raza szybciej? To by było y = 1,5x.
• Gdyby jeszcze dodatkowo od początku (to znaczy od godziny 0)
spieszył się o trzy godziny? Byłoby
y = 1,5x + 3.
• I gdyby to nie było półtora raza,
tylko inna liczba razy, albo nie trzy
godziny, tylko inna liczba godzin,
to zmieniłyby się współczynniki, ale
funkcja zawsze byłaby liniowa.
Wypisujemy dane w tabelce
Znamy wartości funkcji dla dwóch
argumentów, narysujmy więc tabelkę.
Uczniowie muszą teraz przekształcić informację „o piątej zegar spieszył się o pół godziny” na „o piątej zegar wskazywał wpół do szóstej”.
Mamy też drobny problem techniczny:
musimy przejść na zegar 24-godzinny
i ułamki godzin: a więc „godzina 13,5”
zamiast „w pół do drugiej po południu”. W końcu tabelka przyjmuje
postać:
x
y
5
5,5
15
13,5
Jak obliczyć współczynniki?
To algorytmiczne zadanie, które nie
będzie trudne dla uczniów. Znając
wartości funkcji liniowej dla dwóch
argumentów (zestawione w tabelce),
układają układ równań:
5,5 = a · 5 + b
13,5 = a · 15 + b
Zauważmy, że przy okazji zobaczyliśmy, jaki jest sens współczynników.
Współczynnik kierunkowy a odpowiada za szybkość zegara, b zaś mówi,
o ile zegar się spieszył bądź późnił
o godzinie zero.
CIEKAWE ZADANIE
CYAN BLACK
ML1 str. 23
23
i po rozwiązaniu otrzymują wynik:
a = 0,8
b = 1,5
Otrzymujemy wynik 7,5, czyli wpół do
ósmej rano.
***
A więc nasza funkcja ma wzór:
y = 0,8x + 1,5
Znając go, łatwo można znaleźć odpowiedzi na wszystkie pytania.
Którą godzinę zegar pokazywał
w południe?
Obliczamy teraz, jaka jest wartość
funkcji dla argumentu x = 12. Wystarczy podstawić do wzoru (i wykonać kilka działań arytmetycznych), aby
zobaczyć, że y = 11,1. Która to
godzina? Musimy przeliczyć 0,1 godziny na minuty: 0,1 = 1/10 = 6/60,
więc w południe zegar pokazywał
godzinę 11:06.
O której godzinie wskazywał
dwunastą?
Tym razem dana jest wartość y = 12.
Rozwiązujemy równanie
0,8x + 1,5 = 12
i otrzymujemy wynik
x = 13,125,
czyli 7,5 minuty po trzynastej.
Napisałem, że to zadanie może być
dla uczniów bardzo kształcące. Podsumujmy więc, jaki jest z niego pożytek:
• Opisany przykład zastosowania funkcji liniowej dotyczy problemu,
który nie jest po prostu „zadaniem na funkcję liniową”. Pokazuje przy tym ogólny schemat matematycznego rozwiązywania problemów, z którym uczniowie zetkną się
niejednokrotnie: budujemy model
matematyczny i za jego pomocą rozwiązujemy zadanie.
• Przykład ten pozwala lepiej zrozumieć stwierdzenie, że funkcja służy
do opisu zależności między zmiennymi, a ogólniej – zrozumieć pojęcie
funkcji, a także związane z tym pojęcia: argument, wartość, zmienna
zależna i niezależna, współczynniki.
• Wszystkie algorytmy związane z funkcją liniową (obliczanie wartości dla
danego argumentu, obliczanie argumentu dla danej wartości, wyznaczanie wzoru funkcji) można przećwiczyć w jednym ciekawym zadaniu.
• Przy okazji ćwiczymy też sprawność
rachunkową (ułamki godzin i przeliczanie ich na minuty).
Warto więc skorzystać z tego przykładu.
Kiedy wskazywał właściwą
godzinę?
Ostatnia część wymaga rozwiązania
równania
x = 0,8x + 1,5.
24
1
Kiedyś jednak kupiłem radziecki zegarek,
który od czasu do czasu stawał, po czym
zaczynał iść wstecz, zresztą z właściwą (co
do wartości bezwzględnej) prędkością.
CIEKAWE ZADANIE
CYAN BLACK
ML1 str. 24