Wymagania na magistra

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI NA KIERUNKU MATEMATYKA
Pytania nieoznaczone gwiazdk dotycz wszystkich. Pytania oznaczone gwiazdk dotycz
osób, pisz cych prac magistersk z danej dziedziny.
Wst p do matematyki
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Zbiory i funkcje; obraz i przeciwobraz.
Równoliczno ; zbiory sko czone, przeliczalne i nieprzeliczalne.
Relacje, relacje porz dkuj ce.
Relacje równowa no ci.
Analiza matematyczna
2.1.
Liczby naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone. Zasadnicze
twierdzenie arytmetyki. Aksjomat istnienia kresów. Zasadnicze twierdzenie algebry.
2.2. Ci gi liczbowe, zbie no , warunek Cauchy'ego. Zbiory liczbowe domkni te, otwarte,
zwarte, spójne. Kresy zbiorów.
2.3. Szeregi liczbowe. Zbie no bezwzgl dna. Kryteria zbie no ci.
2.4. Granica funkcji liczbowej. Funkcje ci głe. Funkcje elementarne. Własno Darboux.
Twierdzenie Weierstrassa.
2.5. Funkcje ró niczkowalne zmiennej rzeczywistej, podstawowe własno ci, interpretacja
pochodnej. Twierdzenie o warto ci redniej. Wzór Taylora.
2.6. Ekstrema funkcji liczbowych, warunki konieczne i dostateczne istnienia.
Funkcje wypukłe.
2.7. Funkcje wielu zmiennych; ci gło , ró niczkowalno , ekstrema.
2.8*. Odwzorowania mi dzy podzbiorami przestrzeni euklidesowych, ci gło ,
ró niczkowalno . Twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym i o funkcjach
uwikłanych. Ekstrema warunkowe.
2.9*. Rozmaito ci ró niczkowe w R n, przestrzenie styczne i normalne.
2.10. Całka nieoznaczona, podstawowe wzory. Całka oznaczona Newtona-Leibniza, i jej
interpretacja. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
2.11*. Miara i całka Lebesgue'a w R n, podstawowe własno ci. Twierdzenia
o przechodzeniu do granicy w całce. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zamianie
zmiennych w całce.
2.12*. Formy ró niczkowe, operacje na formach. Twierdzenie Stokesa. Analiza
wektorowa w R 3,.
2.13. Ci gi i szeregi funkcyjne. Zbie no jednostajna. Szeregi pot gowe. Szereg Taylora.
Szereg Fouriera.
Równania ró niczkowe
3.1.
Równania ró niczkowe zwyczajne; rozwi zania, całki pierwsze,
twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno ci.
3.2. Równania ró niczkowe elementarnie całkowalne - równania o rozdzielonych
zmiennych, liniowe, zupełne i do nich sprowadzalne.
3.3. Równania ró niczkowe liniowe o stałych współczynnikach.
3.4. Układy równa ró niczkowych o stałych współczynnikach.
3.5*. Stabilno rozwi za równania ró niczkowego.
3.6*. Równania ró niczkowe cz stkowe, pseudoliniowe, rz du pierwszego.
3.7*. Równanie falowe; wzór d'Alemberta, metoda rozdzielonych zmiennych.
3.8*. Równanie ciepła; rozwi zanie podstawowe.
3.9*. Równanie Laplace'a; funkcje harmoniczne.
Algebra
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Przestrzenie i przekształcenia liniowe; macierze, wyznaczniki.
Układy równa liniowych; twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
Formy kwadratowe; posta kanoniczna. Przekształcenia ortogonalne.
Krzywe i powierzchnie drugiego stopnia.
Grupy, pier cienie, ciała i ich homomorfizmy.
Analiza funkcjonalna
5.1.
5.2.
5.3*.
5.4*.
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta; rzut ortogonalny, układy ortogonalne.
Przestrzenie Lp.
Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha
Topologia
6.1.
Przestrze metryczna. Zbie no ci gów. Zbiory otwarte i domkni te. Wn trze,
domkni cie i ograniczenie zbioru. Zbiory g ste i brzegowe.
6.2*. Przestrze topologiczna. Baza przestrzeni. Aksjomaty oddzielania.
6.3. Przekształcenia ci głe i homeomorfizmy. Własno ci topologiczne. Niezmienniki
przekształce ci głych.
6.4*. Przestrzenie zupełne. Twierdzenia Cantora i Baire'a. Zastosowanie tw. Baire'a do
dowodów istnienia.
6.5. Przestrzenie zwarte.
6.6. Przestrzenie spójne. Składowe przestrzeni.
6.7*. Iloczyny kartezja skie przestrzeni. Własno ci multiplikatywne.
Analiza zespolona
7.1.
7.2.
Liczby zespolone. Posta trygonometryczna i wykładnicza. Twierdzenie de Moivre'a.
Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych. Kryteria zbie no ci. Szeregi
pot gowe. Promie zbie no ci.
7.3. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej. Ci gło , pochodna.
Równania Cauchy’ego –Riemanna.
7.4. Całka krzywoliniowa. Funkcja pierwotna.
7.5. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Wzór całkowy Cauchy’ego i jego konsekwencje.
7.6*. Szeregi Laurenta. Pier cie zbie no ci. Punkty regularne i osobliwe.
7.7*. Residua funkcji i zastosowanie do obliczania całek.
Rachunek prawdopodobie stwa
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
Definicja prawdopodobie stwa.
Prawdopodobie stwo warunkowe. Wzór Bayesa.
Schematy urnowe, schemat Bernoulliego.
Zmienne losowe. Dystrybuanta.
8.5*.
8.6.
8.7*.
8.8*.
8.9*.
8.10*.
8.11*.
Rozkłady funkcji zmiennych losowych.
Warto oczekiwana.
Nierówno ci momentowe Jensena i Czebyszewa.
Rodzaje zbie no ci w teorii prawdopodobie stwa i zwi zki mi dzy nimi.
Słabe prawa wielkich liczb.
Mocne prawa wielkich liczb.
Funkcje charakterystyczne.