Wybrane zagadnienia algebry liniowej teoria i algorytmy numeryczne

Wybrane zagadnienia algebry liniowej
teoria i algorytmy numeryczne
lista 5 - 19 listopada 2003
1. Równanie Sylvestera
Łatwo sprawdzić następującą zależność:
"
I −X
0 I
#"
A −C
0 B
#"
I X
0 I
#
=
"
A AX − XB − C
0
B
#
,
gdzie A, B, C i X są dowolnymi blokami odpowiedniego rozmiaru. Wyznaczyć takie
X, by macierz w prawej strony była blokowa przekątniowa.
• Równanie Sylvestera Ax − XB = C zastąpić odpowiednim ”zwykłym” układem
równań liniowych, korzystając z iloczynu Kroneckera, i zastosować do niego
eliminację Gaussa.
• (nieobowiązkowe) Niech A i B będą górnymi macierzami trójkątnymi. Jak
wtedy można wyznaczyć macierz X bezpośrednio z równania Sylvestera?
2. Metoda potęgowa obliczania wartości i wektorów własnych macierzy
Wykonać 100 iteracji metodą potęgową (bez normowania i z normowaniem) dla przybliżenia początkowego x(0) = [1, 2, 3]T i macierzy


6 5 −5

A =  2 6 −2 
.
2 5 −1
Obliczenia powtórzyć dla x(0) = [−1, 1, 1]T . Obejrzeć pośrednie wyniki. Obliczać
również ilorazy Rayleigha
[x(k) ]T Ax(k)
rk =
(x(k) )T x(k)
dla kolejnych wektorów x(k) wyznaczanych w metodzie potęgowej. Czy są one zbieżne
do wartości własnej macierzy A? Jeśli tak, to zastosować proces Aitkena do przyspieszenia ich zbieżności:
2
rk rk+2 = rk+1
sk =
.
rk+2 − 2rk+1 + rk
Porównać ciągi rk i sk .
Obliczenia powtórzyć dla innych macierzy testowych z gallery o znanych wartościach własnych.
3. Postać Hessenberga
Napisać program, który przekształca przez podobieństwo macierz A do górnej postaci
Hessenberga B dwoma sposobami:
1
• za pomocą obrotów,
• za pomocą elementarnych przekształceń stosowanych w eliminacji Gaussa.
Następnie wyznaczyć wartości własne macierzy A i B za pomocą eig (MATLAB) oraz
wskaźniki uwarunkowania pojedyńczych wartości własnych. Obliczenia wykonać na
przykład dla macierzy


A=


190 66 −84 30
66 303
42 −36
336 −168 147 −112
30 −36 28
291



.

Macierz A ma wartości własne: 343, 294, 147 ± 196i. Obliczenia powtórzyć dla


A=


1
4
2
4
2
5
1
2
3 4
6 6
5 00
1 0





i innych macierzy z gallery o znanych wartościach własnych.
Krystyna Ziętak
2