Zadania z procesów stochastycznych. Zadanie. Niech X1,X2
Transkrypt
Zadania z procesów stochastycznych. Zadanie. Niech X1,X2
Zadania z procesów stochastycznych. Zadanie. Niech X1 , X2 , ... będą wynikami prób Bernoulliego, to znaczy niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie P (Xn = 1) = p, P (Xn = 0) = 1 − p = q, przy czym p 6= q. Określmy Sn = X1 + X2 + ... + Xn oraz Fn = σ(X1 , X2 , ..., Xn ). Sprawdzić rachunkiem, że ciąg !∞ S n q p , Fn n=1 jest martyngałem. Egzamin z Procesów Stochastycznych 2006 1. Niech (Xn )∞ n=1 będzie łańcuchem Markowa, przy czym pij = P (Xn+1 = j |Xn = i). Za pomocą liczb pij opisać prawdopodobieństwa P (Xn = j |Xn+1 = i) oraz P (Xn = j |Xn+2 = k). 2. Dana jest macierz przejścia w jednym kroku łańcucha Markowa: 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 7 8 15 16 . Czy ten łańcuch jest okresowy? Czy jest ergodyczny (to znaczy, czy istnieje granica lim P n )? Jeśli tak, to obliczyć rozkład stacjonarny. 3. Niech λ > 0. Załóżmy, że w czystym procesie urodzin mamy λn = n · λ oraz P (X0 = 2) = 1. Układając i rozwiązując odpowiednie równania różniczkowe, obliczyć P (Xt = 3). 4. Niech (Xt )t0 będzie procesem Poissona o intensywności λ > 0. Obliczyć: a) P (X3 = 2, X5 = 3), b) P (X5 = 3 |X3 = 2), c) P (X3 = 2 |X5 = 3). 5. Niech (Wt )t0 będzie procesem Wienera. Dla 0 ¬ t ¬ 1 obliczyć funkcję korelacji procesu Xt = Wt − tW1 . 6. Niech Ω = [0, 1], a X = x2 . Obliczyć E(X|F), gdy F jest najmniejszym σ-ciałem zawierającym zbiory [0, 21 ] oraz ( 14 , 1]. Zadania na piątkę ∞ 1. Niech (Xn )∞ n=1 będzie łańcuchem Markowa. Czy proces (X2n )n=1 (gdzie występują tylko zmienne o indeksach parzystych) jest łańcuchem Markowa? Jeśli odpowiedź brzmi TAK, to udowodnić to, jeśli brzmi NIE, to wskazać kontrprzykład. 2. Ergodyczny łańcuch Markowa o dwóch stanach ma rozkład stacjonarny (p, 1 − p), 0 < p < 1. Jak wygląda macierz przejścia tego łańcucha?