Uogólniona teoria wytrzymałości ciał izotropowych

Andrzej P. WILCZYŃSKI, Politechnika Warszawska
UOGÓLNIONA TEORIA WYTRZYMAŁOŚCI CIAŁ IZOTROPOWYCH
1. WSTĘP
Jeżeli pominąć słynne ”Problematy Mechaniczne” stworzone przez Arystotelesa (384 –
322 przed Chrystusem), to pierwsze zapisy naszej ery dotyczące wytrzymałości sięgają
połowy XVII wieku i zostały dokonane przez G.Galileusza w 1638 roku. Mogłoby się
wydawać, że od tego czasu, ze względu na rosnące wymagania techniki, teorie te powinny
zostać opracowane, wielokrotnie sprawdzone i powszechnie używane. Szczególne w Polsce,
której uczeni wnieśli znaczący, lecz w większości pomijany wkład w tą dziedzinę wiedzy,
znajomość tych teorii powinna być ugruntowana. W rzeczywistości jednak zainteresowanie
zagadnieniami teorii wytrzymałości jest dość pobieżne a kwestie ich istotności raczej
nieznane. Wydaje się, że przedstawienie pewnych rozważań ich wyników jest uzasadnione,
których użycie zdaniem Autora oprócz względów bezpieczeństwa może także przynieść
wymierne korzyści ekonomiczne. Zagadnienia wytrzymałości a w szczególności teorii
wytrzymałości, nawet w odniesieniu do materiałów izotropowych, o anizotropowych nie
mówiąc, są o wiele trudniejsze i budzące o wiele więcej kontrowersji niż problemy związane
z odkształcalnością materiałów. Uznać można, że sytuacja taka trwa od XVII wieku i do dnia
dzisiejszego nie znalazła ona powszechnie uznanego rozwiązania. Z drugiej strony, dość
współczesne badania, dotyczące teorii wytrzymałości materiałów anizotropowych i
wprowadzenie pojęcia tensorów wytrzymałości pozwala poważnie posunąć wiedzę w tym
zakresie. Jest to szczególnie istotne w czasie rozwoju wiedzy o materiałach, w których
specjalne założenia, nawet uzasadnione w teoriach XX wieku raczej nie mają zastosowania.
W chwili obecnej można, jak się wydaje, pokusić o w pełni poprawną teorię wytrzymałości,
przynajmniej w odniesieniu do materiałów izotropowych.
2. RYS HISTORYCZNY
Zastój rozwoju nauk ścisłych trwał od czasów starożytnych do wieku XVI. Uważa się
obecnie, że pierwsze notatki naszej doby, dotyczące teorii wytrzymałości sporządził w roku
1638 G. Galileusz. Była to teoria ograniczająca największe naprężenia normalne,
wystarczająca do stosowania w ówczesnym budownictwie, używającym głównie materiałów
ceramicznych. Po prekursorskiej pracy G. Galileusza i w pewnej mierze G. Leibniza (1684),
który jak się zdaje był polskiego pochodzenia, nastąpił zastój na prawie 100 lat, poczym
zaczęły się pojawiać prace dotyczące teorii wytrzymałości, pisane przez uczonych znanych z
nazwiska w dziedzinie mechaniki, wytrzymałości materiałów i teorii sprężystości. Można tu
wymienić przykładowo kilku z nich
A. Clebsh
C.A. Coulomb
G. Lamé
B. de St. Venant
B. Navier
J.C. Maxwell
S. Levy
O. Mohr
(1762)
(1776)
(1833)
(1837)
(1864)
(1864)
(1870)
(1882)
którzy proponowali różne możliwe formy omawianej teorii, stosowane raczej wyjątkowo do
dnia dzisiejszego, jak prace O. Mohra największego naprężenia stycznego czy największego
odkształcenia normalnego B. de St. Venanta. Inne prace z tego okresu mają znaczenie raczej
historyczne.
Po pierwszym okresie szukania rozwiązań nastąpił swego rodzaju przełom, związany ze
stosowaniem kryteriów energetycznych. Jest mało znanym faktem, że pierwsze takie
kryterium podał J.C. Maxwell (1864). Po nim wystąpiło szereg autorów już o prawie
współczesnych, dobrze znanych nazwiskach
E.B Beltrami
M.T. Huber
R. von Mises
H. Hencky
W. Burzyński
(1885)
(1903, 1904)
(1913)
(1918)
(1928, 1929)
którzy pracowali niezależnie od siebie lecz uzyskując identyczne wyniki. Wyjątkiem jest tu
W. Burzyński, niestety raczej nie doceniany, którego pracy doktorskiej z 1928 roku
promotorem był M.T. Huber. Jest rzeczą wartą uwagi, że warunek plastyczności, znany w
świecie jako warunek von Misesa i sformułowany w 1913 roku był już proponowany przez
J.C. Maxwella
E.B. Beltramiego
M.T. Hubera
na szereg lat wcześniej i w Polsce znany jako warunek M.T. Hubera [2]. Powyższa krótka
lista uczonych stanowi jedynie nieliczny procent w omawianej dziedzinie, wybranych przez
Autora ze względu na znaczenie ich osiągnięć. Bliżej nieznanym i wyraźnie niedocenionym
uczonym był W. Burzyński (1900 – 1970). W swojej pracy doktorskiej z 1928 roku
zaproponował on zastosowanie niezmienników stanu naprężenia w teorii wytrzymałości a w
następnej, mało znanej pracy z 1929 roku sformułował on propozycję teorii energetycznej,
uwzględniającej energię zarówno odkształcenia postaciowego jak i objętościowego, mogą
służyć za podstawę do obecnie uzyskiwanych wyników. Jednak w roku 1929 nie był on w
stanie takiej teorii przedstawić, przypuszczając jedynie, że jej zapis nie powinien zawierać
silnego wpływu trzeciego niezmiennika stanu naprężenia. W chwili obecnej, kilkadziesiąt lat
po badaniach W. Burzyńskiego, można sformułować dobrze uzasadnione nawet silniejsze
ograniczenie.
3. BUDOWA TEORII WYTRZYMAŁOŚCI
W chwili obecnej po szeregu lat badań, za podstawowe sformułowania współczesnej
teorii wytrzymałości należałoby przyjąć założenia podane w pracy W. Burzyńskiego [1],
jedynie nieco zmodyfikowane dalszym rozwojem wiedzy.
Postęp technologii i powstanie nowych materiałów, w tym kompozytów polimerowych,
spowodował konieczność stworzenia teorii wytrzymałości materiałów anizotropowych.
Pierwszym w tej dziedzinie był prawdopodobnie R. Hill (1950) [2], jednak za najlepiej
uzasadnione i merytorycznie poprawne uważa się podejście proponowane przez A.K.
Malmaistra [4], formułujące warunki dodatkowe do proponowanych przez W. Burzyńskiego
teorii wytrzymałości i wprowadzające pojęcie tensorów wytrzymałości, zresztą mało
przydatnych przy badaniu ciał izotropowych. Praca A.K. Malmaistra, opublikowana po
rosyjsku nie została zauważona w literaturze światowej, podobnie jak poprzednio praca M.T.
Hubera opublikowana jedynie po polsku, a miejsce pracy [4] zajmuje praca S.W. Tsai i E.M.
Wu [5], prezentująca teorię wytrzymałościową, znaną w literaturze jako teoria Tsai – Wu.
Oprócz wymienionych prac można by za podstawową uznać pracę Autora, który
prawdopodobnie jako pierwszy zaproponował w roku 1980 [6], zastosowanie założeń A.K.
Malmaistra w izotropii.
Po tych uwagach wstępnych można przystąpić do budowy teorii wytrzymałości, przy
czym mogą tu być zastosowane trzy różne sposoby postępowania



Opracowanie teorii wykorzystującej niezmienniki stanu naprężenia w oparciu o
niezbędne i oczywiste założenia
Wykorzystanie teorii A.K. Malmaistra stosując przejście graniczne do izotropii
Wykorzystanie warunków energetycznych, odpowiednio je modyfikując dla
uwzględnienia nie – symetrii wytrzymałości
Budowa teorii wytrzymałości musi opierać się o szereg ścisłych założeń, w miarę
możliwości prostych, oczywistych i unikających nieuzasadnionych uproszczeń. Można je
wymienić następująco













Teoria wytrzymałości musi dać się wyrazić przez niezmienniki tensorów naprężenia
lub odkształcenia
Alternatywnie, teoria wytrzymałości musi dać się wyrażać tensorami wytrzymałości
Każdy stan naprężenia musi prowadzić do określonego narażenia na zniszczenie
Opis zniszczenia musi uwzględniać zasadę zachowania energii
Zapis teorii wytrzymałości musi uwzględniać wyniki doświadczalne i nadawać się do
zastosowań praktycznych, takich jak możliwość określenia wytężenia
Teoria wytrzymałości musi uwzględniać zazwyczaj pomijane różnice wytrzymałości
na rozciąganie i ściskanie i dawać się łatwo weryfikować doświadczalnie
Zarówno w przestrzeni naprężeń głównych jak i w przestrzeni niezmienników zapis
teorii powinien obrazować wypukłą powierzchnię zamkniętą
W oparciu o teorię powinna występować możliwość wyznaczenia i wykorzystania
naprężeń własnych
Teoria musi umożliwiać obliczanie stopnia narażenia materiału na zniszczenie w
dowolnym stanie obciążenia
Teoria powinna być symetryczna względem składowych głównych stanu naprężenia
lub odkształcenia
Teoria nie może Zawierć trzeciego niezmiennika teorii naprężenia aby uniezależnić
wyniki od znaku naprężeń stycznych
Nie zawierać członów prowadzących do występowania naprężeń w potęgach trzy i
wyższych w celu zapewnienia wypukłości wyrażenia teorii
Teoria powinna w warunkach szczególnych sprowadzać się do warunku M.T.Hubera
Trzy proponowane podejścia powinny prowadzić do identycznych wyników, co w pewnej
mierze może być gwarancją poprawności proponowanej teorii.
4.TENSORY WYTRZYMAŁOŚCI
Pojęcie tensorów wytrzymałości stało się właściwie niezbędne przy rozważaniu zagadnień
wytężenia materiałów anizotropowych. W ich przypadku nie wystarcza teoria niezmienników
W. Burzyńskiego [1], gdyż zniszczenie zależy nie tylko od wartości głównych tensora
naprężenia, ale też od kierunków głównych, związanych z materiałem. Ponieważ teoria
wytrzymałości musi być niezmiennicza, powstała konieczność utworzenia tensorów
wytrzymałości, tak, aby można było utworzyć niezmiennik mieszany, zależny nie tylko od
wartości, ale też i od kierunków głównych zarówno naprężenia jak i materiału.
W oryginalne formie teoria wytrzymałości miała początkowo postać
 ij ij   ijkl ij kl  ...  1
(1)
Tu symbole  oznaczają tensory wytrzymałości kolejnych rzędów. Jednak forma ta w swojej
ogólnej postaci nie znalazła zastosowania. Podstawowym powodem, szczególnie początkowo,
była konieczność zapewnienia łatwości operacji, jednak z punktu widzenia teorii występują
też inne, wymienione już uprzednio ograniczenia, których spełnienie doprowadza zapis teorii
wytrzymałości dla ciał anizotropowych w osiach głównych materiału do postaci
 ij ij   ijkl ij kl  1
(2)
Przechodząc do izotropii, traktowanej jako szczególny przypadek anizotropii i zapisują
zależność w postaci jawnej, znajduje się
2
11  11   22   33   1111  112   22
  332  
2
21122  11 22   22 33   33 11   41212  122   23
  312   1
(3)
Wykorzystując znane zależności opisujące niezmienniki tensora naprężenia zależność
powyższą można też przedstawić w nieco prostszy sposób, zauważając, że składowe tensorów
wytrzymałości w izotropii wygodnie jest traktować jako zwykłe stałe
1
1
2
1  11   22   33    2  11   22   33  
3
9
2
2
2
 3  11   22   33   11 22   22 33   33 11  3  122   232   312    1
(4)
Jak widać, postać ogólna teorii wytrzymałości zapisana przy użyciu tensorów
wytrzymałości wymaga znajomości trzech stałych doświadczalnych. Jak z tego wynika
wystarczy przeprowadzić kilka stosunkowo prostych doświadczeń w celu ich uzyskania.
5.STAŁE DOŚWIADCZALNE
Postać (4) teorii wytrzymałości może posłużyć do wyznaczenia stałych doświadczalnych,
używając do tego celu doświadczeń na rozciąganie, ściskanie i skręcanie. Po przeprowadzeniu
prostych działań znajduje się
 1
1 
3R 2  R R
1
1  3    ;  2  3 t 2 r c ;  3  2
Rt Rr Rc
3Rt
 Rr Rc 
(5)
gdzie Rr, Rc, Rt oznaczają odpowiednio wytrzymałości na rozciąganie, ściskanie i ścinanie.
Forma (4), po wprowadzeniu oznaczeń
1
 11   22   33 
3
 H2   112   222   332   11 22   22 33   33 11  3  122   232   312 
m 
2
 H2  I2  3II   11   22   33   3  11 22   122   22 33   232   33 11   312 
(6)
pozwala na zapisanie jej w postaci skróconej, bardziej odpowiadającej zarówno tradycji jak i
wymaganiom praktycznym
1 m   2 m2   3 H2  1
(7)
Pozostaje teraz sprawdzenie czy i w jakim stopniu są spełnione postawione postulaty i jak
przedstawiona teoria ma się do innych, znanych teorii wytrzymałościowych.
6.WARUNEK OGRANICZONOŚCI
Wymaganie, aby każdy stan naprężenia wywoływał odpowiednie wytężenie materiału
sprowadza się do wymagania, aby, między innymi, związek (7) przedstawiał w
występujących tam współrzędnych krzywą zamkniętą, co przy wyrażeniach kwadratowych
sprowadza się ostatecznie, zgodnie z (5), do warunku
1
Rt2  Rr Rc  0.36 Rr Rc
3
(8)
i daje się przedstawić graficznie w postaci elipsy lub, w przypadku szczególnym, koła. Zatem
warunek ograniczoności w przestrzeni niezmienników przy tym warunku zostaje spełniony.
Podobne ograniczenie musi występować przy zapisaniu teorii wytrzymałości w
przestrzeni naprężeń głównych, gdzie powierzchnia wytrzymałości musi być elipsoidą lub w
szczególności powierzchnią kulistą. Wyrażenie
1

 1   2   3    2   3   12   22   32  
3
 9

2

 9  2  3   1 2   2 3   3 1   1


(9)
zapewni ograniczoność dowolnie dobranych obciążeń jedynie przy spełnieniu warunku (8).
Pozostaje, więc sprawdzenie, czy podobny warunek wynika z ograniczoności energii
odkształcenia.
7. WARUNEK ENERGETYCZNY
Szereg teorii wytrzymałości do ich stworzenia wykorzystywał warunek ograniczoności
wielkości energii odkształcenia sprężystego, którą może pochłonąć materiał przed
zniszczeniem, porównując tą wielkość z taką energią w prostym rozciąganiu. Można
prześledzić to rozumowanie.
Jeżeli równania konstytutywne materiału przedstawić w postaci związków pomiędzy
dewiatorami i aksjatorami tensorów naprężenia i odkształcenia
 ik  eik   m ik
(10)
1
1
eik 
sik ;  m 
m
2G
3B
gdzie eik i sik oznaczają odpowiednio dewiatory odkształcenia i naprężenia, G i B moduły
Kirchhoffa i Helmholtza a ik deltę Kroneckera, wówczas energię odkształcenia sprężystego,
ograniczoną przez wielkość dopuszczalną o można zapisać w postaci

1
1 2
sik sik 
 m  0
4G
2B
(11)
Wykorzystując następnie znany związek pomiędzy dewiatorem naprężenia a tak zwanym
”naprężeniem huberowskim”  H2 , zależność (11) można też przedstawić w postaci
 H2
 m2

1
6G 0 2 B 0
(12)
Jak widać zapis ten przedstawia elipsę, położoną w początku układu m, H, co
odpowiada jednej z koncepcji wytężeniowych J.C. Maxwella (1864) i E.B. Beltrami (1895) i
może być też związany z propozycją M.T. Hubera (1904). O ile jednak w tamtych czasach
można było przybliżenie to uzasadnić potrzebami zastosowań i powszechnym użyciem stali
miękkiej, obecnie jednak, przy o wiele większych wymaganiach materiałowych, podejście to
wydaje się zbyt uproszczone. Występowanie wyraźnych różnic wartości wytrzymałości na
rozciąganie i ściskanie zmusza do zrewidowania koncepcji zerowego stanu naturalnego
materiału i wprowadzenia naprężeń wewnętrznych, odpowiedzialnych za to zjawisko. W
takim przypadku, dla materiałów izotropowych, w miejsce postaci (12) należy wprowadzić
2
   0   1
 H2
 m
6G 0
2 B 0
(13)
gdzie 0 oznacza średnie naprężenie wewnętrzne. Łatwo sprawdzić rozwijając nawias, że
powstałe wyrażenie ma postać odpowiadającą wyrażeniu (7), z odpowiednio oznaczonymi
współczynnikami. Na tej podstawie można stwierdzić, że ogólna teoria wytrzymałości
powinna mieć formę (7), powtórzoną poniżej w postaci rozwiniętej
 1
1 
3R 2  R R
1
3     m  3 t 2 r c  m2  2  H2  1
Rt Rr Rc
3Rt
 Rr Rc 
(14)
Pozostaje jednak jeden problem wymagający uwagi, głównie jak się wydaje teoretyczny.
Rys.1. Powierzchnia graniczna wytrzymałości.
Izotropia właściwości sprężystych nie implikuje jednocześnie izotropii wytrzymałości. Ta
kwestia będzie prawdopodobnie wymagała dalszych badań o ile okaże się dostatecznie
istotna. Zależność teorii wytrzymałości we współrzędnych m, H można przedstawić jak na
rysunku, w wygodnych do tego celu współrzędnych  m i  H . Jeżeli rozważyć
przedstawienie graficzne w wymienionych współrzędnych, wówczas znajduje się, że powstała
w konsekwencji (14) elipsa jest przesunięta wzdłuż osi  m o wartość
o
m
 
Rt2  Rr  Rc 
2  3Rt2  Rr Rc 
(15)
Oznacza to, że także podejście energetyczne prowadzi do identycznych wyników, jeżeli
tylko przyjąć, że w materiale panują wstępne naprężenia średnie, odpowiedzialne za nie
symetrię wytrzymałości. Wynika z tego też wartość granicznej energii odkształcenia
2

2
Rt2  Rr Rc Rt  Rr  Rc  
U
1
2G  12  3R 2  R R 2 
t
r c


(16)
jednak ze względu na brak danych doświadczalnych trudno tu mówić o użyteczności
wyrażenia.
8.ZASTOSOWANIA PRAKTYCZNE
Związek (14) teorii wytrzymałości można wykorzystać bądź podobnie, jak robi się przy
obliczaniu naprężeń zredukowanych (równoważnych), pisząc
 R 
3R 2  R R
R
 red  3 1  r   m  3 t 2 r c  m2  r 2  H2  Rr
Rt Rc
3Rt
 Rc 
(17)
lub też obliczając współczynnik bezpieczeństwa dla zadanego stanu naprężenia. Do tego celu
przyjmuje się, że istnieje pewien stan naprężenia o, inny niż aktualny , dla którego w
wyrażeniu (14) występuje znak równości. Dla takiego przypadku stopień narażenia na
zniszczenie (odwrotność współczynnika bezpieczeństwa) definiuje się jako


0
(18)
Jeżeli wprowadzić to pojęcie w wyrażenie (14), (ze znakiem równości) z wykorzystaniem
oznaczeń (5), otrzymuje się równanie kwadratowe
 2  1 m    2 m2  3 H2   0
(19)
o poszukiwanym pierwiastku
1
   1 m 
2 

2
1
 4 2   m2  4 3 H2 

(20)
Oprócz powyższego można jeszcze zaproponować inną przydatną zależność. Można
zauważyć, że przedstawiona teoria w szczególnym przypadku, jeżeli
Rr  Rc ; Rt 
Rr Rc
3
(21)
przechodzi dokładnie w zależność M.T. Hubera, natomiast, jeżeli tylko Rr  Rc , wówczas
odpowiada to zależności wynikającej z założeń, W. Burzyńskiego. Ze względu na wymaganie
ograniczoności w obu przypadkach są to jednak zależności przybliżone, gdyż powinna
obowiązywać nierówność (8), zapewniająca ograniczoność wytrzymałości. W przeciwnym
przypadku proponowana teoria dopuszcza nieograniczoną wytrzymałość dla niektórych
stanów naprężenia. Wystarczy jednak jedynie nieznacznie zmodyfikować warunek (8) aby
tego uniknąć. Ostatecznie można zaproponować przydatny wzór przybliżony, pozwalający
bez specjalnych badań oszacować wytrzymałość na ścinanie.
Rt  0.6 Rr Rc
(22)
Trzeba jednak tą zależność porównać z doświadczeniem.
9.WYNIKI DOŚWIADCZALNE
Stosunkowo trudno jest znaleźć wyniki nadające się do przeprowadzenia porównań.
Ostatecznie jednak w stosunkowo starej pracy [6] podano wyniki, na podstawie, których
można sporządzić poniższą tabelę:
Tablica 1. Porównanie wyników doświadczalnych z teorią.
Materiał
Rr
Rc
Rt
Teoria
Błąd
żeliwo szare
221.2
686.5
207.0
233.8
12.9
żeliwo sferoidalne 387.8
875.1
311.3
349.5
12.0
Jak widać żeliwo, zarówno szare jak i sferoidalne jest dobrze podległe przybliżeniu (20), i
można tego typu zależność zalecić do stosowania jako służącą do oszacowań.
10. LITERATURA
[1]. Burzyński, W., Studium nad hipotezami wytężenia, Lwów 1928.
[2]. Huber M.T., O podstawach teorii wytrzymałości, Prace Mat. Fiz., Lwów, 1904, T. XV.
[3]. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, University Press, Londyn 1950.
[4]. Malmaister, A.K., Tamuzs, V.P., Teters, G.A., Soprotivlene Zestkikh Polimrenykh
Materialov, Zinatne, Riga, 1967
[5]. Tsai S.W., Wu E.M., A General Theory of Strength for Anisotropic Materiale.,
J. Compos. Materisls, 1971, 58 – 66.
[6]. Wilczyński A.P., Możliwości obliczania naprężeń równoważnych dla zadanych
złożonych stanów naprężenia w izotropowych i anizotropowych tworzywach sztucznych,
Mat. Konf. Reologia Tworzyw Sztucznych, Oświęcim, 1980, 156 – 164.
[7]. Coronet, I., Grassi, R.C., J. Appl. Mech., Trans. ASME, Ser. E, 22, 1955, 172.
GENERALISED STRENGTH THEORY FOR ISOTROPIC BODIES
Summary. First written remarks on strength of materials can be found as early as in the IV
century B.C. originated by Aristotele but true research and valid results started to appear in
the XVIII century A.D. Strength theories, however more complicated than the better known
theories of e.g. elasticity, are of great significance in applications. At present it is possible to
propose a general theory of strength, with good perspectives of its accuracy.
For this purpose one might use three different approaches, using a theory of invariants
proposed by W. Burzyński (1928), strength tensors introduced by A.K. Malmaister (1967)
and an approach based on strain energy considerations, traced even to J.C. Maxwell (1864).
All three approaches lead to identical results, to some extent confirmed experimentally,
providing that the assumption of unstressed natural state of the material is omitted and an
internal stress is introduced instead.