Topologia

Topologia
1
1
Otwarto±¢ i domkni¦to±¢
• (X, O) przestrze« topologiczna ⇔ rodzina zbiorów otwartych O ⊂ 2X speªnia
(i) ∅, X ∈ O,
(ii) U1 , U2 ∈ O ⇒ U1 ∩ U2 ∈ O,
S
(iii) ( ∀j∈J Uj ∈ O ) ⇒ j∈J Uj ∈ O.
domkni¦ty ⇔ X \ D ∈ O; D = {D ∈ 2X : X \ D ∈ O}.
S
• 2X ⊃ B baza topologii O ⇔ ∀U ∈O ∃{Bj }j∈J ⊂B U = j∈J Bj ⇔ ∀U ∈O ∀x∈U ∃B∈B x ∈ B ⊂ U .
• X ⊃ D zbiór
podbaza topologii O ⇔ { ki=1 Pi : ∀i=1,...,k Pi ∈ P, k ∈ N } stanowi baz¦ O.
• (Kryterium bazowo±ci ) 2X ⊃ B baza pewnej topologii O na X ⇔
• 2X ⊃ P T
(i) ∀x∈X ∃B∈B x ∈ B ,
(ii) ∀B1 ,B2 ∈B ∀x∈B1 ∩B2 ∃B∈B x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 .
• (Aksjomaty
topologii zbiorów domkni¦tych ) D ⊂ 2X speªnia
(i) ∅, X ∈ D,
(ii) D1 , D2 ∈ O ⇒ D1 ∪ D2 ∈ D,
T
(iii) ( ∀j∈J Dj ∈ D ) ⇒ j∈J Dj ∈ O.
Zadanie 1.1. [Zbiory
otwarte i domkni¦te] Sprawdzi¢, »e (X, O) stanowi przestrze« topologiczn¡, gdy
1. (dyskretna) O = 2X ,
2. (antydyskretna) O = {∅, X},
3. O = {A ∈ 2X : A 3 p} ∪ {∅}, p ∈ X ustalony punkt,
4. (kosko«czona Zariskiego) O = {A ∈ 2X : card (X \ A) < ℵ0 } ∪ {∅},
5. O = {A ∈ 2X : card (X \ A) 6 ℵ0 } ∪ {∅},
6. (dwupunktowa Sierpi«skiego) X = {0, 1}, O = { ∅, {0}, {0, 1} },
7. X = R, O = {(a, ∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R}.
Opisa¢ zbiory domkni¦te w powy»szych topologiach.
X stanowi baz¦ pewnej topologii, gdy
Zadanie 1.2. [Bazy] Sprawdzi¢, »e B ⊂ 2
1. (metryczna) B = {B(x, ε) : x ∈ X, ε ∈E}, d metryka w X , B(x, ε) = {y ∈ X : d(y, x) < ε}, E =
1
: m∈N ,
(0, ∞) lub (0, ∞) ∩ Q lub m
2. (prosta Sorgenfreya = strzaªka) X = R, B = {[a, q) : a ∈ R, q ∈ Q},
3. X = R, B = {[a, ∞) : a ∈ R},
4. X = R, B = (−∞, 0], n1 , ∞ : n ∈ N ,
5. X = Q, B = {(−∞, q) ∩ Q : q ∈ Q} ∪ {∅, Q},
6. (pªaszczyzna Niemyckiego) X = {(x, y) ∈ R2 : y > 0} = R × [0, ∞),
1
1
1
B = B (x, y),
,B
x, 0 +
,
∪ {(x, 0)} : x ∈ R, y > 0, n ∈ N .
n
n
n
W ka»dym z przypadków poda¢ (o ile mo»liwe) drug¡ baz¦ B 0 tak, by B 0 ∩ B = ∅. Dlaczego podane bazy
nie s¡ topologiami (nawet po doª¡czeniu do nich ∅ i X )?
X stanowi podbaz¦ pewnej topologii, gdy
Zadanie 1.3. [Podbazy] Potwierdzi¢, »e P ⊂ 2
13.x.2010, K.L.
Topologia
1. (lewa strzaªka) X = R, P = {(p, q] : p, q ∈ Q},
2
2. X = R, P = {(−∞, b), [a, ∞) : a, b ∈ R}.
Sprawdzi¢, »e podane podbazy nie s¡ bazami; wygenerowa¢ stosowne bazy.
Zadanie 1.4. Zbada¢, czy zbiór A ⊂ X jest otwarty b¡d¹ domkni¦ty w znanych topologiach na X , gdy
1. X = R, A = (0, 2), [0, 2), (0, 2], (0, ∞), [0, ∞), 32 , ∞ , (−∞, 0), (−∞, 0], (−∞, 0) ∪ (0, ∞), (−∞, 0] ∪
[1, ∞), Q, Z, R \ Q, Q \ Z,
2. X = R × [0, ∞), A = R × {0}, R × (0, ∞), [0, 1] × {0}, [0, 1] × [0, 1], (0, 1) × (0, 1), (0, 1) × [0, 1),
(0, 1) × (0, 1) ∪ {(0, 0)}, (0, 1) × (0, 1) ∪ {( 21 , 0)}.
Zadanie 1.5. [Sªaba
topologia] Niech G ⊂ 2X . Czy zawsze istnieje najsªabsza (najmniejsza wzgl¦dem
inkluzji) topologia O ⊂ 2X , w sensie której wszystkie zbiory z G s¡ otwarte? Poda¢ przykªad G , gdzie
rzeczywi±cie tak si¦ dzieje, ale G nie stanowi ani bazy ani
S podbazy.
X stanowi pokrycie X (tzn.
Zadanie 1.6. Je±li P ⊂ 2
P ∈P P ⊃ X ), to P jest podbaz¡ pewnej topologii
X
O⊂2 .
2
Domkni¦cie, wn¦trze i brzeg
S
• Int A = {x ∈ X : ∃U ∈O x ∈ U ⊂ A} = A⊃U ∈O U wn¦trze A ⊂ X .
T
• A = {x ∈ X : ∀x∈U ∈O A ∩ U 6= ∅} = A⊂D∈D D domkni¦cie A ⊂ X .
• Fr A = {x ∈ X : ∀x∈U ∈O A ∩ U 6= ∅ =
6 (X \ A) ∩ U } • (Aksjomaty Kuratowskiego )
· : 2X → 2X speªnia
(i) ∅ = ∅,
brzeg A ⊂ X .
Int :2X → 2X speªnia
(i) Int X = X ,
(ii) A ⊂ A,
(ii) Int A ⊂ A,
(iii) A = A,
(iii) Int Int A = Int A,
(iv) A ∪ B = A ∪ B .
(iv) Int (A ∩ B) = Int A ∩ Int B .
Zadanie 2.1.
Fr A zbioru
Przy wszelkich znanych sobie topologiach na X znale¹¢ domkni¦cie A, wn¦trze Int A i brzeg
1. A = {x ∈ X : |x| < 2 31 }, X = R lub Q,
2. A = {(x1 , x2 ) ∈ X : 1 < x1 + x2 ≤ 4}, X = R × [0, ∞).
Zadanie 2.2.
Uzasadni¢ wzory (A, Aj , B ⊂ X ):
1. D 3 D ⊃ A ⇒ D ⊃ A,
2. O 3 U ⊂ A ⇒ U ⊂ Int A,
3. A ⊂ B ⇒ A ⊂ B ∧ Int A ⊂ Int B ,
4. Int (X \ A) = X \ A,
5. A = A ⇔ A ⊃ Fr A ⇔ A ∈ D,
6. Int A = A ⇔ A ∈ O,
10. Int Int A = Int A,
S
S
11. Int j∈J Aj = j∈J Int Aj ,
12. Fr A = A ∩ X \ A = A \ Int A,
13. Int Fr A = ∅,
14. Fr ∅ = ∅,
15. Fr Fr A ⊂ Fr A,
7. A ∪ B = A ∪ B ,
S
S
8.
j∈J Aj ⊃
j∈J Aj ,
16. Fr (A ∪ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B ,
9. Int A ∩ B = Int A ∩ B ,
18. Fr A = Fr (X \ A).
17. A ⊂ B ⇒ Fr A ⊂ B ∪ Fr B ,
13.x.2010, K.L.
Topologia
3
Co ogólnie mo»na powiedzie¢ o ci¡gu Fr A ⊃ Fr Fr A ⊃ Fr Fr Fr A ⊃ . . . ?
Zadanie 2.3. Niech O1 ⊂ O2 topologie na X . Porówna¢ wynik operacji brania domkni¦cia, wn¦trza oraz
brzegu A ⊂ X przy jednej i drugiej topologii.
3
Ci¡gªo±¢
• f : (X, OX ) → (Y, OY ) przeksztaªcenie
ci¡gªe w punkcie x0 ∈ X ⇔ ∀f (x0 )∈W ∈OY ∃x0 ∈U ∈OX f (U ) ⊂ W ,
(cg) ci¡gªe ⇔ ∀V ∈OY f −1 (V ) ∈ OX ;
(hom) homeomorzm, gdy f jest ci¡gªe oraz posiada ci¡gªe odwrotne f −1 : (Y, OY ) → (X, OX ).
(cgp)
• (Ci¡gªo±¢ zªo»enia ) Je±li f : (X, OX ) → (Y, OY ) ci¡gªe [w x0 ], g : (Y, OY ) → (Z, OZ ) ci¡gªe [w f (x0 )], to
g ◦ f : (X, OX ) → (Z, OZ ) ci¡gªe [w x0 ].
• (Charakteryzacje ci¡gªo±ci ) Ci¡gªo±¢ f : (X, OX ) → (Y, OY ) jest równowa»na któremukolwiek spo±ród warunków:
(i) ∀B∈BY f −1 (B) ∈ OX , gdzie BY baza OY ,
(iv) ∀A⊂X f ( A ) ⊂ f (A),
(ii) ∀P ∈PY f −1 (P ) ∈ OX , gdzie PY podbaza OY ,
(v) ∀B⊂Y f −1 (B) ⊂ f −1 ( B ),
(iii) ∀D∈DY f −1 (D) ∈ DX , gdzie DX , DY rodziny
zbiorów domkni¦tych w X , Y ,
(vi) ∀B⊂Y f −1 (Int B) ⊂ Int f −1 (B) ,
(vii) ∀B⊂Y Fr f −1 (B) ⊂ f −1 ( Fr B ).
Zadanie 3.1. [Funkcje
jednej zmiennej] Zbada¢ ci¡gªo±¢ f : (R, O1 ) → (R, O2 ) przy ró»nych topologiach
O1 , O2 na R, gdy f (x) = x2 , [x], max{0, x}, χR\Q (x), χR\{0} (x).
Zadanie 3.2. [Funkcje dwu zmiennych] Zbada¢ ci¡gªo±¢ f : (R×[0, ∞), O1 ) → (R×[0, ∞), O2 ) przy ró»nych
√
topologiach O1 , O2 na R × [0, ∞), gdy f (x, y) = (x, y), (x, y 2 ), (x + y, y), (y, y), (x, 0),
3, χR\Q (x + y) .
Zadanie 3.3. [Póªci¡gªo±¢] Funkcja f : R → R jest póªci¡gªa z góry [odp. z doªu], gdy przy r ∈ R otwarte
s¡ zbiory postaci {x : f (x) < r} [odp. {x : f (x) > r}]. Opisa¢ stosowne topologie w przeciwdziedzinie,
wzgl¦dem których ci¡gªo±¢ daje powy»sze póªci¡gªo±ci. Poda¢ przykªady odwzorowa« póªci¡gªych, ale nie
ci¡gªych.
Zadanie 3.4. [Jednostronna ci¡gªo±¢] Niech f : R → R. Opisa¢ stosowne topologie w dziedzinie, wzgl¦dem
których ci¡gªo±¢ wyra»a prawo- [odp. lewo-] stronn¡ ci¡gªo±¢ (tzn. limx→x+ f (x) = f (x0 ), odp. limx→x− f (x) =
0
0
f (x0 ), dla x0 ∈ R). Poda¢ przykªady odwzorowa« jednostronnie ci¡gªych, ale nie ci¡gªych.
Zadanie 3.5. [Sªaba topologia] Niech fj : X → (Yj , Tj ), j ∈ J . Skonstruowa¢ najsªabsz¡ (najmniejsz¡
wzgl¦dem inkluzji) topologi¦ w X , przy której wszystkie odwzorowania fj s¡ ci¡gªe. Opisa¢ sªab¡ topologi¦
w R wyznaczon¡ przez f : R → (R, T ) (T topologia naturalna prostej), gdy f (x) = [x], |x|, x3 , 4, ex ,
sgn x.
4
Oddzielanie
• (X, O) ∈ T0 ⇔ ( ∀x1 ,x2 ∈X x1 6= x2 ⇒ ∃i=1,2 ∃Ui ∈O xi ∈ Ui 63 x3−i ),
• (X, O) ∈ T1 ⇔ ( ∀x1 ,x2 ∈X x1 6= x2 ⇒ ∀i=1,2 ∃Ui ∈O xi ∈ Ui 63 x3−i ),
(Hausdora) ⇔ ( ∀x1 ,x2 ∈X x1 6= x2 ⇒ ∃U1 ,U2 ∈O x1 ∈ U1 , x2 ∈ U2 , U1 ∩ U2 = ∅ ),
• (X, O) ∈ T3 (regularna) ⇔ ( ∀A∈D ∀x∈X x 6∈ A ⇒ ∃U1 ,U2 ∈O x ∈ U1 , A ⊂ U2 , U1 ∩ U2 = ∅ ),
• (X, O) ∈ T2
• (X, O) ∈ T3 21
(caªkowicie regularna) ⇔ ∀A∈D ∀x∈X x 6∈ A ⇒ ∃f :(X,O)→[0,1], ci¡gªa f (x) = 0 ∧ ∀a∈A f (a) = 1 ,
(normalna) ⇔ ( ∀A,B∈D A ∩ B = ∅ ⇒ ∃U1 ,U2 ∈O A ⊂ U1 , B ⊂ U2 , U1 ∩ U2 = ∅ ).
• (Lemat Urysohna ) W przestrzeni normalnej (X, O) zbiory domkni¦te mo»na oddziela¢ funkcyjnie:
• (X, O) ∈ T4
∀A,B∈D A ∩ B = ∅ ⇒ ∃f :(X,O)→[0,1], ci¡gªa (∀a∈A f (a) = 0) ∧ (∀b∈B f (b) = 1) .
13.x.2010, K.L.
Topologia
4
Sklasykowa¢ ze wzgl¦du na aksjomaty oddzielania wszystkie znane sobie przykªady przestrzeni
topologicznych.
Zadanie 4.2. (X, O) speªnia
Zadanie 4.1.
1. T1 , gdy ∀x∈X {x} = {x},
2. T4 , gdy jest T1 i ∀U,D⊂X
D = D ⊂ U ∈ O ⇒ ∃V ∈O D ⊂ V ⊂ V ⊂ U
.
Przestrze« sko«czona speªniaj¡ca T2 musi by¢ dyskretna. Co z T1 ?
Zadanie 4.4. Niech f : (X, O) → (Y, T ) b¦dzie ci¡gªe oraz Y = f (X) (surjekcja). Je±li X speªnia warunek
Ti , to czy równie» Y musi speªnia¢ warunek Ti ? Czy je±li Y speªnia Ti , to równie» X musi speªnia¢ Ti ?
Zadanie 4.3.
5
Operacje na przestrzeniach
•
Podprzestrze« M ⊂ X przestrzeni (X, O) zaopatrujemy w topologi¦ indukowan¡ OM = {U ∩ M : U ∈ O}.
•
Produkt Tichonowa
ja«ski
Q
j∈J
Q
j∈J
(Xj , Oj ) =
Q
Xj zaopatrzony w topologi¦
BQ =

Y

j∈J
N
Xj ,
j∈J
N
j∈J
Oj
przestrzeni (Xj , Oj ), j ∈ J , to iloczyn kartez-
Oj dan¡ za pomoc¡ bazy
Uj : ∀j∈J Uj ∈ Oj , card {j ∈ J : Uj 6= X} < ℵ0
j∈J


.

Q
• (Charakteryzacja ci¡gªo±ci odwzorowa« w produktQ
) Niech πj : j∈J Xj → Xj rzutowanie na j -t¡ wspóªrz¦dn¡,
πj ( (xj )j∈J ) = xj . Przeksztaªcenie g : (Z, T ) → j∈J (Xj , Oj ) jest ci¡gªe ⇔ ∀j∈J πj ◦ g : (Z, T ) → (Xj , Oj )
s¡ ci¡gªe.
Zadanie 5.1. [Podprzestrze«]
Niech A ⊂ M ⊂ X . Pokaza¢, »e dla topologii indukowanej OM z (X, O) na
M
1. A jest domkni¦ty w (M, OM ), gdy jest postaci A = D ∩ M , gdzie D jest domkni¦ty w (X, O),
2. A
M
= A ∩ M.
Zadanie 5.2. [Sªaba
topologia] Topologia OM indukowana na M ⊂ X z (X, O) to sªaba topologia wyznaczona przez zanurzenie i : M → (X, O), ∀z∈M i(z) = z .
Zadanie 5.3. Je±li f : (X, O) → (Y, T ) jest ci¡gªe, M ⊂ X , to f |M : (M, OM ) → (Y, T ) jest ci¡gªe.
Zadanie 5.4. Niech f : (X, O) → (Y, T ), X = D1 ∪ D2 , X ⊃ D1 , D2 domkni¦te. Wówczas f jest ci¡gªe
dokªadnie wtedy, gdy obci¦cia f |Dj : (Dj , ODj ) → (Y, T ) s¡ ci¡gªe przy j = 1, 2.
Zadanie 5.5. Niech L = R × {0}, M = R × (0, ∞), póªpªaszczyzna L ∪ M = R × [0, ∞) b¦dzie zaopatrzona
w topologi¦ Niemyckiego O. Pokaza¢, »e
1. (L, OL ) = (L, 2L ) dyskretna,
2. (M, OM ) = (M, TM ), gdzie (R2 , T ) pªaszczyzna z topologi¡ naturaln¡ (euklidesow¡).
Zadanie 5.6. [Produkt
sko«czony] Uzasadni¢, »e w (X × Y, O ⊗ T )
1. A × B = A × B ,
2. Int (A × B) = Int A × Int B ,
3. Fr (A × B) = (Fr A × B) ∪ (A × Fr B).
13.x.2010, K.L.
Topologia
5
Zadanie 5.7. [Sªaba
topologia] Topologia produktowa O ⊗ T w X × Y to sªaba topologia wyznaczona przez
rzutowania πX : X × Y → (X, O), πY : X × Y → (Y, T ), πX (x, y) = x, πY (x, y) = y , (x, y) ∈ X × Y .
Zadanie 5.8. Dla ci¡gªych fi : (Xi , Oi ) → (Yi , Ti ), i = 1, 2, deniujemy f1 × f2 (x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 ))
dla (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 . Wykaza¢ ci¡gªo±¢ f1 × f2 : (X1 × X2 , O1 ⊗ O2 ) → (Y1 × Y2 , T1 ⊗ T2 ).
Zadanie 5.9. Sprawdzi¢, »e produkt dwu przestrzeni [anty]dyskretnych jest [anty]dyskretny.
Q
Zadanie 5.10. [Produkt pudeªkowy] Produkt
topologicznych (Xj , Oj ) mo»na stopolj∈J Xj przestrzeni
nQ
o
Q
ogizowa¢ za pomoc¡ bazy B =
j∈J Uj : ∀j∈J Uj ∈ Oj . Pokaza¢, »e rzutowania πj :
j∈J Xj → Xj ,
πj ((xj )j∈J ) = xj , j ∈ J , s¡ ci¡gªe w tej topologii.
Q
N
Zadanie 5.11. [Produkt Tichonowa] Wyposa»amy zbiór ci¡gów rzeczywistych R =
n∈N R w topologi¦
produktow¡ Tichonowa, przy czym w ka»dym z czynników R zadana jest jedna i ta sama wybrana przez
nas topologia prostej. Sprawdzi¢, które spo±ród poni»szych zbiorów s¡ domkni¦te albo otwarte:
1. {(xn )n∈N : x1 = x3 = 0},
4. {(xn )n∈N : ∀n∈N 0 ≤ xn ≤ 1} =
Q
2. {(xn )n∈N : x1 < 0, x4 > 0},
5. {(xn )n∈N : ∀n∈N 0 < xn < 1} =
Q
n∈N [0, 1],
3. {(xn )n∈N : x1 ≤ 0, x5 ≥ 2},
6. {(xn )n∈N : ∃n∈N 0 < xn < 1}.
n∈N (0, 1),
Q
Q
Niech f : n∈N Xn → n∈N Xn , f ( (xn )n∈N ) = (x1 , x1 , x3 , x3 , x5 , x5 , . . .). Pokaza¢, »e gdy
w dziedzinie i przeciwdziedzinie zadano t¦ sam¡ topologi¦ produktow¡, albo Tichonowa, albo pudeªkow¡,
to f jest przeksztaªceniem ci¡gªym. Przedyskutowa¢ sytuacj¦, gdy topologie produktowe w dziedzinie i w
przeciwdziedzinie s¡ ró»ne.
Zadanie 5.13. [Oddzielanie pooperacyjne] Czy podprzestrze« Ti -przestrzeni speªnia warunek Ti ? Czy produkt Ti -przestrzeni speªnia warunek Ti ? W przypadku, gdy tak udowodni¢ stosowne twierdzenie, w
przypadku, gdy nie poda¢ stosowny kontrprzykªad.
Zadanie 5.12.
6
Zwarto±¢ i spójno±¢
spójna ⇔ O ∩ D = {∅, X}.
S
• {Uj }j∈J pokrycie otwarte zbioru A ⊂ (X, O) ⇔ j∈J Uj ⊃ A, ∀j∈J Uj ∈ O.
S
• {Ui }i∈I podpokrycie pokrycia {Uj }j∈J zbioru A ⇔ j∈J Uj ⊃ A, I ⊂ J .
• (X, O) przestrze« zwarta ⇔ (X, O) przestrze« Hausdora speªniaj¡ca
• (X, O) przestrze«
∀ {Uj }j∈J , pokrycie otwarte X ∃ {Ujk }nk=1 , podpokrycie sko«czone X.
• (X, O) ⊃ A zwarty/spójny ⇔ (A, OA ) podprzestrze« zwarta/spójna.
• (Twierdzenie
Tichonowa ) Produkt Tichonowa przestrzeni zwartych jest zwarty.
• (Niezmienniczo±¢ na ci¡gªe obrazy ) Niech f : X → Y ci¡gªe. Je±li A ⊂ X jest zwarty/spójny, to f (A) ⊂ Y
równie» jest zwarty/spójny.
• (Twierdzenie Weierstrassa ) Funkcja ci¡gªa f : X → R na przestrzeni zwartej X przyjmuje kresy tzn.
∃x∗ ,x∗ ∈X f (x∗ ) = inf x∈X f (x), f (x∗ ) = supx∈X f (x). Je±li f jest tylko póªci¡gªa z góry, to przyjmuje
maksimum, a gdy tylko póªci¡gªa z doªu, to minimum.
• (Twierdzenie Darboux ) Funkcja ci¡gªa f : X → R na przestrzeni spójnej X przyjmuje wszystkie warto±ci
po±rednie tzn. ∀x1 ,x2 ∈X ∀y∈R f (x1 ) < y < f (x2 ) ⇒ ∃x∈X y = f (x).
Zwerykowa¢ pod k¡tem zwarto±ci i spójno±ci znane sobie przykªady przestrzeni.
X ⊃ K zwarty ⇔ z ka»dego otwartego pokrycia K mo»na wybra¢ podpokrycie sko«czone.
Zadanie 6.3. [Charakteryzacja niespójno±ci za pomoc¡ zbiorów rozgraniczonych] X ⊃ S niespójny ⇔
∃∅6=A,B⊂X S = A ∪ B, (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = ∅.
Zadanie 6.4. Zbada¢ w ró»nych topologiach na X zwarto±¢ i spójno±¢ A ⊂ X , gdy
Zadanie 6.1.
Zadanie 6.2.
13.x.2010, K.L.
Topologia
6
1. X = R, A = (−∞, 0], (−∞, 0), ( 32 , ∞), [ 31 , ∞), [0, 1], [0, 1), [0, 1] ∪ [2, 3].
2. X = R × [0, ∞), A = [0, 1] × {0}, {0} × [0, 1], [0, 1] × (0, 1].
Je±li S ⊂ X jest spójny, to S te» jest spójny. Co z Int S ?
Je±li S1 , S2 ⊂ X s¡ spójne, przy czym S1 ∩ S2 6= ∅, to ich suma S1 ∪ S2 te» jest spójna. Co
ze spójno±ci¡ przekroju S1 ∩ S2 ?
Zadanie 6.7. Je»eli K1 , K2 ⊂ X s¡ zwarte, to suma K1 ∪ K2 ⊂ X równie».
Zadanie 6.8. [Produkt sko«czony] Produkt dwu przestrzeni X × Y jest zwarty/spójny wtedy i tylko wtedy
gdy obie przestrzenie X, Y s¡ zwarte/spójne.
Zadanie 6.9. [Podprzestrze«] Je±li X jest zwarta, to K ⊂ X jest zwarty, gdy jest domkni¦ty.
Zadanie 6.10. [Twierdzenie RieszaCantora] Niech Kn ⊂ X b¦d¡ zwarte i niepuste dla n = 1, 2, . . ., przy
T∞
czym rodzina (Kn )∞
n=1 zst¦puje (tzn. ∀n∈N Kn+1 ⊂ Kn ). Wówczas przekrój
n=1 Kn jest niepusty i zwarty.
Zadanie 6.11. [Oddzielanie] Ka»da zwarta przestrze« Hausdora jest regularna (T3 ) i normalna (T4 ).
Zadanie 6.12. [O odwzorowaniu domkni¦tym] Je±li X jest zwarta, Y Hausdora, a f : X → Y ci¡gª¡
injekcj¡, to f jest domkni¦te (tzn. obrazy domkni¦tych s¡ domkni¦te). W konsekwencji odwzorowanie
odwrotne z obrazu f −1 : Y ⊃ f (X) → X jest ci¡gªe; inaczej: f : X → f (X) stanowi homeomorzm.
Zadanie 6.5.
Zadanie 6.6.
7
Przestrze« odwzorowa«
Niech C(X, Y ) b¦dzie przestrzeni¡ funkcji ci¡gªych. Podbaz¦ topologii zwarto-otwartej w C(X, Y ) wyznaczaj¡ zbiory postaci
hK, U i = {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U },
gdzie X ⊃ K zwarty, Y ⊂ U otwarty. W przypadku, gdy X jest zwart¡ przestrzeni¡ metryczn¡, a Y
przestrzenia metryczn¡ topologia zwarto-otwarta jest zgodna z topologi¡ zbie»nosci jednostajnej wyznaczon¡
przez metryk¦ supremum Czebyszewa.
X nazywamy topologi¦ indukowan¡ z topologii TiTopologi¡ zbie»no±ci punktowej w C(X, Y ) ⊂ Y
Q
Q
chonowa w produkcie Y X = x∈X Yx = x∈X Y , Yx = Y .
Zadanie 7.1. [Twierdzenie Diniego] Niech X b¦dzie zwarta, fn , f ∈ C(X, R), n ∈ N. Je±li ci¡g funkcyjny
(fn )∞
−→ f , i monotonicznie, ∀n∈N fn 6 fn+1 , to zbiega równie» jednostajnie
n=1 zbiega do f punktowo, fn n→∞
fn ⇒ f .
n→∞
13.x.2010, K.L.