Transmitancja operatorowa, modelowanie obiektów

Transkrypt

Automatyka i Regulacja Automatyczna, PRz, r.a. 2011/2012, Żabiński Tomasz
Wykład 8
Transformata Laplace’a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do
pakietu Matlab/Scilab, regulatory PID - transmitancja, modele matematyczne wybranych obiektów regulacji,
przykłady wyprowadzenia transmitancji z potrzebą linearyzacji i bez linearyzacji równań, bilanse: masy, energii,
momentu
1. Transformata Laplace’a – przypomnienie
Transformata jednostronna
f(t) – oryginał spełniający odpowiednie warunki (w naszych rozważaniach spełnione)
F(s) – transformata, s – zmienna zespolona
Tablica podstawowych własności
Uproszczona tablica podstawowych transformat
1
, zerowe warunki początkowe*
zerowe warunki początkowe*
2
*
Przykład 1
,*
,*
- obustronnie stosujemy przekształcenie Laplace’a
dla
dla

na podstawie tabeli
Metoda rozkładu na ułamki proste
Pierwiastki jednokrotne rzeczywiste
- metoda przesłaniania
Pierwiastki zespolone
- rzeczywisty
3
- metoda przesłaniania
Wskazówka
- dla biegunów rzeczywistych odpowiedź to suma funkcji wykładniczych ewentualnie
mnożonych przez dla biegunów wielokrotnych
- dla biegunów zespolonych odpowiedź to suma funkcji sin i cos z amplitudą modyfikowaną
wykładniczo
Nieformalna wskazówka:
2. Transmitancja operatorowa
Uwaga
Pierwiastki licznika transmitancji nazywamy zerami zaś pierwiastki mianownika
transmitancji nazywamy biegunami.
4
Uwaga
Parametry transmitancji zależą tylko od właściwości obiektu a nie od charakteru sygnału
wejściowego.
Przykład 1 – cd.
Pytanie: jaka będzie odpowiedź układu na wymuszenie skokowe o amplitudzie równej 2.
Wyznacz wartość ustaloną odpowiedzi.
3. Schematy blokowe
5
6
4. Wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab
Podstawowe instrukcje - Matlab
1. Definiowanie wektora czasu
t=0:0.1:5;
2. Definiowanie transmitancji
L=[an an-1 a1 a0]
M=[bn bn-1 b1 b0]
3. Odpowiedź transmitancji na sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego
y=step(L,M,t);
4. Wykres
plot(t,y); grid
Analogiczne zadania można wykonać w nieodpłatnie dostępnym pakiecie Scilab
(www.scilab.org).
1. Definiowanie wektora czasu
t=[0:0.1:5]; bądź
t=0:0.1:5;
7
2. Definiowanie transmitancji
s=poly(0,’s’); bądź
sys=syslin(‘c’,(
s=%s
)/(
));
3. Odpowiedź transmitancji na sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego
y=csim(‘step’,t,sys);
4. Wykres
plot2d(t,y); xgrid bądź
plot(t,y); xgrid
Przykłady
8
5. Regulatory PID – transmitancje
9
6. Modele matematyczne wybranych obiektów regulacji
Zbiornik z pompą opróżniającą (bilans masy)
qwy
qwe
A
H ( s) 
h
Qwe ( s)  Qwy ( s)
As
5
4
3
2
Matlab
L=1
M = [2 0]
t = 0:0.1:10;
y = step (L,M,t);
L1 = -1
y1 = step(L1,M,t);
plot (t, y,’r-’,t,y1,’g-’,t,y+y1,’b-’), grid
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
10
10
Zbiornik z wypływem pod ciśnieniem hydrostatycznym (bilans masy)
qwe
A
Po linearyzacji (rozwinięcie w szereg Taylora)
H ( s) 
h
1
 k Q (s)  k2 S (s)
Ts  1 1 we
s
qwy
Podgrzewacz elektryczny (bilans energii)
q
, c, T0
, c, V
T
P,R
T ( s)
k

U ( s)
Ts  1
q
, c, T
u
Opóźnienie transportowe w kotle rusztowym
S
u
y
v
u
y
L

v

L
Uwaga
Transmitancje obiektów technologicznych (energetycznych, chemicznych i in.) należy zwykle
uzupełnić o pewne opóźnienie, co daje:
1  s
1  s
1
e
,
e
,
e s .
2
Ts
Ts  1
Ts  1
Bardzo często wartość  określa się eksperymentalnie.
11
Przybliżenie Padé
e s
1
1
(s) 2  (s)3  ...
2!
3!

1
1
2  s  (s) 2  (s)3  ...
2!
3!
2  s 
Przykład – Matlab – instrukcja pade – przybliżenie 1-go rzędu
L=1;
M=[1 1];
[Lp Mp]=pade(2,1);
Lz=conv(L,Lp);
Mz=conv(M,Mp);
t=0:0.01:12;
y=step(Lz,Mz,t);
plot(t,y);grid
G( s) 
1  2s
e
s 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
10
12
Przykład – Scilab – aproksymacja opóźnienia - przybliżenie 1-go rzędu
s=%s;
sys1= syslin('c',1/(s+1));
delay=syslin('c',(2-2*s)/(2+2*s));
sys=sys1*delay;
t=0:0.01:12;
y=csim('step',t,sys);
plot(t,y);xgrid
Przykład – Matlab – instrukcja pade – przybliżenie 1-go i 12-go rzędu
L=1;
M=[1 1];
[Lp1 Mp1]=pade(2,1);
[Lp12 Mp12]=pade(2,12);
Lz1=conv(L,Lp1);
Mz1=conv(M,Mp1);
Lz12=conv(L,Lp12);
Mz12=conv(M,Mp12);
t=0:0.01:12;
y1=step(Lz1,Mz1,t);
y12=step(Lz12,Mz12,t);
plot(t,y1,’r-’,t,y12,’b-’);grid
G( s) 
1  2s
e
s 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
12
Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi – sterowanie napięciowe
i

R
U
S

J
N
s 
k

U s  Ts  1
s 
k

U s  s(Ts  1)
S
Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi – sterowanie prądowe
s  k

U s  s
i
R
i


S
J
s  k

U s  s 2
N
S
7.
Proste przykłady wyprowadzenia transmitancji
7.1. Bilans masy
Metodologia Maxwella
(1868)
1) Ułożyć równania dynamiki układu regulacji i zbadać jak zależą ich rozwiązania od nastaw
regulatora występujących we współczynnikach.
2) Wybrać takie nastawy, które dają najlepsze rozwiązanie (przebiegi) ze względu na kształt
i prędkość.
Punktem wyjścia jest ułożenie równania sterowanego obiektu (model matematyczny).
Modelowanie, czyli układanie równań, opiera się o podstawowe prawa fizyki, termodynamiki,
kinetyki chemicznej itp. Dla potrzeb automatyki wystarcza umiarkowana dokładność
modelowania. Ważną zaletą układów ze sprzężeniem zwrotnym jest odporność na
niedokładności modelowania.
Bilans masy dotyczy wszelkich obiektów z przepływem cieczy, gazów, par, materiałów
sypkich – zbiorniki, mieszalniki, kotły, reaktory itp.
M  V  A h  ,
gdzie w przypadku zbiornika:
13
M - masa cieczy,
V - objętość,
 - gęstość
A - powierzchnia przekroju zbiornika
h - wysokość słupa cieczy
Równanie bilansu ma postać
dM
dh
 A
  qi i   q j  j
dt
dt
i
j
qi, qj - przepływy objętościowe (m3/s)
Zbiornik z pompą opróżniającą
qwy
qwe
Dane:
A = 2 m2
A
q we  q wy – średnie przepływy
h
Równanie bilansu
dM
dh
 A
 qwe   qwy 
dt
dt
A
:
dh
 q we  q wy
dt
Stosujemy transformację Laplace’a
A s H (s)  Qwe (s)  Qwy (s)
H (s) 
Qwe ( s)  Qwy ( s)
As
– transmitancja typu
całkującego (integrator)
Qwy
Qwe
+ -
1
As
H
Różnica między dopływem a odpływem powoduje ciągłą zmianę poziomu. Układu
sterowania takim obiektem nie wolno wyłączać, bo zbiornik albo zostanie przelany, albo
zupełnie opróżniony.
14
Zbiornik z wypływem pod ciśnieniem hydrostatycznym
Dane:
A= 5 m2
h  10 m
qwe
q we  q wy  108 m 3 /h  0.03 m 3 /s
A
h
s
qwy
 Model ogólny (nieliniowy)
W stanie nominalnym objętość cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie.
qwe  qwy  0
qwy  s 2 g h
qwe  s 2 g h  0
s
qwe
2g h
– powierzchnia swobodna zaworu
na odpływie
Równanie dynamiki
A
dh
 q we  s 2gh



dt
funkcja nieliniowa
15
 Linearyzacja
16
W celu przybliżenia funkcji nieliniowej przez funkcję liniową stosujemy rozwinięcie
w szereg Taylora dla stanu nominalnego.
A
dh
 1  q we 
dt
A s H ( s )  Qwe ( s ) 
sg
A s H ( s ) 
2g h
2g
2 g h s  s
h
2 2g h
2 g h S ( s ) 
sg
H ( s )
2g h
H ( s )  Qwe ( s ) 
2 g h S ( s )

2g h
sg




 A 2 g h s  1 H ( s )  2 g h Q ( s )  2h S ( s )
we


sg
sg
s











k2
 T

k1
qwe
k1
+
-
s
1
Ts  1
h
k2
Rys. 2.2. Obiekt inercyjny I-go rzędu
 Obliczenia
s
qwe

2g h
TA
k1 
3336
2g h
sg
0.03
 0.00214 m2  21.4 cm 2
2  9.81  10
5
2  9.81 10
 3336 s
0.00214  9.81
2g h
 667 m m3 / s ,
sg
k2 
dh
 h  667 qwe  4673 s
dt
2h
2  10

 4673 m/m 2
0.00214
s
- czas w sekundach
 Zmiana skali czasu i jednostki względne
3336 dh
667
h
 h 
qwe
 4673 s
3600 dt h
3600
- czas w godzinach
17
0.926
dh
h
 h  0.185 q we
 4673 s
dt h
h
- q we
w m3/h
Jednostki względne (normalizacja)
h
h
q we
u
q we
s
z
s
y
- wyjście (zmienna procesowa)
- sterowanie
- zakłócenie
 h 
d 
h
h
1
1
s
h
h q we
0.926   
 0.185 q we
 4673 s
h
dt h
h
h
h
s
q we
0.926
dy
 y  2.0 u  1.0 z
dt h
z
1.0
u
2.0
-
1
0.926s  1
y
Po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennych (jednostki względne) współczynniki w
równaniu stają się rzędu 1. Jest to istotne dla implementacji mikrokomputerowej.
Zależność poziomu od stopnia otwarcia zaworu na odpływie
H ( s)
k
 2
S ( s)
Ts  1
7.2. Bilans energii
Bilans energii stosujemy do tworzenia modeli matematycznych takich obiektów jak piece,
suszarnie, reaktory, wymiennikownie, podgrzewacze itp.
E  M cT
gdzie:
E - energia,
M - masa ( M  V ),
V - objętość obiektu,
 - gęstość
T - temperatura
c - ciepło właściwe
Równanie bilansu można przedstawić jako
18
dE
dT
 V c

dt
dt
 qi i ciTi

i
 q j  j c jT j
 P
j
P - moc doprowadzona lub odprowadzona
Równanie momentów
7.3.
J
d
 M  M o  D ,
dt

d
dt
gdzie:
- moment bezwładności, M
 - prędkość kątowa,
Mo
D
 - kąt.
J
- moment wytwarzany
- moment obciążenia
- współczynnik tarcia,
19

Transmitancja operatorowa, modelowanie obiektów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Numer 1(59)

Paricalcitol ChPL

Drukuj ofertę