szeregi czasowe trend,wahania sezonowe i sposoby ich

SZEREGI CZASOWE
TREND, WAHANIA SEZONOWE I SPOSOBY ICH
UWZGLĘDNIENIA W MODELU
Szereg czasowy to ciąg obserwacji pokazujący kształtowanie się badanego zjawiska w kolejnych okresach
(dniach, miesiącach, kwartałach, latach, itp.). W szeregu czasowym można wyodrębnid kilka składowych
będących wynikiem wpływu różnych czynników na dane zjawisko.
SKŁADOWE
SZEREGU CZASOWEGO
1. Tendencja rozwojowa, zwana trendem, wyraża długookresową skłonnośd do jednokierunkowych zmian
(wzrostu lub spadku) wartości badanej zmiennej. Jest rozpatrywana jako konsekwencja działania stałego
zestawu czynników.
2. Wahania cykliczne (składowa cykliczna) wyrażają się w postaci długookresowych, rytmicznych wahao
wartości szeregu wokół tendencji rozwojowej. Wiąże się je zwykle z cyklem koniunkturalnym gospodarki.
3. Wahania sezonowe (składowa sezonowa) są wahaniami wartości szeregu wokół jego tendencji rozwojowej
o okresie nieprzekraczającym jednego roku. Reprezentują efekty powtarzające się z pewną prawidłowością,
co roku w tych samych okresach.
4. Częśd resztowa, tj. nie podlegająca objaśnieniu (nie dająca się przypisad do wymienionych źródeł
zmienności) nazywana jest składową przypadkową (niesystematyczną). Zawiera ona przypadkowe wahania
szeregu wokół części systematycznej, które trudno jest zidentyfikowad a priori.
Składowe wymienione w punktach od 1 do 3 określa się mianem systematycznych, tworzą bowiem
systematyczną częśd szeregu, tzn. możliwą do objaśnienia.
MODELE TRENDU A MODELE OPISOWE
W modelu ekonometrycznym jest objaśniany przez wstawienie do modelu tzw. zmiennej czasowej t – stanowi
ona kolejne numery porządkowe obserwacji.
INTERPRETACJA PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
1
Postad liniowa modelu
MODEL PRZYCZYNOWO -SKUTKOWY – LINIOWY
Yt   0  1 X 1t  t
αo Interpretacja: wartość zmiennej objaśnianej w przypadku, w którym wszystkie zmienne objaśniające
przyjęłyby wartość zero. W modelach przyczynowo-skutkowych parametr nieinterpretowany.
α1 Interpretacja: Wzrost zmiennej X1 o jednostkę powoduje wzrost wartości zmiennej zależnej Y średnio o α1
jednostek zmiennej zależnej (jeśli mamy więcej niż jedna zmienna objaśniająca – dodajemy założenie
ceteris paribus – stałym poziomie wartości pozostałych zmiennych objaśniających)
MODEL TRENDU LINIOWEGO
Yt   0  1t  t
αo Interpretacja:
wartość zmiennej objaśnianej w okresie poprzedzającym zakres próby (t=0) według
oszacowań modelu wyniosła αo jednostek zmiennej objaśnianej
α1 Interpretacja: Z okresu na okres, wartości zmiennej objaśnianej rosły średnio w przybliżeniu o α1 jednostek Y
1
Por. Kukuła K., Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003,
s. 25-31.
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 1 z 4
Postad potęgowa modelu
Jest stosowana w przypadku modelowania wielkości, o których wiadomo z teorii ekonomicznej, że elastycznośd
zmiennej objaśnianej Y względem zmiennych objaśniających jest stała.
MODEL PRZYCZYNOWO -SKUTKOWY – POTĘGOWY
Yt   0  X 1t1  et
,
Yt   0  X 1t1  X 2t2  ...  X ktk  et
0
- poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartośd 1.
1 ,  2 ,...,  k
- elastycznośd zmiennej zależnej Y względem zmiennej objaśniającej w wykładniku której
znajduje się parametr.
α0 Interpretacja - poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartość 1.
α1 Interpretacja: Wraz ze wzrostem zmiennej X1 o 1%, wartość Y rośnie w przybliżeniu o α1 % (uwaga: nie
mnożymy wartości parametru przez 100, wartość jest już wyrażona w %), przy założeniu ceteris
paribus (w modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi)
MODEL TRENDU POTĘGOWEGO
Yt   0  t 1  et
α0=exp(lnα0) - poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t) przyjmują wartość 1
α1 Interpretacja: Z okresu na okres, wartości zmiennej objaśnianej rosły średnio w przybliżeniu o α1 % (uwaga:
nie mnożymy wartości parametru przez 100, wartość jest już wyrażona w %)
SPROWADZANIE FUNKCJI POTĘGOWEJ DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW
Yt   0  X 1t1  et | ln
ponieważ log( a  b)  log a  log b to:
ln Yt  ln  0  ln X 1t 1  ln et
Wiemy, że:
ln a b  b  ln a
ln Yt  ln  0  1  ln X 1t   t  ln e
Skoro
ln e  log e e  1
ln Yt  ln  0  1  ln X 1t  t
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 2 z 4
Postad wykładnicza modelu
Postad wykładnicza jest najczęściej stosowana do szacowania modeli tendencji rozwojowej (w których
występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna t).
MODEL PRZYCZYNOWO -SKUTKOWY – WYKŁADNICZY
Yt   0  1
Yt   0  1
X1t
2
X 1t
 et
 ...   k
X 2t
X kt
 et
α0=exp(lnα0) - poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające (X) przyjmują wartość 0.
α1 Interpretacja: α1 jest stopą wzrostu. Wzrost zmiennej X1 o jednostkę powoduje zmianę zmiennej objaśnianej
Y w przybliżeniu o (α1-1)100%
MODEL TRENDU WYKŁADNICZEGO
Yt   0  1  et
t
α0=exp(lnα0) - poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t) przyjmują wartość
0, czyli podobnie jak w modelu liniowym jest to wartość w okresie poprzedzającym zakres próby,
t=0.
α1 Interpretacja: α1 jest stopą wzrostu. Z okresu na okres, wartości zmiennej objaśnianej rosły średnio w
przybliżeniu o (α1-1)100%
SPROWADZANIE FUNKCJI WYKŁADNICZEJ DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW
Yt   0  1
X 1t
 et | ln
ln Yt  ln  0  ln 1
X 1t
 ln et
ln Yt  ln  0  X 1t  ln 1   t
1  eln
1
Zajęcia 4.
czyli
exp(ln 1 )
Materiały pomocnicze do dwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 3 z 4
WAHANIA SEZONOWE
Wahania sezonowe są wahaniami wartości szeregu wokół jego tendencji rozwojowej o okresie
nieprzekraczającym jednego roku, dlatego są charakterystyczne dla szeregów czasowych o większej niż roczna
częstotliwości (np. półroczne, kwartalne, miesięczne, tygodniowe, dzienne).
W modelu wahania sezonowe są najczęściej uwzględniane poprzez wprowadzenie zmiennych sztucznych, zerojedynkowych. Do modelu wstawiane są maksymalnie {(liczba okresów w ciągu roku)-1} zmienne sztuczne
(zero jedynkowe). Np. dla kwartałów można wstawid maksymalnie 3 zmienne. Tworzenie zmiennej zerojedynkowej polega na wstawieniu dla zmiennej opisującej dany kwartał (np. 4.) wartości 1. dla obserwacji
odpowiadającej obserwacji w 4. kwartale – dla pozostałych obserwacji 0.
450000
400000
350000
300000
250000
200000
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
III kw.
IV kw.
I kw.
II kw.
150000
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Interpretacja parametru przy zmiennej zero-jedynkowej:
Wartość zmiennej objaśnianej w okresie (np. 4 kwartale) jest o (parametr) jednostek zmiennej objaśnianej
(większa/mniejsza) niż w okresach (np. kwartałach) pominiętych w modelu.
Zadanie 10 – dane plik EKONOMETRIA_cw_5.xls – arkusz: zadanie 10 (EXCEL)
1. Sporządzić wykres liczby pracujących w Polsce
2. Określić występowanie składowych systematycznych szeregu czasowego
3. Określić postać funkcyjną modelu trendu opisującego kształtowanie się liczby pracujących
4. Na podstawie równania linii trendu
[kliknąć na wykres >> dodaj linię trendu >> zaznaczyć opcję równania linii trendu]
zinterpretować parametry strukturalne dla postaci liniowej, potęgowej i wykładniczej. Ocenić
która postać funkcyjna modelu jest lepiej dopasowana do zmienności wartości rzeczywistych.
Zadanie 11 - dane plik EKONOMETRIA_cw_5.xls – arkusz: zadanie 11 (GRETL)
1. Oszacować liniowy model trendu wartości PKB (mln zł) uwzględniając wahania sezonowe w
porównaniu do kwartału 1 i 3. Zinterpretować parametry strukturalne.
[wygenerować zmienną czasową i zmienne sezonowe]
2. Oszacować model potęgowy wartości PKB od liczby pracujących oraz nakładów brutto na
środki trwałe w Polsce z uwzględnieniem z uwzględnieniem wahań sezonowych w stosunku do
kwartału 1. Dokonać interpretacji parametrów oraz ocenić dokładność dopasowania modelu
do danych empirycznych.
Zajęcia 4.
Materiały pomocnicze do dwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 4 z 4