definicja indukcyjna

Dr hab. prof. UE Wojciech Rybicki
Zadania z analizy matematycznej dla studentów I roku Wydziału ZI
Lista 7
1.Obliczyć wartość kapitału początkowego k0 = 1000 zł podlegającego oprocentowaniu p = 6% w skali
rocznej,jeśli oprocentowanie odbywa się w sposób ciągły, tzn. w jednostce czasu (rok) zbiór jednakowo
odległych punktów, w których oblicza się wartości (rosnące) kapitału „zagęszcza się w nieskończoność”:
– po 1 roku,
– po 3 latach,
– podać wzór ogólny dla k0, p, t lat (uzasadnić).
2.
a) Pokazać, Ŝe suma ciągów rosnących jest ciągiem rosnącym
b) Pokazać, Ŝe suma ciągów ograniczonych jest ciągiem ograniczonym
c) Niech ∀n ∈ N an > 0 . JeŜeli (an) jest ciągiem rosnącym to
( ) jest
1
an
ciągiem
malejącym (pokazać).
Korzystającz twierdzenia o 3 ciągach pokazać, Ŝe jeśli lim an = g, lim bn = h,
3.
n
n
to lim (anbn)= gh.
n
4.
Pokazać, Ŝe
a) KaŜda liczba wymierna jest granicą ciągu liczb wymiernych.
b) KaŜda liczba wymierna jest granicą ciągu liczb niewymiernych.
c)KaŜda liczba niewymierna jest granicą ciągu liczb wymiernych
5. Wyrazić wzór na stałą ratę przy spłacie kapitału K w n rocznych ratach (płatnych pod
koniec kaŜdego roku) w „języku” stopy procentowej (p% – stałej ).
6.Znaleźć granicę ciągu określonego zaleŜnościami
a1 = c ; an+1= c + an ; c > 0 (tzw. definicja indukcyjna, albo rekurencyjna).
7. Obliczyć sześć granic ciągów typu:
a) an = (1 + αn )βn,
γn
 k + αn 

b) bn = 
k + β 
n 

c) Pokazać wprost (korzystając jedynie z faktu, Ŝe lim (1 + 1n )n = e), lim (1 – 1n )n = e–1.
n
n
d) Obliczyć granice lim ( 21−+nn )n .
n
∞
8.Pokazać, Ŝe jeśli szereg liczby
∑a
n =1
n
jest zbieŜny, to lim an = 0, oraz lim r = 0
n
9. Wykazać równowaŜność dwóch definicji podzbioru ograniczonego w przestrzeni metrycznej
podanych na wykładzie