Wykład III STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Wykład III STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Wykład III
STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
IV.1 Wprowadzenie.
Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodek porowaty pozwala na sformułowanie równań
opisujących proces filtracji wody lub innej cieczy przez ośrodek gruntowy lub skalny i jest domeną
kilku działów nauki, w tym hydrogeologii inżynierskiej, mechaniki gruntów i skał, hydrauliki. Generalnie
można podzielić rodzaje modeli opisujących procesy związane z przepływem cieczy lub gazu przez
ośrodek porowaty zakładające, ze rozważany przez nas ośrodek jest jednorodny, na trzy podstawowe
grupy:
modele opisujące przepływ cieczy przez ośrodek porowaty zakładające ściśliwość fazy
ciekłej i stałej ośrodka porowatego, ale nieuwzględniające odkształceń postaciowych fazy.
Do grupy tej zalicza się również model, w którym zakłada się brak jakichkolwiek
odkształceń cieczy i szkieletu ośrodka. Równania opisujące takie zjawisko określać
będziemy nazwą model hydrodynamiki wód podziemnych,
modele zakładające, że ciało porowate, przez które odbywa się przepływ cieczy jest
ciałem Hoocke’a lub ciałem lepko-sprężystym opisanym równaniem Boltzmana i podlega
zarówno odkształceniom objętościowym, jak i postaciowym. W literaturze określa się tego
typu równania procesu modelami konsolidacji ośrodka porowatego,
grupę modeli zakładającą możliwość utraty stateczności ośrodka porowatego w
przypadku, gdy przez jego pory odbywa się przepływ filtracyjny. Rozróżnia się dwa
rodzaje odmiennego traktowania tego problemu. W pierwszym rozważa się stan graniczny
ośrodka porowatego, przez który odbywa się przepływ wód podziemnych, w drugim
definiuje się kryteria upłynnienia ośrodka porowatego i utratę stateczności filtracyjnej. Ta
grupę modeli będziemy określać mianem modeli stanu granicznego ośrodka
porowatego. Do grupy tejzaliczać będziemy również modele określające zniszczenie
materiału skalnego na skutek dzialania ciśnienia przepływającego przez materiał skalny
płynu.
Rozważane modele obarczone są często wieloma założeniami upraszczającymi. Rozważany
proces jest traktowany często jako izotermiczny; pomijamy wpływy takich zjawisk, jak sorpcja lub
desorpcja płynu przez fazę stałą ośrodka czy też wpływ działania pola elektrycznego i
magnetycznego.
Wszystkie stosowane modele stosują podstawowe pojęcia z zakresu mechaniki ośrodków
odkształcalnych. Dlatego dla jasności wywodu konieczne jest przypomnienie znanych pojęć i
oznaczeń z mechaniki ośrodków ciągłych, a w szczególności dotyczących stanu naprężania,
przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia, odkształcenia i prędkości odkształcenia. Zakładamy
jednakże, że czytelnik zna wiele pojęć elementarnych z mechaniki ciała stałego i płynów jak siła, pęd
ciała, popęd, energia, praca, choć znaczenie tych pojęć w fizyce jest do dzisiaj tematem rozpraw
naukowych, choćby w zakresie zrozumienia, czym tak naprawdę jest masa ciała, która wydaje się
czymś najbardziej dotykalnym i postrzegalnym w otaczającym nas świecie (patrz [Feynman, 1974]).
IV.1.1. Stan naprężenia.
Stan naprężenia w dowolnym punkcie rozpatrywanej objętości ośrodka może być określony przez
dziewięć składowych stanu naprężenia, co według zapisu wskaźnikowego można wyrazić w postaci
tensora stanu naprężenia:
σ 11 σ 21 σ 31
σ 21 σ 22 σ 23
σ 31 σ 32 σ 33
,
(4.1)
przy czym przyjmiemy znaną w mechanice umowę, że
σ ii
jest dodatnie, jeżeli mamy do czynienia z
rozciąganiem, ujemne ze ściskaniem rys.4.1.
Rys. 4.1. Składowe stanu naprężenia na ścianach elementarnego graniastosłupa.
W szczególnych przypadkach będziemy stosować zapis klasyczny dla tensora naprężenia,
którym naprężenia normalne będziemy wyrażać przy pomocy oznaczenia σ , a naprężenia styczne
przy pomocy oznaczenia τ , według zasady:
σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ x
i
σ 12 = τ xy , σ 13 = τ xz , σ 21 = τ yx , σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx , σ 32 = τ zy .
(4.2)
W każdym punkcie ośrodka możemy znaleźć trzy płaszczyzny ośrodka, na których działają
tylko narężenia normalne do tych płaszczyzn, ponieważ naprężenia styczne przyjmują na nich
wartości zerowe. Płaszczyzny te nazywamy płaszczyznami głównymi, a działające na nich naprężenia
oznaczane σ 1 ,σ 2 ,σ 3 naprężeniami głównymi. W celu znalezienia naprężeń głównych rozpatrzmy
równowagę elementarnego czworościanu pokazanego na rys.4.2, którego trzy ściany tworzą
płaszczyzny zawierające osie współrzędnych, a czwarta płaszczyzna A nachylona jest do układu
współrzędnych, a jej nachylenie określa kierunek wersor n do niej prostopadłego.
Rys. 4.2. Naprężenia na ściance A elementarnego czworościanu.
Oznaczmy przez ai cosinusy kierunkowe normalnej do powierzchni A. Jeżeli przez p
oznaczymy wypadkowe naprężenie działające na ścianę A, można rozłożyć go na trzy składowe pj z
warunków równowagi czworościanu:
p j = σ ij ai .
i styczną do powierzchni A
pt
pn
Naprężenie p można rozłożyć na składową normalną
(4.3)
:
pn = p j a j
(4.4)
pt2 = p 2 − pn2 .
(4.5)
i
Na płaszczyźnie, na której działa naprężenie główne σ , wypadkowe naprężenie p musi być
skierowane wzdłuż normalnej n do tej powierzchni, ponieważ wówczas naprężenie styczne równa się
zeru. Daje to związki na składowe naprężenia p:
p j = a jσ ,
(4.6)
ai
po podstawieniu tych związków do równań (4.3) utrzymujemy układ trzech równań liniowych, gdzie
niewiadomymi są kosinusy kierunkowe
:
σ ij ai − σ a j = 0 .
(4.7)
Układ ten będzie miał niezerowe rozwiązanie, gdy wyznacznik utworzony ze współczynników
przy niewiadomych cosinusach kierunkowych kątów nachylenia do osi, wersora n równa się zeru:
σ 11 − σ
σ 12
σ 13
σ 21
σ 22 − σ
σ 23 = 0 .
σ 31
σ 32
σ 33 − σ
(4.8)
Wyznacznik ten sprowadza się do równania trzeciego stopnia względem poszukiwanego
naprężenia głównego:
σ 3 − I1σ 2 + I 2σ + I 3 = 0 ,
(4.9)
gdzie współczynniki I 1 , I 2 , I 3 są niezmiennikami tensora naprężenia, gdyż nie zależą od obrotu
układu odniesienia i równają się:
I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 ,
(4.10)
2
I 2 = σ 11σ 22 + σ 22σ 33 + σ 33σ 11 − σ 122 − σ 23
− σ 312
σ 11 σ 12 σ 13
I 3 = σ 21 σ 22 σ 23
σ 31 σ 32 σ 33
.
,
(4.11)
(4.12)
Jeżeli przyjmiemy, że osie współrzędnych pokrywają się z kierunkami głównymi w
rozpatrywanym punkcie to niezmienniki można wyrazić za pomocą naprężeń głównych σ 1 , σ 2 , σ 3 :
Wielkość równą
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 ,
(4.13)
I 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 σ 31 ,
(4.14)
I 3 = σ 1σ 2σ 3 .
(4.15)
I1 / 3 nazywać będziemy naprężeniem średnim σ m , więc:
σm =
1
1
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = σ kk .
3
3
(4.16)
Tensor kulisty i dewiator stanu naprężenia.
W niektórych zagadnieniach istotne jest rozłożenie tensora naprężenia
σ ij
na dwa tensory:
tensor kulisty stanu naprężenia określający stan wszechstronnego ściskania lub rozciągania
naprężeniem σ m :
σm
0
0
0
0
σm
0
0
σm
(4.17)
oraz dewiator stanu naprężenia:
σ 11 − σ m
σ 12
σ 13
σ 21
σ 22 − σ m
σ 23
σ 31
σ 32
σ 33 − σ m
,
(4.18)
albo inaczej wyrażony przy pomocy składowych dewiatora sij :
s11
s12
s13
sij = s21
s31
s22
s32
s23 .
s33
(4.19)
W zapisie wskaźnikowym dewiator stanu naprężenia sij wyraża się poprzez tensor naprężania
sij = σ ij − σ mδ ij .
σ ij :
(4.20)
Kierunki główne dewiatora pokrywają się z kierunkami głównymi tensora naprężenia. Dewiator jest
tensorem, a jego niezmienniki zapisane w naprężeniach głównych wyrażają się wzorami:
I1' = 0,
1
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )  ,
(

6
'
I 3 = (σ 1 − σ m )(σ 2 − σ m )(σ 3 − σ m ) .
I 2' =
(4.21)
Rozpatrzmy czworościan, którego trzy ściany tworzą płaszczyzny główne z działającymi na
nich naprężeniami σ 1 , σ 2 , σ 3 , a czwartą stanowi dowolnie nachylona płaszczyzna o normalnej n co
przedstawia rys 4.3.
Rys. 4.3. Naprężenia na dowolnie pochylonej ściance względem kierunków głównych 1,2,3.
Jej orientację w przestrzeni określają cosinusy kierunkowe normalnej do tej powierzchni.
Oznaczając przez p1, p2, p3 składowe naprężenia wypadkowego działające na tę powierzchnię,
dostajemy:
p1 = a1σ 1 , p2 = a2σ 2 , p3 = a3σ 3 .
(4.22)
Rzutując te składowe na kierunek normalny do płaszczyzny n, dostaniemy wielkość naprężenia
prostopadłego do tej powierzchni pn :
pn = σ 1a12 + σ 2 a22 + σ 3 a32 .
(4.23)
Składową styczną do powierzchni obliczamy wzorem:
pt2 = p 2 − pn2 .
(4.24)
Stan naprężenia na dowolnie nachylonych względem osi głównych w płaszczyznach może
być znaleziony za pomocą wykreślnego odwzorowania Mohra- rys. 4.4. Wykorzystując konstrukcje
koła Mohra, można bez trudu znaleźć naprężenia na płaszczyznach równoległych do jednego z
kierunków głównych, a dowolnie zorientowanych względem dwóch pozostałych. Rozpatrzmy dla
przykładu stan naprężenia na płaszczyźnie równoległej do osi 3 i nachylonej pod kątem α do osi
głównej 1.
Rys. 4.4. Sposób określania naprężeń normalnych i stycznych na wybranej powierzchni przy
wykorzystaniu konstrukcji koła Mohra.
Na podstawie wzoru (4.23)dostaniemy:
pn =
σ1 + σ 2
2
+
σ1 − σ 2
2
cos 2α
(4.25)
oraz
pt =
σ1 − σ 2
2
sin 2α .
(4.26)
W przypadku, gdy pory ośrodka gruntowego wypełnia ciecz, tensor naprężenia zawiera
zarówno efekty działania szkieletu jak i cieczy. Możemy, więc zapisać wzór na naprężenia w postaci:
pi = pis + pil
przy czym
(4.27)
pis jest składową wektora naprężenia przenoszoną przez szkielet, a pil składową
przenoszoną przez ciecz lub gaz. W przypadku, gdy zakładamy, że ciecz jest cieczą idealną, kierunki
działania pokrywają się z kierunkiem normalnym do powierzchni n. Przyjmując powyższe złożenia
możemy zapisać:
σ ij = σ ijs + σ lδ ij
Składowe tensora naprężenia
σ ijs
(4.28)
są współrzędnymi stanu naprężenia przenoszonymi przez
szkielet, ale odniesionymi do jednostki powierzchni całkowitej. Dlatego określa się je mianem
naprężenia rozmytego, o czym szczegółowo będzie mowa w rozdziale VI.3. Naprężenia te nazywane
są również w teorii stanów granicznych naprężeniami efektywnymi i oznaczane są w literaturze
(patrz[Kisiel i inni, 1982]) oznaczeniem
Składowe
σ l δ ij
σ ijef
.
są współrzędnymi stanu naprężenia przenoszonymi przez ciecz i są
normalne do każdej powierzchni. Naprężenie
σ l jest
obliczane również na jednostkę powierzchni
całkowitej. Jest, więc również naprężeniem rozmytym. Ponieważ, ciecz zajmuje tylko część
powierzchni przekroju, naprężenie
σl
jest mniejsze od ciśnienia w cieczy p i wiąże się z nim wzorem:
f
σ l = − pf
,
(4.29)
gdzie oznacza porowatość (choć faktycznie powinna być przez nas wprowadzona tutaj porowatość
powierzchniowa). Uproszczenie powyższe wprowadza się ze względu na istotną trudność
wyznaczania porowatości powierzchniowej ośrodka porowatego oraz z faktu, że średnia wartość
porowatości powierzchniowej powierzchni ograniczającej objętość Ω jest równa porowatości
objętościowej. Znak minus został przyjęty dlatego, żeby uzyskać zgodność znaków ze znakami
naprężenia w szkielecie. Naprężenie σ nazywane jest w mechanice gruntów i skał ciśnieniem
porowym lub mianem naprężenia neutralnego.
l
IV.1.2. Przemieszczenia, stan odkształcenia i prędkości odkształcenia.
W mechanice posługujemy się często uproszczonym modelem ciała nazywanego kontinuum
materialnego. W strukturze takiej pomijamy budowę cząsteczkową ciała, z jaką mamy do czynienia w
każdym znanym nam materiale opisywanym przy pomocy modelu dyskretnego. Z uproszczeniem tym
spotykamy się w mechanice ośrodków ciągłych, choć wprowadzone definicje przemieszczenia,
odkształcenia i prędkości można w pewnym zakresie przyjąć w modelach mechaniki gruntów, gdzie
zdecydowanie nie mamy do czynienia z ośrodkiem ciągłym.
Będziemy zajmować się odkształcalnym ośrodkiem ciągłym określanym pojęciem ciała
odkształcalnego. Konfiguracją kontinuum materialnego nazywamy regularne i wzajemne
jednoznaczne odwzorowanie cząstek materialnych w punkty P pewnego obszaru C trójwymiarowej
przestrzeni euklidesowej wg [Derski, 1975]. Punkt P przestrzeni euklidesowej jest miejscem, w którym
znajduje się cząstka w chwili czasu t.
Wprowadźmy pojęcie konfiguracji początkowej rozpatrywanego kontinuum materialnego. Otóż
przez taka konfigurację uważamy położenie punktów P0 obszaru C0 trójwymiarowej przestrzeni
euklidesowej w chwili t=t0. Do opisu ruchu względem konfiguracji początkowej wprowadzamy
współrzędne kartezjańskie względem ustalonego układu współrzędnych (rys.4.5)
Rys. 4.5.Ruch punktu kontinuum materialnego względem konfiguracji początkowej.
(x
1
Oznaczmy
współrzędne
kartezjańskie
punktów
P0 ∈ C 0
konfiguracji
początkowej
, x 2 , x 3 ) . Współrzędne kartezjańskie punktów P ∈ C w dowolnej chwili t oznaczmy natomiast
przez
(ξ
1
, ξ 2 , ξ 3 ). Opis ruchu względem konfiguracji początkowej można wówczas zapisać w sposób
następujący:
ξi = f ( x1 , x2 , x3 , t ) , xi = fi −1 (ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t )
(4.30)
Wzajemne związki odwrotne pomiędzy współrzędnymi wymagają odpowiedniej regularności
funkcji. Funkcje te musza być funkcjami ciągłymi wraz z pierwszymi pochodnymi, tzn. muszą być klasy
C 1 , a powyższe przekształcenia są nieosobliwe. Aby postulat ten był spełniony, Jakobian
przekształcenia powinien być różny od zera, więc:
D=
∂ξ i
≠0 .
∂x j
(4.31)
Wprowadzając wektor wodzący r punktu P (rys. 4.5) można zapisać:
r = ξi ei , ξi = fi ( x1 , x2 , x3 , t ) , x j = f j ( x1 , x2 , x3 , t0 ) ,
(4.32)
gdzie ei są wersorami kartezjańskiego układu współrzędnych na rys 4.5
Rozpatrzmy kontinuum materialne w chwili t=0 zajmujące obszar Ω . Położenie
poszczególnych punktów tego kontinuum określa wektor wodzący r = r (xi ) w kartezjańskim układzie
współrzędnych
xi . Wskutek działań zewnętrznych (np. przyłożone do ciała obciążenie, parcie cieczy,
przyłożony gradient temperatury) nastąpi odkształcenie ciała i nasze kontinuum w chwili czasu t
Ω ' . Punkt P obszaru Ω na skutek ruchu przemieści się do punktu P ' obszaru
Ω ' . Położenie punktu P ' w tym samym układzie współrzędnych opisuje wektor wodzący r ' = r ' (ξ i )
zajmie nowe położenie
.
Wektor przemieszczenia u
= u (u i ) który można zapisać:
u = r ' − r = PP ' .
(4.33)
Korzystając ze współrzędnych wektora przemieszczenia związek wektorowy przyjmuje
skalarną:
ui = ξi − xi .
postać
(4.34)
Z powyższych związków (4.32)i (4.33) dostajemy:
ξ i = xi + ui ( x j , t ) .
(4.35)
Powyższy zapis wprowadził Lagrange wg. [Derski, 1975]. W opisie tym posługujemy się
współrzędnymi x i jako zmiennymi niezależnymi. Obok opisu Lagrange’a istnieje druga możliwość,
kiedy jako zmienne niezależne traktuje się współrzędne
ξi .
Jest to opis Eulera wyrażający się
związkami:
xi = ξ i − ui ( x j , t ) .
(4.36)
W wyniku przyjęcia jednego z wyżej wymienionych opisów uzyskujemy różne równania
opisujących ruch, ponieważ inaczej będziemy określać pochodną funkcji F po czasie. W przypadku,
gdy mamy do czynienia z opisem Lagrange’a funkcja F = F ( xi , t ) . Współrzędne xi są wielkościami
stałymi względem położenia początkowego, więc pochodna po czasie funkcji F wynosi:
dF ∂F
.
=
dt
∂t
(4.37)
t
(ξ , ) . Ponieważ
i
zgodnie ze wzorami (4.34) ξ i zależy od współrzędnych
=
F
F
Inaczej ma się sprawa w przypadku opisu Eulera. Wówczas funkcja
xi i czasu t, więc pochodna po czasie t funkcji
F jest pochodną materialną równą:
(4.38)
t
F
∂ / ∂ nazywamy pochodną lokalną, natomiast drugi człon pochodnej
( ∂ / ∂ξ ) * ( ∂ξ / ∂ ) nazywać będziemy pochodną konwekcyjną funkcji F.
Pochodną cząstkową
i
i
materialnej
.
t
F
dF ∂F ∂F ∂ξi
=
+
dt
∂t ∂ξ i ∂t
Wprowadzając oznaczenia:
∂ξ i ɺ
∂F
= ξ i = vi ,
= F,i ,
∂t
∂ξ i
(4.39)
pochodną materialną funkcji F można zapisać w postaci:
dF ∂F
=
+ vi F,i .
dt
∂t
(4.40)
Gdy współrzędne punktu ośrodka w chwili t wyrażone są przy pomocy jego położenia w chwili
początkowej (opis Lagrange’a) tzn.
ξi = ξ i ( x j , t )
to jego prędkość wyraża się wzorem:
vi =
∂u i
,
∂t
(4.41)
ai =
∂vi
.
∂t
(4.42)
a przyspieszenie
W przypadku opisu Eulera wykorzystując związek (4.40)prędkość punktu wyraża się wzorem:
vi =
dui ∂ui
=
+ v j ui , j
dt
∂t
(4.43)
ai =
∂vi
+ v j vi , j .
∂t
(4.44)
i przyspieszenie:
Tensor odkształcenia.
W przypadku gdy mamy do czynienia z ośrodkiem odkształcalnym, wzajemne odległości
pomiędzy punktami ulegają zmianie w czasie i przestrzeni. Rozważmy dwa punkty znajdujące się w
nieskończenie małej odległości względem siebie. W chwili początkowej t 0 punkty te miały
+ dxi . Po upływie czasu t współrzędne tych punktów będą wynosić odpowiednio:
ξ i i ξ i + dξ i . Obliczmy kwadrat odległości pomiędzy tymi punktami w chwili początkowej t 0 :
współrzędne xi i xi
ds02 = dxi dxi
.
(4.45)
Kwadrat odległości punktów po upływie czasu t wynosi natomiast:
ds 2 = d ξ i d ξ i .
(4.46)
Gdy ciało jest nieodkształcalne
ds = ds 0 . W przeciwnym przypadku odległości pomiędzy
punktami, a więc i ich kwadraty są różne i ds ≠ ds 0 . Wzajemną relację pomiędzy współrzędnymi w
2
2
chwili t i t 0 określa zgodnie ze wzorem(4.34) relacja:
ui = ξi − xi .
2
Wyznaczmy różnicę kwadratów ds i
(4.47)
2
ds 0 :
 ∂ξ ∂ξ

ds 2 − ds02 =  p p − δ ij  dxi dx j
 ∂xi ∂x j

.
(4.48)
 ∂

∂
ds 2 − ds02 =  ( x p + u p )
x p + u p ) − δ ij  dxi dx j ,
(
∂x j
 ∂xi

(4.49)
Podstawiając związek (4.47), do powyższej zależności dostajemy:
gdzie
δ ij
oznacza deltę Kroneckera.
Po przekształceniach uzyskujemy:
 ∂u ∂u ∂u ∂u 
ds 2 − ds02 =  i + j + p p  dxi dx j .
 ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j 
(4.50)
Green i Saint –Vennant wprowadzili pojęcie tensora odkształcenia ε ij stosując zapis:
ds 2 − ds02 = 2ε ij dxi dx j ,
gdzie tensor
ε ij
(4.51)
nosi często w literaturze nazwę tensora odkształcenia Greena i wyraża się zgodnie
z zależnością (4.50) wzorem:
1  ∂ui ∂u j ∂u p ∂u p
+
+
2  ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j
ε ij = 

Tensor odkształcenia Greena

 .

(4.52)
ε ij w przypadku, gdy przemieszczenia i ich przyrosty przemieszczeń
są bardzo małe można uprościć do postaci liniowej:
1  ∂ui ∂u j 
+

2  ∂x j ∂xi 
ε ij ≅ 

(4.53)
gdyż iloczyny pochodnych przemieszczenia są znacznie mniejszego rzędu niż ich wartości.
Ponieważ tensor ε ij został określony w układzie odniesienia Lagrange’a, więc jego
pochodna po czasie jest równa pochodnej cząstkowej:
d ε ij
dt
=
∂ε ij
∂t
(4.54)
W układzie odniesienia Eulera tensor odkształcenia został wprowadzony przez Almansiego,
zdefiniowany w sposób następujący:
ds 2 − ds02 = 2ηij dxi dx j ,
(4.55)
przy czym,tensor odkształcenia Almansiego wyraża się wzorem:
1  ∂ui ∂u j ∂u p ∂u p
+
−
2  ∂ξ j ∂ξ i ∂ξi ∂ξ j
ηij = 

Dla małych pochodnych
przedstawiony w postaci:
przemieszczenia
tensor
1  ∂ui ∂u j
+
2  ∂ξ j ∂ξ i
ηij ≅ 

Liniowa postać tensora odkształcenia
η ij

 .

odkształcenia

 .

(4.56)
został
przez
Cauchy’ego
(4.57)
nosi nazwę tensora odkształcenia Cauchy’ego. Pochodna
po czasie tensora odkształcenia w układzie odniesienia Eulera jest pochodną masową i wyraża się
wzorem:
dηij
dt
=
∂ηij
∂t
+ ηij ,k vk .
(4.58)
Często kiedy idzie się jeszcze dalej z uproszczeniami, dla bardzo małych przemieszczeń zapisuje się
związek:
ε ij ≅ ηij
(4.59)
i w przypadku pochodnej po czasie tensora Cauchy’ego pomija się człon konwekcyjny i zapisuję się:
dηij
dt
≅
∂ηij
∂t
.
(4.60)
W klasycznej teorii sprężystości ciała stałego stosuje się praktycznie tylko opis Lagrenge’a w
teorii małych odkształceń.
Tensor obrotów.
Obok tensora odkształcenia istotnym jest tensor obrotów zdefiniowany dla małych
przemieszczeń wzorem:
ωij =
1
( ui, j − u j ,i ) .
2
(4.61)
Widzimy więc, że tensor obrotów i tensor odkształcenia stanowią dekompozycję tensora u i , j
na część skośnie symetryczną i część symetryczną:
ui , j = ( ε ij + ωij ) .
(4.62)
Aby wyjaśnić sens geometryczny tych wielkości wybierzmy w rozważanym ośrodku dwa bardzo blisko
0
położone punkty P i P . Połączmy te dwa punkty wektorem
S , którego początkiem jest punkt P 0 ,
a końcem punkt P (rys. 4.6). Po odkształceniu ciała punkt P przechodzi w położenie
w położenie
punkt
P1 , a punkt P 0
P10 . Łącząc odpowiednio punkty P1 i P10 dostajemy wektor S1 , którego początkiem jest
P10 . Z rys.4.6 widać, że wystąpił po odkształceniu przyrost wektora S równy dS . Współrzędne
przyrostu wektora
dS można wyrazić wzorem:
dSi = ui ( x 0j + S j ) − ui ( x 0j ) .
(4.63)
Rys. 4.6. Schemat obrazujący odkształcenie ciała.
Dokonując rozwinięcia współrzędnych przyrostu wektora w szereg Taylora w otoczeniu punktu
0
P i przy założeniu, że otoczenie to jest wystarczająco małe, co umożliwia pominięcie wyższych
potęg rozwinięcia Taylora, możemy z dokładnością do pierwszych pochodnych współrzędnych
przemieszczenia u napisać:
dSi ≅ ui , j Si .
(4.64)
Uwzględniając wzór (4.63) możemy powyższy związek zapisać w formie:
dSi = ( ε ij + ωij ) Si .
PP 0 liczone na jednostkę na jednostkę jego długości:
Określmy wydłużenie (lub skrócenie) odcinka
ε=
Obliczmy iloczyn skalarny wektorów
(4.65)
dS
.
(4.66)
S
S i dS :
S ⋅ dS = S dS cos α = Si dSi .
ograniczając nasze rozważania do małych odkształceń ciał można przyjąć, że kąt
cosα ≅ 1 . Korzystając z równania (4.65)i (4.67)można zapisać:
S ⋅ dS = S dS = ( ε ij + ωij ) Si S j .
(4.67)
α jest bardzo mały i
(4.68)
Sj
Si
ω
≅ 0 , a więc:
j
i
Można jednakże wykazać że:
ε=
dS
= ε ij
S
Si S j
S
2
.
S z osiami współrzędnych xi :
Wprowadzając cosinusy katów, jakie tworzy wektor
ni =
Si
(4.69)
,
(4.70)
S
wydłużenie względne można zapisać w postaci:
ε = ε ij ni n j .
(4.71)
z czego wynika, ze wydłużenie lub skrócenie względne w dowolnym kierunku jest w każdym punkcie
ośrodka określone przez 6 składowych tensora stanu odkształcenia.
Odkształcenie i kierunki główne tensora odkształcenia.
Korzystając z własności symetrycznego tensora odkształcenia, można przewidzieć, że w
każdym punkcie obszaru posiada on wartości główne i towarzyszące im kierunki główne
odkształcenia. Rozpatrzmy dwa punkty ośrodka położone względem siebie bardzo blisko, ale wybrane
S nie zmienił w trakcie odkształcenia ciała swojego kierunku.
Wówczas wektor S i jego przyrost dS będą posiadały ten sam kierunek, a ich współrzędne będą
wzajemnie proporcjonalne, co można wyrazić wzorem na współrzędne wektorów S i dS :
w taki sposób, że łączący je wektor
dSi = ε Si .
Jak wiadomo,
ε
(4.72)
jest miarą wydłużenia każdej współrzędnej wektora
również wydłużenia (lub skrócenia) całego wektora
ε=
dS
S , a wobec tego jest miarą
S , co możemy zapisać związkiem:
.
(4.73)
S
Sj
j
i
Taki związek może występować tylko w przypadku, gdy wektor S nie doznaje obrotu w
trakcie odkształcenia, więc ω
= 0 . Na podstawie tych stwierdzeń możemy zapisać:
dSi = ε Si = ε ij S j .
(4.74)
Powyższy związek prowadzi do równania:
(ε
ij
− εδ ij ) A j = 0 .
(4.75)
Jeżeli podzielimy obie strony równania (4.75)przez długość wektora
współrzędnych wektora możemy wprowadzić wersor n o współrzędnych
ni :
S , to w miejsce
(ε
ij
− εδ ij ) n j = 0 .
(4.76)
Powyższy układ równań wraz ze związkiem:
ni ni = 1
(4.77)
określa jednoznacznie wersor n i odpowiadające jego kierunkowi odkształcenie ε .
Układ równań(4.76) jest układem trzech równań algebraicznych jednorodnych pierwszego
stopnia. Układ ten ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik
charakterystyczny równa się zeru:
ε ij − εδ ij = 0 .
(4.78)
Obliczając wyznacznik (4.78), uzyskujemy równanie trzeciego stopnia względem
ε 3 − J1 (ε ij )ε 2 + J 2 ( ε ij ) ε − J 3 ( ε ij ) = 0
gdzie
ε:
(4.79)
J 1 , J 2 , J 3 są parametrami równania (4.79) i nie zależą od układu odniesienia. Są, więc
niezmiennikami stanu odkształcenia wyrażonymi związkami:
J1 = ε ii , J 2 =
∂ ε ij
∂ε kk
, J 3 = ε ij .
(4.80)
Równanie(4.79)posiada zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste nazywane wartościami głównymi
tensora odkształcenia ε ij . Zazwyczaj porządkujemy je według malejących wartości:
ε1 ≥ ε 2 ≥ ε 3 .
Aby określić kierunki odkształceń głównych wystarczy rozwiązać układ równań (4.76).Kierunki
te uzyskamy za pomocą wersora n . Można wykazać, że są one wzajemnie prostopadłe.
Jeżeli w badanym punkcie przyjmiemy układ odniesienia, którego współrzędne pokrywają się z
kierunkami głównymi stanu odkształcenia, to stan odkształcenia w tym punkcie opisują trzy
odkształcenia główne ε 1 , ε 2 , ε 3 . Niezmienniki stanu odkształcenia wyrażą się wówczas tylko przy
pomocy odkształceń głównych i mają postać:
J1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 ,
J 2 = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1 ,
(4.81)
J 3 = ε1ε 2ε 3 .
Tensor odkształcenia podobnie jak tensor naprężenia można rozłożyć na dwie części; część
kulistą stanu odkształcenia i dewiatorową. Tensor kulisty stanu odkształcenia wyraża się wzorem:
1
3
1
3
ε ijk = ε kk δ ij = ε śrδ ij = J1δ ij
.
(4.82)
Tensor kulisty odpowiada równomiernemu rozszerzeniu lub ściśnięciu ośrodka w otoczeniu
określonego punktu ośrodka. Pozostała część tensora stanu odkształcenia określana jest różnicą:
ε ijd = ε ij − ε ijk ,
(4.83)
co prowadzi do następującej definicji dewiatora stanu odkształcenia:
eij = ε ijd = ε ij − ε śrδ ij .
(4.84)
Zachodzi pytanie, czy składowe stanu odkształcenia mogą być funkcjami przyjmowanymi
całkowicie dowolnie.
Wystarczy wyobrazić sobie podział obszaru w stanie naturalnym (przed odkształceniem) na
prostopadłościany wzajemnie do siebie przylegające. Gdyby nie było dodatkowych warunków i każdy
z tych prostopadłościanów uległby odkształceniu według przyjętych funkcji składowych odkształcenia
to ponowne złożenie odkształconych elementów mogłoby okazać się niemożliwe. Wynika z tego
wniosek, ze odkształcenia muszą spełniać określone warunki, które noszą nazwę warunków ciągłości
odkształceń. Jeżeli ośrodek zajmuje obszar jednospójny i chcemy wyznaczyć składowe stanu
przemieszczenia u i , gdy dane są składowe stanu odkształcenia ε ij , to zadanie to jest rozwiązalne
jednoznacznie wtedy i tylko wtedy, gdy składowe stanu odkształcenia spełniają związki:
eijk elmnε jm ,nk = 0 .
(4.85)
które nazywamy warunkami nierozdzielności odkształceń. Przez eijk oznaczamy symbol LeviegoCivity. W formie przedstawionejrównaniami (4.85) wyprowadził je Somigliana. Wcześniej uzyskał je
Saint-Venant w 1860 r.. Warunki nierozdzielności można przedstawić w postaci rozwiniętej:
ε11,22 + ε 22,11 = 2ε12,12 ,
ε 22,33 + ε 33,22 = 2ε 23,23 ,
ε 33,11 + ε11,33 = 2ε13,13 ,
(ε
(ε
(ε
12,3
+ ε 31,2 − ε 23,1 ),1 = ε11,23 ,
23,1
+ ε12,3 − ε 31,2 ),1 = ε 22,31 ,
31,2
(4.86)
+ ε 23,1 − ε12,3 ),1 = ε 33,12 .
Powyższe równania i związki będą przez nas często wykorzystywane do tworzenia modeli ośrodka
porowatego traktowanego jako ośrodek jednorodny.