wdlitm-ćw-2 - handouts

Elementy klasycznego rachunku zdań
Elementy klasycznego rachunku zdań
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Oznaczenia
Wstęp do logiki i teorii mnogości
df
∃x α ⇐⇒ ”istnieje x takie, że α”
df
∀x α ⇐⇒ ”dla każdego x prawdziwe jest α”
dr Artur Woike
Ćwiczenia
df
∃x (x ∈ A ∧ α) ⇐⇒ ∃x∈A α
Elementy klasycznego rachunku kwantyfikatorów
dr Artur Woike
Elementy klasycznego rachunku zdań
df
∀x (x ∈ A ⇒ α) ⇐⇒ ∀x∈A α
Wstęp do logiki i teorii mnogości
dr Artur Woike
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Skróty
Elementy klasycznego rachunku zdań
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Tautologie - zadania
Zbadać, czy następujące formuły zdaniowe są tautologiami klasycznego rachunku kwantyfikatorów:
df
∃!x α ⇐⇒ (∃x α) ∧ [∀x ∀y ((α(x) ∧ α(y )) ⇒ x = y )]
df
df
∀∞
x∈N α ⇐⇒ ∃m∈N ∀x∈N [x ­ m ⇒ α(x)] ⇐⇒
df
⇐⇒ ”dla prawie wszystkich x prawdziwe jest α”
df
df
∃∞
x∈N α ⇐⇒ ∀m∈N ∃x∈N [x ­ m ∧ α(x)] ⇐⇒
df
⇐⇒ ”istnieje nieskończenie wiele x takich, że α”
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
∀x (α ∧ β) ⇔ (∀x α) ∧ (∀x β)
¬ (∀x α) ⇔ ∃x (¬α)
¬ (∃x α) ⇔ ∀x (¬α)
∞
¬ ∃∞
x∈N α ⇔ ∀x∈N (¬α)
∃x (α ∨ β) ⇔ (∃x α) ∨ (∃x β)
∃x ∀y α(x, y ) ⇒ ∀y ∃x α(x, y )
∀x ∀y α(x, y ) ⇔ ∀y ∀x α(x, y )
∃x ∃y α(x, y ) ⇔ ∃y ∃x α(x, y )
∞
∀∞
x∈N α ⇒ ∃x∈N α
∞
¬ ∃∞
x∈N α ⇔ ∀x∈N (¬α)
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Elementy klasycznego rachunku zdań
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
Niech x = y , x < y , x ¬ y będą funkcjami zdaniowymi określonymi dla liczb naturalnych. Za ich pomocą, korzystając ze znanych
operacji arytmetycznych (np. takich jak +, ·), symboli dla liczb
naturalnych oraz spójników zdaniowych i kwantyfikatorów zapisać
następujące funkcje zdaniowe:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
x
x
x
x
x
x
x
x
jest liczbą parzystą;
jest sumą kwadratów dwu liczb pierwszych;
jest liczbą pierwszą;
nie jest liczbą pierwszą;
jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb y i z;
jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb y i z;
jest największym wspólnym dzielnikiem liczb y i z;
przy dzieleniu przez 4 daje wynik 1 lub 2;
dr Artur Woike
Elementy klasycznego rachunku zdań
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
Przyjmijmy teraz, że zmienne w funkcjach zdaniowych x = y , x < y
i x ¬ y przebiegają zbiór liczb rzeczywistych. korzystając z tych funkcji zdaniowych oraz ze znanych operacji matematycznych (np. takich
jak +, ·, | · |, potęgowanie i pierwiastkowanie) zapisać za pomocą
spójników zdaniowych i kwantyfikatorów następujące funkcje zdaniowe:
1) nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest mniejszy od zera;
2) funkcja f zmiennej rzeczywistej x ma dokładnie jedno miejsce
zerowe;
3) pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje
trzecia;
4) nie istnieje największa liczba rzeczywista;
5) x nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej;
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Elementy klasycznego rachunku zdań
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
9) każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 2 daje resztę 0 lub 1;
10) pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza;
11) liczby x i y mają takie same dzielniki;
12) każda liczba nieparzysta większa od 3 rozkłada się na sumę dwu
liczb pierwszych;
13) każde trzy liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność;
14) każde trzy liczby maja największy wspólny dzielnik;
15) nie istnieje największa liczba naturalna;
16) nie istnieje największa liczba pierwsza.
dr Artur Woike
Elementy klasycznego rachunku zdań
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
6) y jest pierwiastkiem stopnia co najwyżej trzeciego z pewnej
liczby rzeczywistej;
7) funkcja f zmiennej rzeczywistej x jest funkcją malejącą.
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Elementy klasycznego rachunku zdań
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
Przy poprzednich oznaczeniach, mając dodatkowo daną funkcję zdaniową n ∈ N, zapisać (wykorzystując spójniki zdaniowe i kwantyfikatory) następujące funkcje zdaniowe:
ciąg {an } jest rosnący;
ciąg {an } przyjmuje wartości dodatnie;
ciąg {an } jest zbieżny;
ciąg {an } jest ograniczony;
ciąg {an } jest od pewnego miejsca stały;
jeśli ciąg {an } jest od pewnego miejsca stały, to jest zbieżny;
jeśli ciąg {an } jest ograniczony, to zawiera podciąg zbieżny
do pewnej liczby rzeczywistej;
8) funkcja f zmiennej rzeczywistej x jest ciągła w punkcie x0 ;
9) jeśli funkcja f zmiennej rzeczywistej x jest ciągła na przedziale
domkniętym ha, bi, to jest ograniczona;
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości
Elementy klasycznego rachunku zdań
Oznaczenia i skróty
Tautologie klasycznego rachunku kwantyfikatorów
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami
Formuły zdaniowe z kwantyfikatorami - zadania
10) funkcja f zmiennej rzeczywistej x jest na przedziale ha, bi jednostajnie ciagła;
11) a jest kresem górnym liczb ze zbioru R;
12) a jest kresem dolnym liczb ze zbioru R;
13) jeśli funkcja f zmiennej rzeczywistej x jest ciągła na przedziale ha, bi, to osiąga na tym przedziale kresy;
14) jeśli funkcje f i g zmiennej rzeczywistej x sa funkcjami ciągłymi, to funkcja f · g zmiennej rzeczywistej x (dana wzorem
∀x∈R (f · g )(x) = f (x) · g (x)) też jest funkcją ciągłą;
15) jeśli funkcje f i g zmiennej rzeczywistej x sa funkcjami jednostajnie ciągłymi, to funkcja f + g zmiennej rzeczywistej x
(dana wzorem ∀x∈R (f + g )(x) = f (x) + g (x)) też jest funkcją
jednostajnie ciągłą.
dr Artur Woike
Wstęp do logiki i teorii mnogości