Mechanika i termodynamika Lista nr 3: Zastosowania zasad

Mechanika i termodynamika
Lista nr 3: Zastosowania zasad dynamiki Newtona
Katarzyna Weron
16 października 2016
1
Trochę teorii do zadań z oporem
Zgodnie z formułą Stokesa siła oporu, jakiej doznaje kula o promieniu r, poruszająca się
z prędkością ~v , w płynie (cieczy lub gazie) o lepkości dynamicznej η wynosi:
f~ = −6πµr~v
(1)
Prawo to jest spełnione dla małych prędkości ciała, a ściślej w przypadku małych liczb
Reynoldsa (Re) charakteryzujących przepływ laminarny. Dla kuli liczbę Reynoldsa definiuje się jako:
ρv2r
,
(2)
Re =
η
gdzie ρ jest gęstością płynu, w którym porusza się kula. Prawo Stokesa wykorzystuje się do
określania prędkości sedymentacji cząstek i do wyznaczania lepkości cieczy. Dla większych
prędkości, obejmujących zdecydowaną większość przypadków praktycznych, wartość siły
oporu obliczyć można z zależności:
1
D = CρSv 2 ,
2
(3)
przy czym C jest wyznaczonym doświadczalnie współczynnikiem oporu aerodynamicznego, ρ jest gęstością płynu (tzn. masą jednostki objętości) a S polem przekroju poprzecznego ciała (tzn. polem powierzchni prostopadłej do kierunku ruchu tzn. ~v ).
2
Zadania
1. Do butelki z miodem o wpadł laskowy orzech o promieniu r. Jakie siły działają na
orzech? Znajdź prędkość v(t) i położenie y(t) w funkcji czasu. Oblicz jaką prędkość
graniczną osiągnąłby orzech gdyby spadał w nieskończenie wysokiej butelce pełnej
miodu? Jak prędkość graniczna zależy od rozmiaru orzecha?
2. Tym razem orzech o promieniu r spada z drzewa. Przyjmując, że współczynnik
oporu dla orzecha w powietrzu wynosi C wyznacz v(t) i y(t). Jaką prędkość graniczną
mógłby teraz osiągnąć orzech?
1
3. Podobno średniej wielkości kot z rozpostartymi kończynami osiąga prędkość graniczną vt ≈ 97km/h. Wyznacz jak zmienia się jego prędkość oraz przyśpieszenie wraz
z czasem jeśli spada w wysokości h. Kiedy osiągnie prędkość graniczną? Brakujące
dane wydedukuj lub/i wyszukaj w internecie.
4. Obliczaliśmy ostatnio maksymalny zasięg pancernika Yamato przy założeniu braku
oporów powietrza. Tym razem spróbujmy uwzględnić opór aerodynamiczny. Przypomnę, że Yamato miał artylerię główną w postaci dziewięciu dział kalibru 460 mm.
Dla dział artylerii głównej 460 milimetrów przeznaczone były między innymi przeciwpancerne typu 91 – kalibru 460milimetrów o masie 1460 kilogramów, których
prędkość wylotowa sięgała 780 m/s. Według informacji na Wikipedii, maksymalny
zasięg przekraczał 42 000 metrów. (a) Załóż, że w obu kierunkach działa siła oporu
równa fx = −kvx , fy = kvy (skąd te znaki, może inaczej?). Jaka musiałaby być
wartość k, żeby osiągnąć podany zasięg przy kącie wystrzału α = 45 stopni? (b) Jak
wyglądałyby równania ruchu i zasięg, gdyby opór był proporcjonalny do kwadratu
prędkości, a nie wprost proporcjonalnie do prędkości?
5. Czy łatwiej jest ciągnąć czy pchać skrzynię, taką jak pokazano na rysunku 1? Oblicz
stosunek sił, które trzeba włożyć aby skrzynia mogła poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym, w przypadku gdy skrzynia jest pchana i ciągnięta. Czy wynik
zależy od kąta α? Podpowiedź: Pamiętaj o narysowaniu diagramu sił działających
na skrzynię i zastosowaniu zasad dynamiki Newtona. To samo tyczy się wszystkich
kolejnych zadań.
𝜶
𝜶
Rysunek 1: Czy łatwiej jest ciagnąć czy pchać? Jak to zależy od kąta α?
6. Studentka matematyki stosowanej PWr jedzie windą w budynku C13. Korzystając
z zasad dynamiki Newtona, oblicz jak zmieni się jej waga w momencie gdy:
(a) winda rusza w górę,
(b) winda rusza w dół,
(c) winda hamuje jadąc w górę,
(d) winda hamuje jadąc w dół?
7. W 1901 roku Allo Diavolo zwany ”Szaleńcem” wykonał po raz pierwszy numer cyrkowy, polegający na jeździe rowerem po torze w kształcie pionowej pętli o promieniu
2
R = 2.7m. Ile musiała wynosić minimalna jego prędkość na szczycie toru, aby nie
oderwał się od podłoża? Przy jakich założeniach rozwiążesz to zadanie?
8. Rotor jest jednym z rodzajów atrakcji w wielu parkach rozrywki. Został zaprojektowany przez niemieckiego inżyniera Ernsta Hoffmeister w późnych latach 1940. Po raz
pierwszy zaprezentowano jego działanie na Oktoberfest w 1949. Rotor jest dużą pionową beczką obracającą się z taką prędkością, że pasażerowie zostają ”przyklejeni”
do jego ścian pewną tajemniczą siłą. Z jaką prędkością musi obracać się beczka aby
pasażerowie nie pospadali jeżeli współczynnik tarcia statycznego między ubraniem
pasażera a ścianą wynosi 0.4, a promień beczki 2.1m?
Rysunek 2: Rysunek do zadania nr 8. Źródło: http://www.retronaut.com/2013/01/rotorrides/
9. Pasażer na diabelskim młynie porusza się po pionowym okręgu o promieniu R ze
stałą prędkością. Siedzenie pozostaje cały czas w pozycji pionowej. Znajdź wyrażenia
dla sił wywieranych przez pasażera na (A) szczycie i (B) na dole koła.
3