x 2 3 − + x y x y 25 5 + = − = 1 −≤ . 6 ≤ + x x

FUNKCJA KWADRATOWA
1. Naszkicuj wykres funkcji y = x2 - 2x - 3 i omów jej własności.
2. Dla jakich wartości x wyrażenie
x 2 − 2 x + 3 ma sens liczbowy?
 x 2 + y 2 = 25
3. Ile rozwiązań ma układ równań. Odpowiedź uzasadnij algebraicznie i graficznie.  2
 x − y = 5
4. Rozwiąż równania : a) ( x2 - 9 ) ( x2 - 16 ) = 15x2 b) 7 + a + 3 − a = 4 c) x2 + 25 = 0
d) ( x - 3 ) - 2 x − 3 = 0
e) 2x2 + 6x = 0
f) 2( x + 1 )2 = 0
5. Rozwiąż nierówności: a) ( x - 1)2 > 4. b) ( 2x + 3)2 < 1 c) x2 + x + 3 > 0 d) 4x2 + 4x ≤ −1 .
6. Dane jest równanie 2x2 - (m -1)x + m +1 = 0, z niewiadomą x i parametrem m ∈R. Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których dane równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 spełniające
warunek |x2 –x1| = 1.
7. Wyznacz wartość parametru m, dla której równanie x2 - 4x + 6 - 5m = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
8. Dla jakich wartości parametru m nierówność x2 - ( m - 3 )x - m + 6 > 0 jest spełniona dla każdego x∈R?
9. Dla jakich wartości parametru m iloczyn dwóch różnych pierwiastków równania x2- (m-4)x + m2 - 7m
+12=0 jest równy połowie sumy tych pierwiastków. Oblicz pierwiastki spełniające ten warunek.
10. Liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania 2x2 - mx +n = 0.Wyznacz wartości parametrów m i n. Sporządź
wykres funkcji y = 2x2 - mx + n i rozwiąż nierówność 2x2 - mx + n ≤ 0 dla tych wartości parametrów.
11. Proste postaci y = -4mx + 6m + 2 są styczne do krzywej x ⋅ y = 4. Wyznacz współrzędne punktu
wspólnego tych stycznych.
12. Dana jest funkcja f(x) = x2 + (3m - 2)x + m + 2.
a) Dla jakich wartości parametru m najmniejsza wartość tej funkcji jest większa od 1?
b)Dla m = -2 naszkicuj wykres funkcji y = | f(x)|.
13.Naszkicuj wykres funkcji f(x) = | x2 - 4x + 3 | - 1 i podaj jej najmniejszą wartość.
14. Dane są funkcje f(x) = 2x2 + mx + 3, g(x) = 2x2 + bx + 3, gdzie x ∈R. Wyznacz współczynnik b wiedząc,
że prosta x = - 34 jest osią symetrii wykresu funkcji g.
a) Dla m = 0 wyznacz współrzędne punktu będącego punktem wspólnym wykresów funkcji f i g.
b)Dla jakich wartości m równanie f(x) = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek x12 + x 22 ≤ 6 ?
15. Dana jest funkcja f(x) = (m - 2)x2 + (m - 4) + m - 4 określona w R.
a) określ liczbę rozwiązań równania f(x) = 0 w zależności od parametru m
b) w każdym przypadku, gdy równanie ma jeden pierwiastek, napisz wzór funkcji f(x), naszkicuj wykres i
podaj jej miejsca zerowe.
16. Funkcja y = ax2 + bx + c ma jedno miejsce zerowe i do jej wykresu należą punkty A(0,1), B( 2, 9 ).
Wyznacz współczynniki a, b, c.
17. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x2 - 2( m + 1 )x + m - 2 posiada dwa różne miejsca zerowe
różnych znaków?
x 2 − 4 x + y = 0
18. Dla jakich m układ równań nie ma rozwiązań 
mx − y + 1 = 0
19. Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania x2 + (k +3)x - k2 - 1 = 0 wynosi
8.
20. Wyznacz największą wartość funkcji y = 2x2 + x - 1 w przedziale x ∈< 0,2>.
21. Dana jest funkcja f(x) = -2x2 + bx + 1, gdzie x ∈R. Wyznacz współczynnik b wiedząc, że prosta o
równaniu x = -2 jest osią symetrii wykresu danej funkcji f. Wykres funkcji f przekształcono symetrycznie
względem osi OY, otrzymano w ten sposób wykres pewnej funkcji g.
( x − 2) 2 + ( x 2 − 2) 2
a)Oblicz wartość wyrażenia 1 3
, gdzie x1 , x2 są miejscami zerowymi funkcji f.
2 x1 x 2 + 2 x1 x 23
b)Narysuj wykres funkcji g, podaj jej wzór w postaci kanonicznej oraz rozwiąż nierówność g(-2x)–g(0)>0.
22. Dana jest funkcja f(x) = (m – 2)x2 + (m – 2)x + m, gdzie x ∈R.
a)Wyznacz zbiór wartości funkcji dla parametru m = 0.
b) Określ liczbę miejsc zerowych funkcji w zależności od parametru m.
23. Dane są dwie funkcje f(x) = x +1 i g(x) = -x2 – 2x + 1.
a)Wyznacz współrzędne wspólnych punktów wykresów funkcji f i g.
b)Wyznacz te wartości r, dla których wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f i g należą do koła
x2 + y2 ≤ r2. Dla najmniejszej wyznaczonej wartości r wykonaj rysunek przedstawiający to koło oraz
wykresy funkcji f i g.
24. Dane jest równanie: x2 - (m + 2)x + m + 5 = 0
a) Zbadaj liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m. Wyznacz wszystkie wartości
parametru m, dla których dane równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne.
* b) Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania spełniają warunek |x1| + |x2| ≤ 3 ?
25. Dana jest funkcja f(x) = x2 + (3m - 2)x + m + 2 . Dla jakich wartości parametru m funkcja posiada dwa
różne miejsca zerowe spełniające warunek x1 ⋅ x 2 >2(x1 + x2)? Wyznacz te wartości parametru m, dla
których f(x)>1 dla każdego x ∈R.
26. Siatką drucianą długości 60 m należy ogrodzić prostokątny plac przylegający jednym bokiem do muru.
Jakie wymiary winien mieć plac, aby jego pole było największe?
27. Funkcja f jest funkcją kwadratową. Liczby 3 i -1 są jej miejscami zerowymi oraz f(0) = -3. Wyznacz
wartość najmniejszą funkcji f.
28. Dana jest parabola o równaniu y = 14 x 2 − 12 x − 114 , która przecina oś OX w punktach M i N. Przez punkt
A= (1, -4) poprowadzono styczne l i k do tej paraboli. Wyznacz równania stycznych k i l oraz zbadaj ich
wzajemne położenie.
29. Dana jest funkcja f(x) = 2x2 – 8x + c, gdzie x ∈R. Wyznacz wartość parametru c wiedząc, że zbiorem
→
wartości funkcji f jest przedział <- 4, ∞ ). Wykres funkcji f przesunięto o wektor u = [− 1,2] , otrzymano w
ten sposób wykres pewnej funkcji g.
a) Podaj wzór funkcji g w postaci kanonicznej, wyznacz jej największą wartość w przedziale 12 , 3 oraz
rozwiąż nierówność f(x) ≥ 2 ⋅ g ( x) .
b) Oblicz wartość wyrażenia
x12 + x 22 + x13 + x 23
, gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi funkcji f.
x12 x 2 + x1 x 22
30. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x2 – (m + 2)x + m + 5, gdzie x ∈R.
a) Dla m = 6 oblicz wartość wyrażenia x13 x 2 + x1 x 23 , gdzie x1, x2 są pierwiastkami równania f (x) = 0 oraz
rozwiąż nierówność f(x) + f(-x) ≥ 24.
b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których dana funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe ujemne.
31. Dana jest funkcja f(x) = -x2 + (12 – 2k)x – k2 + 6k, gdzie x ∈R.
a) Dla k = -1 wyznacz współrzędne punktów wspólnych paraboli będącej wykresem funkcji f oraz prostej o
równaniu 12x – y – 7 = 0.
b) Dla jakich wartości parametru k równanie f(x) = 0 ma dwa różne rozwiązania, których iloczyn jest
większy od ich sumy?
*c) Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie f(x) = 0 ma dwa różne pierwiastki w
przedziale (- ∞ , k).
32. Dana jest funkcja f(x) = -2x2 + bx + 1, gdzie x ∈R. Wyznacz współczynnik b wiedząc, że do wykresu
funkcji f należy punkt o współrzędnych 22 , 2 2 .
(
)
a) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale <0, 32 >.
1
1
+
+ x12 x 2 + x 22 x1 , gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi funkcji f.
x1 x 2
c) Wykres funkcji f przekształcono symetrycznie względem osi OY i otrzymano w ten sposób wykres funkcji g.
Napisz równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji g oraz podaj zbiór wartości funkcji g.
33. Dana jest funkcja f(x) = (m2 + 3m – 10)x2 – 2(2 – m)x -1.
a) Przyjmując m = -3 oblicz wartość wyrażenia x13 + x23 – (x1 – x2)2, gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi
funkcji f.
b) Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności f(x)<0 jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych?
b) Oblicz wartość wyrażenia