Ą˘Ł¤Ľ˘ Ś §Ľ¨Š

Zbigniew Marciniak
Jak uczyć logiki?
Uczenia logicznego myślenia nie wolno w szkole zaniedbywać, ale
z używania logiki formalnej należałoby zrezygnować.
Mówiąc o uczeniu logiki, można mieć
na myśli dwie różne sprawy. Oczywiście osnową matematyki jest logika,
a nawet powiedziałbym więcej – jeśli
jest jakiś głębszy sens uczenia matematyki w szkole, to właśnie ćwiczenie logicznego myślenia. To jest jedna
strona medalu. Jest druga strona – logika
formalna, czyli koniunkcje, alternatywy,
kwantyfikatory, implikacje, no i tabelki
zero-jedynkowe. Wielu młodych nauczycieli nie zdaje sobie sprawy z tego,
że ta druga strona logiki objawiła się
w szkołach nie tak strasznie dawno,
bo w latach siedemdziesiątych. Gdy ja
zdawałem maturę, jeszcze takiej logiki
w szkole nie było, co nie znaczy, że nie
byliśmy uczeni logicznego myślenia.
pracę najwybitniejszego logika współczesnego, Saharona Shelaha – 20 stron
tekstu i ani jednego kwantyfikatora, ani
jednego znaczka koniunkcji, ani jednego znaczka alternatywy. Co to znaczy? Argument, że bez języka logiki formalnej nie da się precyzyjnie wszystkiego wysłowić, jest fałszywy. Bo gdyby
tak było, to matematycy, którzy dbają
o precyzję swojej wypowiedzi, używaliby logiki formalnej. A tego nie robią,
nawet gdy piszą o logice.
Precyzyjnie?
Często można usłyszeć, że język logiki
dyscyplinuje myślenie, porządkuje i jest
niezbędny, by precyzyjnie zapisać teksty matematyczne. Gdyby tak było, to
matematycy w swojej pracy zawodowej używaliby niewątpliwie tych znaczków bez przerwy. Napisałem kilkadziesiąt prac naukowych i w żadnej nie
zobaczą państwo kwantyfikatora. Może
ja jestem złym matematykiem, więc
sięgnijmy do innych przykładów. Największe osiągnięcie matematyki ostatnich lat – dowód wielkiego twierdzenia Fermata – to 150 stron tekstu bez
ani jednego kwantyfikatora, ani jednego znaczka koniunkcji, ani jednego
znaczka alternatywy, wszystko powiedziane słowami. Dalej, mam przed sobą
28
To tylko szyfr
Dlaczego tego nie robią i dlaczego tego
nie trzeba robić? Bo tak naprawdę jest
to tylko pewien system kodowania informacji. Każde zdanie, które można wypowiedzieć słowami, można w matematyce zakodować tymi znaczkami. Z tym
że potem, gdy człowiek to czyta, musi
dekodować. W wielu podręcznikach nie
pisze się już: liczba x jest dodatnia.
Teraz w takich sytuacjach pisze się:
x ∈ (0; +∞), bo być może znaczek ∈ nobilituje to zdanie. No ale co robi uczeń,
gdy to czyta? Musi odcyfrować sobie
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
ten napis i dopiero potem zrozumie, że
chodzi o liczbę dodatnią. Czyli wydłużamy rozumowanie i utrudniamy dostęp
do informacji. A nie jest to ani bardziej precyzyjne, ani lepsze. Ta banalna
prawda jest znana od lat. Na przykład
najwybitniejszy polski logik, nieżyjący
już niestety profesor Andrzej Mostowski,
prowadził wykłady z analizy matematycznej na Uniwersytecie Warszawskim
i w ogóle nie używał kwantyfikatorów.
Logik, a wszystko pisał cierpliwie na
tablicy: „dla każdego”, „istnieje”. Uważał, że gdyby używał kwantyfikatorów,
to wykład byłby trudniejszy dla studentów.
Nie klei się
Drugi argument za tym, że logika formalna nie jest tak koniecznie potrzebne,
jest taki, że ten kawałek współczesnej polskiej matematyki szkolnej słabo
się łączy z resztą materiału. Jak się
te tabelki zero-jedynkowe odpracuje,
to potem w zasadzie idą w odstawkę
i nigdy już nie wracają. W innych kontekstach matematycznych – w geometrii
czy w algebrze – nie rysuje się tych tabelek, żeby pomóc sobie w rozwiązaniu
czegoś. To jest zupełnie izolowany fragment wiedzy.
bet, w którym wymienione są dopuszczalne znaczki oznaczające zmienne,
operacje i relacje, a potem są ścisłe
przepisy budowania poprawnych napisów z tych znaczków. Jeśli jest znak +, to
z dwóch stron mają stać pewne wyrażenia algebraiczne, jak jest nawias otwierający, to gdzieś za nim musi być zamykający, i tak dalej, i tak dalej. Zdania to są
poprawnie skonstruowane napisy, i tyle.
Natomiast kwestia czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, to jest zupełnie co
innego. To jest kwestia modeli i tzw. teorii interpretacji. Zresztą takie filuterne
powiedzenie, że zdanie to jest wypowiedź, która ma wartość prawda lub
fałsz jest dla uczniów niezwykle łatwe
do zbicia. Pada deszcz – to jest zdanie czy nie jest zdanie? Czasem prawda,
czasem nieprawda. Tu prawda, a 20 km
stąd nieprawda. Tego się nie da obronić. Matematycy w ogóle w tę stronę nie
idą. Poruszanie tego tematu w szkole jest
niezwykle ryzykowne i nieugruntowane.
W przeciwieństwie do całej reszty matematyki szkolnej, którą da się doprecyzować za pomocą definicji podawanych
w szkole.
Na glinianych nogach
Gdy zacząłem przeglądać podręczniki
szkolne, zauważyłem pewną śmieszną
niekonsekwencję, na którą być może
państwo też zwrócili uwagę. Otóż ta
cała adresowana do uczniów logika formalna stoi na glinianych nogach. Rozdział o logice zaczyna się najczęściej
od informacji: zdanie jest to wypowiedź, której można przypisać wartość
prawda lub fałsz. Matematycznie nie
ma to żadnego sensu. Bo jak się definiuje poprawne zdania w prawdziwej
logice matematycznej? Jest pewien alfa-
A jeśli już, to jak?
Wobec tego jak uczyć tej logiki, jeśli
odradzam uczenia logiki formalnej? No
więc uczyć trzeba po prostu na konkretnym materiale matematycznym. To
znaczy w każdej sytuacji należy skłaniać ucznia do rozważań w stylu: jeśli
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
29
to, to tamto, a jeśli nie to, to tamto;
a to jest nieprawda, bo jest taki kontrprzykład, bo gdyby to było prawdą, to
tamto też. To jest osnowa logiczna matematyki. Konkretne rozumowania pozwalają naprawdę ćwiczyć logikę. Rozmowa
na sucho o tym, czy z p wynika q ma
niewiele wspólnego z myśleniem logicznym.
Zadanie o 23 więźniach
Naczelnik pewnego więzienia wezwał wszystkich 23 więźniów do
siebie i tak powiada: „Proponuję
wam następującą grę. W pomieszczeniu, w którym w tej chwili
jesteśmy, są dwa kontakty przełączane góra-dół. Poczynając od
jutra, będę tu przyprowadzał was
pojedynczo i każdy musi jeden
z tych kontaktów przełączyć. Który
przełączy – jego sprawa. Mogę
przyprowadzać kilka razy tego
samego więźnia, mogę też w ciągu
kilku dni nikogo nie przyprowadzić, ale na pewno nikogo nie
przestanę zabierać do tego pokoju.
A gra poleca na tym, że jeśli
w którymś momencie jeden z was
mi powie: „Już wszyscy w tym
pokoju byli” i będzie miał rację,
to was wszystkich puszczę wolno.
A jak nie będzie miał racji, bo jeszcze ktoś nie był, to wtedy siedzicie już do końca życia”. Więźniowie mają czas do namysłu, mogą
się naradzić, jak będą grali w tę
grę z naczelnikiem. Jaką strategię powinni wybrać, aby wszyscy
wyszli na wolność?
Na Uniwersytecie Warszawskim kurs
logiki jest prowadzony pod koniec studiów (na początku jest tylko wprowadzenie do znaczków, wstęp do matematyki, a to nie jest jeszcze kurs logiki).
Dlaczego? Bo o logice można mówić
dopiero wtedy, gdy chce się uporząd-
30
kować pewien zasób informacji, pewną
wiedzę. Wtedy te p, q mają swój sens,
bo mamy dostatecznie wiele konkretnych
przykładów, którymi możemy zilustrować sytuacje logiczne.
I nie jest prawdą, że jak się człowieka
nauczy tej symboliki, tego przetwarzania napisów, to będzie potem sprawnie
rozumował. Natomiast jeśli wprawi się
w rozumowaniu w różnych konkretnych
sytuacjach, to potem można mu to ładnie
uporządkować. Można mu powiedzieć,
że są teorie matematyczne, jest język, są
aksjomaty i to wszystko nabiera wtedy
jakiegoś głębszego sensu.
Jeśli natomiast nauczyciel w szkole jest
bardzo przywiązany do uczenia logiki,
bo tak mu to pasuje, że już nijak nie
może inaczej, to ja zachęcałbym do rozważenia możliwości uczenia tego pod
koniec liceum, a nie na początku. Wtedy
za pomocą logiki można uporządkować
wiedzę.
Przede wszystkim rozumowanie
Kluczem do dobrego uczenia matematyki w szkole jest uczenie rozumowe,
które łatwo zarzucamy, skupiając się
głownie na realizowaniu materiału. Ja
wiem, że jest pewien program, pewna
podstawa programowa, są tam pewne
hasła, więc jest taki odruch, by po prostu je omówić. Ale zbyt często, przynajmniej w polskiej szkole, na co mam
dowody, przydarza się, że na tym się
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
kończy. To znaczy uczy się całego szeregu algorytmów, uczy się tego, jak się
zachować w typowych sytuacjach. I to
jest plan minimum.
Jak się taki plan minimum zarysuje,
to się poza niego nigdy nie wyjdzie,
bo i tak zawsze jest za mało czasu,
żeby go dobrze wykonać. Zawsze będzie
jeden, dwóch, trzech uczniów, którzy nie
dają sobie rady nawet z tymi najprostszymi algorytmami. Czy wobec tego
trzeba cały czas poświęcić właśnie na
to, czy zrezygnować może z tego balastu i powiedzieć: „Dobrze, nie potraficie
wykonać tego przepisu, ale musicie też
rozumować”? To jest sedno matematyki,
na tym polega sens uczenia matematyki. Nie na tym, żeby się nauczyć wzorów skróconego mnożenia, nie na tym,
żeby się nauczyć rozwiązywania układów równań liniowych – to są techniczne
sprawy. Natomiast rozumowanie to jest
sedno matematyki. Jeśli jest sens uczyć
matematyki w szkole, to przede wszystkich taki, żeby nauczyć trochę rozumować. W programach szkolnych jest bardzo dużo treści matematycznych, które
mogą posłużyć do nauki rozumowania.
Może warto też znać różnego rodzaju
zagadki logiczne, które mimochodem
ćwiczą logiczne myślenie. Dwa przykłady takich zadań podane są w ramce
na tej i poprzedniej stronie.
Pewność siebie
Matematyka jest jedynym przedmiotem,
na którym uczeń może nauczyć się być
pewnym swojej racji. To jest przedmiot,
na którym nie bierze się pod uwagę
żadnych autorytetów, ani opinii innych
ludzi. Na lekcjach matematyki można
nauczyć się wypowiadania sądów, które
jesteśmy w stanie obronić, wbrew wszelkim opiniom i autorytetom. To jest
ten walor, który ze szkoły powinno się
wynieść, a w innych dziedzinach niż
matematyka jest to utrudnione.
Zadanie o dwunastu ministrach
Pewien król miał dwunastu ministrów. Któregoś dnia wezwał ich
do siebie i mówi: „Słuchajcie,
mam poważne podejrzenia, że wy
po prostu jesteście głupi. Rządzenie wam w ogóle nie idzie,
ludzie narzekają, więc postanowiłem sprawdzić, czy umiecie logicznie myśleć. Jutro w południe
wezwę was wszystkich do tej sali,
w której teraz jesteśmy, i ustawię rzędem jednego za drugim
tak, żeby każdy patrzył na plecy
tego, który stoi przed nim (oczywiście z wyjątkiem tego, który
będzie stał na początku). A gdy
będziecie sobie tak stać, od tyłu
ktoś podejdzie i każdemu z was
nałoży czapeczkę, białą lub czarną.
Nikt nie będzie widział, jaką czapeczkę dostaje, ale będzie widział
tych przed sobą w czapeczkach.
Potem będzie minutka na zastanowienie się i każdy z was będzie
musiał krzyknąć, jaką czapeczkę
ma na głowie on sam, czarną czy
białą. Jeśli ktoś powie źle – głowa
ścięta, jeśli dobrze – nadal może
być moim ministrem. Macie czas
do jutra. Zastanówcie się, jak to
rozegrać”. Jaką strategię powinni
przyjąć ministrowie, aby udało się
ich uratować jak najwięcej.
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
31