KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ
Transkrypt
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH Zadania II etapu – finał Czas rozwiązania 60 minut POWODZENIA ! 1. Pan i pies znajdują się w odległości 1 km od domu. Pan porusza się z prędkością km km 4 , a pies z prędkością 20 . Pies biegnie do domu, wraca do pana, znów biegnie h h do domu, wraca, aż do momentu, gdy razem znajdą się w domu. a) Jaką drogę pokona pies do momentu, kiedy razem z panem znajdą się w domu? (2p) b) Jaką drogę pokona pan do momentu pierwszego spotkania z psem? (5p) 2. Do ponumerowania stron książki użyto 6921 cyfr. Ile stron zawiera ta książka? (5p) 3. Oblicz pole trójkąta prostokątnego wiedząc, że odcinek łączący środek przeciwprostokątnej z wierzchołkiem kąta prostego ma długość 2,5 cm, natomiast promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1 cm. (5p) ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zadanie 1. Oznaczmy: V1 – prędkość pana V2 – prędkość psa S- droga t - czas 1 km 1 = h . W tym czasie km 4 4 h km km 1 pies poruszający się z prędkością V2 = 20 pokona drogę S = 20 ⋅ h = 5 km h h 4 Odpowiedź do a) Pies pokona drogę 5km. a) Ze wzoru S = V ⋅ t , obliczamy czas dojścia pana do domu t1 = b) Pies pokona drogę 1 km do domu z prędkością V2 = 20 t= km w czasie h 1 km 1 = h. km 20 20 h W tym samym czasie pan przejdzie drogę S = 4 km 1 1 ⋅ h = km , więc do domu 5 h 20 pozostało mu 0,8 km. Pan 0,2 km Pies Sx 0,8 - Sx Miejsce spotkania pana i psa Oznaczmy: Sx – droga pokonana przez pana do momentu pierwszego spotkania z psem 0,8 – Sx - droga pokonana przez psa do momentu spotkania Sx 0,8 − s x = . Rozwiązując powyższe Czasy poruszania się psa i pana są takie same, więc km km 4 20 h h 2 równanie otrzymujemy S x = km . Łączna droga pokonana przez pana do momentu 15 1 2 1 pierwszego spotkania z psem: S = km + km = km 5 15 3 Zadanie 2. Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 1 do 9 1*9 cyfr = 9 cyfr Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 10 do 99 2* 90 cyfr = 180 cyfr Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 100 do 999 3*900 cyfr = 2700 cyfr Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 1000 do 1999 4*1000 cyfr = 4000 cyfr Daje to razem 6889 cyfr. Z treści zadania wynika, że użyto 6921 cyfr, a więc musimy jeszcze użyć 6921-6889=32 cyfr. Ponieważ numerujemy już strony od 2000, więc 32 cyframi ponumerujemy jeszcze 8 stron. Tak więc książka ma 1999+8=2007 stron. Odp. Książka ma 20007 stron. Zadanie 3. Ponieważ środkowa z wierzchołka kąta A prostego jest równa 2,5 cm, więc przeciwprostokatna tego trójkąta jest G równa 5 cm. D Ponieważ okrąg jest wpisany w trójkąt O prostokątny, więc ze wzoru F 1 r = (a + b − c ) , gdzie a,b są 2 C B przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, E c – przeciwprostokątna, r- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, otrzymujemy 1 1 = (a + b − 5) , stąd a + b = 7 2 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: a 2 + b 2 = 5 2 . Przekształcając ten wzór otrzymujemy: (a + b )2 − 2ab = 25 , 7 2 − 2ab = 25 , 2ab = 24 , 2ab = 24 , 1 ab = 6 2 2 Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 6cm .