Fotony, fale materii

Widmo promieniowania elektromagnetycznego
Czułość oka człowieka
Płaska fala elektromagnetyczna w próżni
Ciało doskonale czarne
Prawo promieniowania Kirchhoffa:
Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej
jest dla wszystkich ciał nieprzezroczystych jednakową
funkcją częstotliwości i temperatury.
ε(ν,T) jest zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego
Prawo Stefana – Boltzmanna:
stała Stefana
σ =5,67×10−8 W m-2 K-4
Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego
jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury
bezwzględnej.
stała Boltzmanna
kB=1,3806503×10-23 J/K
Ludwig Boltzmann
zdjęcie z 1872 r.
1
Zdolność emisyjna / absorpcyjna
Prawo przesunięć Wiena
λmaxT=2,9×10-3 m K
Widmo energetyczne latarki
Widmo słońca
2
Pomiar temperatury
Powierzchnia Słońca:
temperatura efektywna 5780 K –
odpowiada długości fali światła λ=502 nm
Rozkład widmowy natężenia promieniowania ciała doskonale
czarnego w temperaturze T
„katastrofa
u(λ,Τ)dλ - gęstość energii promieniowania
we wnęce w temperaturze T w przedziale
długości fali dλ
ε(λ,T)dλ – moc wypromieniowywana z
jednostkowej powierzchni o temperaturze T
w przedziale długości fali dλ
ε =uc/4
c=2,99792458×108 m/s
Liczba fal elektromagnetycznych stojących
we wnęce (na jednostkę objętości) jest
n(λ)dλ=8πλ-4dλ
Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii
obowiązującą w fizyce klasycznej średnia
energia fali stojącej (oscylatora
harmonicznego) jest w temperaturze Τ
<E>=kBT
Zgodnie z fizyka klasyczną rozkład
widmowy gęstości energii promieniowania
jest dany wzorem Rayleigha-Jeansa
u(λ,T)dλ=8πkBTλ-4dλ
co nie zgadza się z doświadczeniem!
ultrafioletowa”
Porównanie praw Rayleigha-Jeansa i
Plancka z danymi doświadczalnymi dla
promieniowania w temperaturze T= 1600K
John William Strutt
lord Rayleigh
w 1904 otrzymał
nagrodę Nobla za
badanie gęstości
gazów i odkrycie
argonu.
3
Prawo Plancka – widmo promieniowania ciała doskonale czarnego
Założenia teorii Placka:
1) Energia oscylatora harmonicznego (stojącej fali elektromagnetycznej) może
przyjmować tylko dyskretne (nieciągłe) wartości
En=nhν n=0,1,2,3, .....
energia jest skwantowana !
2) Energia fal elektromagnetycznych jest wypromieniowywana i pochłaniana porcjami
– kwanty energii
∆E=hν
Energia kwantu jest proporcjonalna do częstotliwości promieniowania ν.
hν
Średnia energia kwantowego oscylatora E =
⎛ hν ⎞
o częstotliwości ν w równowadze
⎟⎟ − 1
exp⎜⎜
termodynamicznej w temperaturze T
⎝ k BT ⎠
Gęstość energii promieniowania
w przedziale częstotliwości dν
jest w temperaturze T
u (ν , T )dν =
Gęstość energii promieniowania
u (λ , T )dλ =
w przedziale długości fali dλ
stała Plancka
8πhν 3dv
⎡ ⎛ hν ⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
c 3 ⎢exp⎜⎜
⎣ ⎝ k BT ⎠ ⎦
8πhcdλ
⎡ ⎛ hc ⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
λ ⎢exp⎜⎜
⎣ ⎝ λk BT ⎠ ⎦ Max Planck
5
zdjęcie z roku 1901
nagrodę Nobla otrzymał
w 1918 r. za odkrycie
kwantów energii.
Kosmiczne promieniowanie reliktowe - pozostałość po Wielkim Wybuchu
4
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
hν=W+eVstop
Energia fotonu
Energia elektronu
Praca wyjścia z metalu
Potencjał hamujący fotoelektrony
uwalniane z powierzchni sodu przez
światło o różnej częstości
Efekt Comptona
Rozpraszanie fotonu na swobodnym elektronie
Spełnione są zasady zachowania
energii: hν + mc 2 = hν ′ + mγc 2
i pędu: składowa podłużna
hν hν ′
=
cos θ + mγv cos φ
c
c
⎛
v2 ⎞
⎝
⎠
γ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
c
−1
2
Przesunięcie Comptona nie zależy
od materiału rozpraszającego
składowa poprzeczna
0=
hν ′
sin θ − mvγ sin φ
c
5
Korpuskularna natura światła
Tworzenie pary cząstka-antycząstka
elektron-pozyton
Zachowane:
-Ładunek
-Pęd
-Energia (Emin=1,02 MeV)
Dyfrakcja fal na strukturach krystalicznych
Warunek Bragga
nλ=2d sinθ
W. Lawrence Bragg miał 25 lat, gdy w 1915
otrzymał wraz z ojcem W,H, Braggiem nagrodę
Nobla za analizę struktury kryształów przy
użyciu promieniowania rentgenowskiego.
6
Metody pomiaru dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego
Odbicie Bragga –
powierzchnia próbki tworzy z wiązką
kąt θ, detektor pod kątem 2θ
Dyfrakcja wiązki przechodzącej
przez warstwę proszku lub folię
polikrystaliczną
Falowe właściwości materii
Doświadczenie Davissona i Germera:
falowe własności elektronów (1927, Nobel 1937)
Doświadczenie Thompsona (1928, Nobel 1937):
dyfrakcja elektronów na cienkiej folii
polikrystalicznej.
Doświadczenie Sterna: dyfrakcja atomów
wodoru i helu na kryształach fluorku litu i
chlorku sodu.
7
Powstawanie obrazu interferencyjnego
przy przechodzeniu pojedynczych
elektronów przez układ dwu szczelin.
Falowe właściwości materii
Hipoteza de Broglie’a
λ=
h
p
Fotony
energia E = h υ = h ω
pęd
Cząstka o masie m poruszająca się z prędkością
znacznie mniejszą od prędkości światła v<<c
pęd p = mv =
h
λ
= hk
energia kinetyczna
EK =
p=
E hυ h
=
=
λ
c
c
mv 2 p 2 h 2 k 2
=
=
2
2m 2 m
Prędkość fazowa
vf =
ω
k
=
E mv 2 v
=
=
p 2mv 2
Prędkość grupowa
vg =
p
dω
d ⎛ hk 2 ⎞ hk
⎟⎟ =
⎜⎜
= =v
=
dk dk ⎝ 2 m ⎠ m m
8
Składanie drgań harmonicznych o
mało różniących się częstościach:
1) Dwa drgania - dudnienia
2) Trzy drgania wygaszenie co
drugiej paczki drgań
3) Pięć drgań - wyraźnie rozdzielone
paczki drgań
Płaskie fale elektromagnetyczne
Pole elektryczne E i indukcja magnetyczna B
płaskiej fali harmonicznej biegnącej w kierunku x
Rozkład pola E w ustalonej chwili czasu t0
złożenie dwu fal harmonicznych o mało różniących
się częstościach kołowych: ω1=ω+∆ ω, ω2= ω−∆ω
E ( x, t ) = E0 [cos(ω1t − k1 x ) + cos(ω2 t − k 2 x )]
E ( x, t ) = 2 E 0 cos( ∆ω ⋅ t − ∆k ⋅ x ) cos(ωt − kx )
E c (x, t ) = E 0 exp[− i (ω1t − k1 x )] + E 0 exp[− i (ω2 t − k 2 x )]
Pole elektryczne E fali harmonicznej:
zależność od czasu w ustalonym
punkcie x0 i zmiany w czasie rozkładu
pola wzdłuż osi x.
9
Fale elektromagnetyczne – paczka falowa
Rozkład amplitudy fal harmonicznych o różnych
liczbach falowych (funkcja Gaussa):
f (k ) =
⎡ (k − k 0 )2 ⎤
exp⎢−
⎥
2σ k2 ⎦
2π σ k
⎣
1
Paczka falowa złożona z fal harmonicznych o
różnych częstościach i amplitudach:
E cn (x, t ) = E 0 ∆k ⋅ f (k n )exp[− i (ωn t − k n x )]
k n = k 0 + n∆k , ωn = ck n
E c ( x, t ) =
7
∑ E ( x, t )
n = −7
cn
Rozkład pola E w chwili t0 poszczególnych
składników sumy i wynikowej paczki falowej.
Kółka oznaczają punkty x=0 o określonej fazie.
Rozkład pola E w chwili t=t0+∆t. Zaznaczone
fazy wszystkich fal składowych przemieściły się
o tę samą odległość do x1=ct1. Paczka falowa
przemieściła się zachowując swój kształt.
Fale elektromagnetyczne – paczki falowe o różnej szerokości
Dwa gaussowskie rozkłady
amplitudy fal harmonicznych
(funkcje widmowe) o różnych
szerokościach σk.
Rozkłady natężenia pola
elektrycznego E w kolejnych
chwilach czasu.
Bardziej rozciągła w przestrzeni
jest paczka falowa o węższym
rozkładzie liczby falowej:
∆x=σk-1=∆k-1 czyli ∆x∆k=1
⎡ σ2
2⎤
E ( x, t ) = E 0 exp ⎢ − k (ct − x ) ⎥ cos(ω0 t − k 0 x )
⎣ 2
⎦
Rozkłady średniej gęstości
energii fali elektromagnetycznej
w kolejnych chwilach:
u ( x, t ) =
ε0
2
[
E02 exp − σ k2 (ct − x )
2
]
10
Fale materii – paczka falowa - dyspersja
Płaska fala harmoniczna dla cząstki o masie
m poruszającej się z prędkością v znacznie
mniejszą od prędkości światła (v«c):
⎡ i ⎛ p2
⎞⎤
t − px ⎟⎟⎥
m
h
2
⎝
⎠⎦
⎣
ψ p ( x, t ) = A exp[− i (ωt − kx )] = A exp⎢ − ⎜⎜
Paczka falowa złożona z fal harmonicznych o
różnych pędach (o różnych długościach fali):
ψ ( x, t ) =
7
∑ f ( p )ψ (x, t )∆p
n = −7
n
pn
p n = p 0 + n∆ p
Rozkład amplitudy fal harmonicznych o
różnych pędach (funkcja Gaussa):
⎡ ( p − p0 )2 ⎤
1
f ( p) =
exp ⎢ −
⎥
4σ 2p ⎦⎥
σ p 2π
⎣⎢
Po czasie ∆t fale cząstkowe o różnych
pędach przemieściły się o różne odległości
∆xn=vn∆t, gdyż mają różne prędkości
fazowe vn=pn/2m. Paczka falowa zmieniła
kształt i szerokość.
Fale materii – paczki falowe o różnej szerokości
Dwa gaussowskie rozkłady
amplitudy fal harmonicznych o
różnych szerokościach σp i różnych
wartościach średnich pędu p0.
Części rzeczywista ReΨ i urojona
ImΨ funkcji falowych w kolejnych
chwilach czasu.
Początkowo bardziej rozciągła w
przestrzeni jest paczka falowa o
węższym rozkładzie pędów:
∆x=σx=ħ/2σp
∆x∆p=σxσp= ħ/2
zasada nieoznaczoności
Rozciągłość przestrzenna paczki
falowej rośnie z czasem tym
szybciej im szerszy jest rozkład
pędów fal składowych. Paczka
falowa początkowo ściśle
zlokalizowana ulega szybko
rozmyciu w przestrzeni.
σ x2 =
h2
4σ p2
⎛ 4σ p4 t 2 ⎞
⎜1 + 2 2 ⎟
⎜
h m ⎟⎠
⎝
11
Fale materii – paczki falowe o różnej szerokości
Kwadrat modułu funkcji falowych dwu paczek
fal z poprzedniego slajdu w kolejnych
chwilach czasu.
Środek paczki falowej porusza się z
prędkością grupową równą prędkości cząstki
klasycznej - czerwony krążek.
Szerokość paczki falowej jest rozmiarem
obszaru, w którym można znaleźć cząstkę.
Paczka falowa ulega dyspersji - jej szerokość
rośnie z czasem. Oznacza to, że z upływem
czasu położenie cząstki staje się coraz
bardziej nieoznaczone.
Interpretacja statystyczna funkcji falowej
Funkcja falowa ma interpretację statystyczną.
Jeśli pomiar nastąpił w chwili t cząstka znajduje się pomiędzy x i x+dx z
prawdopodobieństwem określonym przez kwadrat modułu zespolonej funkcji falowej
2
P( x, t )dx = Ψ * Ψdx = Ψ dx gęstość prawdopodobieństwa
Max Born – w 1954 otrzymał nagrodę
Nobla za statystyczną interpretację
funkcji falowej, którą odkrył w 1928 r.
12