Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę
Transkrypt
Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę
Ćwiczenie 9 Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie reakcji wywieranej przez strumień wody na płaską płytkę, a następnie porównanie wyników doświadczenia z wartością reakcji uzyskaną na drodze teoretyczno-obliczeniowej. 2. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę zmiany pędu Siłę, z jaką strumień cieczy działa na przeszkodę ustawioną w linii jego działania nazywamy reakcją hydrodynamiczną, która jest sumą geometryczną elementarnych reakcji wywieranych przez poszczególne cząstki poruszającej się masy ciekłej. RozwaŜmy strumień cieczy napływający stycznie na zakrzywioną nieruchomą ścianę w sposób przedstawiony schematycznie na rysunku 1. Wprowadźmy następujące załoŜenia: - ruch cieczy jest ustalony, - rozkład prędkości w poprzecznym przekroju strumienia jest jednorodny, - strumień porusza się w ośrodku nie wywierającym wpływu na przebieg zjawiska, - pomija się siły tarcia pomiędzy spływającym strumieniem a powierzchnią ściany, - pomija się siły cięŜkości działające na elementy cieczy strumienia. Przy powyŜszych załoŜeniach prędkość strumienia wzdłuŜ ściany nie ulega zmianie, co ująć moŜna zapisem (rys. 1): r r r U 0 = U1 = U Rys. 1. Reakcja strumienia na stycznie zakrzywioną nieruchomą ścianę r Jedyną siłą zewnętrzną wywołującą zmianę pędu jest siła oddziaływania P zakrzywionej płyty i zachodzi wówczas następująca równość: r r R = −P 79 Z zasady zmiany ilości ruchu (zmiany pędu) wynika, Ŝe dla cieczy o gęstości ρ i strumieniu objętości Q zmiana pędu między przekrojami kontrolnymi 0 − 0 i 1 − 1 będzie wynosiła: r r r r R = − P = ρ Q U 0 − U1 (1) Wyprowadzenie związku (1) zostało przedstawione w dodatku do ćwiczenia. Równanie wektorowe (1) moŜe być zapisane w postaci dwóch równań skalarnych na składowe siły reakcji w przyjętym układzie współrzędnych (rys. 1): Rx = ρ Q (U 0 x − U1x ) (2) R y = ρ Q (U 0 y − U1 y ) ( ) Zgodnie z rysunkiem 1 składowe prędkości dla przekrojów kontrolnych wynoszą odpowiednio: U 0 x = U ; U1x = U cosϑ U 0 y = 0; U1 y = U sin ϑ co prowadzi do następujących zapisów składowych reakcji: Rx = ρQ U (1 − cos ϑ ) (3) R y = − ρ Q U sinϑ Moduł reakcji wypadkowej wynosi: R = R x2 + R y2 = 2 ρ Q U sin ϑ . (4) 2 W przypadku, gdy strumień uderza w płaską płytę ustawioną prostopadle do osi strumienia (rys. 2), odpowiednie składowe prędkości zapisać moŜna następująco: Rys. 2. Reakcja strumienia przy napływie na płaską płytę ustawioną prostopadle U 0 x = U ; U 1x = 0 U 0 y = 0; U 1 y = U co po wykorzystaniu związków hydrodynamicznej strumienia: (2) pozwala Rx = ρ QU R y = −ρ QU 80 określić składowe reakcji (5) Ale poniewaŜ strumień po uderzeniu w płytę rozdziela się promieniowo symetrycznie względem osi x, więc elementarne składowe poprzeczne siły hydrodynamicznej znoszą się i wypadkowa poprzeczna równa się zeru: Ry = 0 wówczas moduł reakcji wypadkowej równy jest jej składowej poziomej: R = Rx = ρ Q U (6) 3. Opis stanowiska pomiarowego Schemat stanowiska badawczego słuŜącego do wyznaczania reakcji strumienia przedstawiono na rysunku 3. Płyta 1 pod wpływem reakcji strumienia cieczy wypływającej z dyszy 3 przemieszcza się, przy czym układ prętów 4 zapewnia utrzymanie prostopadłego połoŜenia płyty względem napływającego strumienia cieczy. Wielkość odchylenia prętów moŜna odczytać za pomocą wskaźnika 5, a strumień objętości cieczy mierzony rotametrem 8 moŜna zmieniać przy pomocy zaworu 7. Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego 4. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę prac przygotowanych Siły działające na badany układ zaznaczono schematycznie na rysunku 4, zaś w obliczeniach wykorzystana zostanie zasada prac przygotowanych [2], stosowana często w klasycznej mechanice ciała stałego, zgodnie z którą: warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest, aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym przemieszczeniu przygotowanym układu była równa zeru, co moŜna zapisać równaniem: n ∑ Pi ⋅ δri = 0 i =1 Reakcji strumienia cieczy R przeciwdziałają siły cięŜkości m·g elementów ruchomych, które moŜna przyłoŜyć w ich środkach cięŜkości (dla uproszczenia pomijamy siły reakcji więzów). Elementarne przesunięcia prętów o kąt δα pod wpływem oddziaływania strumienia cieczy powodują przesunięcie ich środków cięŜkości. 81 Przesunięcia przygotowane sił w kierunkach ich działania (zgodnie z rysunkiem 4) wynoszą odpowiednio: - dla siły cięŜkości odpowiadającej prętom pionowym (mpr · g): l δ y1 = − δα ⋅ sin α 2 - dla siły cięŜkości płytki z ramką (mp + mr)g: δ y2 = −lδα ⋅ sin α - dla siły reakcji R: δ x = l δα ⋅ cos α Rys. 4. Schemat działania sił na elementy ruchome stanowiska Równanie bilansu prac przygotowawczych, pomijając siły tarcia, wynosi: l R ⋅ lδα ⋅ cos α = 2m pr g δα ⋅ sin α + m p + mr g ⋅ lδα ⋅ sin α , 2 co po uproszczeniu prowadzi do zaleŜności: R = m pr + m p + mr g ⋅ tgα ( ( ) ) (7) gdzie: mpr = 0.017 kg - masa prętów, mp = 0.122 kg - masa płytki, mr = 0.094 kg - masa ramki, g = 9.81 m/s2 - przyspieszenie ziemskie, α - kąt wychylenia układu. Dla wyŜej podanych wartości mas poszczególnych elementów układu moŜna określić wielkość siły R, która jest wyłącznie funkcją kąta α według zaleŜności: Robl = 2,28 tgα , 82 N (8) 5. Metodyka pomiarów Przed przystąpieniem do ćwiczenia naleŜy sprawdzić, czy układ prętów wychyla się swobodnie. Pomiar naleŜy przeprowadzić dla dziewięciu ustalonych przez prowadzącego wartości wychylenia płytki notując kaŜdorazowo w tabeli pomiarowej wartość strumienia objętości wody odpowiadającą ustalonemu kątowi wychylenia. Cały cykl pomiarowy powtórzyć naleŜy trzykrotnie, biorąc do dalszych obliczeń średnią wartość strumienia wody dla kaŜdego z ustalonych wychyleń kątowych. 6. Metodyka obliczeń Na podstawie danych pomiarowych uzyskanych w trakcie doświadczenia przy wszystkich dziewięciu połoŜeniach płytki, obliczamy wartości siły reakcji ze wzoru (8). Rezultat powyŜszych obliczeń porównać naleŜy z wielkościami obliczonymi według zaleŜności (6), którą moŜna przekształcić do wygodniejszej postaci: 4ρ Q 2 R = ρ QU = , N (9) πd 2 gdzie: Q - uśredniony strumień objętości wody, m3/s, ρ - masa właściwa wody, kg/m3, d - średnica otworu dyszy (dla omawianego stanowiska d = 0,005 m). Porównując reakcje R obliczone dwoma omawianymi metodami określić naleŜy względną róŜnicę ich wartości, która wynosi: R − Robl ε= 100, % (10) Robl Sprawozdanie z ćwiczenia naleŜy uzupełnić analizą wyników i własnymi spostrzeŜeniami. Literatura 1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1969 2. Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 1976 3. Prosnak W.J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1970 83 Tabela pomiarowo-obliczeniowa Lp. α tgα o - Q 1 2 l/min 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 84 Q R Robl ε m3/s N N % Dodatek B do ćwiczenia nr 9 Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej strumienia cieczy napływającego stycznie na zakrzywioną nieruchomą ściankę Zasada zachowania pędu w mechanice płynów dla przypadku przepływu płynu doskonałego (tzn. przy pominięciu napręŜeń stycznych) moŜe być zapisana w postaci równania: r r r (B1) ∫∫ ρ UU n + p n dS = ∫∫∫ ρ FdV ( ) S gdzie: r U S Un - V wektor prędkości, powierzchnia kontrolna ograniczająca wydzieloną część płynu, składowa wektora prędkości normalna do powierzchni kontrolnej, definiowana jako: r r r r r r U n = U • n = U n cos U , n ( ) p r n - V - ciśnienie, jednostkowy wektor normalny do powierzchni kontrolnej, skierowany na zewnątrz objętości płynu, objętość płynu ograniczona powierzchnią kontrolną S. W przypadku przepływu gazów, a takŜe przepływu cieczy w przewodach poziomych lub nieznaczne pochylonych moŜna - bez popełnienia większego błędu - pominąć siły masowe (grawitacyjne) i wówczas równanie (B1) przyjmie postać: r r ρ U (B2) ∫∫ U n + p n dS = 0 ( ) S W przypadku stycznego napływu swobodnego strumienia cieczy na wygiętą powierzchnię ciała stałego, powierzchnię kontrolną S (patrz rys. B1) moŜna podzielić na powierzchnie składowe: powierzchnie S0 i S1 okrywające się z przekrojami poprzecznymi strugi na wlocie i na wylocie wygiętej powierzchni ciała, powierzchnię swobodną strugi Sa, powierzchnię styku strugi i ciała Sc. Rys. B1. Definicja objętości kontrolnej płynu 85 Dla tak zdefiniowanej powierzchni kontrolnej zasada zmiany pędu (B2) przyjmuje następującą postać: r r r r ρ U U dS + ρ U U dS + ρ U U dS + ρ U U nc dS c + n0 n1 na a ∫∫ 0 ∫∫ 1 ∫∫ ∫∫ S0 S1 Sa Sc r r r r + ∫∫ p a n0 dS 0 + ∫∫ p a n1 dS1 + ∫∫ p a na dS a + ∫∫ p c nc dS c = 0 S0 S1 Sa (B2) Sc gdzie ciśnienia pod znakami całek są ciśnieniami bezwzględnymi. PoniewaŜ rozpatrujemy oddziaływanie strugi swobodnej to na powierzchniach kontrolnych S0, S1 i Sa, a takŜe pod powierzchnią ciała panuje ciśnienia pa, więc występujące na powierzchni Sc nadciśnienie jest róŜnicą p = pc – pa (B3) Struga cieczy oddziałuje na powierzchnię ciała stałego (powierzchnię kontrolną Sc) z r siłą reakcji hydrodynamicznej R , równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną do r siły oddziaływania P , i jest wypadkową elementarnych sił ciśnieniowych od nadciśnienia p występującego na powierzchni Sc: r r r R = − P = ∫∫ p nc dS c (B4) Sc Wykorzystując wyraŜenia (B3) i (B4), ostatnią całkę równania (B2) moŜna przekształcić do postaci: r r r r p n dS = ( p + p ) n dS = p n dS + R (B5) c c c a c c a c c ∫∫ ∫∫ ∫∫ Sc Sc Sc PoniewaŜ składowe normalne prędkości Un na powierzchni prądu Sa i na powierzchni Sc (równieŜ będącą linią prądu) równe są zero, zatem przez powierzchnie te nie odbywa się wymiana pędu: r r ρ U U dS = ρ U (B6) na a ∫∫ ∫∫ U nc dS c = 0 Sa Sc Zakładając, Ŝe strumień jest jednorodny w przekrojach S0 i S1, dwie pierwsze całki równania (B2) moŜemy napisać w postaci: r r ρ ρ U U dS = − Q U U n0 < 0 0 ∫∫ 0 n0 0 ( S0 r r ∫∫ ρU1U n1 dS1 = ρ Q U1 ) (U n 1 >0 ) (B7) S1 gdzie: Q = U n0 S 0 = U n1 S1 - strumień objętościowy strugi. Wykorzystując powyŜsze uproszczenia, wyraŜenie (B2) moŜna zatem przepisać w postaci: r r r r − ρ Q U 0 + ρ Q U1 + pa (B8) ∫∫ ndS + R = 0 S0 + S1 + S a + Sc Całka w powyŜszym równaniu jest równa zeru jako całka normalnej jednostkowej wzdłuŜ powierzchni zamkniętej, ostatecznie więc równanie (B8) moŜna zapisać: 86 r r r − ρ Q U 0 + ρ Q U1 + R = 0 (B9) Stąd wyraŜenie na reakcję hydrodynamiczna strugi przyjmie ostateczną postać: r r r R = ρ Q U 0 − U1 (B10) ( ) Literatura 1. Prosnak W., J.: Mechanika płynów, tom 1, PWN, Warszawa 1970 87