W9_Reakcje_dynamiczne

WYKŁAD 9
WYZNACZANIE SIŁ REAKCJI PŁYNU NA
CIAŁA METODĄ CAŁKOWEGO BILANSU
PĘDU
CAŁKOWA POSTAĆ ZASADY ZMIENNOŚCI PĘDU (RUCH STACJONARNY)
W Wykładzie nr 3 pojawiła się całkowa postać Zasady Zmienności Pędu zapisana dla
obszaru kontrolnego. Zapiszmy ją w następującej formie

(
t
 υ) dV 
 (υ) (υ  n) dS   σ dS    f dV
n
Załóżmy, że ruch płynu w obszarze Ω jest stacjonarny oraz, że zewnętrzne pole sił
objętościowych można zaniedbać. Powyższa równość całkowa uprości się wówczas do
postaci
 σ d S   (  υ)n d S
strumien pędu
przez brzeg obszaru
Otrzymaliśmy całkową formę ZZP dla ustalonego ruchu płynu. Zauważmy, że powyższa
równość zawiera wyłącznie całki po brzegu obszaru Ω! Lewa strona równości określa
całkowitą siłę powierzchniową działającą na płyn, który aktualnie przebywa w obszarze Ω.
1/12
Brzeg obszaru można podzielić na dwie części: „płynną” (przez nią płyn wpływa lub
wypływa do obszaru) i „materialną”, tj. będącą powierzchnią ciał znajdujących się w
kontakcie z płynem. Typowe sytuacje przedstawiono na poniższych schematach. Należy
zwrócić uwagę na zwrot wersora normalnego n.
Formuła całkowa ZZP może być zatem zapisana następująco
n


σ dS 
body

(  υ)n dS 


σ dS
fluid
fluid
n
F
gdzie F jest wektorem siły reakcji płynu na ciało.
Jeżeli założymy, że materialna część powierzchni jest dla płynu
nieprzenikalna to składowa normalna prędkości na tej
 0.
powierzchni jest równa zeru: n 
body
body
fluid
n
body
n
2/12
Ostatecznie, otrzymujemy całkową formułę dla siły reakcji (dynamicznej) płynu na ciało w
postaci
F 


(  υ)n dS 
fluid


σ dS
fluid
Otrzymany wzór jest słuszny dla dowolnego płynu (ściśliwego, nieściśliwego, lepkiego,
idealnego).
Załóżmy teraz, że płyn jest nieściśliwym płynem newtonowskim. Wiemy już, że
jednostkowa siła powierzchniowa (naprężenia) dane są z tym płynie wzorem
σ   p n  2 Dn
Po podstawieniu, otrzymujemy następujący wzór na siłę reakcji F
F 


fluid
(  υ)n dS 


fluid
p n dS  2


Dn dS
fluid
3/12
Ostatnia całka jest zwykle trudna do policzenia. Niekiedy, możemy wykorzystać swobodę
wyboru obszaru w celu zapewnienia, że udział tej całki w całym wzorze będzie
zaniedbywalnie mały. W prostych zadaniach inżynierskich („akademickich”) będziemy
zakładać, że całka ta jest do pominięcia. Oczywiście, składnik z lepkością znika
tożsamościowo, jeśli posługujemy się modelem płynu idealnego.
Uproszczona formuła dla siły reakcji dynamicznej ma zatem postać
F 


( υ)n dS 
fluid


p n dS
fluid
Jeżeli powierzchnia  fluid jest powierzchnią zamkniętą to modyfikacja ciśnienia o dowolną
stała wartość pa jest dopuszczalna, bowiem nie zmienia wartości siły. Wynika to z
następującej równości


fluid
pa n dS  pa


n dS  0
(dlaczego?)
fluid
4/12
Formuła przyjmuje postać
F 


fluid
(  υ)n dS 


( p  pa ) n dS
fluid
Zwykle, użycie jej w takiej formie prowadzi do pewnego uproszczenia obliczeń. Typowym
przypadkiem jest obliczanie reakcji od swobodnego strumienia cieczy (vide Ćwiczenia)
W niektórych przypadkach odjęcie od ciśnienia stałej odpowiadającej wartości ciśnienia w
otoczeniu jest niezbędnym warunkiem wyznaczenia poprawnej wartości reakcji dynamicznej
„netto” (bez składnika napory statycznego).
5/12
Przykład (abstrakcyjny): W obszarze kontrolnym znajduje się pewne urządzenie
przepływowe, które rozdziela wpadający strumień cieczy na dwa – jak na schemacie. Należy
obliczyć składowe reakcji dynamicznej na to urządzenie.
Ponieważ przepływ odbywa się wyłącznie przez wlot i wyloty oraz ciśnienie na wylotach jest
równe ciśnieniu otoczenia pa, możemy przyjąć, że   S1  S2  S3
Wlot S1:
n  e1  [1, 0] , υ  QA e1  [ QA , 0] , n  υ  n   QA
S (υ)n dS  S ( p  p ) n dS
a
1
1
 [  ( QA )2 A 
pn A]e1  ( 
Q2
A
 pn A)e1
pn
6/12
Wylot S2:
n  e1  [1, 0] , υ 
1Q
4
1A
2
e1  [ 2QA , 0] , n  υ  n  2QA
Q 2 1
(

υ
)

dS

(
p

p
)
n
dS


(
n
a
2 A ) 2 Ae1 


S2
S2
 
1
8
Q2
A
0
e1
Wylot S3:
n  e2  [0, 1] , υ 
3Q
4
1A
2
3Q
e2  [0, 3Q
]
,


υ

n

n
2A
2A
S (υ)n dS  S ( p  p ) n dS 
a
3
3
2 1
 ( 3Q
)
2A 2
Ae2  
9
8
Q2
A e2
0
Finalnie, siła reakcji dana jest wzorem:
Q2
Q2
Q2
9
1
F  (  A  pn A)e1  8  A e1  8  A e2
Q2
Q2
7
9
 ( 8  A  pn A )e1  (  8  A )e2
F1

F2
7/12
NAPRĘŻENIA A WIROWOŚĆ W PŁYNIE
Wyprowadzimy eleganckie formuły dla naprężeń na powierzchni ciała i siły
aero/hydrodynamicznej. Przy okazji, zobaczymy związek pomiędzy tymi wielkościami a
wirowością płynu.
Punktem wyjścia jest ogólna formuła dla siły powierzchniowej w płynie
F
 σ dS   Ξ n dS .
Wykorzystamy związek reologiczny w płynie newtonowskim
Ξ   p I  2 D   p I  2 υ  2 R
gradient
prędkosci
Ponieważ
to
.
tensor
obrotu
Rn   21 n  ( υ)   21 n  ω
σ  Ξ n   p n  2 υ  n   n  ω.
8/12
Zachodzi następujące twierdzenie:
Jeżeli
 υ  0
(płyn nieściśliwy) i
υ   0
to
υ  n  n  ω  0 .
Dowód:
Ponieważ υ

 0 to powierzchnia  jest izopowierzchnią dla wszystkich składowych
pola prędkości (są one na niej równe zeru), zatem gradienty tych wielkości muszą być polami
wektorowymi prostopadłymi do brzegu  .
Wobec tego, możemy napisać równości
 j
 j  n  0 
  j nk , k  1, 2, 3

 xk
prawdziwe dla pewnych liczb rzeczywistych j (j = 1, 2, 3).
Następnie, w notacji indeksowej mamy równości
n  ω ijk n j k ei
,
υ  n 
i
 xj
n j ei
9/12
Po podstawieniu otrzymujemy
υ  n  n  ω  ( x j i ijk k ) n j ei  ( x j i ijkk

 x
 ) n j ei 
  x j i  ( i  j   i  j ) x   n j ei  ( x j i  xi  j  x j i ) n j ei 


 x  j n j ei  ( x  j n j  x  j ni ) ei  ( j ni n j   j n j ni ) ei  0
i
i
j
 υ0
zgodnie z tezą twierdzenia. █
Otrzymaną równość możemy wykorzystać we wzorze na wektor naprężeń, który uprości się
do postaci
σ   p n   n ω
Zauważmy, że p n  n  0 i (n  ω)  n  0 co oznacza, że pierwszy składnik opisuje
naprężenia normalne, a drugi – naprężenia styczne na powierzchni   .
10/12
Siła działająca na ciało może być zatem obliczona ze wzoru
( p n   n ω) dS


F 
Ciekawe, że powyższy wzór można wyprowadzić bez założenia, że prędkość punktów
brzegu jest równa zeru!.
W rzeczy samej, podstawienie wyrażenia na naprężenia daje
F
 σ dS   p n dS  2  υ  n dS    n  ω dS .
Mamy jednak
 υ  n d S


tensorowy
wariant GGO
 Div (υ) d x  
υ d x 
Laplasian
prędkosci
   (  υ ) d x     (   υ ) d x      ω d x

0

ω



GGO dla
rotacji

 n  ω d S
11/12
Mamy zatem wzór
F    p n dS  2

 n  ω dS    n  ω dS   ( p n   n  ω) dS
Zauważmy, że wyprowadzona wcześniej formuła dla naprężeń bez założenia zerowania
prędkości brzegowej nie obowiązuje. Wynika z tego, że dodatkowy składnik w
„hipotetycznej” formule opisującej rozkład naprężeń na ruchomym brzegu nie daje udziału do
całkowitej siły aerodynamicznej.
12/12