kwantowe metody fizyki ciała stałego

KWANTOWE
METODY
FIZYKI
CIAŁA STAŁEGO
II - IV 2013
Wysłuchał, spisał i opracował
Piotr Klejment
UWAGA!!!
NINIEJSZE OPRACOWANIE
MOŻE ZAWIERAĆ BŁĘDY!
Wykład 1
27 III 2013
Ruch jonów można opisywać metodami analitycznymi lub metodami dynamiki molekularnej
i badać wzbudzenia. W naszym przypadku ruch jonów będzie opisywany od strony
analitycznej, ale można też wykonać opis przy pomocy metod numerycznych, metod
dynamiki molekularnej lub metod ab initio (wyznaczenie macierzy stałych siłowych i
bezpośrednie wyznaczenie drgań).
Fonony to kwanty drgań sieci. Ze względu na sąsiednie atomy nie możemy rozpatrywać
drgań pojedynczego atomu, należy rozważyć układ powiązanych ze sobą równań
uwzględniających kolektywny charakter drgań cieplnych w ciele stałym. Zamiast w
przestrzeni położeń, bierzemy pod uwagę układ w przestrzeni pędów, gdzie możemy
hamiltonian rozpatrywać i diagonalizować.
Przypadek oddziaływania jednocząstkowego elektron-sieć i elektron-elektron jest trudny do
rozpatrzenia, więc stosujemy przybliżenie elektronowe. Potencjał elektron-elektron
zastępujemy przez oddziaływanie konkretnego elektronu z efektywnym polem od innych
elektronów. Zamiast rozpatrywać zderzenia elektronu, obecność elektronów opisujemy, przez
jednocząstkowy efektywny potencjał uwzględniający efekty oddziaływania.
Stosujemy różne metody, najprostsza jest metoda Hartree-Focka, w której wszystkie
elektrony dają pewne średnie pole niezależne od czasu, w którym to polu porusza się elektron.
Jest to podstawowe przybliżenie dla ciał stałych.
Wady tego przybliżenia
- nieuwzględnienie, że pole średnie modyfikowane jest przez ruch innych elektronów
- pole powinno zależeć od czasu – nie uwzględniamy korelacji między elektronami tylko
oddziaływania wymienne.
Inne metody, jak metody z pierwszych zasad, uwzględniają średnie pole zależne od ruchu
elektronów.
Wektory własne tworzą bazę w przestrzeni Hilbetra, co pozwala na liniowe przedstawienie
funkcji bazy.
Spin. W przypadku elektronu spin ½, moment pędu może spełniać warunki relacji komutacji i
fakt, że długość momentu pędu jest skwantowana. Żeby mówić o spinie wprowadzamy
dwuwymiarowe operatory macierzowe, funkcja stanu będzie dwuwymiarową kolumną zwaną
spinorem. Dwie składowe wektora pędu muszą spełniać warunek komutacji. Spinowy wymiar
przestrzeni Hilberta spinowy jest zależny od spinu danej cząstki. Musimy operować w
przestrzeni dwuwymiarowej.
Dowolny stan elektronu to spinor z częścią przestrzenną i częścią spinorową.
1 
Funkcja spinowa. Jeżeli funkcja spinowa to   to stan spinowy to (1,0) i w ten sposób obie
0
funkcje są unormowane do 1. Funkcje spinowe są do siebie ortogonalne. Jeżeli mamy
Hamiltonian niezależny od spinu, to iloczyn funkcji przestrzennej i funkcji spinowej będzie
funkcją falową.
Stany jednocząstkowe. całka=suma po współrzędnych spinowych i przestrzennych, co jest
rónwe delcie Kroneckera.
Układ funkcji jest zupełny, co oznacza, że sumowanie po stanach kwantowych prowadzi do
delty Diracka.
Rozkład Fermiego-Diracka.
Dla układu fermionów mówimy o kuli Fermiego: wszystkie możliwe dozwolone stany
znajdują się w kuli o promieniu równym wektorowi kuli Fermiego.
T = 0K EF =
h 2 k F2
2m
Bozony charakteryzujemy przy pomocy funkcji Bosego-Einsteina. Wszystkie bozony mogą
znajdować się w tym samym stanie energetycznym - kondensacja.
Teoria dla układu identycznych cząstek.
Jeśli wprowadzimy operator permutacji, to będzie on komutował z hamiltonianem, stąd
operator permutacji musi mieć takie same funkcje własne jak hamiltonian i mieć rzeczywiste
wartości własne λ.
Funkcja symetryczna odpowiada bozonom, a antysymetryczna fermionom. Jest to postać
zsymetryzowana ze współczynnikami A i B. Hamiltonianu układu n cząstek nie można
zapisać w postaci hamiltonianów jednocząstkowych.
Dla ferminów pojawia się wyznacznik Slatera. Wyznacznik ten uwzględnia
antysymetryczność funkcji falowej oraz Zakaz Pauliego – pojawiają się dwa identyczne
wiersze dla identycznych stanów.
Elektrony można opisać jako gaz fermionów z oddziaływaniami uwzględnionymi przez
efektywne pole.
Reprezentacja liczb obsadzeń.
[x, p] = i , założenie ze h =1
1

Wartości własne En = ω  n +  dla n=0,1,2,...
2

Operator hermitowski sprzężony A i A+ (kreacji i anihilacji) wyrażony przez kombinację
operatorów x i p. Operator anihilacji niszczy jedno wzbudzenie.
Wykład 2
06 III 2013
Reprezentacja drugiego kwantowania
Rozważmy układ bozonów – funkcja falowa w tym przypadku jest symetryczna, a więc
−
1
2 ikr
łatwiejsza. Reprezentacja drugiego kwantowania: stan jednocząstkowy ϕi (r ) = Ω e .
Funkcje ϕ tworzą bazę, to układ ortonormalny i zupełny. Dowolną funkcję falową w takiej
bazie można przedstawić jako kombinację stanów układu, albo przez funkcję ϕ i układ liczb
kantowych opisujących liczbę bozonów w odpowiednich jednocząstkowych stanach.
W takiej bazie definiujemy operator kreacji a s+ przeprowadzający do nowego stanu
większego o jeden bozon – następuje kreacja jednego bozonu.
stosowany dla unormowania.
Operator anihilacji a s
sprzeżony hermotowsko z a s+
ns + 1 to współczynnik
działa następująco: operator
∧
jednocząstkowy 1, operator ... ... pozwala na liczenie elementów macierzowych tego
operatora. Anihiluje jeden bozon w określonym stanie jednocząstkowym
as n1 , n2 ,..., ns = ns n1, n2 ,..., ns −1
a s+ a s to operator liczby cząstek w wartością własną ns podającą liczbę cząstek (bozonów) w
ściśle określonym stanie jednocząstkowym.
Reperezentacja drugiego kwantowani cd
Działając as as+ otrzymujemy as as+ n1 , n2 ,..., ns ,... = (ns + 1) n1 , n2 ,..., ns ,...
Niezależnie od
funkcji bazy as as+ − as+ as daje 1. Wektor stanu może być dowolny. Pozwala to na
wprowadzenie reguł komutacji. Dla bozonów jest to obojętne, bo wszystko komutuje, ale już
nie dla fermionów.
RDK dla bozonów
Stan próżni 0 = 0,0,0,...,0,...
Działając na stan próżni operatorem kreacji przechodzimy do stanu jednocząstkowego.
Operator anihilacji anihiluje bozon. Działąnie wektroa a s na wektor próżni jest równe 0.
Obsadzenia stanów dla N cząstek. N bozonów może być w jednym stanie lub w różnych
stanach w danym układzie.
Zapis hamiltonianu: zawiera on wyrazy jednocząstkowe (energia kinetyczna pola
zewnętrznego) lub człony dwucząstkowe (energia bozon - bozon).
Operator w RDK
F = ∑ f mn am+ an gdzie f mn to element macierzowy
m
Operator energii kinetycznej T = ∑ ε k a k+ a k
k
Operator f działa na funkcję ϕ l , w efekcie otrzymujemy jakąś inną funkcję, będącą
kombinacją liniową funkcji bazy.
(wzór)
Operator F działa tylko na stan i-tej cząstki
W efekcie działania operatora a n na Πa + 0 zostaje anihilowany jeden bozon w konkretnym
stanie kwantowym.
(wzór)
Działanie operatora na pełny wektor stanu FΠa + 0 =suma po mn co jest sposobem zapisu
wyrazów jednocząstkowych.
RDK dla bozonów
k i , k j dwa oddziaływujące bozony, które wzajemnie się rozpraszają i pojawiają się one w
nowych stanach kwantowych. Dlatego operator dwucząstkowy v musi zawierać cztery
operatory.
Technika diagramowa – dla powierzchni bozonowych i fermionowych tzw pola Feynmana
OPERATORY POLOWE
Zamiast operatorów kreacji i anihilacji, możemy zbudować operator ϕ używając funkcji
jednocząstkowych, który wykreuje cząstkę w ściśle określonym punkcie, a nie stanie.
Operatory te muszą spełniać relacje komutacji. Dla ν ≠ ν , nie komutują operatory. Operator
energii kinetycznej można wyrazić za pomocą operatorów polowych.
RDK dla fermionów (identycznych)
Dla N elektronów – funkcja falowa musi mieć własność antysymetrii zapisaną za pomocą
wyznacznika Slatera. Wektor stanu: działamy operatorem na stan próżni i kreujemy elektrony.
W RDK dla fermionów musimy mieć odzwierciedlenie antysymetryczności co wiąże się z
zakazem Pauliego (wyznacznik Slatera jest równy zero dla cząstek w tym samym stanie).
{
}
Przestawienie dwóch operatorów zmienia znak ci+ , c +j - antykomutator
Wektor sprzężony jest odwrotny do wektora stanu, kolejność operatorów jest istotna dla
fermionów. Wektory te muszą być unormowane. Dwa operatory fermionowe spełniają relację
antykomutacji.
Jeżeli stan próżni jest unormowany, to stan ϕ tez jest unormowany. Korzystamy z relacji
antykomutacji c N c N+ = 1 − c N+ c N (ostatni wyraz zawsze daje zero)
{c
}
, c N+ = 1
Operatory bozonowe spełniają rolę komutatora, a operatory fermionowe spełniają rolę
antykomutacji. Spełnione są też relacje ortogonalności.
N
RDK dla fermionów
Wektor bazy składa się albo z 0, albo z 1. Jeżeli stan jest obsadzony, to operator kreacji daje
0.
1 − nk to czynnik zabezpieczający przed wykreowaniem dwóch fermionów.
(− 1)m związane jest z antysymerią funkcji falowej.
ck+ operator kreacji, ck− operator anihilacji, iloczyn ck+ ck daje stan własny i operator liczby
cząstek
RDK dla fermionów
cs+ 0 = 1 cs+ 1 = 0 - albo mamy cząstkę, albo jej nie mamy
Dal fermionów występują operatory jedno i dwu cząstkowe z istotną kolejnością operatorów
Gaz elektronowy.
kδ funkcja bazy. Hamiltonian H zawiera człon jedno i dwucząstkowy. Dla stanów
jednocząstkowych własnych hamiltonian H kδ =ε k kδ , gdzie ostatni wyraz to stany
własne. Zasada zachowania pędu i spinu jest spełniona
Operatory polowe fermionowe
Operator kreacji lub anihilacji w punkcie x, a dokładniej w punkcie mającym współrzędną χ
Ortonormalność ∫ ϕ k+ ( x )... = δ kr
Zupełność
∑ ϕ (x )... = δ (x − x′)
i
i
Wykład 4
20 III 2013
Hamiltonian H=(Tjon+Vjon-jon)+(Te+Ve-e)+Ve-j
Pełna funkcja falowa zależy od położeń jonów i elektronów.
W fizyce ciała stałego stosujemy przybliżenie adiabatyczne wykorzystując fakt, że masa
jonów jest dużo większa niż masa elektronów. Dokonujemy separacji na dwa podukłady.
Jak opisać ruch jonów? Wiąże się to z fononami. Zakładamy, że siatka jest dyskretna i
dokonujemy opisu przy pomocy metod II kwantowania. Fonony w jednowymiarowej sieci –
układ z N komórek elementarnych, wszystkie atomy jednakowe, Rn położenie n-tej komórki,
Qn -wychylenie. Nakładamy periodyczne warunki brzegowe, czyli jednowymiarowy układ
zamykamy w pierścień, czyli wychylenie n-tego atomu jest takie samo jak n+1 atomu.
Warunki Borna-Karmana: nie uwzględniamy powierzchni, stosowane w materiałach
objętościowych. Omawiamy układy masywne i zapominamy, że kryształ ma powierzchnię.
Bierzemy funkcją Lagrange’a, energia kinetyczna i potencjalna, ograniczamy się do wychyleń
II rzędu na poziomie harmonicznym. Uwzględniamy przede wszystkim oddziaływania
najbliższych sąsiadów, g to stała siłowa, energia.
Wprowadzamy pęd uogólniony i hamiltonian. Energia kinetyczna jest niediagonalna.
Wykorzystujemy fakt symetrii periodycznej i wprowadzamy transformatę Fouriera, co
diagonalizuje hamiltonian.
Konsekwencją warunków brzegowych jest wektor falowy o quasi-dyskretnych wartościach.
Wartości wektora jest tyle, ile komórek w układzie. Ograniczam sie do I strefy Brilloinea.
Qn to suma po wszystkich wektorach w I strefie Brillouine’a. Najprostszy przypadek Rn=na,
suma po dyskretnych położeniach sieci daje deltę. Z takich relacji korzysta się w przypadku
masywnych ciał stałych.
Przejdźmy do kwantowania. W hamiltonianie p i q zastępujemy przez operatory spełniające
relację komutacji. Qn opisujące wychylenia musi być rzeczywiste, więc Qk=Q-k+
Podobnie fourierowska transformata dla pędów. W pn jest minus dla spełnienia relacji
komutacji. Wstawiamy operatory do hamiltonianu, otrzymujemy energie kinetyczną w postaci
diagonalnej, podobnie energia potencjalna, ona również jest diagonalna.
Hamiltonian ma postać identyczną jak dla oscylatora. Przechodzimy od zależnych do
niezależnych oscylatorów w przestrzeni pędów, drgających z częstotliwością ωk.
Kwantowanie opisu za pomocą operatora kreacji i anihilacji. Nowe operatory spełniają
bozonowe relacje kreacji i anihilacji. Otrzymujemy hamiltonian, energia jest równa sumie
pojedynczych wzbudzeń. Jest to hamiltonian układu nieodziaływujących bozonów.
Wykreowany przy pomocy operatora bozon to fonon. Operator liczby wzbudzeń to operator
fononowy. W przestrzeni wektorów falowych fonony ze sobą nie oddziaływują - odpowiadają
one kolektywnym wzbudzeniom sieci. Liczba fononów w układzie jest równa liczbie atomów.
Liczba wzbudzeń taka sama, jak liczba atomów też, ale są to wzbudzenia kolektywne, więc
pochodzą od całej sieci. W takim układzie propagują fale, gdy długość fali ka<<1, gdzie
2Π
a << 1 . Są to mody długofalowe, więc stała sieci a << λ jest dużo mniejsza od długości
λ
fali.
Gdy k zbliża się do granicy strefy, wtedy na fonony ma wpływ dyskretność sieci. Dla modów
długofalowych k->0, wtakim przypadku mamy fonony akustyczne, w ich przypadku nie ma
wpływu dyskretność sieci. Jeżeli temperatura jest odpowiednio wysoka, to kwantowanie
modów nie odgrywa roli.
Qn - operator wychylenia z położenia równowagi n-tego atomu, sumujemy po wszystkich
modach
Sieć złożona. Nakładamy perioduczne warunki brzegowe i tworzymy pierścień, co pozwala
na wprowadzenie transformaty Fouriera. Dla uciętego kryształu nie da się użyć transformaty
Fouriera. Energia kinetyczna jest taka sama, indeks s przyjmuje dwie wartości. Bardziej
złożona jest energia potencjalna na poziomie harmonicznym. Zakładamy, że stałe siłowe są
takie same. k przyjmuje n wartości, bo mamy n komórek. Energia kinetyczna jest diagonalna,
energia potencjalna nie może być zdiagonalizowana tylko przy pomocy transformaty fouriera,
więc pojawia się współczynnik zwany macierzą dynamiczną. Jest to coś, co musimy określić,
rozwiązując zagadnienie drgań sieci.
W jednowymiarowej sieci mamy tylko podłużne drgania. Badając fonony najważniejsza jest
macierz dynamiczna. W oparciu o równania ruchu piszemy lagranżjan, mamy układ dwóch
równań, rozwiązaniami będą fale. Podstawiając Qks do równania lagrange’a otrzymujemy
układ równań jednorodnych, z którego przechodzimy do równania charakterystycznego. Przy
jego pomocy liczymy wektory własne. W ω kp2 są dwa rozwiązania.
Liniowa relacja dyspersji – bo takie samo wychylenie w modach akustycznych, inaczej w
modach optycznych.
Diagonalizacja hamiltonianu. Z Q i D przechodzimy do naszych operatorów K i П.
Zapisujemy nowe operatory, operator pędu П skonstruowany jest ze starych operatorów pędu
P oraz współczynników określających polaryzację oraz masę. Wektory polaryzacji e muszą
*
spełniać warunki ortogonalności i zupełności. Dodatkowo eksp
= eksp , ponieważ operatory
muszą być hermitowskie. Pozwala to na diagonalizację hamiltonianu.
Diagonalizujemy hamiltonian i otrzymujemy hamiltonian odpowiadający sumie niezależnych
oscylatorów, p określa typ gałęzi - optyczny lub akustyczny. W każdym przypadku chodzi o
dojście do hamiltonianu opisującego niezależne oscylatory.
Dalej wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji i otrzymujemy typowy hamiltonian
zapisany w reprezentacji II kantowania, czyli w postaci układu nieoddziałujących bozonów.
Fonony w krysztale, mamy siec z bazą, czyli na komórkę elementarną przypada δ
nierównoważnych atomów, Qn wychylenie, s – wartości od 1 do δ, Q musi być wektorem, bo
to kryształ 3D, masy mogą być różne. Piszemy energię potencjalną na poziomie
harmonicznym, Gnsn’s’ tensor stałych siłowych, dla konkretnego materiału największym
problemem jest określenie właśnie tensora, który wiąże się z macierzą dynamiczną.
Zapisujemy hamiltonian, korzystamy z symetrii periodycznej, możemy wziąć transformatę
fouriera, wprowadzamy nowe wektory Q i P. Dzięki transformacie fouriera częściowo
diagonalizujemy hamiltonian. Mamy zdiagonalizowaną enenergię kinetyczną, pozostaje
energia potencjalna. Tensor G jest inwariantny względem translacji (zależy od względnych
położeń komórek elementarnych). Skorzystanie z inwariantności G pozwala na podział na
dwies sumy, ta transforemata nosi nazwę macierzy dynamicznej kryształu.
Po transformacie fouriera otrzymujemy hamiltonian, ale energia potencjalna dalej nie jest
diagonalna. dochodzimy do układu 3δx3δ równań jednorodnych, więc mamy 3δ częstości
własnych. Schemat: tensor->macierz dynamiczna->diagonalizujemy ją
Na ogół energia modów podłużnych jest większa niż poprzecznych. Mody podłużne to
naprężenia ścinające i rozciągające.
Eksperymentalne widmo fononów – metoda niesprężystego oddziaływania neutronów z
jądrami atomów, przy czym spełnione musi być zasada zachowania pędu (k – wektro sieci
odwrotnej) i zasada zachowania energii. Zliczamy neutrony opuszczające kryształ,
otrzymujemy maksima, które odpowiadają oddziaływaniu neutronu z fononem. Rozpraszanie
neutronu to podstawowa zasada pozwalająca na wyznaczenie relacji dyspersji dla fononów.
Oddziaływania fonon – fonon
Na poziomie harmonicznym niezależnie od złożoności sieci możemy zapisać hamiltonian w
reprezentacji drugiego kwantowania. n̂kp to operator liczby cząstek, który komutuje z
hamiltonianem, więc liczba cząstek jest stała.
Dla oddziaływań anharmonicznych otrzymamy oddziaływania fonon-fonon.
n,m,l – komórki elementarne, Qnα operator wychylenia z położenia równowagi, W – potencjał
anharmoniczny, p,s – gałęzie.
Zmiany liczby fononów mogą propagować w postaci fal o prędkości ω k = vk . Są to fale
związane ze zmianą koncentracji i noszą nazwę drugiego dźwięku w przeciwieństwie do
pierwszego dźwięku, czyli zwykłych fal dźwiękowych w kryształach.
Wykład 5
27 III 2013
Długofalowe fonony optyczne w kryształach jonowych
Układ jonów dodatnich i ujemnych. W sieci 3D wychylenie z położenia równowagi jest
wektorem, wiec możemy mówić o modach podłużnych i poprzecznych.
R+, R- położenia jonów dodatnich i ujemnych, R – względne przemieszczenie jonów.
1 •2
1
Energia kinetyczna takiego układu T = R i energia potencjalna Vel = ω 2 R 2 związana z
2
2
przemieszczeniem elastycznym jonów. Dla drgań tylko poprzecznych nie będzie pola
elektrycznego. Drgania podłużne związane są z kontrakcją i dylatacją pola.
Przemieszczanie jonów z położenia równowagi będzie prowadzić do polaryzacji ośrodka,
więc w równaniach ruchu pojawi się dodatkowy człon związany z polaryzacją. El będzie
wiązana z Rl. Drgania podłużne w wyniku polaryzacji będą się odbywały z większą
częstotliwością. Polaryzacja z przemilczeniem jonu dodatniego to polaryzacja wewnętrzna.
γ to współczynnik, lagranzajan=energia elastyczna + energia z polaryzacji
Przykładamy stałe pole i mamy stałe przemieszczenie jonów R0. P to wektor polaryzacji.
Część jonowa i przesunięcie = polaryzacja. W stałym polu R0 można tez zapisać z ε0, ε0 to
względna przenikalność dielektryczna ośrodka w stałym zewnętrznym polu
Gdy występuje wyłącznie polaryzowalność jonowa, to rozważamy zmienne pole o wysokiej
częstości drgań. Gdy jon nie nadąża za zmiennym polem R średnie będzie równe 0. W silnym
polu P∞ = γ 22 E lub z ε0 – graniczna wartość dielektryczna w przypadku pól o dużej częstości
Drugi współczynnik γ 12 w polu statycznym
Wracamy do przypadku drgań podłużnych wywołujących pole, ale bez zewnętrznego pola
D = 0 ⇒ ε 0 El + Pl = 0 gdzie Rl wychylenie podłużne jonów, El wychylenie podłużne pola
Otrzymamy − ε 0 El = γ 12 Rl + γ 22 El gdzie El = −
γ 12
Rl i wstawiamy to do równania ruchu
ε 0 − γ 22
z nową częstością ωl. Częstość drgań podłużnych przez częstości drgań poprzecznych jest
ωl
ε0
równa
=
co stanowi prawo LST dające zależność dla modów optycznych. Częstość
ωt
ε∞
drgań podłużnych jest zawsze większa przez polaryzację.
Do tej pory układ nie był zaburzony z zewnątrz. Teraz będziemy rozpatrywać kryształ
jonowy, na który skierujemy strumień fotonów, czyli falę elektromagnetyczną. Może mieć
miejsce oddziaływanie fotonów z fononami. W pewnym zakresie wektora falowego i
częstości następuje pochłanianie fali, w innym przypadku fala przechodzi bez zmian, Na
wskutek oddziaływania foton-fonon powstają wzbudzenia elementarne nazywane
polarytonami
hamiltonian H=Hfotony+Hfonony+Hoddziałwyania obu ukłądów
Najpierw Hfotonów (Hf w reprezentacji drugiego kwantowania), układ nieoddziałujących
bozonów/fotonów. Dla fali elektronowej w krysztale prędkość nie będzie wynosić v=c, tylko
c
. Zmiana fali elektromagnetycznej w krysztale uwzględnia polaryzowalność
inne v =
e∞
wewnątrz jonów, co zmienia vFE. Dokonujemy opisu przy pomocy równań Mazwella.
Lagranżjan: z polem wiąże się gęstość energii + gęstość energii związanej z indukcją
magnetyczną. Równanie lagranża dla pola elektronowego to równanie maxwella. Zamiast pól
→
E i B potencjał wektorowy A. Dzięki cechowaniu div A = 0
Piszemy równanie lagrange’a i wiążemy z polem elektrycznym i otrzymujemy równanie
Maxwella. Pozostałe równania Maxwella też możne otrzymać. Z równaia falowego
wyznaczamy prędkość fali elektromagnetycznej. Wprowadzamy M – gęstość pola
elektromagnetycznego. Pęd bezpośrednio wiąże się z polem elektrycznym.
Potencjał wektorowy zapisujemy w postaci transformaty fourierowskiej. Dwa fotony o
różnych polaryzacjach eg i eB są do siebie ortogonalne. Wstawiamy do lagranżajnu, mamy
gęstość hamiltonianu i możemy scałkować dla objętości kryształu.
Kwantowanie pola elektromagnetycznego
Suma hamiltonianu oscylatorów harmonicznych w Hf. Normalnie mω2 a odpowiednik tutaj to
ε 0ε ∞ 1
c2 2 ∞
2
Q = ∞ Q ε 0ε
∞
µ 0 ε 0ε
ε
Pole polaryzacji
P = γ 12 R + γ 22 E
Polaryzacja jest proporcjonalna do przemieszczenia jonów. Energię kinetyczna i energię
potencjalna można wyrazić w zależności od wektora polaryzacji, ωt częstość drgań własnych
w nieobecności pola. Pojawia się pole elektromagnetyczne.
Jak obliczyć β? Polaryzacja w stałym polu. Mając L liczymy pęd uogólniony M i П.
Przechodzimy do gęstości hamiltonianu. Polaryzowalność pola wpływa na prędkość fotonów,
obecność pola zmienia częstość drgań jonów.
Kwantujemy pole polaryzacji, wprowadzamy dwa nowe operatory P i П (odpowiedniki
położeń i pędów). Drgania z ωl, człon opisujący sprzężenie pól Hint, Pk –współczynnik
opisujący niediagonalny wyraz.
Wykład 6
03 IV 2013
→
→
Dwa człony polaryzacji p = α12 R . Ostatni wyraz w lagranżjanie opisuje oddziaływanie obu
pól. Z lagranżajnu przechodzimy do hamiltonianu. Obecność pola zmienia częstość drgań
jonów, więc drgania zachodzą z określoną prędkością dla kryształu.
Kwantowanie pola polaryzacji
Mamy gęstość hamiltonianu, liczymy hamiltonian H p = ∫ d 3 rΗ p
Transformata P =
1
Ω
1
2
∑P e
k
k
ikr
Π=
1
Ω
1
2
∑Π
k
e − ikr
k
1
d 3 re i (k + k ' ) = δ k , − k ' pozwala to na zapisanie hamiltonianu w postaci identycznej jak dla
∫
Ω
oscylatora harmonicznego
H=
1
2β
∑α Π α Π
k
k
− kα
1
+ βω l2 ∑ Pkα P− kα
2
kα
każdy oscylator drga z ωL.
Wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji i zapisujemy hamiltonian jak dla układu
niezależnych oscylatorów harmonicznych.
Oddziaływanie fononów optycznych z fotonami
Fonon z fotonem oddziałują tylko wtedy, gdy mają takie same wektory falowe.
Oddziaływanie to prowadzi do pochłaniania fali przez kryształ. Mamy hamiltonian, który
oprócz wyrazów diagonalnych zawiera wyrazy niediagonalne. Wzbudzenia powstałe przez
pochłonięcie fali opisujemy przez diagonalizację hamiltonianu.
Z transformacji Bogolubowa układ czterech równań na współczynniki u, ωk – częstość
fotonu, ωl – częstość fononu, ωu – częstość nieznana
Dla k->0 otrzymujemy gałąź odpowiadającą częstości ω, drugie rozwiązanie odpowiada
fotonom propagującym w krysztale o współczynniku ε → ∞ . W granicy małych
otrzymujemy albo fotony albo fonony. W widmie fononów pojawia się przerwa energetyczna.
Drgania plazmy. Rozpatrujemy gaz elektronowy na tle dodatkowych jonów, gaz może się
przemieszczać względem jonów lub odwrotnie. Będą generowane plazmony. Plazmony są to
mody podłużne. Najpierw rozpatrzmy drgania plazmy od strony makroskopowej. Gdy gaz
elektronów zostanie przesunięty wobec tła jonów dodatnich, to pojawia się pole dążące do
przywrócenia równowagi. Piszemy równanie ruchu. n-koncentracja. Równania typu
oscylatora harmonicznego
Plazmony. Rozważamy mikrokopowo. ρ0 to gęstość gazu elektronowego równowagowa,
zakładamy jednorodne tło ładunków dodatnich, r określa przemieszczenie, zmiana wektora r
∂Rα
to jego dywergencja
∂xα
Potencjał liczymy z równania Poissona, potencjał wywoływany przez fluktuacje gęstości.
Mamy hamiltonian stosujemy symetrię periodyczną, wektor R przedstawiamy w postaci
transformaty fourierowskiej. Fluktuacje gęstości ładunku opisane są przez dywergencję
wektora R. Fluktuacje ładunku prowadzi do powstania potencjału spełniającego równanie
Poissona. Plazmony można obserwować w cienkich płytkach metalicznych, przez które
przechodzi elektron o dużej energii.
Przybliżenie adiabatyczne
Część druga, rozpatrujemy elektrony poruszające się w polu nieruchomych jonów.
Gaz elektronowy. Przybliżenie jednoelektronowe.
Przybliżenie Hartree. Minimalizacja energii poprzez procedury wariacyjne. Wariancja energii
ma być równa zero ∂E = 0 ⇒ E = min
Metoda Hartree nie uwzględnia antysymetryczności funkcji falowych i spinu.
Przybliżenie Hartree-Focka.
Funkcja przestrzenna zależy do części przestrzennej i spinowej. Funkcje tworzą układ
ortonormalny. Z wyznacznika Slatera liczymy średnią energię. Funkcja jest w postaci
wyznacznika, więc obliczenia trudniejsze.