VII. Drgania układów nieliniowych

VII. Drgania układów nieliniowych
1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna˛ siła zwrotna˛
1.1 Różniczkowe równanie ruchu
Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do spr˛eżyny o współczynniku spr˛eżystości
k, gdy siła zwrotna Fs zależy nieliniowo od przemieszczenia x, a zależność ta dana jest równaniem:
Fs = −kx − cx3 .
(1)
Powyższe równanie możemy zapisać w postaci:
Fs = − (1 + α x2 ) kx ,
(2)
gdzie parametr α powiazany
˛
jest z współczynnikami k i c z równania (1) zależnościa˛ α = c/k. Nowo
wprowadzona stała α może być dodatnia (α > 0) lub ujemna (α < 0) (patrz rysunek). B˛edziemy rozpatrywać przypadek, gdy nieliniowość układu drgajacego
˛
jest bardzo mała, czyli, gdy spełniona jest relacja
| αx2 |≪ 1 .
(3)
Różniczkowe równanie ruchu masy m (II zasada dynamiki Newtona) ma postać
mẍ = Fs ,
(4)
a po podstawieniu siły (2) otrzymujemy równanie
mẍ = − (1 + α x2 ) kx,
(5)
ẍ + (1 + αx2 ) ω02 x = 0,
(6)
które możemy zapisać w postaci
gdzie wprowadziliśmy ω02 = k/m.
1.2 Własności drgań swobodnych
Drgania swobodne opisane równaniem (6) maja˛ nast˛epujace
˛ własności:
(a). Ponieważ nie wyst˛epuje tłumienie, ruch jest ruchem periodycznym (ale nie harmonicznym) z okresem Ts , czyli zachodzi
x(t) = x(t + Ts ),
(7)
(b). Ponieważ moduł siły | Fs | jest symetryczny wzgl˛edem x = 0, to ruch po lewej stronie x = 0 ( a
wi˛ec dla x < 0) jest lustrzanym odbiciem ruchu po prawej stronie x = 0 (a wi˛ec dla x > 0), czyli zachodzi
relacja
x(t +
Ts
) = − x(t).
2
1
(8)
1.3 Równanie ruchu x(t) i jego własności
Jak wiadomo każde drganie periodyczne o okresie Ts może być przedstawione jako superpozycja drgań
harmonicznych o cz˛estościach nωs (ωs = 2π/Ts ), czyli w postaci szeregu Fouriera:
x(t) = A0 + A1 cos(ωs t + δ1 ) + A2 cos(2ωs t + δ2 ) + A3 cos(3ωs t + δ3 ) + · · · .
(9)
Przyjmijemy nast˛epujacy
˛ warunek poczatkowy
˛
omawianego ruchu:
ẋ(0) = 0
(10)
oznaczajacy,
˛ że pr˛edkość w chwili poczatkowej
˛
t = 0 jest równa zero. Zobaczmy,jak ten warunek wpływa
na postać ogólnego rozwiazania
˛
(9). Obliczajac
˛ ẋ(t) z równania (9), mamy:
ẋ(t) = −ωs A1 sin(ωs t + δ1 ) − 2ωs A2 sin(2ωs t + δ2 ) − 3ωs A3 sin(3ωs t + δ3 ) − · · · .
(11)
Stosujac
˛ do powyższego równania warunek (10), otrzymujemy wyrażenie
ẋ(0) = − ωs A1 sin δ1 − 2ωs A2 sin δ2 − 3ωs A3 sin δ3 − · · · = 0,
(12)
które jest spełnione tylko wówczas, gdy
δ1 = δ2 = δ3 = · · · = 0.
(13)
Szereg Fouriera (9) dany jest wi˛ec teraz równaniem
x(t) = A0 + A1 cos ωs t + A2 cos 2ωs t + A3 cos 3ωs t + · · · ,
(14)
które musi spełniać również warunek (8). Warunek ten spełniaja˛ tylko harmoniki nieparzyste równania (14),
nie spełniaja˛ natomiast harmoniki parzyste oraz niezależny od czasu człon A0 (tzw. harmonika zerowa).
Pokażemy to na przykładzie pierwszej i drugiej harmoniki. Dla pierwszej harmoniki mamy:
cos ωs (t +
1
Ts
) = cos(ωs t + ωs Ts ) = cos(ωs t + π) = − cos ωs t,
2
2
(15)
natomiast dla drugiej harmoniki
cos 2ωs (t +
Ts
) = cos(2ωs t + ωs Ts ) = cos(2ωs t + 2π) = cos 2ωs t,
2
(16)
gdzie skorzystaliśmy z zależności ωs = 2π/Ts . Równanie (15) świadczy o tym, że człon A1 cos ωs t w równaniu (14) spełnia relacj˛e (8); podobie spełniaja˛ ja˛ wszystkie pozostałe człony z harmonikami nieparzystymi
(można dla nich otrzymać zwiazki
˛ analogiczne do (15)). Natomiast równanie (16) wskazuje, że relacja
(8) nie jest spełniona przez człon z druga˛ harmonika˛ w równaniu (14); relacj˛e (8) również nie spełniaja˛
pozostałe człony z harmonikami parzystymi w równaniu (14) oraz człon z A0 (harmonika zerowa), dla
których łatwo można otrzymać relacje analogiczne do (16).
2
Tak wi˛ec rozwiazanie
˛
równania różniczkowego (6) jest dane tylko przez sum˛e nieparzystych harmonik.
Przy bardzo małej nieliniowości określonej równaniem (3) możemy ograniczyć si˛e tylko do dwóch pierwszych członów, zaniedbujac
˛ pozostałe czyli
x(t) = A1 cos ωs t + A3 cos 3ωs t + · · · .
(17)
Powyższe równanie możemy zapisać w nast˛epujacej
˛ wygodnej postaci:
x = A(cos ωs t + ε cos 3ωs t + · · ·) ,
(18)
gdzie A ≡ A1 jest amplituda˛ drgań swobodnych o cz˛estości podstawowej ωs , 3ωs jest cz˛estościa˛ trzeciej
harmonicznej, a parametr anharmoniczności ε = A3 /A1 (wskazuje on na udział trzeciej harmonicznej w
drganiach omawianego ukadu nieliniowego). Równanie (18) musi spełniać różniczkowe równanie ruchu
(6), które teraz zapiszemy w postaci.
ẍ + ω02 x + αω02 x3 = 0.
(19)
Korzystajac
˛ z faktu, że (18) jest rozwiazaniem
˛
równania (19), znajdziemy teraz postać, jaka˛ powinny mieć
cz˛estość kołowa ωs i parametr ε, aby tak było. W tym celu obliczmy ẍ i x3 , a potem wspólnie z x podstawmy
do równaia (19):
ẋ = −ωs A sin ωs t − 3ωs εA sin 3ωs t,
(20)
ẍ = −ωs2 A cos ωs t − 9ωs2 Aε cos 3ωs t = −ωs2 A(cos ωs t + 9ε cos 3ωs t),
(21)
x3 = A3 (cos3 ωs t + 3ε cos2 ωs t cos 3ωs t + 3ε2 cos ωs t cos2 3ωs t + ε3 cos3 3ωs t),
(22)
przy czym dwa ostatnie człony w równaniu (22) możemy teraz pominać,
˛ ze wzgl˛edu na to, że bardzo mały
parametr ε wyst˛epuje w nich w drugiej i trzeciej pot˛edze. W dalszej cz˛eści obliczeń pomijane b˛eda˛ wyrazy
bardzo małe, zawierajace:
˛ ε2 , α2 , εα oraz ich wyższe pot˛egi. Podstawiajac
˛ ẍ, x3 oraz x do równania (19)
mamy:
−ωs2 A (cos ωs t + 9ε cos 3ωs t) + ω02 A (cos ωs t + ε cos 3ωs t + . . .) +
3
1
+ αω02 A3 ( cos 3ωs t + cos ωs t + . . .) = 0,
4
4
(23)
przy czym w ostatnim nawiasie powyższego równania wykorzystaliśmy nast˛epujac
˛ a˛ relacj˛e
cos3 ωs t =
1
3
cos 3ωs t + cos ωs t.
4
4
(24)
Grupujac
˛ człony z tymi samymi harmonikami, możemy równanie (23) zapisać w postaci:
1
3
(−ωs2 A + ω02 A + αω02 A3 ) cos ωs t + (−9εωs2 A + εω02 A + αω02 A3 ) cos 3ωs t = 0.
4
4
3
(25)
Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy współczynniki przy poszczególnych
harmonikach sa˛ równe zero (jest to równanie typu a cos ωs t + b cos 3ωs t = 0, które jest spełnione dla
dowolnej chwili t tylko wówczas, gdy a = b = 0). Przyrównujac
˛ wi˛ec współczynnik stojacy
˛ w równaniu
(25) przy cos ωs t, mamy:
3
−ωs2 A + ω02 A + αω02 A3 = 0,
4
(26)
3
ωs2 = ω02 (1 + αA2 ),
4
(27)
a stad
˛
czyli
s
3
ωs = ω0 1 + αA2 .
4
Ponieważ rozwini˛ecie funkcji
√
1 + x w szereg ma dla małych warości x (| x |≪ 1) postać
(28)
√
1+x ≈
1 + 12 x + . . . , wi˛ec dla bardzo małej nieliniowości (| αA2 |≪ 1) mamy
3
ωs ≈ ω0 (1 + αA2 ).
8
(29)
Tak wi˛ec pojawienie si˛e członu nieliniowego w sile zwrotnej (2) może zwi˛ekszać lub zmniejszać cz˛estość
podstawowa drgań ωs :
ωs > ω0
dla
α > 0,
ωs < ω0
dla
α < 0,
a różnica cz˛estości | ωs −ω0 | zależy od amplitudy A drgań z cz˛estościa˛ podstawowa˛ ωs i jest proporcjonalna
do jej kwadraty:
3
ωs − ω0 ≈ ω0 αA2 .
8
(30)
Przyrównujac
˛ teraz do zera czynnik przy cos 3ωs t w równaniu (25), mamy
1
−9εωs2 A + εω02 A + αω02 A3 = 0.
4
(31)
Podstawiajac
˛ teraz w miejsce ωs2 wyrażenie (27), otrzymujemy
−8εω02 A −
1
27
εαA3 ω02 + αω02 A3 = 0,
4
4
(32)
a po dokonaniu uproszczeń i prostych przekształceń mamy:
ε(1 +
27 2
1
αA ) = αA2 .
32
32
4
(33)
W powyższym równaniu możemy zaniedbać bardzo mały drugi człon w nawiasie (patrz warunek bardzo
małej nieliniowości (3)) i wyznaczyć ε:
ε≈
1
αA2 .
32
(34)
Z powyższego równania wynika, że dla bardzo małej nieliniowości | αA2 |≪ 1 również parametr anharmoniczności ε jest bardzo mały (| ε |≪ 1. Z równań (18) i (34) wynika, że anharmoniczność ruchu
zwi˛eksza si˛e wraz z amplituda˛ drgań, a parametr ε, charakteryzujacy
˛ anharmoniczność drgań, jest proporcjonalny do kwadratu amplitudy. Otrzymane powyżej wzory (28) i (34) na ωs i ε sa˛ tylko wyrażeniami przybliżonymi. Jeżeli chcielibyśmy uzyskać bardziej dokładne wyrażenia, musielibyśmy uwzgl˛ednić
człony zaniedbane podczas dotychczasowych obliczeń (proporcjanalne do αε, α2 , itd).
Przyjrzyjmy si˛e jeszcze średniemu położeniu ciała drgajacego
˛
anharmonicznie przy działaniu
symetrycznej siły zwrotnej. W czasie ruchu jego położenie opisane równaniem (18) przyjmuje zarówno
dodatnie jak i ujemne wartości współrz˛ednej x wyznaczanej wzgl˛edem położenia równowagi trwałej. Oznaczajac
˛ symbolem < x(t) > średnie w czasie położenie drgajacego
˛
ciała, mamy:
< x(t) >= A(< cos ωs t > +ε < cos 3ωs t >) = 0,
(35)
ponieważ średnia wartość funkcji cosinus liczona dla okresu lub jego wielokrotności jest równa zero:
< cos ωs t >=< cos 3ωs t >= 0
(36)
1.4. Przykład: Wahadło matematyczne jako układ nieliniowy
Równanie ruchu obrotowego wahadła matematycznego (wyprowadzone już wcześniej):
g
sin θ = 0,
L
(37)
θ̈ + ω02 sin θ = 0,
(38)
θ̈ +
możemy zapisać w postaci
gdzie
ω02 =
g
.
L
(39)
1 3
θ + ···
3!
(40)
Rozwijajac
˛ funkcj˛e sin θ w szereg:
sin θ = θ −
5
i podstawiajac
˛ (40) do (38) oraz korzystajac
˛ z wyrażenia 3! = 6 otrzymujemy
1 2 2
θ ) ω0 θ = 0 ,
6
(41)
θ̈ + (1 + α θ2 ) ω02 θ = 0 ,
(42)
θ̈ + (1 −
co możemy zapisać w postaci
gdzie α = − 16 . Równanie (42) jest równaniem drgań anharmonicznych, analogicznym do poznanego już
równania drgań anharmonicznych podczas działania symetrycznej siły zwrotnej:
ẍ + (1 + α x2 ) ω02 x = 0 .
(43)
A wi˛ec wahadło matematyczne jest nieliniowym układem fizycznym, którego drgania, opisane
różniczkowym równaniem (42), maja˛ własności drgań zachodzacych
˛
przy działaniu symetrycznej siły
zwrotnej.
Korzystajac
˛ wi˛ec z wcześniej uzyskanych wyników mamy:
(a) równanie ruchu θ(t)
θ(t) = A(cos ωs t + ε cos 3ωs t)
(44)
gdzie A ≡ θm jest amplituda˛ wychylenia;
(b) cz˛estość kołowa drgań ωs
ωs ≈ ω0 (1 +
3
1 2
αA2 ) = ω0 (1 −
A)
8
16
(45)
(c) parametr nieliniowości ε
ε≈
1
1
αA2 = −
A2
32
192
(46)
Dla amplitudy drgań A = 10o ≈ 0, 1744 rad mamy αA2 ≈ −0, 005 oraz
1
∆ω
ωs − ω0
3
=
= αA2 = − A2 ≈ −0, 002 ,
ω0
ω0
8
16
ε=−
1 2
A ≈ −10−4 .
192
6
(47)
(48)
2. Drgania anharmoniczne spowodowane asymetryczna˛ siła˛ zwrotna˛
2.1 Różniczkowe równanie ruchu
Przykładem asymetrycznej siły zwrotnej jest siła, która zależy od przemieszczenia x zarówno w pierwszej
jak i w drugiej pot˛edze:
Fs = −kx − bx2 .
(49)
Fs = − (1 + β x) kx ,
(50)
Możemy zapisać ja˛ w postaci
gdzie β = b/k jest stała˛ dla danego układu drgajacego.
˛
Wartość siły zwrotnej | Fs | jest inna dla tej samej
warości | x | przy rozciaganiu
˛
i ściskaniu spr˛eżyny (patrz rysunek dla β > 0).
Omawiać b˛edziemy drgania układu o bardzo małej nieliniowości, a wi˛ec drgania dla których
| β x |≪ 1 .
(51)
mẍ = Fs
(52)
ẍ + (1 + β x) ω02 x = 0 ,
(53)
Różniczkowe równanie ruchu
ma po podstawieniu siły (50) postać
gdzie ω02 = k/m.
2.2 Równanie ruchu x(t) i jego własności
Podobnie jak w przypadku działania symetrycznej siły zwrotnej, ruch b˛edzie ruchem periodycznym (ale
nie ruchem harmonicznym) o okresie Ts i może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Ponieważ
w przypadku asymetrycznej siły zwrotnej nie zachodzi warunek (8), to rozwiazanie
˛
równania (53) b˛edzie
zawierać w ogólności wszystkie harmoniki (łacznie
˛
z zerowa)
˛ i b˛edzie miało postać (9).
Ograniczajac
˛ si˛e do bardzo małej nieliniowości (51) oraz przyjmujac
˛ warunek poczatkowy
˛
dla pr˛edkości
ẋ(0) = 0 (stałe δn w szeregu Fouriera sa˛ wówczas równe zero, co pokazaliśmy w cz˛eści VII.1.3 ), szereg
Fouriera b˛edacy
˛ rozwiazaniem
˛
równania (53) ma postać
x = A0 + A1 cos ωs t + A2 cos 2ωs t + · · · ,
(54)
x = A0 + A(cos ωs t + η cos 2ωs t + · · ·) ,
(55)
co możemy zapisać w postaci
7
gdzie ωs = 2π/Ts jest cz˛estościa˛ podstawowa˛ drgań, 2ωs – cz˛estościa˛ drugiej harmonicznej, A ≡ A1 ,
natomiast parametr η = A2 /A1 określa wielkość anharmoniczności drgań. Dla bardzo małej nieliniowości,
a wi˛ec, gdy spełniony jest warunek (51) możemy post˛epować podobnie jak w cz˛eści 1.3, gdzie zajmowaliśmy si˛e symetryczna˛ siła˛ zwrotna.˛ Korzystajac,
˛ podobnie jak poprzednio z tego, że równanie (55) jest
rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (53), które zapiszemy teraz w postaci
ẍ + ω02 x + βω02 x2 = 0,
(56)
b˛edziemy mogli wyznaczyć wielkości ωs , η i A0 wyst˛epujace
˛ w równaniu (55). W tym celu obliczymy
najpierw ẍ, x2 :
ẋ = −ωs A sin ωs t − 2ωs Aη sin 2ωs t + . . . ,
(57)
ẍ = −ωs2 A cos ωs t − 4ωs2 Aη cos 2ωs t + . . . = −ωs2 A(cos ωs t + 4η cos 2ωs t + . . .)
(58)
x2 = A20 + 2A0 A(cos ωs t + η cos 2ωs t) + A2 (cos2 ωs t + 2η cos ωs t cos 2ωs t + . . .).
(59)
Podstawiajac
˛ teraz wyrażenia (55), (58) i (59) do (56) otrzymujemy:
−ωs2 A(cos ωs t + 4η cos 2ωs t) + ω02 [A0 + A(cos ωs t + η cos 2ωs t)] +
1
+ βω02 [A20 + 2A0 A cos ωs t + A2 (1 + cos 2ωs t)] = 0,
2
(60)
gdzie pomini˛ete zostały człony bardzo małe zawierajace
˛ iloczyny lub pot˛egi parametrów η i β, a w ostatnim
nawiasie wykorzystana została relacja cos2 ωs t = 12 (1 + cos 2ωs t).
Można dokonać pogrupowania wyrazów zawierajacych
˛
odpowiednio druga,˛ pierwsza˛ i zerowa˛ harmonik˛e:
1
(−4ηωs2 A + ηω02 A + βω02 A2 ) cos 2ωs t + (−ωs2 A + ω02 A + 2A0 Aβω02 ) cos ωs t +
2
1
+ (ω02 A0 + βω02 A20 + A2 βω02 ) = 0.
2
(61)
Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy czynniki przy wszystkich harmonikach, łacznie
˛
z zerowa,˛ sa˛ równe zero. Z warunku zerowania si˛e tych czynników, ograniczonych
nawiasami w równaniu (61) możemy wyznaczyć interesujace
˛ nas wielkości η, ωs oraz A0 .
Przyrównujac
˛ do zera czynnik przy harmonice zerowej
1
ω02 A0 + βω02 A20 + A2 βω02 = 0
2
(62)
1
A0 (1 + βA0 ) = − β A2 .
2
(63)
mamy
8
A ponieważ przy bardzo małej nieliniowości (51) zachodzi
| β A0 |≪ 1 ,
(64)
1
A0 ≈ − β A2 .
2
(65)
wi˛ec
Przyrównujac
˛ do zera czynnik pierwszej harmonice (cos ωs t)
−ωs2 A + ω02 A + 2A0 Aβω02 = 0
(66)
ωs2 = ω02 (1 + 2βA0 ).
(67)
ωs2 ≈ ω02 ,
(68)
ωs ≈ ω0 .
(69)
mamy
Uwzgl˛edniajac
˛ (64) otrzymujemy
czyli
Porównujac
˛ natomiast do zera czynnik prz drugiej harmonice (cos 2ωs t)
1
−4ηωs2 A + ηω02 A + βω02 A2 = 0
2
(70)
i biorac
˛ po uwag˛e (69) otrzymujemy
η≈
1
β A,
6
(71)
Uwagi:
(a). Średnie przemieszczenie < x > nie jest równe zero i wynosi
1
< x >= A0 ≈ − β A2 .
2
(72)
(b).Równanie (71) pokazuje, że anharmoniczność drgań rośnie wraz z amplituda˛ drgań. Parametr η
określajacy
˛ amplitud˛e drugiej harmonicznej zależy liniowo od amplitudy A (amplituda drugiej
harmonicznej w równaniu (55) wynosi ηA), podczas gdy dla symetrycznej siły zwrotnej parametr
anharmoniczności ε zależy kwadratowo od amplitudy A (patrz równania (18) i (34) ) (amplituda
trzeciej harmonicznej w równaniu (18) wynosi εA).
9
3. Drgania wymuszone układów nieliniowych
3.1. Siła wymuszajaca
˛ zmieniajaca
˛ si˛e harmonicznie
Zajmować si˛e b˛edziemy drganiami układu o słabym tłumieniu (γ < 2ω0 ), gdy cz˛estość siły wymuszajacej
˛ ω ≪ ω0 . Z wcześniejszej analizy drgań wymuszonych wiemy, że dla takich cz˛estości drgania ustalone
zależa˛ głównie od własności spr˛eżystych układu (amplituda drgań A ≈ F0 /k), a nie zależa˛ od drgajacej
˛
masy; ponadto przesuni˛ecie fazowe Φ = 0. Stwierdziliśmy wówczas, że dla siły wymuszajacej
˛
F = F0 cos ωt
(73)
x ≈ A cos ωt ,
(74)
x ≈ aF ,
(75)
przemieszczenie x wynosi
co możemy zapisać w postaci
gdzie a ≈ 1/k. Powyższy wynik uzyskaliśmy dla układu drgajacego,
˛
w którym nie uwzgl˛edniliśmy jego
własności nieliniowych. Natomiast dla słabo nieliniowego układu drgajacego
˛
(np. układu z spr˛eżyna˛
wykazujac
˛ a˛ słabe własności nieliniowe) przemieszczenie x spowodowane działaniem siły wymuszajacej
˛
F możemy wyrazić w postaci szeregu
x ≈ aF + bF2 + cF3 + ... ,
(76)
gdzie a, b i c sa˛ stałymi.
Pokażemy, że jeżeli siła wymuszajaca
˛ zmienia si˛e harmonicznie, czyli dana jest równaniem (73) to nieliniowość układu prowadzi do drgań anharmonicznych, które moga˛ być przedstawione jako superpozycja drgania o cz˛estości podstawowej ω i drgań o cz˛estościach b˛edacych
˛
wyższymi harmonicznymi tej cz˛estości.
Podstawiajac
˛ (73) do równania (76) otrzymujemy
x ≈ aF0 cos ωt + bF02 cos2 ωt + cF03 cos3 ωt .
(77)
Wprowadzajac
˛ do równania (76) znane relacje
1
(1 + cos 2ωt) ,
2
(78)
1
3
cos 3ωt + cos ωt ,
4
4
(79)
cos2 ωt =
cos3 ωt =
po wykonaniu prostych przekształceń mamy:
b2 F02
3 3
cF03
bF02
+ aF0 + cF0 cos ωt +
cos 2ωt +
cos 3ωt .
x≈
2
4
2
4
(80)
Równanie (80) pokazuje, że podczas drgań wymuszanych cz˛estościa˛ ω nieliniowość drgań dana równaniem
(76) prowadzi do pojawienia si˛e drgań harmonicznych z cz˛estościami n ω (n = 0, 1, 2, 3, . . .).
10
3.2. Rezonanse dla cz˛estości subharmonicznych
Dla układu liniowego rezonans wyst˛epował tylko dla jednej cz˛estości ω = ω0 , a krzywa rezonansowa A(ω)
miała tylko jedno maksimum. Inna sytuacja b˛edzie w przypadku układu nieliniowego. Jeżeli dla układu
nieliniowego zmniejszalibyśmy cz˛estość ω siły wymuszajacej
˛
poczynajac
˛ od cz˛estości rezonansowej
ω = ω0 , to cz˛estość ω przechodziłaby przez wartości ω = ω0 /2 , ω = ω0 /3 . . . , dla których odpowiednie
harmoniczne cz˛estości ω sa˛ równe cz˛estości rezonansowej (2ω = ω0 , 3ω = ω0 , itd). To jest przyczyna˛
pojawienia si˛e dodatkowych maksimów na krzywej rezonansowej A(ω) właśnie dla takich cz˛estości ω,
których harmoniczne sa˛ równe cz˛estości rezonansowej ω0 .
3.3. Cz˛estości kombinacyjne
Przyjrzyjmy si˛e teraz sytuacji, gdy na nieliniowy układ drgajacy
˛ działaja˛ dwie harmonicznie zmieniajace
˛
si˛e siły wymuszajace
˛ F1 cos ω1 t i F2 cos ω2 t o różnych cz˛estościach ω1 i ω2 . Wypadkowa siła działajaca
˛ na
układ jest wówczas suma˛ tych sił:
F = F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t .
(81)
Zakładajac
˛ tylko liniowa˛ i kwadratowa˛ zależność w równaniu (76), mamy
x ≈ aF + bF 2 = a(F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t) + b(F1 cos ω1 t + F2 cos ω2 t)2 ,
(82)
a po wykonaniu pot˛egowania
x ≈ aF1 cos ω1 t + aF2 cos ω2 t + bF12 cos2 ω1 t + bF22 cos2 ω2 t + 2bF1 F2 cos ω1 t cos ω2 t .
(83)
Pierwszy człon po prawej stronie powyższego równania przedstawia drgania harmoniczne z cz˛estościa˛ ω1 ,
drugi – drgania z cz˛estościa˛ ω2 . Człon trzeci
bF12 cos2 ω1 t =
1 2
bF (1 + cos 2ω1 t)
2 1
(84)
bF22 cos2 ω2 t =
1 2
bF (1 + cos 2ω2 t)
2 2
(85)
i czwarty
daja˛ zarówno wyrazy stałe w czasie, jak i drgania harmoniczne z cz˛estościami odpowiednio 2ω1 oraz 2ω2 .
Przyjrzyjmy si˛e członowi ostatniemu w równaniu (83). Ponieważ
2 cos ω1 t cos ω2 t = cos(ω1 + ω2 ) t + cos(ω2 − ω1 ) t ,
(86)
to człon ten możemy zapisać w postaci
2F1 F2 cos ω1 t cos ω2 t = F1 F2 cos(ω1 + ω2 ) t + F1 F2 cos(ω2 − ω1 ) t ,
(87)
a to oznacza, że w wypadkowym drganiu (83) mamy również drgania z cz˛estościa˛ b˛edac
˛ a˛ suma˛ (ω1 + ω2 )
i różnica˛ (ω2 − ω1 ) cz˛estości sił wymuszajacych
˛
ω1 i ω2 . Cz˛estości te, ω1 + ω2 i ω2 − ω1 , nazywamy
cz˛estościami kombinacyjnymi.
11