7. Różniczkowanie numeryczne

7. Różniczkowanie numeryczne
Wprowadzenie (7.1)
Różniczkowaniem numerycznym nazywamy obliczanie pochodnych funkcji
tabelarycznej
Tabela wartości funkcji dyskretnej y= f ( x)
Funkcja dyskretna nie jest funkcją różniczkowalną (nie jest też funkcją
ciągłą). Zagadnienie różniczkowania funkcji y= f ( x) zadanej tabelą polega
na zastąpieniu jej funkcją różniczkowalną y=F ( x) , której pochodne dobrze
przybliżają pochodne funkcji y= f ( x) a następnie przyjęciu, że:
f (k )( x )≈ F (k) ( x) dla k =1,2 ,...
Obliczona wartość F
(k)
7.1.a
( x) jest obarczona błędem metody różniczkowania
r ( k , x)= f (k ) ( x)−F (k) ( x).
7.1.b
Najczęściej w charakterze funkcji y=F ( x) przyjmuje się wielomian, gdyż
wielomiany mają ciagłe pochodne wszystkich rzędów dla każdego
rzeczywistego x oraz przybliżają jednostajnie funkcję ciągłą y= f ( x) na
odcinku domkniętym [ a ; b] .
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
gdzie:
h=x i1− xi =const
 y i= y i1 − yi
dla
dla
i=0,1, , n−1,
i=0, 1, , n−1,
 k1 y i=  k y i= k yi1− k yi
dla
x−x 0
q=
,
h
i=0, 1, , n−k ,
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
7.2.a
7.2.b
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
Przykład W tabeli 7.2.1. podano współrzędne kuli pchniętej przez lekkoatletę.
Obliczyć prędkość kuli w różnych punktach toru.
Rozwiązanie. Tabela 7.2.1. zawiera wartości funkcji, której zmienna niezależna
x zmienia się ze stałym krokiem h = 0.5. Do obliczenia pochodnych tej funkcji
zastosujemy wzór (7.2.a). Do oceny błędu różniczkowania zostanie
wykorzystany wzór (7.2.b). Obliczenia zostały zestawione w tabeli 7.2.2.
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
Różniczkowanie z wykorzystaniem wzoru interpolacyjnego Stirlinga(7.2)
[cd.]