optymalizacja algorytmów wyznaczania ruchu cieczy lepkiej metodą

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 187-192, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA
RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Radomska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. Celem pracy było poszukiwanie i optymalizacja efektywnych algorytmów obliczeniowych wyznaczania ruchu cieczy lepkiej w obszarach płaskich
i przestrzennych - konkurencyjnych do kodów komercyjnych. Wyznaczano ruch
cieczy lepkiej metodą sztucznej ściśliwości, opisywaną równaniami w zmiennych
fizycznych: składowe prędkości, ciśnienie. Nowe algorytmy numeryczne zaadaptowano do rozwiązywania zagadnień modelowych, ze względu na moŜliwość porównywania wyników własnych obliczeń numerycznych z wynikami prezentowanymi w publikacjach i rezultatami badań eksperymentalnych.
1. WSTĘP
Zasadniczą ideą metody sztucznej ściśliwości jest przyłączenie pochodnej ciśnienia względem czasu do równania ciągłości, co umoŜliwia sprzęŜenie ciśnienia z prędkością. Równaniami wyjściowymi do wyznaczania przepływów cieczy lepkiej metodą sztucznej ściśliwości
jest układ równań róŜniczkowych cząstkowych utworzony ze zmodyfikowanego równania
ciągłości i równań Naviera-Stokesa. Przy rozwiązywaniu sformułowanego zagadnienia początkowo-brzegowego dla ciśnienia i składowych prędkości wszystkie pochodne względem
zmiennych przestrzennych aproksymowano przy wykorzystaniu klasycznych ilorazów róŜnicowych drugiego rzędu dokładności na równomiernych siatkach obliczeniowych. Zachowując
czas jako zmienną niezaleŜną ciągłą, uzyskano zagadnienie początkowe dla układu równań
róŜniczkowych zwyczajnych dla nieznanych wartości tych funkcji w kaŜdym węźle wewnętrznym wygenerowanej siatki obliczeniowej. Zagadnienie to rozwiązywano metodą Galerkina-Rungego-Kutty trzeciego rzędu. Wykonano szereg obliczeń testowych dla zagadnień
ruchu cieczy lepkiej w zagłębieniach z jedną poruszającą się ścianką: kwadratowym i sześciennym oraz w płaskim kanale z uskokiem jednej ścianki. Opracowane algorytmy obliczeń
okazały się bardzo efektywne, uzyskano kilkukrotne skrócenie czasu obliczeń w porównaniu
z czasami wyznaczania rozwiązań tych zagadnień za pomocą pakietu Fluent.
2. METODA SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
Po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych i pominięciu pola sił masowych jednostkowych układ równań opisujący niestacjonarny ruch cieczy lepkiej w postaci zachowawczej
ma postać [1]:
188
Z. KOSMA, B. NOGA
∂V j
= 0,
∂x j
∂ Vi
∂p
∂
1 ∂ ∂
+
Vi V j = −
+
V ,
∂ t ∂x j
∂ xi Re ∂ x j ∂ x j i






(1)
w którym V1 , V2 , V3 są składowymi prędkości w kierunkach osi kartezjańskiego układu współrzędnych x1 , x2 , x3 , p jest ciśnieniem, Re - liczbą Reynoldsa.
W metodzie sztucznej ściśliwości sprzęŜenie pola ciśnienia z polem prędkości następuje
w wyniku zastąpienia równania ciągłości dla cieczy nieściśliwej (1a) zlinearyzowanym równaniem ciągłości dla gazu [2]
∂ p 1 ∂ Vi
(2)
=0
~+
∂ t β ∂ xi
Optymalne wartości parametru relaksacyjnego β są zwykle wyznaczane niezaleŜnie dla
kaŜdego problemu po wykonaniu szeregu eksperymentów numerycznych. W wielu przypadkach zadawalające wyniki daje przyjęcie stałej wartości tego parametru w całym obszarze
przepływu.
3. ZAGADNIENIA OBLICZENIOWE
Opracowane algorytmy numeryczne przystosowano do symulacji numerycznej ruchu cieczy lepkiej w zagłębieniach z jedną poruszającą się ścianką: kwadratowym (rys. 1a) i sześciennym (rys. 1b) oraz w prostoliniowym kanale z uskokiem jednej ścianki (rys. 1c). Zagadnienia te są często rozwiązywane w celu testowania efektywności i dokładności róŜnych algorytmów obliczeniowych [3 - 6].
a)
b)
c)
Rys. 1. Zagadnienia obliczeniowe: a) kwadratowe zagłębienie, b) sześcienne zagłębienie,
c) kanał z uskokiem jednej ścianki
Ścianki górne zagłębień poruszają się ze stałą prędkością, równoległą do osi x. W przekrojach: wlotowym i wylotowym kanału przyjęto paraboliczne rozkłady prędkości, wynikające
z równości wydatku ( Q = 0.5 ) przepływającego strumienia cieczy lepkiej. Na ściankach kanału warunki brzegowe dla prędkości wyraŜają nieprzenikalność i brak poślizgu, na jego wlocie przyjęto znikanie gradientu ciśnienia, na wylocie: p = 1.
OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ…
189
4. ALGORYTMY OBLICZENIOWE
Wszystkie symulacje numeryczne w obszarach zagłębień z jedną poruszającą się ścianką
oraz w kanale z uskokiem ścianki wykonano na równomiernych siatkach obliczeniowych
o kwadratowych oczkach.
Do rozwiązywania zagadnienia (2) - (1b) zastosowano metodę prostych, polegającą na jego
sprowadzeniu do układów równań róŜniczkowych zwyczajnych przy zachowaniu czasu jako
zmiennej niezaleŜnej ciągłej. Uzyskano w ten sposób układy równań róŜniczkowych zwyczajnych postaci
dU
= F (U ) ,
dt
(3)
w których U = [ p, Vi ] jest wektorem zmiennych niezaleŜnych, obliczanym w kaŜdym węźle
wewnętrznym siatek, F - operatorem róŜniczkowania względem zmiennych przestrzennych.
Otrzymane w ten sposób algorytmy obliczeniowe są algorytmami uniwersalnymi, prostymi
koncepcyjnie i łatwymi do realizacji numerycznej, pozwalającymi na ominięcie konieczności
linearyzacji członów nieliniowych. Ich wadą jest sztywność układów równań róŜniczkowych
zwyczajnych oraz moŜliwość występowania niestabilności numerycznych.
W celu przetestowania efektywności i dokładności zastosowanych algorytmów numerycznych podzielono je na dwie grupy. Pierwszą grupę tworzą algorytmy, w których pochodne
względem zmiennych przestrzennych aproksymowano róŜnicami skończonymi drugiego rzędu dokładności (MRS), w algorytmach grupy drugiej pochodne względem zmiennych przestrzennych aproksymowano za pomocą kompaktowych schematów róŜnicowych szóstego
rzędu dokładności (KSR) - tabela 1.
Zagadnienia początkowe dla układów równań róŜniczkowych zwyczajnych (3) całkowano:
1) jednokrokową metodą predyktor-korektor Adamsa-Moultona (A-M),
2) jedno- i dwukrokowymi metodami predyktor-korektor opartymi na wykorzystaniu wzorów metody wstecznego róŜniczkowania (WR 1, WR 2),
3) metodami Rungego-Kutty: Eulera pierwszego stopnia (R-K 1), Heuna drugiego stopnia
(R-K 2), Heuna trzeciego stopnia (R-K 3), Galerkina trzeciego stopnia (R-K-G), zmodyfikowaną piątego stopnia (R-K 5).
T
Tabela 1. Algorytmy obliczeniowe
Grupy algorytmów
Aproksymacja pochodnych
Całkowanie zagadnienia początkowego
MRS
Klasyczne ilorazy róŜnicowe drugiego
rzędu dokładności
A-M, WR 1, WR 2, R-K 1,
KSR
Kompaktowe schematy róŜnicowe szóstego rzędu dokładności
R-K 2, R-K 3, R-K-G, R-K 5
Po wykonaniu testowych symulacji numerycznych okazało się, Ŝe szybsze są algorytmy naleŜące do pierwszej grupy - tabela 2. Dokładniejsze wyniki otrzymywano natomiast w przypadku zastosowania aproksymacji pochodnych względem zmiennych przestrzennych kompaktowymi ilorazami róŜnicowymi szóstego rzędu dokładności. W obydwu grupach algorytmów
190
Z. KOSMA, B. NOGA
najefektywniejsze okazało się całkowanie zagadnień początkowych (3) metodą RungegoKutty-Galerkina trzeciego stopnia.
Tabela 2. Efektywność algorytmów
Wybór wariantu obliczeń
Szybkość algorytmów
Dokładność obliczeń
Aproksymacja pochodnych
przestrzennych
Klasyczne ilorazy róŜnicowe drugiego rzędu dokładności (MRS)
Kompaktowe schematy róŜnicowe
szóstego rzędu dokładności (KSR)
Metoda całkowania zagadnienia
początkowego
Metoda Rungego-Kutty-Galerkina
trzeciego stopnia (R-K-G)
Metoda Rungego-Kutty-Galerkina
trzeciego stopnia (R-K-G)
5. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH
Symulacje numeryczne zostały wykonane dla danych wyszczególnionych w tabeli 3, określających rozmiary siatek oraz wartości liczb Reynoldsa i kroków czasowych. Dokładność
ustalania się modułów pochodnych układu równań (2) przyjęto równą 1 ⋅10 −14.
Tabela 3. Dane do obliczeń numerycznych
Parametr obliczeń
Kwadratowe zagłębienie
Sześcienne zagłębienie
Kanał z uskokiem ścianki
Rozmiar siatki
150 × 150
100 × 100 × 100
1000 × 50
Liczba Reynoldsa
10 ÷ 7500
10 ÷ 1000
100 ÷ 1000
Krok czasowy
1 ⋅ 10 −2 ÷ 1 ⋅ 10 −3
1 ⋅ 10 −3
1 ⋅ 10 −3
W metodzie sztucznej ściśliwości bardzo waŜnym parametrem jest współczynnik β, jego
optymalna wartość została określona na podstawie szeregu eksperymentów numerycznych.
Okazało się, Ŝe wartość parametru β nie ma istotnego wpływu na dokładności obliczeń, ma
natomiast bardzo duŜy wpływ na szybkość uzyskiwania rozwiązań; metoda Rungego-KuttyGalerkina jest najefektywniejsza dla parametru β = 1.
Na rys. 2 ÷ 6 zostały przedstawione wyniki najwaŜniejszych obliczeń numerycznych dla
rozwiązywanych zagadnień oraz ich porównania z wynikami prezentowanymi w publikacjach.
a)
b)
c)
Rys. 2. Kwadratowe zagłębienie - wyniki obliczeń dla Re = 5000 na siatce 150 × 150:
a) linie prądu; rozkłady składowych prędkości: b) u - na linii x = 0.5, c) v - na linii y = 0.5
OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ…
191
a)
b)
c)
Rys. 3. Kwadratowe zagłębienie - wyniki obliczeń dla Re = 7500 na siatce 150 × 150:
a) linie prądu; rozkłady składowych prędkości: b) u - na linii x = 0.5, c) v - na linii y = 0.5
a)
b)
c)
Rys. 4. Sześcienne zagłębienie - wyniki obliczeń dla Re = 1000 na siatce 100 × 100 × 100:
a) linie prądu w płaszczyźnie z = 0.5; rozkłady składowych prędkości: b) u - na linii x = 0.5,
c) v - na linii y = 0.5
Rys. 5. Kanał z uskokiem jednej ścianki - linie prądu dla Re = 800, siatka 1000 × 50
a)
b)
Rys. 6. Kanał z uskokiem jednej ścianki: Re = 800, siatka 1000 × 50. Rozkłady składowej
prędkości u dla na liniach: a) x = 7, b) x = 15
192
Z. KOSMA, B. NOGA
6. PODSUMOWANIE
We wszystkich rozwaŜanych zagadnieniach uzyskano poprawne wyniki symulacji numerycznych w szerokim zakresie liczb Reynoldsa. Stwierdzono dobrą zgodność wartości składowych prędkości na osiach symetrii zagłębień oraz w wybranych przekrojach kanału
z uskokiem ścianki z wynikami analogicznych obliczeń, prezentowanymi w publikacjach.
Skuteczność zastosowanych algorytmów metody prostych została więc w pełni potwierdzona.
Algorytmy te są nieskomplikowane, efektywniejsze od algorytmów wykorzystywanych
w pakietach komercyjnych. MoŜna je łatwo zmodyfikować do wyznaczania ruchu cieczy lepkiej w obszarach ograniczonych nieregularnymi liniami brzegowymi oraz dla przepływów
turbulentnych.
LITERATURA
1. Kosma Z.: Podstawy mechaniki płynów. Radom: WPR, 2007.
2. Kosma Z.: Symulacja numeryczna ruchu cieczy lepkiej metodą sztucznej ściśliwości.
Monografie. Radom: WPR, 2007.
3. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T.: High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method.”J. Comp. Phys.” 1982, 48, p. 387-411.
4. Erturk E., Corke T.C., Gökçöl C.: Numerical solutions of 2-D steady incompressible
driven cavity flow at high Reynolds numbers. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 2005, 48, p.
747-774.
5. Shu C., L. Wang L., Chew Y.T.: Numerical computation of three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations in primitive variable form by DQ method. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 2003, 43, p.345-368.
6. Gartling D.K.: A test problem for outflow boundary conditions-flow over a backwardfacing step. “Int. J. Numer. Meth. Fluid” 1990, 11, p. 953-967.
OPTIMIZED ALGORITHMS FOR THE CALCULATIONS
OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOWS
USING THE ARTIFICIAL COMPRESSIBILITY METHOD
Summary. The introduced pseudo-time derivative of pressure directly couples
the pressure with the velocity and changes the mathematical character of the continuity equation from elliptic to hyperbolic. A standard method of lines approach
is applied in this contribution. The system of partial differential equation is discretized in space by central, second-order finite-difference schemes on uniform grids
with the same mesh sizes in each direction, the time-variable preserved continuous. The initial-boundary value problem for this system of equations is then reduced to an initial value problem for a system of ordinary differential equations,
and the unknown values of pressure and velocity components in each inner knot of
uniform meshes are computed using the Galerkin-Runge-Kutta method of third
order. Test calculations for laminar flows in the square and cubic cavities with one
moving wall and the backward-facing step have been performed. The proposed algorithms proved to be very effective for the demanded time of calculations.