METODA RÓŻNICOWA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU RÓWNAŃ

BIULETYN
INFORMACYJNY
INSTYTUTU
POLITECHNIKI
TECHNIKI
CIEPLNEJ
WARSZAWSKIEJ
Nr 35
1972
mgr inż. Michał Podowski
Instytut Techniki Cieplnej
METODA RÓŻNICOWA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH TYPU RÓWNAŃ
DYFUZJI NEUTRONÓW
1. Sformułowanie zadania
Metodę wyboru schematu różnicowego, aproksymującego układ
równań różniczkowych zwyczajnych i dającego najlepsze oszacowanie błędu [1] , można rozszerzyć na przypadek równań cząstkowych. Z umagi na zastosowanie w teorii reaktorów,, w niniejszej
pracy rozważane będzie zagadnienie różniczkowe postaci:
= A(t)u(ř,t) + E V 2 u ( ř , t ) ,
Ď = { (ř,t): t e<t0,T> ,
- (ř, t ) 6 D,
5eßJ
z warunkami granicznymi:
1 ) u ( ř , 0 ) = jp ( ř ) ,
(1.2)
2) u(ř,t)|f = ψ (Γ,t)
gdzie:
u(ř,t),
.ACt),
( Γ - brzeg obszaru i? ),
φ (ř),
Ε - macierze
(1.1)
(1.3)
V(/"\t) - wektory K-wymiarowe,
[κ χ κ]-wymiarowe,
oraz aproksymujące'je zagadnienie różnicowe:
v £ + 1 = [i
D
łv
=
+t(1-trn)Ba]v^
f.
[№.t)i
t =t
0
+nr
+
cLhvJ,
(řm»tn>eDh'
T-tn
(n=0,1,... , M = - 1 ) ,
C1.4)
_ >
řeí? h j,
Michał Podowak i
32
z warunkami granicznymi
(1.5)
2)v£=<//£
gdzie:
dla
rmerh
( r h - brzeg obszaru 42 h ) ,
(1.6)
= v(pm,tn)t
(1.7)
Bn = B(tn),
(1.8)
<Pm=<P&J,
^ m
=
.
^ ^m'^n^
V 5
= V
^
V
(zakładając,
-
'
(1.9)
że Γ
h
c T ),
(1.10)
an(rm,p)un(p),'
(1.11)
peM(rm)
TJ(ř) - otoczenie siatkowe
p-tu.ř.
Zadanie polega na takim doborze ciągu liczb rzeczywistych
j
oraz ciągu macierzy | в п | ( n = 0 , 1 , . . . , K ) »
aby wartość nor-
my (euklidesowej) błędu aproksymacji była możliwie najmniejsza.
2 . Oszacowanie błędu metody różnicowej
Ponieważ
u * + 1 ( ř ) = u»(ř)
9t
gdzie,
zgodnie z
+
0 ( с 3 ) , (2.1)
(1.1):
^ | £ Í = A / ( í )
+
E V
2
u
a
( ř )
(An=A(tn)),
(2.2)
oraz
aV(ř)
dA
— — " d t
n
uu
n(=UA
3u n (ř).
Si
+
EV 7
E
2 aun(r)
dl
i dt
+
+ (A n E + E A n ) v 2 u n ( ř ) + E 2 7 2 ( V 2 u n ( r ) . ' + 0 ( τ 3 ) ,
więc
podstawiając:
д2\ u
A
nj
(2.3) .
Metoda różnicowa rozyi/iązywania układu równańk i n e t y k i . . .33
η =
A
n+1
П+ö
A 2 = A*
+
-
®dzie
A
i П+Ö"
n
A
[
L
v(
ü
4
4 ) <J ( 2 . 4 )
'
0(τ).
+
(2.5)
2
otrzymano następujący schemat różnicowy, spełniony przez rozwiązanie zagadnienia
u n + 1 ( ř ) = u n ( ř ) + rA
( 1 . 1 ) z warunkami ( 1 . 2 ) i
τ
u n ( r ) +τ Ε ν *2„η,-ϊ
u n ( ř ) +. \
1
η+2
(1.3):
^.2 λ u n ( ř ) +
η+2
(α
.Ε+ΕΑ
VuD(ř)+E2V272un(ř)
\ η+2
n+y
V
Г
- * 4
(2.6)
+ 0(Τ3),
u (г) = φ (r)
dla
reJ?n,
(2.7)
un(ř) = ψη(τ)
dla
(2.8)
řeTh.
.Zastąpienie operatora różniczkowego tf 2,uП/( r )
operatorem
różnicowym (określonym w węzłach s i a t k i ) postaci
V I
gdzie
wienie
T=£h
=
a
E
?
2 U
L^
£
+
O(H4)
=
+
0 ( Τ 2 )
'
jest operatorem typu ( 1 . 1 1 ) oraz podsta-
(2.10)
13 = A „ ,
л•
„ .Л.
n+2
powodują przekształcenie
( 2 . 6 ) do postaci
V,n+1' = (I + r B n ) u £ + , L h u £ + 4
+ Έ 2 ν 2(V2u£)J
Jak wynika z
(2.9)
+
Г(В Д Е + E B g ) 7 2 U ^ +
+ 0(τ3).
(2.11)
[i], rozwiązanie schematu ( 1 . 4 ) z. warunkami
( 1 . 5 ) i ( 1 . 6 ) j e s t , przy podstawieniach ( 2 . 9 ) i ( 2 . 1 0 ) ,
zbież-
Michał Podowak i
34
ne do rozwiązania zagadnienia
( 2 . 6 ) z warunkami ( 2 . 7 ) i
(2.8),
natomiast błąd aproksymacji jest rozwiązaniem następującego
zagadnienia
różnicowego:
-
-
+ \
= [l
Βη(Βη
+
2
Τ η
+ E2V2(v2u£)
m
+
ΐ Κ
T(1-rrn)Bj.; « V Í
+
2
+
,2„n
§-[(ΒηΕ+ΕΒη)νχ
+
(2.12)
+ 0(r3),
(2.13)
= o,
'
z" = 0
m
dla
(2.14)
r_ e Γ. .
m
h.
Stosując
podstawienie:
•Ϊ
t -
. tø}
le
m: r m 6 4 2 h [ .
(2.15)
ie
m:
(2.16)
rmai2h
można schemat ( 2 . 1 2 ) z warunkami ( 2 . 1 3 ) i ( 2 . 1 4 ) zapisać następująco
n+1
I + T(1-Tr*)Q n
+
2~
S
n
+ Τ· V
4n + O U 3 ) .
(n=0,1
Q
n
+
2
<
τ )
ϊ
Ά
+
H)
(2.17)
(2.18)
gdzie:
K
M
D
n
sup
If)
Sn4n
(Cv, i C 2
(2.19)
b
τ
„n
h m
C^n),
(2.21 )
«· C 2 ( n ) ,
nie-zależą od
(2.20)
h).
Jak łatwo możma wykazać [i] , rozwiązanie schemata
z warunkiem ( 2 . 1 8 ) ma postać
(2.17)
Metoda różnicowa rozyi/iązywania układu równańk i n e t y k i . . .35
1
2
Ί1
Γ
ττ 2
Σ|_
Ι + τ
i'O
gdzie:
(B
Σ
k
+P)
k=t+t
HŁ - Qt +
.
Í
| \ (QiM
J
+ S i ' l Í ) + 0 ( T 2 ) , (2.22)
J
( Ц и ^ = ||
+ 2^l|| ).
Oszacowanie błędu aproksymacji jest
n-1
2 г n-1 .
1
R,
Q
} ś ir
i
(2.23)
:
następujące
Żl!
i-0
rp-1
+
2
r
L
gdyż
llPC3iR±'
( | Q t | II Hill
i=0
sup I! LЪ [ в Л В . + 2 Г . 1 ) и у | =
K
+ ^ill
Z postaci wyrażenia
s
+ 1) C.,(i),
(2.24)
Sup1|B.(Bi+2riI)Lhui||S
^p|| L h u mII 4 il Q iIIΊΙ R i II • c -i ( i ) · (2.25)
( 2 . 2 4 ) wynika,
że podobnie jak w przy-
padku układu równań zwyczajnych, najlepsze oszacowanie błędu
można uzyskać wówczas, gdy ciąg
Æ - J A
+
2
B
ϊ" 1 II = 'l n
+ 2
γη
będzie spełniał warunek
li • (n=0,1
N).
Stosowanie schematu ( 1 . 4 ) - ( 1 . 6 ) z ciągiem
..
χη
(2.26)
określonym
wzorem ( 2 . 2 6 ) jest oczywiście celowe jedynie w pewnych przypadkach. Rzeczywistą poprawę oszacowania błędu w porównaniu
ze schematem, w którym
Tn = O
(n=0,.... ,N)
otrzymuje się wte-
dy« gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków:
Warunek 1
J e ż e l i wartości własne
są dla każdego
spełniają
te<t0,T>
A^(t)
(i=1,...,K)
rzeczywiste
macierzy
A(t)
i jednokrotne oraz
nierówność
maxÄ
H i
-£ (i= 1 , . . . , К ) ,
( t )
J
(2.27)
'
gdzie & - dowol na liczba d
dodatnia,
znacznie mniejsza od jednoodatnia
ś c i , to
przyjmując
Tn
η =-·!
= - 4 aa*
Ä.it
1, )
"Ч П-fö
(2.28)
Michał Podowak i
36
otrzymuje się oszacowanie <normy [| В д + 2f f l I || około dwa razy
mniejsze niż normy
j{ Вη
Warunek 2
Jeżeli wartości własne
ności
s
te-«t Q ,T
l i r
-
к
λ ^(t)
macierzy
(i=1,...,L)
A(t)
każda o krot-
spełniają dla każdego
> następujące nierówności
1 ) istnieje
k=1,2,...,L
takie, że
-1
(2.29)
2)
|Re\(t)|
Imft^t)
(2.30)
Re^(t)
(i=1,...,L),
Reft^t)
3)
<6
(i=1,...,L,
ReA fc (t}
gdzie, podobnie jak poprzednio,
'iAJ,
(2.31)
ε oznacza liczbę dodatnią,
znacznie mniejszą od jedności, to podstawienie
(2.32)
^ Ч Ч
powoduje, że oszacowanie normy
razy mniejsze, niż normy
1
-
| Вд + 2#ηΓ|
jest około dwa
|Bn| .
3 . Zastosowanie do rozwiązania równań dyfuzji
Rozkład neutronów termicznych w reaktorze (z uwzględnieniem neutronów opóźnionych) można opisać następującym układem
równań [2}s
1
о
Щ Л ±
=
2
L 2 7 2 č ( ř , t ) + (1-/ä)k e -В ,; - i ] φ ( ř ,t ) +
-Β2τ G
(3.1)
<L.a
SC,(ř,t)
H t
i=í
kj3.
- h
(i=1,2,...,G),
(3.2)
Metoda różnicowa rozyi/iązywania układu równańkinetyki...37
υ
gdzie:
β =
Υ
β^
i'i
£ ( r , t ) - strumień neutronów termicznych,
Ο ^ ( ΐ , ΐ ) - koncentracja prekursorów i-tej grupy neutronów opóźnionych.
Układ ten jestt; szczególnym przypadkiem układu ( 1 . 1 ) , podanego w [3] .
Uwjzględniając,
że:
^У a
(3.3)
-~
lL
v- »
ø(ir,t) = ν n ( r , t ) ,
gdzie:
(3.4)
n ( r , t ) - gęstość neutronów termicznych,
к e
eff
e
l1
~
-Β 2 τ
(3.5)
J J '
1+Ъ В
1 =-
(3.6)
о о '
1+L В
można'układ
( 3 . 1 ) przekształcić do postaci:
9n(r,t) _ 1
5 + —
Łf
"7Г ~ — 9
3t
Λ
1-łjL В
9
ν
2
ηντ,τ;
+
Ρ-ß , 1
+' л
Λ
Ł2B2
1+L 2 B 2
n(ř,t) +
.6
+ ρ e"
5
^
C. ( ř , t )
,
C3.7)
4=1
a cL(ř,t)
dt
gdzie:
Л= .
k
1
eff
p
^
^n(r,t)
- \
CŁ(r,t),
,
eff
eff "
^-вч
-
(3.8)
(•3.9)
1
(3.10)
= Ρ
J e ś l i teraz oznaczyć:
a(ř,t)
='x0(r,t)
(3.11)
C, ( r , t ) =
(r,t)
(i=1,...,G)s
38
Michał Podowak i
x(ř,t) =
to można układ
x1(řft)[
(3.12)
(i=0,...,a),
( 3 . 7 ) - ( 3 . 8 ) przepisać w postaci
'a'aCtłt)· - A(p)x(ř,t) + B V 2 x ( r , t ) ,
(3.13)
gdzie i
P-ß
—Л—
2
L2B
д
. 1
+
Л
*
1
Ρ
А
11
·**
ре
-Β 2 τ,
Ą
(3.14)
-λ,
" ρ " -7V7
е
λ
1+L В
,Β 2 τ
AC?)
р
^G
л
-Ar
2-о2
1+L В
(3.15)
В =
Zakładając,
( ρ = μ {ty)
że reaktywność jest jedynie funkcją czasu
oraz przyjmując,
że na granicy reaktora
(mającego
kształt prostopadłościanu, walca lub k u l i ) gęstość neutronów
jest stale równa zero, natomiast w momencie początkowym'
(t = t Q )
posiada pewien określony rozkład w całej
reaktora, otrzymuje się następujące różniczkowe
objętości
zagadnienie
graniczne;
}
gdzie
Γ
= A(t) χ (Ť,t) + B?2x(ř,t),
(3.16 )
x ( r , 0 ) = 9?(r),
(3.17)
x(r,t)|r
(3.18)
=0,
- powierzchnia boczna reaktora.
Metoda różnicowa rozwiązywania układu równań...
Τ
'
- I . — —.11.1 .
.
.
—
Wartości własne macierzy
., . —
A(t)
czywiste, jednokrotne i spełniają
jące równanie
39
•.,.,
-
są (dla każdego
-I
t ) rze-
(ze ^zględu na ω )
następu-
= 0.
(3.20)
[4]
które można przepisać w postaci
6
ω/Si
Γ
Wiadomo'również [ 2 ] , że najmhiejsza wartość własna
spełnia dla każdego
gdzie
t
^ ^ » т а х . ^
nierówność
(i=1 , · 2 , . . . ,G).,
(3.22)
natomiast największa wartość własna ω _ e _ ( t )
- ШсгХ
niewielkich
ści),
wartości
ρ (t)
( c z y l i dla
kgff
spełnia,
.
dla
bliskich jedno-
nierówność następującą
l^.max^H
1
·
(3.23)
Wido'czne więc j e s t , że zastosowanie do aproksymacji zagadhienia ( 3 . 1 6 ) - ( 3 . 1 8 ) schematu ( 1 . 4 ) przy założeniu,
^n
gdzie
=
*o = " Т ^ о ( т Ш )
(o=0,1,...,W),
że
(3.24)
jest najmniejszym pierwiastkiem równania
(3.25)
Ρΐω+Λί
1+L В
powoduje istotną poprawę oszacowania błędu.
Bibliografia
1. Podowski M . : Metoda różnicowa rozwiązywania układu równań
kinetyki reaktora. Biuletyn ITC nr 3 5 / 1 , Warszawa
1972.
Michał Podowak i
40
2 . Glasstone S . , Edlung M . C . :
rowych. PWN. Warszawa
Podstawy teorii reaktorów jąd-
1957.
3 . Porsching T . A . : On the spectrum of a matrix, arising from
a problem in reactor k i n e t i c s . SIAM J.Appl.Math.
16,
1968,
T.
nr.2.
4 . Ash Μ.ϊ Nuclear reactor k i n e t i c s . McGraw-Hill Book Company.
New York t965.
РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТИПА
УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИИ НЕЙТРОНОВ
К р а т к о е
с о д е р ж а н и е
Проведено анализ вопроса апроксимации системы дифференциальных уравнений в частных производных типа уравнений диффузии с помощью системы разностных уравнений^ с точки зрения
возможности получения минимальной величины оценки погрешности
{по Эвклидовой норме).
Указаны примеры, когда'внедрение полученной схемы дает
уменьшение- оценки погрешностки в сравнении с типовой двухслойной схемой или другими методами; Более подробно рассмотрена схема .уравнений диффузии тепловых нейтронов в ядерном
реакторе.
A FINITE DIFFERENCE SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
OF NEUTRON DIFFUSION
S u m m a r y
Partial differential equations of" neutron diffusion type
have been reduced to a set of f i n i t e difference equations and
an error of approximation in the-meaning of an Euclidean norm
has been
investigated.
Metoda różnicowa rozyi/iązywania układu równańk i n e t y k i . . .41
The cases when the proposed method gives better estimation
of error than other methods have been demonstrated.
A special attention Łas been paid to the equations of
thermal neutron-diffusion in a nuclear reactor.
Rękopis dostarczono w listopadzie 1971 г.